2025年新高考数学一轮复习：重难点突破 弦长问题及长度和、差、商、积问题（七大题型）（学生版+解析）

重难点突破06弦长问题及长度和、差、商、积问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：弦长问题...............................................................2

题型二：长度和问题.............................................................3

题型三：长度差问题.............................................................5

题型四：长度商问题.............................................................6

题型五：长度积问题.............................................................7

题型六：长度的范围与最值问题...................................................8

题型七：长度的定值问题........................................................10

03过关测试....................................................................12

亡法牯自与.柒年

//\\

1、弦长公式的两种形式

①若A,3是直线y=近+相与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去y后得到一元二次方程

px2+qx+r=O,则间|=而淳.|

1\P\

②若A,8是直线〃与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去X后得到一元二次方程

py2+qy+r=Q,1+m2

题型一：弦长问题

2

【典例1-1】已知点耳、F?分别椭圆1_+y2=l的左、右焦点，过尸2作倾斜角为］的直线交椭圆于A、B

两点，则弦A8的长为.

221

【典例1-2】已知椭圆C：会+a=1(。＞6＞0)的左、右焦点分别为产/,F2,离心率为］,椭圆C上点M

满足|町|+|"段=4.

(1)求椭圆C的标准方程：

(2)若过坐标原点。。0)的直线/交椭圆C于P,。两点，求线段P。长为旧时直线/的方程.

【变式1-1】(2。24.海南.模拟预测)己知双曲线。£暇”＞。，，＞。)的实轴长为2。点尸⑵加

在双曲线C上.

(1)求双曲线C的标准方程;

(2)过点尸且斜率为2标的直线与双曲线C的另一个交点为Q,求|尸。|.

【变式1-2］已知抛物线=2PMp>0)的焦点为产(0,2).

⑴求P；

(2)斜率为2的直线过点F,且与抛物线E交于A3两点，求线段的长.

【变式1-3】已知动圆过定点(4,0),且在V轴上截得的弦长为8,动圆圆心的轨迹方程为C,已知点

尸(2,0),直线/过点尸且与轨迹C交于两点，且|PQ|=16,求直线/的方程.

题型二：长度和问题

【典例2-1】已知F为抛物线E:x2=4y的焦点，过点(0,2)的直线1与抛物线E交于A8两点，抛

物线E在AB两点处的切线交于点L.

⑴设P(%,%)是抛物线“上一点，证明：抛物线E在点P处的切线方程为了=芳-％,并利用切线

方程求点L的纵坐标的值；

⑵点C为抛物线E上异于A3的点，过点C作抛物线E的切线，分别与线段AL,BL交于M,N.

⑴若LM=ALA,LN=ptLB,求％+〃的值；

(ii)证明:|网+|冏+怛。|>|相+|根|+|印|

【典例2-2】(2024•高三・河北承德•开学考试)已知VABC的内角A3,C的对边分别为a,b,c,面积为

9A/3,c=6,且sinAsinB=sin2c.

(1)证明：VABC为等边三角形；

(2)设54的延长线上一点。满足AD=2,又平面内的动点尸满足/尸54=2/2钻(/上45/0),求

|CP|+|DP|的最小值.

22

【变式2-1](2024•宁夏银川・银川一中校考一模)如图所示，由半椭圆G：工+3=l(yV0)和两个半圆

4b

22

C2:(x+l)+y=l(j>0),C3：(xT)2+y2=l(yW0)组成曲线C:、(尤,y)=0,其中点4,&依次为C1的左、

右顶点，点8为G的下顶点，点片，鸟依次为G的左、右焦点.若点0K分别为曲线c?,C3的圆心.

⑴求。的方程；

(2)若过点K,F2作两条平行线1\，1分别与G，C?和C“C3交与M,N和P,Q,求|脑V|+|PQ|的最小值.

【变式2-2](2024.河南安阳.安阳一中校联考模拟预测)定义：一般地，当4>。月〃工1时，我们把方程

22222

£+方=2(»>0)表示的椭圆C，称为椭圆千+左=1.>6>0)的相似椭圆.已知椭圆C:：+y2=i,

椭圆C<(4>0且4/1)是椭圆C的相似椭圆，点P为椭圆C”上异于其左、右顶点的任意一点.

(1)当4=2时，若与椭圆C有且只有一个公共点的直线。4恰好相交于点P,直线。4的斜率分别为《，为，

求晒的值;

(2)当X=e2(e为椭圆C的离心率)时，设直线尸”与椭圆C交于点A,3,直线PN与椭圆C交于点RE,

求|AB|+|DE|的值.

题型三：长度差问题

22

【典例3-1】(2024•河南新乡•模拟预测)已知椭圆C:「+3=l(a>b>0)的左、右焦点分别为K，B，且

ab

区词=2,过点与作两条直线44,直线乙与c交于48两点，1AB的周长为40.

(1)求C的方程；

(2)若.片AB的面积为1,求4的方程；

(3)若4与C交于两点，且乙的斜率是的斜率的2倍，求的最大值.

【典例3-2】已知抛物线C:J=2px经过点(2,-2«),直线4:y=履+皿加-0)与C交于A,8两点(异

于坐标原点。).

(1)若。4・。8=0，证明：直线4过定点.

(2)已知左=2,直线乙在直线4的右侧，4与4之间的距离d=g，4交C于M,N两点，试问是

否存在加，使得|ACV|-|A3|=1O?若存在，求加的值；若不存在，说明理由.

22

【变式3-1】已知抛物线Cjy2=4x的焦点为椭圆Q：=+斗=1(。>6>0)的右焦点E点P为抛物线

ab

。与椭圆C?在第一象限的交点，且I尸刊=(

⑴求椭圆c2的方程；

⑵若直线/过点尸，交抛物线G于A,C两点，交椭圆C?于8,。两点(A,B,C,O依次排序)，且

\AC\-\BD\=—,求直线/的方程.

题型四：长度商问题

【典例4-1】(2024•内蒙古赤峰•二模)已知点尸为圆C：(x-2)?+y2=4上任意一点，A(_2,0),线段出的

垂直平分线交直线PC于点设点M的轨迹为曲线H.

⑴求曲线X的方程；

(2)若过点M的直线/与曲线"的两条渐近线交于S,T两点，且M为线段ST的中点.

⑴证明：直线/与曲线》有且仅有一个交点；

21

(ii)求画|亓的取值范围.

【典例4-2](2024・高三.山东德州•开学考试)已知双曲线E焦点在x轴上，离心率为g,且过点(虚,4),

直线4与双曲线E交于两点，4的斜率存在且不为0,直线4与双曲线E交于P，。两点.

(1)若MN的中点为直线O”,MN的斜率分别为勺,&,。为坐标原点，求匕・《；

1\TP\TN

(2)若直线4与直线4的交点T在直线x=£上，且直线人与直线。的斜率和为0,证明：7^4=—.

【变式4-1]抛物线C的焦点F到准线/的距离为2.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)过焦点下的直线(斜率存在且不为0)交抛物线C于AB两点，线段A3的中垂线交抛物线的对称轴于

FP

点尸，求

AB

【变式4-2](2024•湖北黄冈•模拟预测)在生活中，我们经常看到椭圆，比如放在太阳底下的篮球，在地

22

面上的影子就可能是一个椭圆.已知影子椭圆C:=+与=l(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为耳，

ab

F],离心率为1.过月且垂直于AF2的直线与C交于。，E两点，|£闽=6,则J开+七的最小值

乙乙1-^1.]Zl-X-X

是.

【变式4-3](2024.高三.河北.开学考试)已知椭圆E的焦点在无轴上，离心率为逝，对称轴为坐标轴,

3

且经过点上0,1]

⑴求椭圆E的方程；

CP

⑵若过P(O,1)的直线交椭圆E于C、。两点，求打的取值范围.

题型五：长度积问题

22

【典例5-1](2024.高三.北京海淀.开学考试)已知椭圆C：++2=l(a>6>0)的右顶点为42,0),上顶点

ctb

为风0,属

⑴求椭圆C的方程；

(2)椭圆C的左焦点为E点尸为椭圆C上不同于顶点的一点，直线针,々与，轴的交点分别为M,N,若

9

\OM\\ON\=~,求点尸的横坐标.

【典例5-2】已知抛物线C:V=2外(p>0),尸为C的焦点，过点尸的直线/与C交于H,/两点，且在

/两点处的切线交于点T,当/与V轴垂直时，Im1=4.

⑴求C的方程；

(2)证明：切|=|ET|2.

【变式5-1](2024・高三.江西.开学考试)已知双曲线C:，-斗=1(。>0/>0)其左、右焦点分别为居,外,

ab

若由段=12,点尸倒其渐近线的距离为4女.

(1)求双曲线C的标准方程；

⑵设过点工的直线/与双曲线C的左、右两支分别交于42两点，且|4周=忸用，若|隹|,|钻|,忸国成

等比数列，则称该双曲线为“黄金双曲线”，判断双曲线C是否为“黄金双曲线”，并说明理由.

【变式5-2](2024.高三・陕西安康•开学考试)已知动圆的圆心在无轴上，且该动圆经过点

(TO),(x,0),(0,江

⑴求点(x,y)的轨迹c的方程；

(2)设过点E(-1,0)的直线/交轨迹。于A,8两点，若A(x°,4),G为轨迹C上位于点A,B之间的一点，点G关

于x轴的对称点为点Q,过点8作交AQ于点求的最大值.

22

【变式5-3】已知椭圆6：马+马=1(。>6>0)的离心率为:，且直线4：2+；=1被椭圆C1截得的弦长为

abzab

⑴求椭圆G的方程;

⑵以椭圆Cj的长轴为直径作圆C”过直线/”y=4上的动点”作圆C?的两条切线，设切点为A,3,若直

线A3与椭圆C1交于不同的两点C,D,求的取值范围.

题型六：长度的范围与最值问题

22

【典例6-1](2024•安徽•一模)已知双曲线C：=-当=1伍>0,6>0)的离心率为2.且经过点(2,3).

ab

(1)求c的方程;

（2）若直线/与C交于A,8两点，且0408=0（点。为坐标原点），求|锄|的取值范围.

22

【典例6-2]（2024•高三・广东•开学考试）我们把各边与椭圆£：'+==1（。>6>0）的对称轴垂直或平行

的E的内接四边形叫做E的内接矩形.如图，已知四边形尸Q&S是E的一个边长为1的内接正方形，PS,

QR分别与x轴交于4，F2,且耳，尸2为E的两个焦点.

（1）求E的标准方程；

⑵设4。=1，2，LOO）是四边形尸QRS内部的100个不同的点，线段尸Q,超与y轴分别交于耳，E],记

100

4=稣阂，其中笈=1,2,证明：4，刈中至少有一个小于25（1+逐）.

Z=1

22

【变式6-1]（2024・高三.浙江•开学考试）在直角坐标系xOy中，过椭圆石:=+2=1（〃>10）的右焦点的

ab

直线与E截得的线段长的取值范围是[3,4].

（1）求E的方程；

（2）已知曲线C:/+r=l（x，y，m>0）的切线/被坐标轴所截的线段长为定值.

（i）求/与C截得的线段长；

（ii）求/与E截得的线段长的取值范围.

22

【变式6-2]（2024.高三.北京.自主招生）双曲线：三一二=1有一点P在双曲线上，分别过尸点作渐近线

169

平行线交X轴于A,8,且A在靠近原点的一侧，过A点作X轴垂线交以03为直径的圆于点C,求的

取值范围.

22

【变式6・3】(2024•新疆・二模)已知椭圆°：土+匕=1(〃>0)的左焦点为尸，C上任意一点到厂的

〃2Z?2

距离的最大值和最小值之积为1,离心率为逅.

3

⑴求C的方程；

⑵设过点的直线/与C交于M,N两点,若动点P满足P”=,PN=-九NR,动点。

在椭圆C上，求|PQ|的最小值.

题型七：长度的定值问题

【典例7-1】(2024•山东济南.三模)如图所示，抛物线y2=2px(p>0)的准线过点(-2,3),

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若角夕为锐角，以角口为倾斜角的直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线交于A、8两点，作线段A8

的垂直平分线/交x轴于点P,证明:|必|-|尸尸|8$2。为定值，并求此定值.

22

【典例7-2】已知椭圆c：[+/=i(a〉b〉o)的短轴长为2,上顶点为M,O为坐标原点，A,8为椭

圆°上不同的两点，且当4,0,3三点共线时，直线MA,MB的斜率之积为-工

4

⑴求椭圆C的方程；

(2)若△048的面积为1,求+\OB\2的值.

【变式7-1](2024・高三•广东•开学考试)设耳，居为椭圆c：5+，=l(a>b>0)的左、右焦点，点

在椭圆C上，点A关于原点的对称点为8,四边形鸟的面积为

⑴求椭圆C的方程；

11

(2)若过尸2的直线/交椭圆C于M，N两点，求证：忖可+而为定值.

【变式7-2】已知椭圆0：1+与=l(a>b>0)过点A(-2,0),且a=26.

ab

(1)求椭圆CO的方程；

(2)设。为原点，过点C(L0)的直线/与椭圆。交于P,Q两点，且直线/与x轴不重合，直线AP,AQ分

别与y轴交于M,N两点.求证IOMMONI为定值.

【变式7-3](2024•重庆沙坪坝•模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，双曲线

22

点啧=1(八0力>0)的上下焦点分别为耳(o,c),E(o-c).已知点(e,灼和(0,码都在双曲线上，其中

e为双曲线的离心率.

(1)求双曲线的方程；

(2)设A,B是双曲线上位于y轴右方的两点，且直线A[与直线平行，4工与8月交于点P.

⑴若1Ml-忸闾=2,求直线A/的斜率;

(ii)求证：|尸耳|+|学|是定值.

【变式7-4](2024•高三・湖北武汉•开学考试)已知椭圆C：，+，=l(a>b>0)的离心率6=白，连接四个

顶点所得菱形的面积为4.斜率为k的直线交椭圆于AB两点.

⑴求椭圆C的方程；

(2)若左=1,求|钻|的最大值；

(3)设。为坐标原点，若A,民。三点不共线，且的斜率满足心•矶=充，求证：1。4『+1。8『为定

值.

过猛试

22

1.已知斜率为2的直线/经过椭圆土+匕=1的右焦点耳，与椭圆相交于A3两点，求弦A5的长.

54

22

2.(2024•安徽蚌埠•模拟预测)已知双曲线E:5-4=l(a>0,b>0)的左顶点是A(T0),一条渐近线的方

a-b

程为y=x.

(1)求双曲线E的离心率；

(2)设直线y=与双曲线E交于点P,Q,求线段P。的长.

2

3.(2024・浙江•模拟预测)已知P为双曲线C：/-与=1上一点，。为坐标原点，线段OP的垂直平分线

a

与双曲线C相切.

⑴若点p是直线x=6y与圆f+y2=2的交点，求①

(2)求|OP|的取值范围.

221

4.已知椭圆C：2+方=1(。>。>0)的离心率为.，点A,8在椭圆上运动.当直线A3过椭圆右焦点并

3

垂直于x轴时，△OAB的面积为万(O为坐标原点).

⑴求椭圆。的标准方程；

3

⑵延长Q4到〃，使得。以=3。4,且MB与椭圆C交于点Q,若直线Q4,05的斜率之积为-7，求

4

典的值.

BQ1

5.在平面直角坐标系中，动点M到(1,0)的距离等于到直线x=-1的距离.

(1)求M的轨迹方程；

(2)尸为不在无轴上的动点，过点尸作(1)中M的轨迹的两条切线，切点为A,B；直线AB与尸。垂直(0

为坐标原点)，与无轴的交点为R,与尸。的交点为。；

(i)求证：R是一个定点；

的最小值.

6.(2024•安徽・模拟预测)已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为R过点尸且互相垂直的两条动直线分

别与E交于点A,B和点C,D,当|明=|CD|时，|的=8.

⑴求E的方程；

忻M1

(2)设线段AB,C。的中点分别为M,N,若直线的斜率为正，且/=g，求直线AB和C。的方程.

\FM\8

7.(2024•高三・广东•开学考试)已知双曲线「:二-4=1(〃>0,6>0)的离心率为理，焦距为2后.

a-b2

(1)求「的标准方程；

(2)若过点(0,-“作直线/分别交「的左、右两支于A8两点，交r的渐近线于C,。两点，求五的取值范

围.

8.(2024•河南安阳•一模)如图，已知直线/1»=氐,/2：了=-岳，〃是平面内一个动点，MA/4且MA

与乙相交于点A(A位于第一象限)，MB1/1,,且肱B与4相交于点8(8位于第四象限)，若四边形。

(O为原点)的面积为近.

2

⑴求动点M的轨迹C的方程；

(2)过点口(2,0)的直线/与C相交于P,。两点，是否存在定直线八x=f,使以PQ为直径的圆与直线？相

交于E,尸两点，且得为定值，若存在，求出。的方程，若不存在，请说明理由.

9.若点网2,⑹为双曲线C:/W=l(a,6>0)上一点，ab=l,点A为双曲线的右顶点，过点尸作直线

/交双曲线C于点Q,/于y轴相交于点8,点。为y轴上一动点，。为原点.

(1)求双曲线C的方程.

⑵若4,民£),。四点共圆.

①求sinNBOQ的值；

②若毕策=2,求直线PB的斜率.

22

10.已知椭圆C：=+々=1(°>6>0),耳(-1,0)、鸟(1,0)分别为椭圆C的左、右焦点，过尸2作与无轴

ab

不重合的直线/与椭圆交于A、8两点.当/垂直于x轴时，|AB|=3.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若点。、E分别为线段式质、耳8的中点，点加、N分别为线段AE、BO的中点.

\MN\

(i)求证：篇为定值；

(ii)设△6MN面积为S,求S的取值范围.

11.（2024・四川内江•三模）已知抛物线E的准线方程为：x=-L,过焦点厂的直线与抛物线E交于A、B

两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、。两点，直线b与抛物线E交

于M、N两点，直线。F与抛物线E交于尸、。两点.

（1）求抛物线E的标准方程；

11

⑵证明：函土国为定直

12.（2024.天津和平.二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（。>6>0）的右焦点为点E椭圆上

ab

顶点为点4右顶点为点-且满足r=

Ao7

（1）求椭圆的离心率；

（2）是否存在过原点。的直线/,使得直线/与椭圆在第三象限的交点为点C,且与直线AF交于点。，满足

3y/3\FD\=2\CD\sinZDOB,若存在，求出直线/的方程，若不存在，请说明理由.

22

13.（2024・江苏•三模）已知M为等轴双曲线「鼻-2=1（。〉0涉〉0）上一点，且M到「的两条渐近线的

ab

距离之积等于;.

⑴求「的方程；

（2）设点P在第一象限，且在渐近线的上方，A8分别为r的左、右顶点，直线PAP8分别与y轴交于点

CD.过点P作r的两条切线，分别与y轴交于点及歹（E在尸的上方），证明：|CE|=|D同.

重难点突破06弦长问题及长度和、差、商、积问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：弦长问题...............................................................2

题型二：长度和问题.............................................................3

题型三：长度差问题.............................................................5

题型四：长度商问题.............................................................6

题型五：长度积问题.............................................................7

题型六：长度的范围与最值问题...................................................8

题型七：长度的定值问题........................................................10

03过关测试....................................................................12

亡法牯自与.柒年

//\\

1、弦长公式的两种形式

①若A,3是直线y=近+相与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去y后得到一元二次方程

px2+qx+r=O,则间|=而淳.|

1\P\

②若A,8是直线〃与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去X后得到一元二次方程

py2+qy+r=Q,1+m2

题型一：弦长问题

2

【典例1-1】已知点片、尸2分别椭圆券+/=1的左、右焦点，过F?作倾斜角为|■的直线交椭圆于A、B

两点，则弦A3的长为.

【答案】逑/：0

33

【解析】椭圆与+/=：!的右焦点的(1,0),

因为直线AB的倾斜角为|■且过点区(1,0),

所以直线M：〉=xT,设A&,%),网%,%)，

y=x-l

联立f,消去y得3炉—4x=o,

一2+y，=1

4

所以玉=0,x2=-,

所以必=T,%=g，

所以A(O,-1),B

故答案为：逑

3

221

【典例1-2】已知椭圆C：斗=1(。>6>0)的左、右焦点分别为F2,离心率为不，椭圆C上点M

ab2

满足+

(1)求椭圆C的标准方程：

(2)若过坐标原点。(0,0)的直线/交椭圆C于尸，Q两点，求线段PQ长为旧时直线/的方程.

【解析】(1)依题意2。=4,解得,所以椭圆方程为上+工=1；

c2=a2-b2

(2)当直线的斜率不存在时，直线/的方程为x=0,此时|PQ|=2代，不符合题意；所以直线的斜率存在,

V£=

设直线方程为>=区，贝I」彳十7一，消元整理得(3+4〃卜2—12=。，设尸(西方)，。(%2，%)，贝IJ

一人若7=内，解

%1+X2=0,X]%=3+4女2，所以|。。|=Jl+%2+工2)—4菁工2二即

得k=±且，所以直线/的方程为y=土且x;

22

22

【变式1-1](2024.海南.模拟预测)已知双曲线C：j-2=l(a>0,6>0)的实轴长为2应，点/2,质

ab

在双曲线C上.

(1)求双曲线c的标准方程；

(2)过点尸且斜率为2娓的直线与双曲线C的另一个交点为。，求|尸。|.

【解析】(1)因为双曲线的实轴长为2夜，所以2°=2攻，解得：a=插；

又因为点尸(2,")在双曲线C上，所以彳一於=1，解得：。=病，

2b

22

所以双曲线的标准方程为：二-匕=1

26

(2)设尸(%,％),Q(x2,y2)

由题可得过点尸且斜率为2#的直线方程为：y-V6=2^6(^-2),即y=2几%-3面,

(22

1__二=]

联立，26,消去y可得：7%2—24X+20=0,

y=2A/6X-3\/6

2420

所以石+%—，

所以|尸Q|=，1+/"(网+电)2-4%电=Vl+24^y^|-4xy=y

【变式1-2]己知抛物线E:作U2刀(p>0)的焦点为“0,2).

⑴求P;

(2)斜率为2的直线过点尸，且与抛物线E交于AB两点，求线段A3的长.

【解析】(1)尸(。,2)为抛物线E的焦点，.[■|=2,解得：p=4.

(2)由(1)知：抛物线石:炉二打；

・「直线A3:y=2x+2,

[y=2x+2

・二由<2c得：—16%-16=0,

1％=8y

设A(再,乂),B(x2,y2),则玉+超=16,

/.yx+%=2%,+2+2尤2+2=2(玉+x2)+4=36,=y+%+p=36+4=40.

【变式13】已知动圆过定点(4,0),且在y轴上截得的弦长为8,动圆圆心的轨迹方程为C,已知点

厂(2,0),直线/过点尸且与轨迹C交于P、Q两点，且|PQ|=16,求直线/的方程.

【解析】如图设圆心C(x，y)，A(4,0),圆C与，轴交于M、N两点，过点C作CELy轴，垂足为E,则

\ME\=-\MN\,

2

:.\CAf=\CM|2=|MEf+\EC|2,

/.(X-4)2+/=42+X2,化为y2=8x；

即动圆圆心的轨迹。的方程为V=8x,

设直线/为y=Nx-2）,P（XQJ,Q（%,%）,联立方程得尸2寸无一2），消去y得

[y=8九

后2/一（8+4公卜+4左2=0,所以占+/=^4^，占・尤2=4,所以|「。|=%+%+。=^4^+4=16,即

KK

左2=1,解得左=±1,所以直线/为丁=尤-2或y=-x+2

题型二：长度和问题

【典例2-1】已知F为抛物线E:/=4y的焦点，过点（0,2）的直线/与抛物线E交于43两点，抛

物线E在A3两点处的切线交于点L.

⑴设尸（%,%）是抛物线E上一点，证明：抛物线E在点P处的切线方程为y=^~y0,并利用切线

方程求点L的纵坐标的值；

⑵点c为抛物线E上异于A8的点，过点C作抛物线E的切线，分别与线段AL,BL交于M,N.

⑴若LM=ALA.LN=pLB,求彳+〃的值;

(ii)证明:|网+|理+|FC|＞典|+|池|+|印|

2

【解析】（1）由题意，曲线y=—,可得y=3,则

422

点P（&,y。）处的切线方程为y=+（x-x0）+%，即y=%x-互+%,

222

因为片=4y0,代入可得＞=

设A®，yJB（无8，%），工（无，比），

fv—_|_2

联立方程组J,，整理得尤2-4日-8=0,可得无也=-8,

［尤=4y

又由切线方程可知，抛物线在点A3处的切线分别为y=^-x-yA,y=^-x-yB,

消去N可得々/，消去x可得(乙-4方=/力-/%，

即为=XA%-XB%=一芯-乙/=VB=_2

£

xB-xA4(XB-XA)4

(2)⑺设C&,yc),M(XM,%),N"yN),

由⑴可知迤，号:三广,N]美旦，甘)，

,^.―卜xc-xB(XA+xB>xc-xB

由LM=ALA可知一--=2XA-------|n2=------,

212)xA-xB

,一心Xc-x.(xA+xB\xc-x.

由LN=uLB可知c=〃XB--=>〃=——--

2I2)Xpf

故X+〃=CB।C———■———，)-1.

XA~XBXB~XAXA~XB

⑺由抛物线性质可知，|£4卜力+1二反『，同理忻.二为『,|尸。|二号^,

又附=&+(%-1)2=J[XA；XB[=1#；+4胸+4),

同理可得，忻闾=+4卜江+4),回|=；J(小+4卜Y+4),

由均值不等式可知，

闸+阀二号+%422J.+1了+4)=;#；+4)(另+4)=2肛|，

同理|刑+但。22|府|,|冏+怛。|22|敬|,

但取等条件X；=说，说=XC9XA=XC不同时成立,

因此|刚+|阳+归q＞［四+|耐|+|两|,证毕.

【典例2-2】（2024.高三.河北承德•开学考试）已知VA3c的内角A,氏C的对边分别为面积为

9班,c=6,且sinAsirLB=sin2c.

（1）证明：VABC为等边三角形；

⑵设B4的延长线上一点。满足AD=2,又平面内的动点尸满足=求

|CP|+|DP|的最小值.

【解析】（1）因为sinAsinB=sii?C,由正弦定理得用;。之,。不是最大边，

面积S=!a6sinC=1x36xsinC=94,所以sinC=走，Ce（0,工］，所以C=工，

22212）3

由余弦定理/=a~+b~-2abcos—，化简得36=a2+Z?2—36,a2+b2=72,

a2+b2—=（。一人J=72—2x36=O,aZ?=36,

所以。=6=6=c,

所以VABC是等边三角形.

（2）如图建系3（0,0），a3,36）,A（6,0）,r>（8,0）,

设点P（x,y）,当无V6时，

因为Z.PBA=2./PAR,所以tanZPBA=tan2ZPAB,tanZPBA=—,tanZPAB=,

x6—x

2「22

所以;=/6-x化简得区4）一£=］,其中尤V6,

*1.上412

<6-xJ

当x=6时，y=0,因为NPABwO,则此时不合题意，则x<6,

当y=0时，x=2,因为/PABAO,则此时不合题意，则x<2,

因为回宜一M=1是由双曲线看一t=1向右平移4个单位得到的，

412412

22

易知双曲线亍-4=1的焦点坐标为（±4,0）,则平移后焦点坐标为（0,0）和（8,0）,

作出双曲线（X-4）［M=I，x<2的图象如图所示：

412

根据双曲线定义知\DP\-\PB\=4,则R尸卜附+4,则3+叩=|叩网+42侬+4=10,

当且仅当GRP三点共线时取等号，

当x>6时，此时NPBA<90,ZPAB>9Q，故此时不可能满足NPA4=2NR4B,舍去；

综上所述|CP|+|OP|的最小值为10.

22

【变式2-1](2024•宁夏银川・银川一中校考一模)如图所示，由半椭圆G：?+a=i(yv。)和两个半圆

2

c2:(x+l)+f=l(y>0),<:(x-iy+y2=i(ywo)组成曲线C：p(x,y)=o,其中点A，4依次为C1的左、

右顶点，点8为Cj的下顶点，点与工依次为C]的左、右焦点.若点居，外分别为曲线C”C3的圆心.

⑵若过点月,F2作两条平行线//分别与CPC2和G，C3交与M,N和P,Q,求\MN\+\P^的最小值.

【解析】(1)由两圆的方程知：圆心分别为G(TO),C2(l,0),即可(TO),月(1,0),

22

,-.b2+l=4,解得：从=3,.•.G：,+q=i(y4。).

(2)由题意知：|MM+|P0=|孙I+P闾+2；

22

Q"4，••・由对称性可知："%|+|尸月|为椭圆：+]=1截直线4的弦长，

22

设4：X=的+1,其与椭圆2+]■=：!交于点(孙珀和(入2,%)

x=my+1

由V2得:（3根2+4）J+6my-9=0

——+—=1

143

6m9

x+%=—n—，y%=—5—，

123%2+4123m2+4

2

，M耳I+「闾=J1+苏-^yl+y2)-4y,y2=?

5m+4=4-高

当加=0时，|町|+|尸局取得最小值4-1=3,，|MN|+|PQ|的最小值为3+2=5.

【变式2-2］（2024・河南安阳・安阳一中校联考模拟预测）定义：一般地，当几＞0且时，我们把方程

22