2025年新高考数学一轮复习第三次月考卷（测试范围：除解析几何、统计概率外）（解析版）

2025年高考一轮复习第三次月考卷

（测试范围：除解析几何、统计概率外）

（满分150分，考试用时120分钟）

一、选择题

1.已知集合M=x<0},N={x]-2<x<4},则&M)cN=()

A.{x\x>-2}B.{x|-2<x<0}

C.{x\x<4}D.{x|0<x<4}

【答案】D

【分析】由集合的补集和交集运算可得.

【解析】q"={x|x20},

所以（［；M）CN={疝）<尤<4},

故选：D.

2.命题"Hx>O1—>/"的否定是（）

A.Vx>0,x2>x3B.Vx>0,x2<x3

C.Vx<0,x2<x3D.3x>0,x2<x3

【答案】B

【分析】根据存在量词命题的否定即可得解.

【解析】命题>/〃的否定是〃Vx>0,%2v/j

故选：B.

3.已知网=2同，若1与B的夹角为60。，则在B上的投影向量为（）

1T1-3-3-

A.-bB.——bC.——bD.-b

2222

【答案】B

【分析】应用向量的数量积及运算律，结合投影向量公式计算即可得解.

【解析】因为|a=2同，2与B的夹角为60。,

所以万•B=同Wcos60。=同x2同x；=|同2,

贝l](2d_B)Z=25Z_庐=2|5|2-4|5|2=-2|5|2,

2a-b\bB-2

a:bT

所以而-3在B上的投影向量为

\b\时2a一,丽

故选：B.

£),则/(A-3))=(

4.已知/(x)=<

sinTLX

B.0C.

2

【答案】D

【分析】先求/'(-3)=；,再求-3))=/,JI

Isiny,即可求解.

【解析】根据已知/(-3)=-(—3/=g,

所以/(/(-3))=/匕]=5171

sm—

32

故选：D.

5.a、0、Y是平面，a,b,c是直线,以下说法中正确的是()

A.al/,丫1B=a110B.a^-b^cnallc

C.a-L/,an/=ana_LyD.b!la,bU0=a110

【答案】C

【分析】利用空间中直线、平面的位置关系一一判定选项即可.

【解析】对于A,a,夕可以平行，也可以相交，

对于B,a,。可以平行，可以相交，也可以异面，

对于D,a,4可以平行，也可以相交，

对于C,不妨设夕07="/07=〃，在平面a内作

因为a_Ly,则/同理在平面£内作f_L〃，则

所以//〃，

又lBAtu/3,则/〃分，而ac£=a,所以〃/a,所以。■17,即C正确.

故选：C

6.清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食要从苏州府运送到全国各地.为了核准粮食的数量，苏州

府制作了"小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，而一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似

于正四棱台，上口为正方形，内边长为25cm,下底也为正方形，内边长为50cm,斛内高36cm,那么一斗

米的体积大约为立方厘米？（）

A.10500B.12500C.31500D.52500

【答案】A

【分析】利用棱台的体积公式，即可计算得出答案.

【解析】一斛米的体积为忆=；（S上+S下+7^7）〃=gx（25?+502+25x50）x36=52500（cm3）,

因为五斗为一斛，所以一斗米的体积为g=10500（cm3）,

故选：A.

7.已知正项等比数列｛g｝满足q=3,且-3囚，出，4成等差数列，则数列｛%｝的前〃项和为（）

3""-33"-3「3向+3c3"+1-1

A.---------Bn.-------C.---------D.---------

2244

【答案】A

【分析】设正项等比数列｛%｝的公比为式4>0）,根据等差中项的性质及等比数列通项公式得到方程，求出

q,再由等比数列求和公式计算可得.

【解析】设正项等比数列｛4｝的公比为4（4>0）,

由%=3,且-3%,。2，成等差数列,

得2。2=%-3。],即2aM=04-3q,即6g=3/-9,

解得4=3或g=T(舍去).

3(1-3")_3向-3

■s“1-3-2

故选：A.

8.已知函数/(x)满足对任意的x/e(l,+⑹且x<>都有/［三匕［=/］£|一/1；］，若

an=f\~~~~\»〃£N*'贝U%+。2+。3+…+。2024=()

\n+5〃+5J

/253、/2531/253、

A-B-ZUJu4诉J

【答案】D

x—y11]11

【分析】根据一将%,再用裂项相消法求

1-xyXyn2+5n+5n+2〃+3

q++Q3+…+々2024的值.

【解析】•••函数/(x)满足对任意的x/e(l,+e)且x<y都有/—

r,X-V(〃+2)-(〃+3)1

・・・令%=〃+2/=〃+3,则匚H

1一(几+2)(〃+3)n2+5n+5

+…+…+?”[:佃+…康)(击j

'(3)1,2027),(1-3x2027)<760/

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的求和问题，关键是理解数列的规律，即研究透通项，本题的关

键是将通项分析为:

n2+5:n+51J/\n4+2]J-/\一n+?]>)

二、多选题

9.已知〃>0,6>0,ab=2,贝!J()

A.log?。Jog2b的最大值为:B.2"+4"的最小值为8

C."+尸的最小值为4近D.5+2的最小值为：

ba2

【答案】BCD

【分析】利用基本不等式判断A、B、C,由4+2=4仔+加],令/㈤=]+〃伍>0),利用导数说明函数

ba2\bJb

的单调性，即可求出函数的最小值，从而判断D.

【解析】因为〃>0,Z?>0,ab=2,

对于A：log?log"4[旭等幽当且仅当.=b=也时等号成立，故A错误；

对于B：2"+4'=2"+*22。2J2?'=2打+2bN212?屈=8，当且仅当。=2,b=l时等号成立，故B正确;

对于C：/+/=(q+b)(q2-仍+⑹=(q+b)(q2—2+/),

5La+b>2y[ab=2^/2,a1+b2>lab=4>a2+b2—2>2

所以〃3+廿之4血，当且仅当Q=6=后时等号成立，故C正确;

r-1ba+b2a

对于D：-+-=——=-

baab22

设〃6)=>2仅>0),则/，9)=3+26=2仅2-1)2仅一1)伍+1)

b2b2

所以当0<b<l时/'优)<0,则“6)单调递减,

当b>l时/'e)>0,则“6)单调递增，

所以/㈤”⑴=3,

所以1+2的最小值为：，当且仅当6=1、a=2时取等号，故D正确.

ba2

故选：BCD

10.函数/(x)=Nsin(0x+e)[/>O,0>O,|d<|^的部分图象如图所示，则()

TT

A.该图像向右平移十个单位长度可得N=3sin2x的图象

0

B.函数y=/(x)的图像关于点]对称

5兀

C.函数y=/(x)的图像关于直线对称

27r7i

D.函数y=/(x)在---上单调递减

30

【答案】ABC

【分析】利用图象求出函数的解析式，利用三角函数图象变换可判断A选项.利用正弦型函数的对称性可判

断BC选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项;

【解析】由图象知，/=3,函数/(x)的周期「二”方一己卜兀，则。=1=2,则〃x)=3sin(2x+。，

由/信]=3得2x尚+°=/2配左eZ,而|同＜§,则左=0,夕竹，因此=3sin卜x+"对于A,函

数尸/(X)图象向右平移看个单位长度，得/U]=3sin2x即y=3sin2x的图象,故A正确,

对于B,/^j=3sin^+1j=0,则/'(x)的图象关于点对称，故B正确；

对于C,/f-^=3sinf-^+^=-3,则函数小)的图象关于直线x=T对称，故C正确;

V127ko5)12

对于D,当xw-y,-^时，2x+；e[f,0],当2x+；=g即》=个时，〃x)取得最小值，所以函

27r7T

数y=/(x)在一号，一不上不单调，故D错误.

故选:ABC

11.在长方体/BCD-N4G。中，40=2/8=2/4=4,E是棱与。的中点，过点5,E,R的平面a交

棱40于点尸，尸为线段。尸上一动点(不含端点)，则()

A.三棱锥尸-4阳的体积为定值

B.存在点尸，使得。尸，a

C.直线尸£与平面3CG4所成角的正切值的最大值为血

D.三棱锥尸也外接球的表面积的取值范围是（12肛44"）

【答案】ACD

【分析】对于选项A,利用面面平行的性质，得到。尸//平面/8C,从而可判断出选项A正确；对于选项

B,假设存在，可推出8尸，平面44QQ,从而判断选项B错误；对于选项C,利用线面角的定义，找出线

面角为NPEP,从而在Rt«PPE中，求出tan/PEP的值，进而判断选项C正确.对于选项D,利用球的截

面圆的几何性质，找出球心在直线。。2上，利用露=/+/,建立方程|OOJ+Q02=Q0/+。尸匕

从而求出球的表面积的取值范围.

【解析】对于A,因为平面44QQ//平面ABCC，

根据面面平行的性质，平面。与这两个平面的交线互相平行，

即2b//2E,因为。尸O面W,BEu面ABE,

所以。///平面/班，又点P在线段上，

所以三棱锥P-45E的体积为定值，故A正确；

对于B,若存在点P,使得DPLa,因为3bua,

则。P_L8尸，因为/，DD、cDP=D,

DD1,DPu平面44］。。,所以AF，平面4gD,

与题意矛盾，故B错误;

对于C,如图1所示,

则点尸在平面5CC4内的射影P'在C©上,

直线PE与平面BCC品所成角即/PEP',

PP'

且有由已知可得|PP|=2,

EP

1呼'|最小为近，所以tanNPEP的最大值为近，故C正确;

对于D,如图2,

取4A的中点G,连接ZG,分别取BE,/G的中点Q,2,

连接因为乃是等腰直角三角形，

所以三棱锥P-BB\E外接球的球心。在直线上，

设三棱锥尸-8月£外接球的半径为R,贝/。8|=|OP|=火，

所以「=|。。2「+1。2尸『,

设|OOJ=d,则屋+2=(2-d『+|O2尸F，

所以"二工+惚既,当点P与歹重合时，

24

1。2尸1取最小值0，止匕时d=l,尺2=3,

三棱锥P-跖由外接球的表面积为4位?2=12兀，

当点P与。重合时，10尸1取最大值a6,

此时d=3,尺2=11,三棱锥外接球的表面积为4兀浦=44兀，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：对于选项D,利用球的截面圆的几何性质，找出球心在直线002上，利用

222

R=r+d,建立方程|OO"2+ia8|2=|OO25+RpF，从而求出球的表面积的取值范围.

三、填空题

12.已知z=x+yi,x,yeR,i是虚数单位，复数三+i是实数.则目的最小值为______.

1—1

【答案】亚

【分析】

根据复数代数形式的除法运算化简复数三+i,依题意可得x+，2=0,即p=-x-2,再计算目，由

1-12

二次函数的性质求出最小值.

zx+WIi_(x+yi)(l+i)

【解析】因为=+i=+i

1-i-(l-i)(l+i)

_x-y+(x+〉)i._x-yx+y+2.

222

又复数。+i是实数，所以x+；+2=0,即y=-x-2,

l-i2

所以目=yjx2+y2=yjx2+(-x-2)2=+4x+4=小2(x+l)2+2，

所以当x=-l,y=-l时|zLn=&.

故答案为：V2

13.已矢口直线歹=丘（左NO）与曲线y=2--3/相切，贝必=.

【答案】-1

【分析】利用导数的几何意义以及切线过点（。,0）求切线的斜率.

【解析】设直线了=履（后W0）与函数/（力=2--3/相切，切点为：尸（％,2x：-3器）,

因为小）=8/-9一,所以切线斜率为：无=/，（%）=8x；-9*.

所以切线方程为：y-（2x：-3x；）=（胱-9x；）（x-x。）.

由切线过点（0,0）,得：一（2只一3只）=-%（8君一9焉）

所以-x；（2xo-3）=-x；（8xo-9）,解得：x0=O^xo=1.

所以k=r（o）=o（舍去）或〜”）=_1.

故答案为：-1

14.已知正四棱锥P-48co的底面边长为4指,高为60,其内切球与面P4B切于点球面上与P距离最

近的点记为N,若平面。过点"，N且与43平行，则平面。截该正四棱锥所得截面的面积为.

【答案】9百

【分析】取/伉C。中点0，R，连尸。，尸几。尺，取。尺中点S,连尸S,则PS，平面ABCD,根据已知可得“PQR

为正三角形，正棱锥尸-NBCD内切球的球心为正APQ?的内心O,与面切于点M为尸。中点，球面上

与P距离最近的点为。尸与球面的交点，即在OP之间且ON长为内切球的半径，连肱V并延长交PR于/,

平面。过与Z3平行，可得平面a分别与平面尸/8、平面PCD的交线为过川,/与M平行的直线，即

可得到截面为梯形，根据长度关系，即可求解.

【解析】取力伉。中点0,R,连PQ,PR,QR,取。尺中点S,连尸S,

则R01/3,S为正方形/BCD的中心，四棱锥尸-4BCD是正四棱锥，

所以尸S_L平面488,：.PS=6后，

在R3SQ中，PQ=1Jps2+(—)2=在2+24=476,

同理尸尺=4而，所以AP。火为正三角形，

所以正四棱锥尸-N8CD内切球的球心为正的内心O,

内切球的半径是正人尸”的内切圆半径为20,

内切球与平面尸48的切点/为正APQ?内切圆与直线P。的切点，

所以M为尸。中点，球面上与P距离最近的点为连。尸与球面的交点，

即在。尸之间，且ON=2ji，因此N为。P中点，

连"N并延长交?我于/,平面a过与直线4g平行，

设平面a分别与平面尸48、平面PCD交于M,G77,

因为N3u平面P48,所以E尸〃48,又因为4B〃CD,CD<za,

所以CO〃a,同理可证G〃〃CD,所以跖〃G〃，连GF,HE,

则梯形EFGH为所求的截面，因为

PSHRQ=S,所以48,平面P。凡血u平面尸Q?,

所以/2，血,/2〃瓦"所以E尸,加，

连。。，则。。为/尸。S的角平分线，所以4。。=30。，

又因为M,N分别为尸0,P。的中点，所以ACV〃。。，

所以/尸M=N尸。0=30。，而/MP/=60。，所以//W=90。，

所以M=P〃cos300=3近，尸/=PAfsin30°=&=",

4

又HG//CD,所以旅=空=而，

4

所以截面梯形EFGH的面积S=-{EF+G〃)=；*30x3n=9百.

故答案为：9VL

【点睛】本题以多面体的内切球为背景，考查空间线、面位置关系，应用直线与平面性质确定截面是解题

的关键，要注意平面几何知识的应用，考查直观想象、逻辑推理能力，属于较难题.

四、解答题

15.已知。，ac分别为△4BC的内角C的对边，且c(acos2-6sin/)=a2.

⑴求A；

(2)若a=2,ZU3C的面积为2,求b+c.

【答案】(1)/=；

(2)2+272

【分析】(1)根据余弦定理代入化简，结合角的范围即可求解；

(2)根据三角形面积公式和余弦定理代入求解即可.

【解析】(1)在A/BC中，由余弦定理得，cosB=a~+c、',

2ac

代入。(QCOS_8—bsinZ)=Q2一〃,

(a+c2-b1.12

贝a-----------bsm/=a2-b,

I2ac,

即/+。2_〃_2bcsinA=2a2-2〃，

日口..b1+c2-a2.

即sinA----------=cosA,

2bc

因为4e(O㈤,所以tan/=l,贝上三

(2)因为△4BC的面积为2,

所以g6csin/=2,即6c=4a，

JT

又因为=/+02-2bccos/，4=2,4=1，所以62+02=12,

则(6+c)=/+/+2bc=12+8^/2,则6+c=2+2-\/2

16.如图，已知正三棱柱/3C-4与。］,/3=夜44，。1分别为棱4练8。的中点.

（I）求证：48,平面NG。；

⑵求二面角A-CP-E的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

【分析】利用线面垂直判定定理来证明；用向量法计算两平面夹角的余弦值，再求夹角的正弦值；

【解析】（1）取初中点尸，由正三棱柱性质得，4昂£>G，所互相垂直，以。为原点，分别以。练。q,

OF所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

不妨设=2,贝!IA[B[=2V2,

（JI[f,）

则4卜0,0,0）,/卜0,0,2）,8（0,0,2），6（0,后,0）,后半，乎,2.

______（6%、

证明：福=（20,0,2）历=「在0,2）,M=（0,跖0）,瓦=半，半,2,

I22J

由福.刀=（2板,0,2）｛-a,0,2）=-4+0+4=0,得48_L40,

由布.西=修行,0,2）.（0,跖0）=0+0+0=0,得48_LZ）C],

因为AD,DC,u平面AQD,AD^DC^D,所以/田，平面AQD.

(2)

由(1)可知而=(2血,0,2)为平面/CQ的一个法向量，设历=(x,y,z)平面CQE的法向量,

n-DE=0(x,y,z)-0,x+2®z—0

则!——►，故＜

近DC1=0、

(x,y,z).(0,跖0)=0.y=o

令z=l,得面GOE的一个法向量为万=卜2友,0』,

设二面角Z-G。-E的值为0,

A\B•五专所以’二面角“一⑦一"的正弦值为*.

则|cosM=

4引|五

17.已知北为正项数列｛册｝的前〃项的乘积，且%=3,T；=a：+i

⑴求数列｛七｝的通项公式；

-d—1

(2)设勿=」七，数列｛g｝的前〃项和为S“，证明：S„>n-1.

【答案】(1)%=3"

(2)证明见解析

【分析】(1)根据题意可求出。3=。或，然后两边取对数得"1g。用=("+l)lga"，从而得出数列(第)是

常数列，从而可求解；

2

(2)根据(1)中结论可求出，=1-正日，从而可得出色，再结合放缩法及等比数列的前“项和公式即可

证明.

【解析】⑴"=e，%鬻,

T2an+2

所以萧肃,即心

an

+1

两边取常用对数得lga：+1=lg<,

lg%+i炮乙怆％

得〃1gan+\=（H+l）lgQ〃，所以=lg3，

n+\n1

所以数列为常数列，所以Ig%=〃lg3=lg3〃,

所以4=3〃.

%T_3T2

（2）证明：由（1）知％=3",所以〃==1-

%+13〃+13〃+1'

222

贝”〃=+1-+.—1-I1—

31+132+13〃+1

111

=n-2~i17+…+------

31+132+13"+1

11

又因为-------<----,

3〃+13〃

1

11111131

所以----1-----1---1-----<---1---1---1--二<—

3'+132+13"+131323"22

3

111

故S“=〃-2----1------1---1----->n-\.

31+132+13〃+1

18.如图①，将"个完全一样质量均匀长为工的长方体条状积木，一个叠一个，从桌子边缘往外延伸，最

多能伸出桌缘多远而不掉下桌面呢？这就是著名的“里拉斜塔问题”.

长为。，如图③，若"=2,欲使整体伸出桌缘最远，在保证所有积木最长棱与桌缘垂直的同时，可先将上

面积木的重心与最下方的积木伸出桌外的最远端齐平，然后设最下方积木伸出桌外的长度为「将最下方积

木看成一个杠杆，将桌缘看成支点，由杠杆平衡原理可知，若积木恰好不掉下桌面，则上面积木的重力G

乘以力臂X,等于最下方积木的重力G乘以力臂X),得出方程GX=G]:-J,求出x=：.所以当叠

IIN

放两个积木时，伸出桌外最远为=+==+，此时将两个积木看成整体，其重心。2恰与桌缘齐平.如图

424

④，使前两块积木的中心仪与下方的第三块积木伸出桌外的最远端齐平，便可求出〃=3时积木伸出桌外的

最远距离.依此方法，可求出4个、5个直至〃个积木堆叠伸出桌外的最远距离.(参考数据：50<e4<55,

e为自然常数)

⑴分别求出〃=3和〃=4时,积木伸出桌外的最远距离.(用上表示)；

(2)证明：当〃=64时，积木伸出桌外最远超过2£;

⑶证明：当”=352时，积木伸出桌外最远不超过早.

1125

【答案】⑴当"=3时，最远距离为百乙，当〃=4时，最远距离为c

127247

(2)证明见解析

⑶证明见解析

【分析】(1)将前"-1个看成一个整体，结合题意列式计算即可得;

(2)将前1个看成一个整体，设第〃个积木伸出桌外的长度为%,可得当=当,即有当”=64时，积木

2n

堆叠伸出桌外的最远距离为411+:+:+--+上],构造函数/(x)=x-ln(x+l),结合导数研究函数单调性

212364J

可得工>1—3],即可得l+」+...+L>ln(〃+l),将，7=64代入即可得证；

(3)构造函数g(x)=ln(x+l)-*，结合导数研究函数单调性可得故有:+$…+:<ln"，

将”=352代入即可得证.

【解析】⑴当附=3时，有2Gx=则x=〈,4+4+乡=2"

当〃=4时，有3Gx=G(H，则x=”，故'+”=*,

\2,)o12o24

故当〃=3时，积木伸出桌外的最远距离为金乙，

当〃=4时，积木伸出桌外的最远距离为2三5乙，

(2)当〃个积木堆叠伸出桌外时，前"-1个看成一个整体，

设第〃个积木伸出桌外的长度为x“，则有=解得当=当,

(2)2n

故当〃=64时，积木堆叠伸出桌外的最远距离为:

LLL111

―+―+…+----1------1-•••H-------

242x642364

令/(x)=xTn(x+l)(x>0),则/(x)=l--=-^—>0,

Jv十1Jv"I1

故/(x)在(0,+8)上单调递增，故/(x)>/(0)=0,

令x=L则有L-ln仕+1]〉0,

即一>In

nn\n)n

故1+L…+L>ln2+ln2+…+ln5.=ln[2xax…x/-]=ln(〃+

2n12n[12n-\V

即l+g+g+…+£>ln65，X50<e4<55,故In65>Ine'=4，

故[1+111

----1------F•••H------->-x4=2Z

23642

即当〃=64时，积木伸出桌外最远超过2£;

(3)由(2)知，当〃=352时，积木堆叠伸出桌外的最远距离为:

LLL

-----1-------F…+

242x352

Y

令g(x)=ln(x+l)_Q_(x>0),

则(=《-x+1-xX

gx)>0

(x+l『(%+1)2

故g(x)在(0,+8)上单调递增,故g(x)>g(o)=o,

即有皿1+1)>/?在(0,+8)上恒成立,

.1l一+n1

令工二一，则有In-----------=-----

n\n)J_+|n+1

n

田।2।3(n}111

故In—+ln—+―・+Aln----->—+—H—+—,

12\n-\)23n

即,+』+...+!<In”，则1+工+!+…+-!-<l+ln352,

23n23352

要证当〃=352时，积木伸出桌外最远不超过半，

4

只需证g(l+ln352)V号，即证M35246.5,

352

由50ve4<55,l^ln352-4<ln—=ln7.04,

即只需证In7.04<2.5,由7.042=49.5616<50<e\

故ln7.04<2,即得证.

【点睛】关键点点睛：本题关键点有两个，一个是由题意得到第〃个积木伸出桌外的长度为x“时，有

(«-l)x„G=G^--xI,可得x“=文,即可得〃个积木堆叠伸出桌外的最远距离为不，第二个是证明

(2)、(3)问时，构造对应函数〃x)=x-ln(x+l)及g(x)=ln(x+l)-*,通过研究函数单调性，得到

1+—+-F—>ln(7?+l)^—+—+-F—<Inn.

2n23n

19.若函数〃x)在区间M上有定义，〃x)在区间M上的值域为N,且N=则称/是/(x)的一个"值

域封闭区间

⑴己知函数〃X)=3X3+2X2,区间凶=［0,小/>0)且M"是f(x)