2025年中考数学复习：二次函数对称性、增减性、最值问题综合练习

二次函数对称性、增减性、最值问题综合练习

考向1对称轴确定求最值或取值

方法突破练

1.已知二次函数y=%2-4x+c,当-14%43时,求y的取值范围(用含c的代数式表示).

2.若P(m,n)和Q(5,b)为二次函数y=-4ax+式。<0)图象上的两点，且九>h，求m的取值范围.

22

3.已知抛物线y=-2x+4nx-4n(n为常数)，一元二次方程-2x+4nx-4n=一2的两个根分别为xlfx2,S.

满足以-物|=4-2九,，若P(a,b)为抛物线上一点，则当-24a42时,求b的最大值.

4.已知二次函数y=-%2-4%+5,当m<x<m+3时，求y的最小值（用含m的代数式表示）.

5.已知二次函数y=ax2-4ax+55)0),当(0<%<n时,5—4aVyW5,求n的取值范围.

6.已知二次函数y=ax2-2ax+a-2（a>0）,当tW久Wt+2时，二次函数的最大值与最小值的差为2,求a

的取值范围.

设问进阶练

例在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2-4ax+3a-l（a丰0）.

（1）若a<。，当mWxWm+22时，求y的最大值（用含a,m的代数式表示）；

⑵当2<x<5时，y的最大值为5,求a的值；

⑶若a=1,当tWxWt+1时，y的最大值是m,最小值是n,且爪-n=3,,求t的值.

综合强化练

1.已知抛物线y=%2-(/c+l)x+/c2-2与直线y'-x+3k-2的一^交点A在y轴正半轴上.

⑴求抛物线的解析式；

(2)当mWxWrn+l时，求丫的最小值(用含m的式子表示)；

⑶若B(3n-4,g),C(5n+6,及)为抛物线上在对称轴两侧的点，且人>W,求n的取值范围.

答题区

备用困②

2.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax?+.+c（a丰0）.

（1）若该抛物线的对称轴为直线x=-1,且c=a-2,求该抛物线的顶点坐标；

⑵在⑴的条件下，当-2WxW2时，y的最小值为-4a,求a的值；

（3）创新题代数推理若（a+b+c=0,a>b>c,,抛物线经过点（（p，—a）,当x=p+4时，求证：ax2+bx+

c>0.

作图区答题区

备用图②

考向2对称轴不确定求最值或取值

-阶方法突破练

1.已知抛物线y-x2-2mx+m2+2,当-1WxW1时，求y的最小值（用含m的式子表示）.

2.已知抛物线y=-x2+bx+5（b>4）,当0W久W4时，函数值y的最大值满足.5<y<17,求b的取值范围.

3.已知抛物线y=-4x2+4nx-4n-n2（n是常数），当（0Wx<1时，函数y有最小值.一5,求n的值.

设问进阶练

例在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2-2tx+1.

⑴力(3,%),B(7,治)是抛物线上的两点，若%＞乃,求t的取值范围；

(2)P0i，%),Q3，y2)是抛物线上的两点，若对于-1＜心＜3且%2=3,都有yi＜y,求t的取值范围；

(设问源自2022北京师大附中四模)

(3)将抛物线向右平移1个单位得到新抛物线，M(t+3%),N(2t-4，发))是新抛物线上的点，且均满足以＞

、2,求t的最大值.

综合强化练

1.已知二次函数y=(ax-1)(、-a)(a是常数，且(aH0).

⑴当a=2时，试判断点(-|，-5)是否在该函数图象上；

(2)当3-1＜xW三+1时，y随x的增大而减小，求a的取值范围；

-,

(3)若点P(%iyi),Q(x2y2)(^i＜久2)为该二次函数图象上的两点，且对于Xi+%2=4时，都有力＞外，求a

的取值范围.

作图区答题区

备用困②

2.已知抛物线y=mx2-(2m-l)x+m(m丰0)始终过定点.

(1)求定点的坐标；

(2)若当2W%W5时，y的最大值为2,求m的值；

(3)创新题•代数推理材料阅读：在一元二次方程ax2+bx+c=0(a丰0)中，由求根公式可得:=

三/=土等也;则可得：与+盯=-巳/4=?.运用上述材料中的方法解决下面的问题：

抛物线y=mx2-(2m-l)x+根不经过第二象限，且经过点((-3加m)，，若一元二次方程mx2-(2m-1)%

+m=0的两根分别是a,b,求证.=18.

谈缪bl+3ab+a

作图区答题区

备用图①

备用图②

3.创新题•阅读理解题在y关于x的函数中，若（0W久W1时，函数y有最大值和最小值，分别记为ymax和y

2

min,且满足0，则我们称函数y为“最值函数”.已知二次函数y=%-2mx+c（m,c为常数）.

⑴当m=l,c=3时，判断该二次函数是否为“最值函数”，并说明理由；

⑵若爪=决寸，该二次函数为“最值函数”，求c的取值范围；

⑶若c=l时，该二次函数为“最值函数1求m的取值范围.

答题区

备用图②

考向1对称轴确定求最值或取值范围

一阶方法突破练

1.解:,「a=l>0,

，该二次函数的图象开口向上，

二次函数的图象开口向上，距离对称轴越远的点函数值越大.

如解图,对称轴为直线x=2,-1<2<3,对称轴在区间内，

，该二次函数在x=2处取得最小值，最小值为c-4,

.,.当x=-l时二次函数取得最大值，最大值为c+5.第1题解图

.,.c-4<y<c+5.

2.解：由题意得，二次函数图象的对称轴为直线久=-于=2；点Q(5,b)在对称轴右侧,

.a<0，.二次函数的图象开口向下，分两种情况讨论，如解图，

①若点P在对称轴右侧(或为顶点)，即mN2,ra<0,，在对称轴右侧v随着x的增大而减小，•.•n>b/.m<5,，24

(-l,b)m<5;

②若点P在对称轴左侧，即m<2,由对称性可知

.n>b,且在对称轴左侧y随x的增大而增大,

综上所述，m的取值范围为

3.解:抛物线y=—2x2+4nx-4n,

抛物线的对称轴为直线%=-并方=%且抛物线恒过(L-2),

一元二次方程-2—+4nx-4n=-2的两根之和为-胃=2九,

一元二次方程的两根分别为=lfx2=2n-1,

*/lx1-x2|=4-2n/.'.|l-2n+l|=4-2n,

:2-2n=4-2n(舍去)或2n-2=4-2n,「.n二|,

・二抛物线解析式为y=-2x2+6x-6,

•••—2<0,:抛物线开口向下，

当)<|时，y随x的增大而增大,

当久〉用寸，y随x的增大而减小，

••点P(a,b)在抛物线上，

.,.当a=|时，b有最大值，最大值为-1.

4.解:；二次函数y=—x2—4%+5=—(%+2)2+9,

二二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=-2(求出对称轴)，

,当m>-2时厕当x=m+3时(区间在对称轴右侧)，y有最小值为—g+3)2-4(m+3)+5=-m2-10m-l

当m<-2<m+3时，即-5<m<-2时.

由于抛物线开口向下，当对称轴位于区间内时，离对称轴越远的点，y值越小.

若m+3-(-2)N-2-m,即一(Wm<-2时，当x=m+3时，y有最小值为一爪2_10m-16；

若m+3-(-2)<-2-m,|BP-5<m<一：时，当x=m时,y有最小值为y=—m2—4m+5;

当m+34-2,即m«-5时，当x=m时(区间在对称轴左侧)，y有最小值为y=-m2-4m+5；

综上所述，当m2时，y的最小值为-m2-10m-16;当m时，y的最小值为-爪2_4nl+5.

5.解：由题意得二次函数y-ax2-4ax+5=a(x-2)2-4a+5(a>0),.,.如解图，该二次函数图象开口向

上,对称轴是直线x=2,当x=2时，该函数取得最小值-4a+5,

•.•当0<x<n时,5-4a4y45,最小值在顶点处取得，即降2,当x=0,y=5是最大值面对称性可知x=4时,y=5,

即n<4,

.■n的取值范围为2<n<4.

6.解:・*>0,抛物线对称轴为直线x=L

顶点坐标为(L-2),

①当t+2<l,gpt<-l时，当x=t时,y的值最大，当x=t+2时,y的值最小，

(at2-2at+CL-2)—[a(t+2)?—2a(t+2)+a—21=-4at=2,•1•a=——,t<一1,•1•a<—;第5题解图

②当t<l<t+2,且t+2-lwl-t,即-1<仁0时，当x=t时，丫的值最大，顶点处y的值最小，

(at?-2at+ct—2)一(—2)=2,a=~—

1

-1Vt<0,3Va<2;

③当t<l<t+2,且t+2-l>l-t,即0<t<l时当x=t+2时，y的值最大，顶点处y的值最小,

ci(t+2)2_2,ct(t+2)+a_2—(—2)—2,ct—(七+]/，

1

/.0<t<1,A-<a<2;

2

④当t>l时，当x=t+2时,y的值最大，当x=t时,y的值最小，

+2)2-2tz(t+2)+a-2-(at?-2at+a-2)=2,

a=t>1,a<-

•••2t2

综上所述，a的取值范围为0<a<2.

二阶设问进阶练

例解：(1);抛物线y=ax2-4ax+3。一1,aV0,

••.抛物线开口向下，对称轴为直线x=2,

:①当m+2<2时，则x=m+2时,y取得最大值，最大值为y=a(m+2)2-4a(m+2)+3a-1=am2-a-1;

②当m<2<m+2时厕x=2时,y取得最大值，最大值为y=4a-8a+3a-l=-a-l;

③当m>2时，则x=m时，y取得最大值，最大值为y=am2-4am+3a-1;

(2)二•抛物线的对称轴为直线x=2,

」•区间2<x<5在对称轴的右侧，分a>0和a<0两种情况：

①当a>0时，如解图①，在2<x<5区间,y随x增大而增大,

，此时y最大值在x=5时取到，即5=25a-20a+3a-l,解得a=：;

4

例题解图

②当a<0时，如解图②，在2<x<5区间,y随x增大而减小，，此时y最大值在x=2时取到，即5=4a-8a+3a-

L解得a=-6,

综上所述，a的值为|或-6;

(3)；a=l,.,.抛物线y=x2-4x+2,

，抛物线的开口向上，对称轴为直线x=2,

①当t+l<2即t<l时，区间t<x<t+l在对称轴的左侧，y随x增大而减小，

••y的最大值是当x=t时，即爪=t2-4t+2,

则y的最小值是当x=t+l时，即71=Q+1)2-4(t+1)+2=t2-2t-1,

---Tn.—n—3,I?一4t+2—(t?一2t—1)-3,解得t=0；

②当t<2,t+l>2,2-t>t+l-2,gp1Wt<|时，对称轴在t<x<t+l区间内,

1•当x=t时离对称轴较远，取得最大值，

■y的最大值是m=t2-4t+2,最小值是n=-2,

­.m-n=3,

生+2—2)=3,解得t=2±-(舍去);

③当t42,t+lN2,2-t<t+l-2,即|<tW2时，对称轴在t<x<t+l区间内，

1•当x=t+l时离对称轴较远，取得最大值.

-7的最大值是rn.=t2-2t-1,最小值是n=-2,m-n=t2-2t-1-(-2)=3,解得t=1±百(舍去)；

④当t>2时，区间t<x<t+l在对称轴的右侧,y随x增大而增大，

.■.y的最大值是当：x=t+l时，即.m=t2—2t-1,最小值是当x=t时，即n=t2-4t+2,

=(H-4t+2)=3,解得t=3；综上所述，t的值为0或3.

三阶综合强化练

1.解：(1),.抛物线y=x2-(k+1)%+k2-2与直线

/=x+3k-2的一个交点在y轴正半轴上,

二当x=0时,y—k2—2,y—3k—2,令k2—2=3k—2,

解得k=3或k=0(不合题意，舍去)，

，抛物线的解析式为y-X2-4%+7;

(2)由(1)得，抛物线的对称轴为直线x=2(求出对称轴)，

当m+l<2,即m<l时(对称轴在区间右侧)，当x=m+l时，y取得最小值，最小值为y=(m+1产-4(相

+1)+7=m2—2m+4;

当m<2<m+l,BPl<m<2时(对称轴在区间内),此时，当x=2时，y取得最小值，最小值为y=22-8+7

=3;

当m>2时，此时，当x=m时(对称轴在区间左侧)，y取得最小值，最小值为y=m^-4m+7；

(3)【思路点拨】分点B在对称轴左侧，点C在对称轴右侧和点B在对称轴右侧，点C在对称轴左侧两种情

况讨论.

如解图①，若点B在对称轴的左侧，点C在对称轴的右侧时，由题意得之;瓣得Y<n<2,

；yi>y2,，2-(3n-4)>5n+6-2,解得n<^,

，n的取值范围为一

如解图②，若点C在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧时，由题意得7京该不等式组无解.

综上所述，n的取值范围为-<n<；.

54

2.⑴解:•.抛物线的对称轴为直线x=-l,

---2-a-=—1,b=2.CL,

,.,c=a-2,.,.抛物线的解析式为y=ax2+2ax+a-2=a(x+1)?-2(a力0),

，抛物线的顶点坐标为(-L-2);

(2)解：当a>0时，抛物线开口向上,

由(1)知，抛物线的对称轴为直线x=-l,

二当x=-l时,y取得最小值，

，a-2a+a-2=-4a,解得a=*

当a<0时，抛物线开口向下，对称轴在区间内，抛物线开口向下，离对称轴越远的点，y值越小.

.•.当x=2时,y取得最小值，

」.4a+4a+a-2=-4a,解得a=卷舍去);(综上所述，a的值为-1

⑶证明：抛物线y=ax2+bx+c经过点(p,-a),

.­.ap2+bp+c+a=0.p为方程ax2+bx+c+a=。的根,

A=b2-4a(a+c)>0,

•.a+b+c=0,/.b=-a-c,

A=b2—4a(—6)=b(b+4a)=b(3a—c)>0

.•a>b>c,/.a>0,c<0,.,.3a-c>0,..b>0,

・P为方程ax2+bx+c+a=0的根,a+c=-b,

-b->Jb2+4ab.-b+>Jb2+4ab

...n=---------------:或

L2ap=2a

22

当x=p+4时,y=a(p+4)+b(p+4)+c=(ap+bp+c+a)+8ap+15a+4b=8ap+15a+4b,

-b-y/b2+4ab

若P=2a

2

-b-y/b+4ab,.-,.,.-.;~~:~r

贝!]y=8a•)2

------2-a-------F15a+4b=15a—4vZ+4ab.

a>b>0,Z)2+4ab<a2+4a-a=5a2,

即7b2+4ab<V5a,—Zb2+4ab>—4V5a,

•••y>15a-4V5a=(15—4^5)a>0;

22

士上-b+y/b+4abm.ic-b+y/b+4ab

右P二—五—，则y=8a—五—+15a+46=15a+47b2+4ab>0.

综上,满足题设条件时ax2+bx+c>0.

考向2对称轴不确定求最值或取值范围

一阶方法突破练

1.解：由题意得，抛物线开口向上，对称轴为直线x=-£=犯(求出对称轴的表达式)

将区间以对称轴为临界，

如解图中九当m<-l时，在-14X41范围内v随x的增大而增大，\\I，/”,

如解图中yz,当时，对称轴处于区间内，\\w/

二当x=m时,y取得最小值，即y殓=2；

如解图中丫3,当m>l时，在-14X41范围内y随x的增大而减小，屋窑图)

二当x=l时，y取得最小值，即y次=机2—2m+3.

综上所述，当m<-l时,v的最小值为而+2m+3；当时,y的最小值为2;当m>l时,y的最小值为

m2—2m+3.

2.解：•.抛物线的对称轴为直线x=-双匕=p

，当b>4时,对称轴%=1>2,

当24时，即44b48,

•--1<0,抛物线开口向下，此时对称轴在24X44

内,.•.当％=软寸，y取得最大值，

•••y“=-匹+好+5=犬+5,即53廿+5W17,

'R水4244

解得0WbW4V3,4<b<4V3;

当对称轴x=1>4时，即b>8,

此时在0<x<4时，y随x增大而增大，

，当x=4时,y有最大值，

.-y最大=-16+4b+5=4b-ll,

即544b-11417,解得44b47,

,；b28〃,不合题意,舍去.

综上所述，b的取值范围为4<b<4V3.

3.解：由题可得，抛物线开口向下，对称轴为直线X=今

分以下情况讨论：①当对称轴x=l<0,即n<0时在0<x<l范围内,y随x增大而减小，当x=l时,y取最小

值，

—4+4n—4n—n2=-5.

解得ri!=-l,n2=1（不合题意，舍去）；

②当即04n42时，

当对称轴靠近左端点时，即］<1-,0<兀<1,

当x=l时,y取最小值，

—4+4n—4n—n2=—5,

解得n3=-1（不合题意，舍去），n4=1（不合题意，舍去）；

当对称轴靠近右端点时，即三>1-条1<nW2,当x=0时,y取得最小值，

—4n—n2——5,

解得715=-5（不合题意，舍去），皿=1（不合题意，舍去）；

当对称轴位于区间中间时，即］=1-表几=1,

当x=0或1时，取得最小值，

—4+4n—4n-n2=一5或—4n—n2=-5,解得n=l；

③当对称轴%=^>1,即n>2时在04X41范围内，y随x增大而增大，

，当x=0时,y取最小值，

—4n—n2=—5,

解得n,=-5（不合题意，舍去），…1（不合题意，舍去）；

综上所述，n的值为1或-1.

二阶设问进阶练

例解：（1）1.抛物线解析式为y=%2-2tx+1,

抛物线的对称轴为直线X=t.

•.•a=l>0,A(3,yi),B(7,y2)在抛物线上,yi>y?抛物线开口向上，距离抛物线对称轴越远的点，y值越大.

①当点A,B在对称轴两侧时，即3<t<70^,-.yi>y2,--t-3>7-t,.-.5<t<7;

②当点A,B在对称轴同侧时，

•,3<7,y1>y2,y随x增大而减小，

综上所述，t的取值范围为t>5;

(2)1•抛物线开口向上，对称轴为直线xx=t,-14Xi<3,且X2=3,

，点Q为区间的右端点,

,如解图,当t<-l时，结合函数图象可得，对于-1<Xi<3且M=3,都有月<y2;

当时，要使对于-1<Xi<3且x2=3,都有yi<y2,

，对称轴直线X=t靠近区间左端点P,解得tW芳=1,

,当时，对于-1<X!<3且=3,都有yi<y2;

当也3时，不符合题意.

综上所述，t的取值范围为t<l；

(3)1•原抛物线开口向上，且对称轴为直线x=t,

，平移后抛物线开口向上，对称轴为直线x=t+l,

二点M位于对称轴的右侧.

-yi>刃,如解图,

①当点Ni在对称轴右侧，且在点M左侧(包括点M)时，满足条件"NtYX+L且2t-44+3,解得5<t47;

②当点N2在对称轴左侧，且距对称轴的距离小于或等于点M到对称轴的距离时，满足条件，

.,.2t-4<t+l,

且t+L(2t-4)4t+3-(t+l),解得3<t<5,

③当点N3在抛物线顶点处时,力>yz恒成立，此时,2t-4=t+L：t=5.

综上所述，t的取值范围为3<t<7.

..t的最大值为7.

三阶综合强化练

1.解:⑴点(一?-5)不在该函数图象上，理由如下：当a=2时,二次函数的解析式为y=(2x-l)(x-2),当%=

后时,y=[2x(_A1](_»2)=5不-5,

•,点(-段-5)不在该函数图象上；

(2)【思路点拨】求出二次函数对称轴，分a>0,a<0两种情况，再根据二次函数的增减性求解即可.

令y=0,解得=i,x2=a,

二二次函数y=(ax-l)(x-a)的图象与x轴交于(扣),(a,0)两点

，对称轴为直线久=空，

2a

当a>0时，函数图象开口向上，

•・当与-1wXq+1时，y随X的增大而减小,

■­.对称轴在区间右侧，

—>-+1,.-.a0<a<i;

2a222

当a<0时，函数图象开口向下，

•.•当合1w%V+1时，y随x的增大而减小,

二对称轴在区间左侧，

a2+la.、11,一八

1,.-.a>a<0;

综上所述，a的取值范围为一/a<0或0<a号；

(3)【思路点拨】临界情况为P,Q在对称轴两侧，根据二次函数图象的开口方向和大小及y的大小关系判断

点P,Q离对称轴的远近求解即可.

由(2)得二次函数图象的对称轴为直线X=小，

当a>0时，抛物线开口向上，如解图①，

若点P1,Q'位于对称轴两侧，且点P'在点Q'的左侧，当月="时，

a2+l%i+%2仁

--2-a-=---2--=2,

1•,Xi+x2=4时,都有y2>y2,

二点Q'距对称轴的距离小于点P'距对称轴的距离，，若>2,

a>2+g或0<a<2—V3;

若点P",Q"都位于对称轴同侧，

,•1Xi+x2=4时，者B有yr>y2,

••.P",Q"两点都在对称轴的左侧，

—>2,

2a

第1题解图

当a<0时，抛物线开口向下，如解图②，

若点P1,Q'位于对称轴两侧，当力=yz时,警=弩=2.

Xi+x2=4时，都有yi>y2,

，点P'距对称轴的距离小于点Q'距对称轴的距离，，生<2,a<0;

若点P",Q"都位于对称轴同侧，

•••Xi+x2=4时，都有Yi>y2,.〔P",Q"两点都在对称轴右侧，甯<2,a<0,

综上所述，a的取值范围为(a>2+遮或0<a<2-百或a<0.

2.(1)解:1,抛物线y=mx2—(2m—l)x+m=mx2—2mx+x+m=m(x?—2x+1)+x,

若抛物线始终经过定点，则此时与m的取值无关，.・・久2-2x+1=0解得X]=X2=1,.当X=1时,y=l,..・定点

的坐标为Q,l)；

(2)解:...抛物线y=mx2—(2m—l)x+m(mW0),

2m-l

，抛物线的对称轴为直线%=--(2m-l)_

2m2m

・:对称轴与区间的位置关系不确定，

，分情况讨论：①当喋W2时，

(i)当m>0时，抛物线开口向上，区间在对称轴右侧,此时在x=5时,y取得最大值，即2=25m-5(2m-l)+m,解

得m=一看舍去)；

(ii)当m<0时，抛物线开口向下，区间在对称轴右侧，

此时当x=2时,y取得最大值即2=4m-2(2m-l)+m,解得m=0(舍去)；

②当2<乎w5时，即-2<爪W-去抛物线开口向下，对称轴在区间内，此时在对称轴处取得最大值，即

2m28

*也H=2,解得巾=白

③当学〉5时，即-?<爪<0,抛物线开口向下，区间在对称轴左侧，此时在x=5时，y取得最大值，即

Z771o

2=25m-5(2m-l)+m,解得m=—盘(舍去》综上所述，m的值为V；

lo4

(3)证明：,抛物线y=mx2-(2m-l)x+7n不经过第

二象限且经过定点(1,1),

•・抛物线开口向下，m<0z

把(-3m,m)代入y=mx2—(2m—l)x+m,

m

解得rnr=-l,m2=](舍去),3=。(舍去)

一元二次方程为——+3%-1=0,整理得X2—3x+1=0.

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