2025年新高考数学一轮复习：等差数列及其前n项和（十大题型）（练习）（学生版+解析）

第02讲等差数列及其前n项和

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：等差数列的基本量运算...................................................2

题型二：等差数列的判定与证明...................................................2

题型三：等差数列的性质.........................................................3

题型四：等差数列前n项和的性质.................................................3

题型五：等差数列前n项和的最值.................................................4

题型六：等差数列的实际应用.....................................................4

题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论...........................................5

题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题.........................................6

题型九：利用等差数列的单调性求解...............................................7

题型十：等差数列中的范围与恒成立问题...........................................7

02重难创新练..................................................................8

03真题实战练.................................................................43

//

题型一：等差数列的基本量运算

1.(2024・四川绵阳•模拟预测)已知首项%=-6的等差数列｛4｝中，a；=a3a6,若该数列的前“项和S“=0,

则”等于()

A.10B.11C.12D.13

2.等差数列｛4｝的前"项和为S,,若85=50,a5=l,则0=()

7

A.-2B.-C.1D.2

3

3.(2024・河北•模拟预测)已知S“是等差数列｛凡｝的前〃项和，若％=3,醺=25,贝()

A.1B.2C.3D.4

4.(2024・陕西商洛•模拟预测)已知等差数列｛%｝满足％+%=M,且%-%=8,则首项/=()

A.1B.2C.3D.4

题型二：等差数列的判定与证明

5.已知数列｛4｝满足：4=1,%=4,all+2=2an+1-an+2.

(1)证明：｛%”-/｝是等差数歹!I,并求｛见｝的通项公式；

(2)设2=。“+与,若数列也,｝是递增数列，求实数k的取值范围.

6.数列｛4｝的前"项和为S“，且4=1,当〃22("eN*)时，(〃-+=；(/_〃).

⑴计算：％，。3；

（2）证明，刀|不，为等差数列，并求数列｛%｝的通项公式；

7.（2024・高三.山东济宁.开学考试）已知各项均为正数的数列｛%｝中，S“为｛凡｝的前"项和,

q=2,ga3=S“M+S„.证明：数列｛4｝是等差数列；

8.（2024.高三.山东.开学考试）记数列｛4｝的前"项和为S”,己知%=3,"a"+i=2S“+3”.证明：an+2+an=2an+l；

题型三：等差数列的性质

9.（2024.辽宁抚顺.三模）已知数列｛4｝的前〃项和为S,，若a“=M+l,%o=21,贝豚=,品=.

10.（2024・陕西•模拟预测）已知等差数列｛4｝中，%+2延=3,则%=.

题型四：等差数列前n项和的性质

11.（2024•陕西西安•模拟预测）已知等差数列｛%｝和他,｝的前〃项和分别为S“和?；，且争=，!，则

a3_

瓦=------

12.已知等差数列｛“,也｝的前"项和分别为\工，且?=乐|，贝=.

13.设S,是等差数列｛端的前“项和，S10=16,S]00fo=24,则$0=.

题型五：等差数列前n项和的最值

14.(2024.四川南充.三模)设为S,等差数列｛4｝的前〃项和，已知'、名、S’成等比数列，邑=2q+2,

当6q,-S“取得最大值时，n=()

A.6B.7C.8D.9

15.若｛4｝是等差数列，s〃表示｛q｝的前〃项和，%+a>°，S9<°，贝iJ｛sj中最小的项是()

A.S&B.S5C.S6D.S7

16.(2024・四川自贡•三模)已知数列｛4｝的前项和为S,,且S1).

(1)证明：数列｛4｝为等差数列；

⑵若%,a9,与成等比数列，求S“的最大值.

17.在等差数列｛4｝中，已知：%=-3,11%=5您.

(1)求数列｛4｝的公差及通项公式；

(2)求数列｛«„｝的前”项和S”的最小值，并指出此时正整数"的直

18.记S“为等差数列｛□"｝的前”项和，已知为=T8,S,=5a6.

(1)求｛为｝的通项公式；

⑵求S”的最小值.

题型六：等差数列的实际应用

19.(2024・山西•模拟预测)干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、

丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干

支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”

起,比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开

始，即“甲戌”、"乙亥”，之后地支回到“子''重新开始，即“丙子”，…，依此类推.已知2024年是甲辰年，

则2124年为（）

A.丁辰年B.癸未年C.甲午年D.甲申年

20.（2024・湖南•二模）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5

码为公差排列成等差数列.有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，

张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸.几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标

记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677

码.现在问题是，另外一个缺货尺寸是（）

A.28码B.29.5码C.32.5码D.34码

21.（2024・四川达州•一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物

不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多

少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2

个.这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则

前5个数的和为（）

A.189B.190C.191D.192

22.（2024・高三・上海•开学考试）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、

乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥.天

干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支

由“子”起,例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天

干回到“甲''重新开始，即“甲戌”，"乙亥”，然后地支回至厂子''重新开始，即“丙子”…，以此类推.2024年是

甲辰年，高斯出生于1777年，该年是（）

A.丁酉年B.丁戌年C.戊酉年D.戊戌年

题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论

23.（2024・山东威海•一模）已知数列｛凡｝的各项均为正数，记S,为｛4｝的前〃项和，且2s“=。”2+%.

（1）求数列｛氏｝的通项公式；

（2）记cn=（-1）"anan+l,求数列｛cj的前〃项和力,.

24.(2024.黑龙江.三模)已知等差数列｛4｝的公差d>0,4与W的等差中项为5，且44a6=24.

(1)求数列｛/｝的通项公式；

%,〃为奇数，

⑵设a=，'1，”为偶数，求数列也｝的前20项和火

、anan+2

25.(2024・山东.模拟预测)已知等差数列｛4｝的前"项和为S"，《=%=3且56-53=27,数列匕｝满足

[2c,/是偶数，、几人

G+i是奇数,‘设

(1)求｛%｝的通项公式，并证明：〃用=2以-3；

(2)设乙=an(bn-3),求数列｛/,｝的前"项和Q,.

题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题

26.(2024.全国•模拟预测)已知等差数列｛4｝冯=-10,记S,为｛4｝的前/1项和，从下面①②③中再选取

qq

一个作为条件，解决下面问题.①2%+/=0；②Su=-55；③方一点二？.

⑴求S“的最小值；

⑵设｛同|｝的前耳项和为求务.

27.(2024.湖南.二模)记S”为等差数列｛4｝的前“项和，514+S8=18,的+%=°.

(1)求数列｛q｝的通项公式；

100

⑵求⑷的值.

k=\

28.（2024・辽宁大连•模拟预测）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，其中%=-10,S6=-42.

（1）求数列｛4“｝的通项；

⑵求数列｛|。』｝的前”项和为3,•

题型九：利用等差数列的单调性求解

29.（2024•高三•山东淄博•期末）设S“为等差数列｛4｝的前几项和，贝IJ“对w/zeN*,4什1>%”是

>（”+i）s“”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

30.（2024.吉林白山.模拟预测）若等差数列｛凡｝的前"项和为S“，且满足S4043〉0，S4044<0,对任意正整数

”,都有同N⑷，则为的值为（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

31.已知S,是等差数列｛4｝的前"项和，且%>0，%+%<°则（）

A.数列｛4“｝为递增数列B.^<0

C.S,的最大值为aD.S14>0

题型十：等差数列中的范围与恒成立问题

32.（多选题）（2024・高三.黑龙江哈尔滨•期中）已知S,是等差数列｛4｝的前"项和，且%>0,%+%<0,

则下列选项正确的是（）

A.数列｛4｝为递减数列B.4<0

”的最大值为S7

c.sD.5I4>0

33.（多选题）公差为d的等差数列｛4｝的前"项和为S“，若S2023<S2021<S2022,则下列选项正确的是（）

A.d>0B.%<0时，"的最小值为2022

C.S,有最大值D.S,〉0时，”的最大值为4043

34.（多选题）已知数列｛4｝的前"项和S"=/，b,=（-l）"a,a,+i，数列也｝的前〃项和。满足7；>苏-2”对

任意aeN*恒成立，则下列命题正确的是（）

2

A.=2/7-1B.当场为奇数时，Tn=-3n+2n-2

2

C.T2n=Sn+4nD.f的取值范围为（r»,-2）

1.（2024•陕西西安.三模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且

只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第”堆有”层共S“个球，

20

第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，.…已知邑o=154O,则（）

0=1

A.2290B.2540C.2650D.2870

2.（2024广东东莞•模拟预测）等差数列｛q｝和等比数列出｝都是各项为正实数的无穷数列，且4=伉，出=用,

｛。“｝的前”项和为S"，｛〃｝的前"项和为T,，下列判断正确的是（）

A.｛%｝是递增数列B.｛4｝是递增数列

C.Sn>TnD.Sn<Tn

3.（2024•山西阳泉•三模）已知等差数列｛%｝中，的是函数/（x）=sin（2x-*）的一个极大值点，则tan（%+a9）

的值为（）

A.当B.73C.土币D.-73

4.（2024・浙江•模拟预测）已知实数a,b,c构成公差为1的等差数列，若abc=2,b<0,则d的取值范

围为（）

A.卜8,-6）u[括,+8）B.（-oo,-2）u[2,+<»）

C.卜8,-石）。[6,+8）D.（-00,-3）O[3,+00）

5.（2024•浙江•三模）已知等差数列｛a“｝的前〃项和为S”，“2网=。”是"S,=邑047一"（"<4047,〃€N）”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（2024•青海海西•模拟预测）前〃项和为S“的等差数列｛4｝中，若56-其=18,则%=（）

A.6B.7C.8D.9

7.（2024.内蒙古呼和浩特二模）已知函数/（"=3忖-2],公差不为。的等差数列｛叫的前〃项和为S.，

若〃％012）=/（%013），则$2024=（）

A.1012B.2024C.3036D.4048

8.（2024•四川攀枝花•三模）数列｛a.｝的前，项和为S“，4=-1,%,=S“+〃（"l）（〃eN*）,设2=（-1）%,

则数列也｝的前51项之和为（）

A.-149B.-49C.49D.149

9.（多选题）（2024.山西吕梁.三模）已知等差数列加,｝的首项为4,公差为d,前〃项和为S“，若几<醺<Sg,

则下列说法正确的是（）

A.当〃=8总最大

B.使得S,<0成立的最小自然数〃=18

C.jflg+a5|>|<210+aH|

D.1区]中最小项为1

[anJ阳

10.（多选题）（2024・湖南益阳•三模）己知｛4｝是等比数列，s,是其前〃项和，满足％=2%+外,则下列

说法正确的有（）

A.若｛%｝是正项数列，则｛?｝是单调递增数列

B.S“，邑”-5.,53.-52.一定是等比数列

C.若存在M>0,使同对都成立，则｛|。”|｝是等差数列

D.若a,>0,且勾=工，Tn=aca2an,则〃=7时T”取最小值

11.（多选题）（2024.重庆.模拟预测）已知数列｛“〃｝,也〃｝,记？，S〃=4+Z?2+A++2,

J1I71

右于十-二］且勿=则下列说法正确的是（

T

n册TnTn+l

A.Tn=UB.数列｛〃〃｝中的最大项为2

D.S<—

n2

12.（2024・浙江绍兴.三模）记I,为正项数列｛%｝的前〃项积，已知T„=1,则％=；1必=.

13.（2024.湖北襄阳.模拟预测）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为

某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上收长度为1的线段A3,作一个等边三角形

ABC,然后以点8为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段C3的延长线于点。（第一段圆弧），再以点C

为圆心，8为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E,再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆

弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为.

14.（2024・上海•三模）已知两个等差数列2,6,10,202和2,8,14,200,将这两个等差数列

的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为.

15.（2024.陕西安康.模拟预测）已知等差数列｛?｝的前〃项和为S“，且$5=45,4+&=26.

（1）求数列｛g｝的通项公式;

（2）若b„=，求数列也｝的前10项和.

16.（2024.重庆九龙坡.三模）已知S“是等差数列也,｝的前几项和，$5=4=20,数列也｝是公比大于1

的等比数列，且仄=%，b,-b2=n.

⑴求数列｛«„｝和也｝的通项公式；

（2）设求使cn取得最大值时n的值.

17.（2024.贵州六盘水.三模）已知｛?｝为等差数列，且的=3勾，a1+a5+a14=a10+24.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵若2".彳3%+/++。“恒成立，求实数力的取值范围.

18.（2024•山东青岛•二模）已知数列｛%｝满足1+。“=4”+4（weN*）,且《=3.

⑴求数列｛?｝的通项公式；

（2）设%=（-2户，数列出｝的前〃项和为%若色＜-2024,求w的最小值.

19.（2024.黑龙江哈尔滨•模拟预测）己知数列｛%｝的前w项积为北=3号］，数列｛〃｝满足〃=1，

新亚二=1"22,nGN*）.

⑴求数列｛4｝,凡｝的通项公式；

（2）将数列｛%｝,｛〃｝中的公共项从小到大排列构成新数列｛%｝,求数列｛c“｝的通项公式.

20.（2024・浙江绍兴.三模）已知函数"尤）=A/^sinmc+cos7tx（尤eR）的所有正零点构成递增数列｛。/（九eN*）.

⑴求函数〃x）的周期和最大值；

（2）求数列｛an｝的通项公式凡及前〃项和5„,

①若｛。〃｝与｛4｝均为等差数列，则M中最多有1个元素;

②若｛%｝与｛4｝均为等比数列，则M中最多有2个元素；

③若｛%｝为等差数列，｛£｝为等比数列，则M中最多有3个元素；

④若｛%｝为递增数列，｛〃｝为递减数列，则M中最多有1个元素.

其中正确结论的序号是.

5.（2024年新课标全国II卷数学真题）记S“为等差数列｛《｝的前”项和，若4+%=7,3%+%=5,则

6.（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（江西卷））在等差数列｛%｝中，4=7,公差为d,

前〃项和为S.，当且仅当”=8时S“取最大值，则d的取值范围_______.

7.（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于祛码的、

用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列｛。“｝,该数列

的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且卬=1,%=12,%=192,则%=；数列｛%｝所有项的

和为.

8.（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记S“为等差数列｛巩｝的前〃项和.若2s3=3邑+6,则公差.

9.（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记S“为等差数列｛a/的前,项和，已知名=11，兀=40.

（1）求｛4｝的通项公式；

⑵求数列｛|。,|｝的前几项和

2

10.（2023年新课标全国I卷数学真题）设等差数列｛%｝的公差为"，且d>l.令以=匚2,记分

别为数列｛%｝,｛仅｝的前"项和.

⑴若3a2=3%+。38+4=21,求｛。“｝的通项公式；

（2）若也｝为等差数列，且%-4=99,求d.

11（2023年新课标全国II卷数学真题）已知间为等差数列，心必…为偶数’记以「分别为数

列｛%｝，物“｝的前〃项和，S,=32,4=16.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵证明:当〃>5时,Tn>Sn.

12.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记S“为数列｛a“｝的前〃项和.已知&+“=2%+1.

n

⑴证明：｛册｝是等差数列；

⑵若。4，%，生成等比数列，求5“的最小值.

第02讲等差数列及其前n项和

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：等差数列的基本量运算...................................................2

题型二：等差数列的判定与证明...................................................2

题型三：等差数列的性质.........................................................3

题型四：等差数列前n项和的性质.................................................3

题型五：等差数列前n项和的最值.................................................4

题型六：等差数列的实际应用.....................................................4

题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论...........................................5

题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题.........................................6

题型九：利用等差数列的单调性求解...............................................7

题型十：等差数列中的范围与恒成立问题...........................................7

02重难创新练..................................................................8

03真题实战练.................................................................43

题型一：等差数列的基本量运算

1.(2024・四川绵阳•模拟预测)已知首项％=-6的等差数列｛4｝中，a；=a3a6,若该数列的前“项和S“=0,

则”等于()

A.10B.11C.12D.13

【答案】D

【解析】设等差数列｛4｝的公差为"，因为%=-6,a-=a3a6,

所以(-6+81)2=(-6+24)(-6+54),解得”=1或4=0,

若d=0,则｛4｝为常数数列，则'=-6"力0,不合题意，舍去；

则d=1,由等差数列前”项和公式得s“=-6〃+伫8二9x1=0,解得〃=13.

故选：D.

2.等差数列｛为｝的前"项和为S“，若S5=S[o，a5=l,则4=()

7

A.-2B.yC.1D.2

【答案】B

【解析】由Si。—55=/+%+为+%+40=54=0，则4=0,

则等差数列｛4｝的公差d=忙%=-＜，故4=%-4"=1-4、(-1=(

故选：B.

S

3.(2024•河北•模拟预测)已知S”是等差数列｛4｝的前“项和，若%=3,S5=25,贝()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

Sx4

【解析】由等差数列前〃项和公式，得风=56+寸4=25,即％+2d=5.

因为%=3,所以q+d=3,

+2d=5

由〈CLJc，可得ai=l,d=2,

q+d=3

所以a„=l+2（/i-l）=2/1-1,Sn=°+2：T）"=/,

所以，^=*=4.

—a?/—3

故选：D.

4.（2024•陕西商洛•模拟预测）已知等差数列｛%｝满足%+%=14,且%-%=8,则首项q=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】设等差数列｛%｝的公差为"，因为%+%=14,且%-%=8,

%+%=2%+3d=144=1

所以

]a「%=2d=8d=4.

故选：A

题型二：等差数列的判定与证明

5.己知数列｛4｝满足：%=1,%=4,an+2=2an+1-an+2.

(1)证明：｛叫「/｝是等差数歹并求｛4｝的通项公式；

k

(2)设2=4+一,若数列他,｝是递增数列，求实数k的取值范围.

an

【解析】(1)因为“"+2=2为「4+2,所以4+2-%-(%-4)=2%-4+2-2%+4=2为常数,

又%-%=3,所以数列｛/,「/｝是公差为2,首项为3的等差数列.

所以ctn+l—an=3+(n—1)x2=2?t+1,

当"22时，(a“一。”―I)+(4T—4—2)++(%—%)=2("—1)+1+2(及—2)++2x1+1,

所以4-q="2-i,又4=1,所以a“=〃2,又〃=1,满足%=1,

所以数列｛%｝的通项公式为。“=耐.

(2)由(1)知〃=/+£,因为数列也｝是递增数列，

n

。2kkk

所以bH+l-bH=(n+1)+(〃+])2一(/+U)=(2〃+1)[1-(〃+])2〃2]>°，对〃eN*恒成立，

得到k<("+1)2/对〃eN*恒成立,所以左<4.

3

6.数列｛凡｝的前〃项和为S“，且4=1,当心2（〃wN*）时，（M-l）S„-（n+l）S„_1=1（/7-77）.

⑴计算：％，〃3；

⑵证明为等差数列，并求数列｛q｝的通项公式；

【解析】（1）由%=1,—（〃+l）S〃T=3（〃3一小，

令〃=2,得S2—3S]=2,又％=S]=1,所以〃2二4,

令〃=3,得2s3—4§2=8,又S=5,・・.。3=9;

（2）因为当〃之2（九£N）时，（H—1）S〃+=g（〃3一九），

grpi一鼠_____%一--

所以+仇―1）九一3'

SC11

所以数列不公为等差数列，首项为号=9,公差为9,

〃（几+1〃223

所以J,二工十'（/_1）=+

切以+23V）36，

所以S〃=：〃（"+1）（2H+1），

o

于是，当〃22（"eN*）时，

4“=s“-S“T=g〃（〃+l）（2〃+l）-g（〃-1）〃（2〃-1）=〃2,

当〃=1时，q=S]=l,满足上式，

故

7.（2024•高三•山东济宁•开学考试）已知各项均为正数的数列｛4｝中，S,为｛4｝的前"项和,

o1=2,1<=S„+1+S„.证明：数列｛4｝是等差数列；

【解析】在正数的数列｛4｝中，1«,；+1=5„+1+S„,当“22时，：*=S〃+S,T，

两式相减得：g（a；+i-片）=a“+i+an,整理得（。向—%）（%+i+%）=2（%+i+〃“），

显然为+1+为>0,则4+i—凡=2,又;片=82+，=2%+%，即名—2%—8=0,%〉0,

解得〃2=4,有%—q=2,因此〃eN*,an+1-an=2f

所以｛%｝是以2为首项，2为公差的等差数列.

8.（2024.高三.山东・开学考试）记数列｛4｝的前"项和为S”,己知%=3,以+1=2Sn+3”.证明：an+2+an=2an+l；

【解析】证明：因为叫"i=2S“+3",

当心2时，=2S"_i+3（“_l）,

两式相减,得㈣^-("+1)%=3①，则(〃+1)4+2—(〃+2)%+i=3②,

②-①得(»+1)%+2+(〃+1)%=(2〃+2)a.,

所以%+2+a“=2%+G»2).

当为=1时,%=2S]+3=2%+3=9,

当篦=2时，2%=2s2+6=24+6=30,a3=15.

所以为+〃1=2。2，所以为+2+〃〃=2为+「

题型三：等差数列的性质

9.（2024•辽宁抚顺三模）已知数列｛4｝的前"项和为S,,若为=2〃+1吗0=21,则彳=,'=.

【答案】299

【解析】由%=2"+1,40=21,得104+1=21,解得4=2；

贝|。“=2”+1,显然｛q｝是等差数列，所以Sg=9⑷;“9）=9%=9X11=99.

故答案为：2；99

10.（2024・陕西•模拟预测）已知等差数列｛4｝中，%+2延=3,则％=.

【答案】1

【解析】《+2〃6=%+%+%=3%=3,故%=1.

故答案为：1.

题型四：等差数列前n项和的性质

11.（2024.陕西西安.模拟预测）已知等差数列｛%｝和他,｝的前〃项和分别为S“和北，且?=/|，则

a3_

£=-------

4

【答案】-

【解析】因为等差数列｛%｝和也｝的前〃项和分别为Sn和T”,

Sn+3kn(n+3\、

故可设十二Iz

所以S"=协("+3),1=bi(n-D,k,0,

所以£=宗学1810%8%_4

12k-6k~6k~3,

4

故答案为：—.

3

「、，、-eS”2〃一5a,

12.已知等差数列⑷,也｝的前〃项和分别为L&且广=赤与，则清

17

【答案】—

47

S2〃5

【解析】等差数列｛为｝,｛〃｝的前"项和分别为S,工，且广=比百，

n(%+4i)

所以巴.=也=幺±包2_Sn2x11-517

11(^+^^~7^~4xll+3~47

42b6bl+bl}

2

17

故答案为：-

13.设S,是等差数列｛册｝的前“项和，S10=16,$00-890=24,则％0=

【答案】200

【解析】依题意，%,S20-S10,S30F，…,Sioo-Sgo依次成等差数列,

设该等差数列的公差为/又*0=16,Sim-S90=24,

Q

因止匕8100—590=24=16+(10—1)d=16+91,解得d=—,

10x9if)xQ8

所以Sioo=lOSio+^-d=lOxl6+-^-Xg=2OO.

故答案为：200

题型五：等差数列前n项和的最值

14.(2024.四川南充.三模)设为S〃等差数列｛%｝的前〃项和，已知5、$2、区成等比数列,$2=2%+2,

当6册-凡取得最大值时，n=()

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【解析】设等差数列｛%｝的公差为d,由邑=24+2,得2%+〃=2%+2,解得1=2,

由S]、S?、$4成等比数列，得(2q+4)2=4(4%+64),解得4=；d=l,

因止匕氏=1+2(〃-1)=2〃一1,Sn==",

则6ati-S”=6(2〃-1)-/=-6尸+30W30,当且仅当〃=6时取等号,

所以〃=6.

故选：A

15.若｛%｝是等差数列，S“表示｛%｝的前〃项和，生+4>。4<。，则⑸｝中最小的项是()

A.S4B.S5C.S6D.S]

【答案】B

【解析】因为原=9(%；。9)=9%<0,

所以生<。，

因为出+必="3+。8>0,所以%>—%>0，

所以公差d=>。，

故当aV5时，a„<0,当〃26时，o„>0,

所以当〃=5时，S”取得最小值，

即｛S“｝中最小的项是S5.

故选：B.

16.(2024・四川自贡.三模)已知数列｛%｝的前项和为S“，且-1).

(1)证明：数列｛4｝为等差数列；

⑵若名，。9,%成等比数列，求S”的最大值.

【解析】(1)数歹£%｝满足Sf7-〃%=；w("—l)①，

当〃22时，有S,T-(〃一1)4T=；(〃-1)(〃-2)(2),

①一②可得：51,,—_+(n—l)a„_i=-n(n-1)--(n-l)(n-2),

即(l-n)a„+(n-=g(〃-1)上「(〃-2)],

变形可得4-加=-1(n>2),

故数列｛风｝是以-1为等差的等差数列；

(2)由(1)可知数列｛?｝是以-1为等差的等差数列，

若生,a9,孙成等比数列，则有片=%xan,

即3-8>=(q-4)(0,-10),解得q=12,

所以。〃=%+(几_l)d=13—〃，

所以｛“〃｝单调递减，又当1<八<13时，”〃>0,当〃=13时，。〃=。，当〃>13时，

故当〃=12或13时，S〃取得最大值，

且(S).*="=品=12X+X(-1)=78.

17.在等差数列｛%,｝中，已知：4=-3,1la5=5as.

⑴求数列｛«„)的公差及通项公式；

(2)求数列｛%｝的前〃项和S”的最小值，并指出此时正整数〃的值.

【解析】(1)设等差数列的公差为d,

由11%=54n1l(〃i+4d)=5(%+7J)=>6ax=-9d,

Q%=-3,

:.d=2,

所以等差数列的公差为2,通项公式。〃=-3+2(〃-1)=2〃-5.

(2)因为。i=—3,d=2,

所以=〃％+gn(n-V)d=n2-4H=(n-2)2-4,

当〃=2时，S〃有最小值T,此时正整数〃的值为2.

18.记S“为等差数列｛?｝的前"项和，已知名=-18,S2=5a6.

⑴求｛4｝的通项公式;

⑵求5的最小值.

【解析】(1)设等差数列｛%｝的公差为d,

q+2d——18

由。3=—18,=5〃6,可得解得q=-24,J=3,

2%+d=5(6+5d)

所以数列｛。“｝的通项公式为a“=q+(〃T)d=3〃—27.

(2)由(1)知d=3,可得数列｛?｝为递增数列，且。9=3x9-27=0,

所以当1工〃(8,几£?4*时，。〃<。；当〃=9时，〃9=0；当〃210,〃EN*时，。〃>。,

所以，当及=8或9时，S“取得最小值，即S8=R=9(q詈)=708,

所以52-108,故以的最小值为-108.

题型六：等差数列的实际应用

19.（2024•山西.模拟预测）干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、

丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干

支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”

起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开

始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始,即“丙子”，…,依此类推.已知2024年是甲辰年，

则2124年为（）

A.丁辰年B.癸未年C.甲午年D,甲申年

【答案】D

【解析】天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，

由于2124—2024=100,故100年后天干为甲，

由于100+12=84,余数为4,故100年后地支为“辰”后面第四个，即“申”，

所以2124年为甲申年.

故选：D

20.（2024・湖南•二模）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5

码为公差排列成等差数列.有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，

张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸.几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标

记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677

码.现在问题是，另外一个缺货尺寸是（）

A.28码B.29.5码C.32.5码D.34码

【答案】C

【解析】设第一个尺码为q,公差为d,

则q=25,d=0.5,

贝=25+（n-1）x0.5=0.5n+24.5,

当=0.5〃+24.5=36.5时，n=24,

故若不缺码，所有尺寸加起来的总和为

（a,+）x24…

S=U