2025年新高考数学一轮复习：拔高点突破 导数中的朗博同构、双元同构、指对同构与二次同构问题（九大题型）（学生版+解析）

拔高点突破03导数中的朗博同构、双元同构、指对同构

与二次同构问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：同构法的理解............................................................4

题型二：利用同构比较大小........................................................5

题型三：方程同构................................................................6

题型四：零点同构................................................................6

题型五：双元同构................................................................7

题型六：朗博同构................................................................8

题型七：利用同构解决不等式恒成立问题............................................9

题型八：利用同构求最值.........................................................10

题型九：利用同构证明不等式.....................................................10

03过关测试....................................................................11

亡法牯自与.柒年

//\\

方法技巧总结一、常见的同构函数图像

函数表达式图像函数表达式图像

Hly

/ZL

=/nx+x

/ry=lnx-x

1/

i,i)

y=]nx+x/函数极值点

4-一二-1。233-2-1o

1(1.-1)

J(L-1)-^y=lnx-x

yy.

——-------------4-

--4-

Inx

y=xlnx/

/

函数极值点---1—

函数极值点——

U-3-2-1O4-3-2-1O/

/

yV/

X—

y-ex-\-x/

/

1

过定点

函数极值点4-3-21O4-3-2-

/

(0,1)/

（e，e）/

1z

yyt

----------------4-

~4-

\1

y=xex1

y=ex-x、f/

y函数极值点

函数极值点)

4-3-2-1O~=—

（0」）1

一$

*

1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式

2、同构式的应用：

(1)在方程中的应用：如果方程“。)=0和/优)=0呈现同构特征，则可视为方程/(尤)=0

的两个根

(2)在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进

而和函数的单调性找到联系.可比较大小或解不等式.〈同构小套路>

①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：=〃x)=/±x；寻找"亲戚函数”是关键;

③信手拈来凑同构，凑常数、无、参数；④复合函数(亲戚函数)比大小，利用单调性求参数范围.

(3)在解析几何中的应用：如果4(石,%),5(%,%)满足的方程为同构式，则A3为方程所表示曲

线上的两点.特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线A3的方程

(4)在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于(%/)与1)的同构

式，从而将同构式设为辅助数列便于求解

3、常见的指数放缩：ex>x+l(x=Q);ex>ex(x=V)

1Y

4、常见的对数放缩：1——<lnx<x-l(x=l);lnx<—(x=e)

xe

5、常见三角函数的放缩：xe^0,^,sinx<x<tanx

6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：

(1)当〃〉0且〃W1,%>0时，有

(2)当〃>0且awl时，有log”优二工

再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论(其中x>0)

(3)xex=ex+lnx;x+lnx=ln^xex^

XX

(4)^=ex-inx：x-lnx=\n—

XX

(5)xV=ex+21nx;x+21nx=ln(xV)

XX

/r\”x-21nx匕x-21nx

⑹—=e,-r-=e

xx

x

再结合常用的切线不等式和C〈尤-1,InxW—,eX»x+l,e,2ex等，可以得到更多的结论，这里仅以

e

第(3)条为例进行引申：

(7)xex=ex+b,x>x+lnx+1,x+In%=In<xex-1

(8)xe-i注(x+lnx)；x+]nx=in")W?=L

7、同构式问题中通常构造亲戚函数xe'与xlnx,常见模型有：

1nx—

①a*>log”xnex'aa>―-nxlna•exlna>x\nx-\nx'e"*nxlna>In无na>e，；

In47

②eAx>n>Inx=Ax-eAx>xlnx=Ax-eAx>Inx-e“*=Ax>Inx=X>!；

Ae

③e"，+ax>In(x+1)+x+1=*"*')+In(x+1)=>ax>In(x+1)

8、乘法同构、加法同构

(1)乘法同构，即乘无同构，如Ina-e*1"">lnxojdna-eNn">ln尤•*”；

xxSl,x

(2)加法同构，即加x同构*$na>logax<^>a+x>logax+x=a°+loga

(3)两种构法的区别：

①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数X，与xlnx易实现，但构造的函数xe工与；dnx均不是单调函

数；

②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范

围；

题型一：同构法的理解

【典例1-1】对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数.

(l)log2x-fc-2^>0；

(2)e2Ax--lnVx>0；

A

m

x2lwc-mex>0;

(4)。卜八十1)221+—Jinx；

(5)<21n(A：-l)+2(A：-l)>dx+2ex；

(6)x+a\nx+e-x>xa(x>V)；

(7)e~x-2x-\nx=0;

(8)x2ex+lnjr=0.

【典例1-2]关于1的不等式枇⑪-21nxW21n2有解，则实数〃的取值范围是.

【变式1-1](2024•内蒙古・三模)已知函数/(x)=f—四+21nx.

⑴讨论〃力的单调性；

(2)若〃〉0,/(工工产恒成立，求〃的取值范围.

题型二：利用同构比较大小

■az7111，n5-In3In2…皿/、

【典例2-1】已知〃，仇—,+8,且=—51na,---=—3Inb,---=—2Inc,贝U()

<e7abc

A.b<c<aB.c<b<a

C.a<c<bD.a<b<c

【典例2-2】已知a,A,c£(l,+8).且4―21na—1=---,b1—21nZ?-1=—,c2—2Inc—1=----,则()

2e兀

A.b>a>cB.b>c>a

C.a>b>cD.c>a>b

【变式2・1】已知〃，b,ce(0,1),且〃一5=ln〃一ln5,Z?-4=lnZ?-ln4,c-3=lnc-ln3,则〃，b,c的

大小关系是()

A.b<c<aB.a<c<bC.a<b<cD.c<b<a

Q

【变式2-2］已知a=0.51n2,Z?=0.4(in5-In2)c=-(ln3-ln2),则。，b,。的大小顺序是()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.a<c<b

题型三：方程同构

【典例3-1](江苏省常州市前黄高级中学2023-2024学年高三期初数学试题)已知实数。*满足〜，

2021+lnb=e3T",则"=___.

【典例3-2】(江苏省泰州市泰兴中学2023-2024学年高三期中数学试题)已知实数a,6满足/口?〜-。=0,

e2T"-ln6-2019=0,则ab=.

’(X-1)3+2018(%-1)=-5

【变式3-1】设x,y为实数，且满足仙-if+2018(y-l)=5，则x+y=()

A.2B.5C.10D.2018

【变式3-2]同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：f(x)=x+ex,/(lnx)=lnx+elnr=]n%+x,称

x+e*与lnx+x为同构式.已知实数w，z满足e"+须=6,ln^/3x2+l+-x2则无]+3%=.

【变式3-3](2024・高三・辽宁大连•期中)在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称

为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于。的方程ae"2=e4和关于b

的方程次ln>-2)=e3/T(a,6eR+)可化为同构方程，则向的值为()

8

A.eB.eC.In6D.1

题型四：零点同构

【典例4-1](2024•高三•天津西青・期末)已知函数/(x)=e和g(x)=ax-lnx.

(1)若曲线数y=/(x)与y=g(x)在x=l处切线的斜率相等，求。的值；

⑵若函数/(X)与g(x)有相同的最小值.

①求。的值；

②证明：存在直线y=6,其与两条曲线y=/(元)与y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点

的横坐标成等差数列.

【典例4-2］（2024•江西南昌•模拟预测）已知函数/（尤）=e*-ox和g（x）=orTnx有相同的最小值.

⑴求。；

（2）是否存在直线y=b,其与两条曲线y=/（X）和y=g（x）共有三个不同的交点且从左到右的三个交点的横

坐标成等差数列？说明理由.

【变式4-1］（2024・上海嘉定•一模）已知/（无）=三送（元）=也.

e尤

（1）求函数y=y=g（x）的单调区间和极值；

（2）请严格证明曲线y=/（*）、y=g（尤）有唯一交点；

⑶对于常数“《。，口，若直线和曲线＞=/（办y=g（x）共有三个不同交点（西,。）、（々⑷、（为⑷，其

中国＜尤2＜%3，求证：占、%、£成等比数列•

【变式4-2】已知函数=3和g（x）=皆有相同的最大值从

⑴求a,6；

（2）证明：存在直线,=根，其与两条曲线y=/（x）和y=g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个

交点的横坐标成等比数列.

题型五：双元同构

【典例5-1］已知函数/（了）=。11«+：/+（。+1）X+1.

⑴当°=-1时，求函数/（X）的单调增区间；

⑵若函数在（0,内）上是增函数，求实数°的取值范围;

（3）若a>0,且对任意尤-x2e（0,+oo）,%力々，都有|/'（占）-/（々）|>2归一々|，求实数a的最小值.

【典例5-2】（河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学试题）已知对任意的a,beR

都有。--加恒成立，则实数4的值为（）

A.eB.1C.0D.~e

【变式5-1]（四川省成都市第七中学2023-2024学年高三阶段性考试数学试题）若实数x,y满足

41nx+21ny>x2+4y-4,则（）

A.xy-B.x+y—A/2

C.2x+y=1+^2D.x3y-1

【变式5-2]（山西省太原市2024届高三期中数学试题）已知，（x）=；*-e'+3+l）x,对任意

4尤2€（0,+。）都有/（芯）一/（“2）<。，则实数〃的取值范围是（）

xl-x2

A.y,o]B.（o,i）c.y,i]D.[l,+oo）

【变式5-3]对于任意A，x2e[l,+oo）,当马>不时，恒有a】n上<2口2一%）成立；则实数a的取值范围是

再

A.（-oo,0]B.（-oo,l]C.（一8,2]D.（-oo,3]

【变式5・4]（多选题）（重庆市2024届高三冲刺押题联考（二）数学试题）若实数％,V满足

41nx+21n（2y）2%2+8y-4,则（）

A.xy—B.x+y=C.x+2y——I-V2D.x2y=1

42

题型六：朗博同构

【典例6」】已知函数〃力=。垢—2X（Q>0）,若不等式元气口237（力+1对%>0恒成立，则实数〃的取值

范围为.

【典例6-2]（2024•陕西・模拟预测）当%>。时，/七八―21nx\Qx+l恒成立，则实数〃最大值为（）

44

A.—B.4C.-rD.8

ee

【变式6-1】不等式2xe*-2ar-ln2x-120恒成立，则实数”的最大值为（）

A.—B.gC.1D.2

42

【变式6-2]对任意x>0,若不等式ax?<6"+依111苫（4>0）恒成立，则。的取值范围为（）

A.（0,2eJB.（1,+»）C.（0,1]D.（0,e]

题型七：利用同构解决不等式恒成立问题

【典例7-1】（2024•江西・三模）已知函数“尤）=优-log“x,ae（（M）u（l,+8）,若7⑺在其定义域上没有零

点，则〃的取值范围是

【典例7-2】（2024•全国•模拟预测）若不等式=<。（1+13）在1«1,收）上恒成立，则实数。的取值范围

为（）

A.[l,+oo）B.'|,+QOjC.[2,+oo）D.[4,+oo）

【变式7-1]已知函数/（月=祀"'+1-lnx+1,若对任意的xe（e,—）J（尤）20恒成立，则正实数。的取值范

围为（）

A.fo,^B.C,[e,+co）D,

【变式7-2]（2024•广东深圳.模拟预测）已知函数/（无）=此'+1113-2,若/（尤）>0恒成立，则正实数

。的取值范围是（）

A.0<tz<eB.a>ezC.”>eD.a>2e

【变式7-3]（2024.江西赣州.二模）已知函数/（x）=eh+l,g（x）="+£|lnx.若妙（x"g（x）,则A的取

值范围为（）

A.（0,e]B.[e,+s）C.D.

【变式7-4】已知不等式Z/teZx+inXNlnx在xe（O,E）上恒成立，则实数几的取值范围是（）

「11「1）「1、「2）

A.一，+8B.~r，+8C.—,+8D.一,+8

eJe2J2eJLeJ

题型八：利用同构求最值

【典例8-1】“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将x化成尤=ine1%=6欣(3>0)的变形技巧.已知函

数/(x)=x，e*,g(x)=-—,若/(再卜8优)4>。，则」7的最大值为()

x々e

A.B.—C.1D.e

ee

【典例8-2】已知函数/(x)=x+ln(x-l),g(x)=xlnx,若/(为)=1+23*(%2)=/，贝i](龙田一马加』的

最小值为()

A.—B.----C.-D.一

e2eee

【变式8-1](2024.江西.临川一中校联考模拟预测)已知函数〃x)=x+ln(x-l),g(x)=xlnx,若

/(为)=l+21nf,g(%2)=产，则5内々-%Jnl的最小值为()

A.-rB.—C.----D.一

e2e2ee

【变式8-2】已知函数/(x)=x+ln(x-l),g(x)=xlnx,若〃再)=l+21nf,g(x2)=/,则1的最大值

'2X)

为()

111

A.—B.—C.D.e

2eee

【变式8-3]已知大于1的正数。，b满足*<福)"，则正整数〃的最大值为()

ea

A.7B.8C.5D.11

题型九：利用同构证明不等式

【典例9-1】已知函数/(x)=®+-----2(aGR).

X+1

(1)讨论函数/(%)的单调性；

(2)当Q=2时，求证：/(x)>0在(l,+oo)上恒成立;

X2

(3)求证：当尤>0时，/n(x+l)>-----.

【典例9-2】已知函数=

X

(1)讨论函数/■(%)的零点的个数；

(2)证明：xe2'-lnx-2x——J＞0.

V.r+1

【变式9-1】已知函数/(x)=依-1-/加(。e7?).

(1)当a=2时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在x=l处取得极值，对Vxe(O,4),/(尤)..6尤-2恒成立，求实数6的取值范围;

(3)当x>y>e-l时，求证：>历(尤+D.

ln(y+1)

【变式9-2】已知函数/(x)=2/”(x+l)+sinx+l,函数g(x)=,bcR,ab^O).

(1)讨论g(x)的单调性；

(2)证明：当x..O时，/(x),,3x+l.

(3)证明:当x>—l时,/(尤)<(炉+2尤+2)*1

过盘试

xlnx-xh\x,一

1.若对任意的占,马©(加，+8),且芯<々，」一9=—o=—L<2,则机的最小值是()

x2—xx

A.—B.—C.-rD.—

eee4

2.对于任意X],%£(2,+8),当％＜元2时，恒有。1口±-2(入2-玉)＜。成立，则实数〃的取值范围是

3.e'-ax>-x+ln(ax),则实数a的取值范围为

(3)当时，不等式e，+aln(ax)>2ax恒成立，求正数。的取值范围.

12.(2024•广东佛山•一模)已知函数/(x)=ae1

⑴讨论函数*x)=/(x)+x的单调性；

⑵当x>2时，/(x)>ln土/一2,求a的取值范围.

13.(2024•广东深圳二模)已知函数=，口的图象在(1,/⑴)处的切线经过点(2,2e2).

⑴求a的值及函数的单调区间；

⑵设g(x)=丝匚，若关于尤的不等式尢％(x)<e22x-1在区间(1,+8)上恒成立，求正实数％的取值范围.

lux

14.(2024•广东佛山•模拟预测)已知函数/(x)=e*—aln(依+1)-1,其中0>0,尤20.

⑴当4=1时，求函数〃尤)的零点；

(2)若函数20恒成立，求a的取值范围.

15.(2024・广东佛山•模拟预测)已知函数/(x)=lnx+lna+(a-l)x+2(a>0).

(1)讨论/(X)的单调性；

⑵若不等式e，-2w/(x)恒成立，求实数a的取值范围.

16.(2024.广东汕头•三模)设/(x)=e，,g(x)=lnx,

(1)证明：#(x)'x+g(x)+l;

⑵若存在直线y=f,其与曲线丫=危和'=率共有3个不同交点A&J),B(x2,t),C^t)

<x2<x3),求证：X],巧，W成等比数列・

17.(2024.江西宜春.一模)已知函数/(x)=lnx+(a-l)x,aeR.

⑴讨论的单调性；

⑵对任意的x>0,/(%)<犬1一111彳-©-1恒成立，求。的取值范围.

18.(2024•四川遂宁.模拟预测)己知函数/(x)=e*,g(x)=ln(x+〃)，直线/：y=x+加为曲线y=/(x)与

V=g(无)的一条公切线.

⑴求MVZ；

(2)若直线/':y=s(o<s<l)与曲线y=/(x),直线/,曲线y=g(尤)分别交于4%,%),2(々，%)，/%，为)三点，

其中％<%<£，且%，9，当成等差数列，证明：满足条件的S有且只有一个.

拔高点突破03导数中的朗博同构、双元同构、指对同构

与二次同构问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：同构法的理解............................................................4

题型二：利用同构比较大小........................................................5

题型三：方程同构................................................................6

题型四：零点同构................................................................6

题型五：双元同构................................................................7

题型六：朗博同构................................................................8

题型七：利用同构解决不等式恒成立问题............................................9

题型八：利用同构求最值.........................................................10

题型九：利用同构证明不等式.....................................................10

03过关测试....................................................................11

亡法牯自与.柒年

//\\

方法技巧总结一、常见的同构函数图像

函数表达式图像函数表达式图像

=im+x

y=lnx-x

1/1

/1,1)

y=]nx+x函数极值点

-J1

4-一二°123-2-1o4

(1,-1)

J(LT)-^y=lnx-x

-4

yy

——4-----4—

——3--------J-Inx

y=xlnxy:——3—

//一X

函数极值点

函数极值点—

P1)-3-2-1O4-3-2-1o/

©Ie)

----3-

-----3-

-4

~~—4-

yy/

!

y=~—y=ex/

Inx/

过定点

函数极值点1-3-21O4-3-2-

/

\(0,1)/

(e，e)z

/

yVt

—4-1

\-4-

—3-1

-3-

\y=xex\

y-ex-x-2-■i-/

/——1-1

函数极值点

函数极值点

=—