第四讲-直线的投影

第四讲直线的投影直线的投影

两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的投影。abXoa'b'ZYHb"a"YWb"b'ba'a"aoXZYHWVABαβγα：直线与H面的倾角β

：直线与V面的倾角γ

：直线与W面的倾角1.投影面平行线只平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜2.投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）3.一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线垂直于某一投影面直线的分类—三类七种线投影面平行线水平线正平线侧平线水平线的投影b

a

aba

b

b

aa

b

ba

水平线侧平线正平线γ实长实长实长βγααβba

aa

b

b

与H面的夹角:α与V面的夹角:β与W面的夹角:γα=0β=0γ=0投影面平行线的投影特性1.在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两个投影面倾角的实大。2.另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，并且投影长度缩短。投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线铅垂线的投影●c

(d

)cdd

c

●a

b

a(b)a

b

●e

f

efe

(f

)铅垂线正垂线侧垂线投影面垂直线的投影特性在所垂直的投影面上的投影积聚成一点；另外两个投影分别垂直于相应的投影轴，且反映实长。一般位置直线VWYABb'a'b"a"abHα¦Âγ投影特性：（1）三个投影与投影轴都倾斜，且都是缩短的直线；（2）三个投影与投影轴的夹角，均不能反映α、β和γ的实际大小。a"b"a'b'ab

|zA-zB

|ABABbb

aa

CXO一般位置直线求实长及其对投影面的倾角—直角三角形法

|zA-zB|Xa

ab

b

ABab|zA-zB|

|zA-zB

|ABXa

ab

b

|zA-zB

|ABXa

ab

b

|zA-zB

|ABXa

ab

bABbb

aa

CXO求直线的实长及对正面投影面的夹角

角|YA-YB|a

Xab

bAB

a

b

|YA-YB|AB

|YA-YB|

XZYO求直线的实长及对侧面投影面的夹角

角ABbb

a

b

aa

ZXa

baOYHYWa

bb

|XA-XB||XA-XB|

直角三角形法总结（1）求线段实长，可以从任何一个投影作图；（2）求α角，则用水平投影和z坐标差为直角边作图；（3）求β角，则用正面投影和Y坐标差为直角边作图；（4）求γ角，则用侧面投影和X坐标差为直角边作图。

例：判断图中各直线的空间位置习题AB是

正平线

；CD是

侧平线

；EF是

铅垂线

；GH是

水平线；KL是

正垂线

；

MN是

侧垂线

；ST是

一般位置线

。直线上的点⑴若点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上。反之，若点的各个投影从属于直线的同面投影，则该点必定从属于此直线。⑵从属于直线的点分割线段的长度之比等于其投影分割线段投影长度之比。即直线上点的定比性。即

ac:cb=a'c':c'b'=a''c'':c''b''=k判别方法：ABCVHbcc

b

a

a（1）点的投影在直线的同名投影上（2）点将线段分割成定比—定比定理

ac/cb=a'c'/c'b'=AC/CB

例题：判断点K是否在线段AB上。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故点K不在AB上。应用定比定理abka

b

k

●●另一判断法?例题已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。b

Xa

abcc

accbXOABbb

aa

c

CcHV两直线的相对位置空间两直线的相对位置有三种情况：

平行、相交、交叉空间两直线平行，则它们的同面投影必相互平行。反之亦然。1.两直线平行abcdc

a

b

d

例1：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CD①b

d

c

a

cbadd

b

a

c

对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。例2：判断图中两条直线是否平行。②求出侧面投影如何判断？HVABCDKabcdka

b

c

k

d

abcdb

a

c

d

kk

⒉两直线相交判别方法：

若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。交点是两直线的共有点●●cabb

a

c

d

k

kd例：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影d

b

a

abcdc

1

(2

)3(4)⒊两直线交叉投影特性：★同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。为什么？12●●3

4

●●两直线相交吗？例题：判断两直线的相对位置ba

ac

d

dcb

X1

1

d

1

c

1交叉直线在H面上的投影互相垂直即∠abc为直角设直角边BC//H面因为BC⊥AB,同时BC⊥Bb所以

BC⊥ABba平面

因此

bc⊥ab

故

bc⊥ABba平面ABCabcHa

c

b

abc.4.两直线垂直（相交或交叉）直角投影定理：若直角有一边平行于某一投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。

又因为

BC∥bcd

abca

b

c

●●d例：过C点作直线与AB垂直相交。

.

AB为正平线,正面投影反映直角。eee'e'c'c'例已知直线AB的两面投影和C点的水平投影,试过C点作一条直线CE垂直于AB,求直线CE的两面投影。

cbab'a'OX两直线交叉f例题：过点E作线段AB、CD的公垂线EF。f

Ocb

a

abXc

d

de

e例：求点A到正平线BC的距离AD及其投影小结★点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。★点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。★定比定理。★直角定理，即两直线垂直时的投影特性。重点掌握：一、各种位置直线的投影特性⒈一般位置直线三个投影与各投影轴都倾斜。⒉投影面平行线在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。⒊投影面垂直线在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。二、直线上的点⒈点的投影在直线的同名投影上。⒉点分线段成定比，点的投影必分线段的投影成定比——定比定理。三、两直线的相对位置⒈平行⒉相交⒊交叉（异面）同名投影互相平行。同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。