2025年中考数学总复习：等腰三角形与直角三角形

4.4等腰三角形与直角三角形

一、选择题

1.（2024・辽宁）如图，在矩形4BCD中，点E在4D上，当△EBC是等边三角形时，KAEB为（）

45°C.60°D.120°

2.（2024・青海）如图，在RtA4BC中，。是4C的中点，乙BDC=60°,AC=6,则的长是（）

A.3B.6C.V3D.3V3

3.（2024•广东广州）如图,在AABC中,NA=90。，ABAC=6,。为边的中点，点E,尸分别在边48,

4c上，AE=CF,则四边形4EDF的面积为（）

A.18B.9V2C.9D.6近

4.（2024•内蒙古赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程——10刀+21=0的两个根，则这个三角形的周长

为（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

5.（2024•安徽）如图，在RtAABC中，AC=BC2,点。在4B的延长线上，且CD=AB,则8。的长是（）

A.V10-V2B.V6-V2C.2V2-2D.2V2-V6

6.（2024・甘肃）如图，在矩形4BCD中，对角线AC,BD相交于点。，乙48。=60。，48=2,贝的长为

7.（2024•四川自贡）如图，等边AABC钢架的立柱CD14B于点。，4B长12m.现将钢架立柱缩短成DE,

乙BED=60°.则新钢架减少用钢（）

A.（24-12V3）mB.（24-8V3）mC.（24-6V3）mD.（24-4V3）m

8.（2023•江苏南京）若一个等腰三角形的腰长为3,则它的周长可能是（）

A.5B.10C.15D.20

9.（2024.海南）设直角三角形中一个锐角为x度（0<*<90）,另一个锐角为y度，则y与x的函数关系

式为（）

A.y=180+xB.y=180—xC.y=90+%D.y=90—x

10.（2024・四川广元）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90。得至必7lDE,点8,C的对应点分别为点。，E,

连接CE,点。恰好落在线段CE上，若CD=3,BC=1,则4。的长为（）

B.V10C.2D.2V2

11.（2023•浙江衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角N。的大小，需将N。转

化为与它相等的角，则图中与N。相等的角是（）

A.乙BEAB.乙DEBC.Z.ECAD.Z.ADO

12.（2023•海南）如图，在EMBCD中，AB=8,^ABC=60°,BE平分乙4BC,交边力。于点E,连接CE,若

AE=2ED,贝!1CE的长为（）

A.6B.4C.4V3D.2V6

13.（2023•内蒙古）如图，在△力BC中，^ABC=90°,^BAC=60°,以点4为圆心，以力B的长为半径画弧

交4C于点0,连接BD,再分别以点B,。为圆心，大于［BD的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线2P交BD

A.1:2B.1：V3C.2:5D.3:8

14.（2023•广东广州）如图，海中有一小岛A,在2点测得小岛A在北偏东30。方向上，渔船从B点出发由

西向东航行10nmile到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（）

nmile

A

15.（2023•宁夏）将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60。和45。角的顶点及

它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边

分别交直尺上沿于4B两点，贝IMB的长是（）

16.(2023•四川德阳)如图.在△4BC中，ZCXD=90°,AD=3,AC=4,BD=DE=EC,点尸是4B边

的中点，贝UDF=()

A.-B.-C.2D.1

42

17.（2023•江苏徐州）如图，在△ABC中，NB=90。,乙4=3（T,BC=2,D为4B的中点.若点E在边力C上,

且筹=,，贝ME的长为（）

A.1B.2C.1或当D.1或2

18.（2023・贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多

几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120。，腰长为12m,则底边上的高

是（）

A

A.4mB.6mC.10mD.12m

19,（2023•河北）如图，在Rt/kZBC中，AB=4,点”是斜边的中点，以AM为边作正方形AMEF,若

S正方形AMEF=16，贝iJS—BC=（）

A.4V3B.8V3C.12D.16

20.（2023・湖北黄冈）如图，ABC的直角顶点A在直线〃上，斜边BC在直线匕上，若aIIb,Z1=55°,

A.55°B.45°C.35°D.25°

21.（2023・湖南）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知乙4cB=90。,

点。为边的中点，点A、5对应的刻度为1、7,贝北。=（）

A.3.5cmB.3cmC.4cmD.6cm

22.（2023•湖南岳阳）已知48||CD,点E在直线48上，点F,G在直线CD上，EG1EF于点E,乙4EF=40。,

则NEGF的度数是（）

A.40°B.45°C.50°D.60°

23.（2024•云南）已知2尸是等腰AaBC底边BC上的高，若点F到直线2B的距离为3,则点尸到直线4c的距离

为（）

37

A.-B.2C.3D.-

22

24.（2024福建）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个，蝴蝶”的平面图案.如图，其中△。力B与AODC

都是等腰三角形，且它们关于直线/对称，点E,F分别是底边力B,CD的中点，OE1OF.下列推断错误的

是（）

A.OB1ODB.乙BOC=LAOB

C.OE=OFD.Z.BOC+AAOD=180°

25.（2024•山东德州）如图Rt△力BC中，AABC=90°,BD1AC,垂足为。，4E平分NB4C,分另U交BD,BC

A.5:3B.5:4C.4:3D.2:1

26.（2024・西藏）如图，在RtAABC中，Z_C=90。，AC=12,8C=5,点尸是边48上任意一点，过点P

作PD12C,PE1BC,垂足分别为点。，E,连接DE,则DE的最小值是（）

A

二、填空题

27.（2024•江苏南通）如图，在口△ABC中，^ACB=90°,AC=BC=5.正方形DEFG的边长为有，它的

顶点。，E,G分别在A/IBC的边上，贝UBG的长为.

28.（2024•江苏镇江）等腰三角形的两边长分别为6和2,则第三边长为.

29.（2024・四川雅安）如图,在A48C和A2QE中,AB=AC,Z.BAC=/.DAE=40°,将△力DE绕点A顺时

针旋转一定角度，当ADLBC时，NBAE的度数是.

30.（2024•四川资阳）如图，在矩形4BCD中，AB=4,AD=2.以点力为圆心，长为半径作弧交4B于

点E,再以力B为直径作半圆，与0E交于点尸，则图中阴影部分的面积为.

31.（2024•甘肃兰州）如图，四边形力BCD为正方形，△&£>£为等边三角形，EF1于点凡若力。=4,

贝UEF=.

32.（2024•浙江）如图，D,E分另IJ是AaBC边4B,AC的中点，连接BE,DE.若乙AED=ABEC,DE=2,

则BE的长为

33.（2024•江苏盐城）如图，在AABC中，乙4cB=90°,AC=BC=2&，点D是AC的中点，连接BD,将4BCD

绕点B旋转,得到ABEF.连接CF,当CFIIAB时，CF=.

34.（2024•四川德阳）如图，四边形48CD是矩形，AADG是正三角形，点尸是GD的中点，点P是矩形A8CD内

一点，且APBC是以BC为底的等腰三角形，贝必PCD的面积与AFCD的面积的比值是.

35.（2024•重庆）如图，在AABC中，AB=AC,乙4=36。，BD平分乙4BC交4C于点D.若BC=2,则4。的

长度为.

36.（2024.湖南）一个等腰三角形的一个底角为40。，则它的顶角的度数是度.

37.（2023・湖南）如图，在平行四边形4BCD中，AB=3,BC=5,NB的平分线BE交4。于点E,则DE的长

为.

38.（2023•江苏淮安）若等腰三角形的周长是20cm,一腰长为7cm,则这个三角形的底边长是cm.

39.（2023•江苏宿迁）如图，A4BC是正三角形，点A在第一象限，点B（0,0）、C（l,0）.将线段C4绕点C

按顺时针方向旋转120。至CP1；将线段BP】绕点2按顺时针方向旋转120。至BP2；将线段4P2绕点A按顺时针

方向旋转120。至北3；将线段CP3绕点C按顺时针方向旋转120。至CP4；……以此类推，则点P99的坐标

40.（2023•辽宁沈阳）如图，在RtAABC中，乙4c8=90。，AC=BC=3,点。在直线AC上，AD=1,过点

。作DEII4B直线BC于点E,连接BD,点。是线段BD的中点，连接OE,贝！jOE的长为.

41.（2024.江苏徐州）如图，48是。。的直径，点C在4B的延长线上，CD与。。相切于点。，若NC=20°,

42.（2024•黑龙江牡丹江）矩形2BCD的面积是90,对角线AC,BD交于点。，点E是BC边的三等分点，连

接。£,点尸是DE的中点，0P=3,连接CP,贝UPC+PE的值为.

43.（2024•内蒙古包头）如图，在菱形48CD中，乙48C=60。，AB=6,2C是一条对角线，E是4C上一点，

过点E作EF1AB,垂足为F,连接DE.若CE=AF,则DE的长为.

44.（2024•四川内江）如图，在△ABC中，AABC=60°,BC=8,E是BC边上一点，且BE=2,点/是△力BC

的内心，8/的延长线交2C于点。，P是BD上一动点，连接PE、PC,贝UPE+PC的最小值为.

45.（2023・湖南郴州）在△ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,贝！MB边上的中线CD=.

46.（2023•江苏盐城）如图，在Rt△力BC中，乙4cB=90。，zB=60°,BC=3,将△ABC绕点C逆时针旋转

到△EDC的位置，点B的对应点。首次落在斜边AB上，则点4的运动路径的长为.

47.（2023•四川攀枝花）如图，在AABC中，N4=40。，ZC=90°,线段力B的垂直平分线交AB于点D,交4C

于点E,贝此丽=.

48.（2023•江苏常州）如图，在RtAZBC中，AB4C=90°,48=AC=4,。是4C延长线上的一点，CD=2.M

是边BC上的一点（点M与点8、C不重合），以CD、CM为邻边作回CMND.连接AN并取4N的中点P,连接

PM,贝。PM的取值范围是.

49.（2023•黑龙江哈尔滨）如图在正方形ZBCD中，点E在C。上，连接4E,BE,尸为BE的中点连接CF.若

50.（2023•湖南湘西）如图，在矩形4BCD中，点E在边8C上，点厂是AE的中点，AB=8,4D=OE=10,

则BF的长为

51.（2023・辽宁）如图，线段4B=8,点C是线段A8上的动点，将线段BC绕点8顺时针旋转120。得到线段BD,

连接CD,在4B的上方作RtADCE,使ADCE=90。,NE=30。，点F为DE的中点，连接2F,当2F最小时，△BCD

52.（2023•内蒙古通辽）如图，等边三角形ABC的边长为6cm,动点P从点A出发以2cm/s的速度沿2B向点

8匀速运动，过点尸作PQ14B,交边力C于点Q,以PQ为边作等边三角形PQD,使点A,。在PQ异侧，当

点D落在BC边上时，点P需移动s.

53.（2023・湖北荆州）如图，CD为RtzxABC斜边AB上的中线，E为AC的中点.若力C=8,CD=5,则

DE=

E

ADB

54.（2024・湖北）ADEF为等边三角形，分别延长ED,DE,EF,到点4,B,C,使=EB=FC,连接

AB,AC,BC,连接BF并延长交2C于点G.若AD=DF=2,贝UNDBF=,FG=.

55.(2024•陕西)如图，在^ABC^,AB=4C,E是边48上一点，连接CE,在8c右侧作BF||4C,且BF=AE,

连接CF.若4c=13,BC=10,则四边形EBFC的面积为.

三、解答题

56.(2024•江苏常州)如图，B、E、C、尸是直线/上的四点，AC,DE相交于点G,AB=DF,AC=DE,

BC=EF.

(1)求证：AGEC是等腰三角形；

(2)连接4D,贝与/的位置关系是

57.（2024.山东泰安）如图1,在等腰RtAABC中，N28C=90°,2。=CB,点D,E分别在4B,CB上,DB=EB,

连接AE,CD,取4E中点F,连接BF.

图1图2

(1)求证：CD=2BF,CD1BF；

(2)将ADBE绕点B顺时针旋转到图2的位置.

①请直接写出BF与CD的位置关系：___________________；

②求证：CD=2BF.

58.(2024•四川甘孜藏族自治州)如图，在四边形2BCD中，乙4=90。，连接B。，过点C作4B,垂足

为E,CE交BD于点F,Z1=乙48c.

⑴求证：42=43;

⑵若N4=45°.

①请判断线段BC,BD的数量关系，并证明你的结论；

②若BC=13,AD=5,求石尸的长.

59.(2024•江西)追本溯源：

题(1)来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2).

D

（1）如图1,在△48C中，BD平分4ABC,交AC于点。，过点。作BC的平行线，交48于点E,请判断"DE

的形状，并说明理由.

方法应用：

（2）如图2,在回4BCD中，BE平分乙ABC,交边4D于点E,过点A作2尸1BE交。C的延长线于点R交BC于

点G.

①图中一定是等腰三角形的有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

②已知=3,BC=5,求CF的长.

60.（2024•四川宜宾）如图，点。、E分别是等边三角形2BC边BC、AC上的点，且BD=CE,BE与力。交于

点F.求证：AD=BE.

61.（2024・四川自贡）如图，在△4BC中，DEWBC,乙EDF=KC.

⑴求证：乙BDF=乙4；

⑵若乙4=45。，DF平分乙BDE,请直接写出△力8c的形状.

62.(2023•四川甘孜)如图，在RtAZBC中，AC=BC=3<2,点。在48边上，连接CD,将CD绕点C逆时

针旋转90。得到CE,连接BE,DE.

(1)求证：△CADSACBE-,

(2)若AD=2时，求CE的长；

(3)点。在力B上运动时，试探究力"+B"的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在,

请说明理由.

63.(2023•辽宁)△ABC是等边三角形，点E是射线上的一点(不与点8,C重合)，连接4E,在4E的左

侧作等边三角形4ED,将线段EC绕点E逆时针旋转120。，得到线段EF,连接BF.交DE于点M.

图1图2备用图

(1)如图1,当点E为BC中点时，请直接写出线段DM与EM的数量关系；

(2)如图2.当点E在线段BC的延长线上时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若

不成立，请说明理由；

(3)当BC=6,CE=2时，请直接写出AM的长.

64.（2023•江苏泰州）已知：A、8为圆上两定点，点C在该圆上，NC为脑所对的圆周角.

B

图③

知识回顾

（1）如图①，。。中，B、C位于直线力。异侧，AAOB+AC=135°.

①求NC的度数；

②若O。的半径为5,AC=8,求BC的长；

逆向思考

（2汝口图②，P为圆内一点，且乙4PB<120。，PA=PB,乙APB=2乙C.求证：P为该圆的圆心；

拓展应用

（3）如图③，在（2）的条件下，若乙4PB=90°,点C在OP位于直线2P上方部分的圆弧上运动.点。在OP

上，满足CD=V2CS-C4的所有点。中，必有一个点的位置始终不变.请证明.

65.（2023・宁夏）综合与实践

问题背景

数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36。的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究.

探究发现

如图1,在△ABC中，N4=36。，AB=AC.

A

（1）操作发现：将AABC折叠，使边BC落在边BA上，点C的对应点是点E,折痕交AC于点D,连接DE,DB,

贝IJNBDE=°,设AC=1,BC=x,那么2E=（用含久的式子表示）；

（2）进一步探究发现：鬻=亨，这个比值被称为黄金比.在（1）的条件下试证明：鬻=亨；

拓展应用：

当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形.例如，图1中的AABC是黄金三角

形.如图2,在菱形4BCD中，4BAD=72°,AB=1.求这个菱形较长对角线的长.

图2

66.（2023•四川德阳）将一副直角三角板DOE与20C叠放在一起，如图1,乙0=90°,乙4=30°,乙E=45°,

0D＞0C.在两三角板所在平面内，将三角板DOE绕点。顺时针方向旋转a（0。＜戊＜90。）度到D】OEi位

置，使0D1II4C,如图2.

(1)求a的值；

⑵如图3,继续将三角板。。E绕点。顺时针方向旋转，使点£落在4C边上点石2处，点。落在点乃处-设

交。A于点G,。位交4C于点X,若点G是三。2的中点，试判断四边形OHE2G的形状，并说明理由.

67.(2024•黑龙江牡丹江)数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究.在RtZkABC中，乙4cB=

90°,AC=30°,点D在直线BC上，将线段4D绕点A顺时针旋转60。得到线段4E,过点£作EF||BC,交

直线AB于点F.

(1)当点D在线段BC上时，如图①，求证：BD+EF=AB；

分析问题：某同学在思考这道题时，想利用A。=2E构造全等三角形，便尝试着在4B上截取AM=EF,连

接。M,通过证明两个三角形全等，最终证出结论：

推理证明：写出图①的证明过程：

探究问题：

(2)当点。在线段BC的延长线上时，如图②：当点。在线段CB的延长线上时，如图③，请判断并直接写

出线段BD,EF,4B之间的数量关系；

拓展思考：

(3)在(1)(2)的条件下，若4C=6«,CD=2BD,则EF=

68.(2023•辽宁丹东)在△4BC中，ABAC=90°,^ABC=30°,AB=6,点。是BC的中点.四边形DEFG是

菱形(。，E,F,G按逆时针顺序排列)，AEDG=60°,且DE=2,菱形OEFG可以绕点O旋转，连接4G和

CE,设直线4G和直线CE所夹的锐角为a.

AAA

⑴在菱形DEFG绕点。旋转的过程中，当点E在线段DC上时，如图①，请直接写出力G与CE的数量关系及a

的值；

(2)当菱形。EFG绕点。旋转到如图②所示的位置口寸，(1)中的结论是否成立?若成立，请写出证明过程；若

不成立，请说明理由；

(3)设直线4G与直线CE的交点为P,在菱形DEFG绕点。旋转一周的过程中，当EF所在的直线经过点B时，

请直接写出△APC的面积.

69.(2023•宁夏)如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为10cm,传送带与水平面成30。角.假设

传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转140。时，传送带上点4处的粮袋上升的高度是多少？(传送带厚

度忽略不计)

70.（2023・湖南）如图，在回4BCD中，DF平分乙4DC,交BC于点E,交AB的延长线于点尸.

⑴求证：AD=AFx

(2)若AD=6,AB=3,NA=120。，求BF的长和AADF的面积.

参考答案与详解

一、选择题

1.（2024.辽宁）如图，在矩形力BCD中，点E在力。上，当△EBC是等边三角形时，4AEB为（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】C

【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键.

由矩形4BCD得到4。II8C,继而得到NAEB=4EBC,而△是等边三角形，因此得到乙4EB=乙EBC=60°.

【详解】解：：四边形4BCD是矩形，

：.AD||BC,

J.^AEB=Z.EBC,

「△EBC是等边三角形，

"EBC=60°,

：.^AEB=60°,

故选：C.

2.（2024・青海）如图，在RtzkABC中，。是力C的中点，^BDC=60°,AC=6,贝UBC的长是（）

A.3B.6C.V3D.3A/3

【答案】A

【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质.根据直

角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到△BDC等边三角形，据此求解即可.

【详解】解：；在RtAABC中，/.ABC=90°,。是AC的中点，

1

：.BD=-AC=CD,

2

■:（BDC=60°,

•••△80C等边三角形，

i1

：

.BC=CD=-2AC=-2x6=3.

故选：A.

3.（2024•广东广州）如图，在A2BC中，乙4=90。,AB=AC=6,。为边BC的中点，点E,F分别在边4B,

4c上，AE=CF,贝！］四边形4EDF的面积为（）

A.18B.9V2C.9D.6夜

【答案】C

【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是

解题关键.连接4D,根据等腰直角三角形的性质以及4E=CF得出ANDE三ACDF,将四边形4EDF的面积

转化为三角形ADC的面积再进行求解.

【详解】解：连接4D,如图:

,：Z-BAC=90°,AB=AC=6,点。是BC中点，AE=CF

."BAD=NB=4=45。,40=BD=DC

**•△ADE=△CDF,

•・S四边形尸=^^AED+^LADF=LCFD+LADF=^ADC=J^BC

又,S^ABC=6X6X-=18

•・S四边形AEOF~2SAABC=9

故选：C

4.（2024.内蒙古赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程/—10x+21=0的两个根，则这个三角形的周长

为（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得勺=3,

&=7,根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3,腰长为7,进而即可求出三角形的周长，掌

握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键.

【详解】解：由方程/-10x+21=0得，/=3,&=7，

V3+3<7,

...等腰三角形的底边长为3,腰长为7,

这个三角形的周长为3+7+7=17,

故选：C.

5.（2024・安徽）如图，在RtAABC中，AC=BC=2,点D在4B的延长线上，且CD=AB,贝UBD的长是（）

ABD

A.V10-V2B.V6-V2C.2V2-2D.2或-逐

【答案】B

【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点。作DE1CB的延长线

于点E,贝=90°,由N4CB=90°,AC==2,可得48=2a,N&=乙ABC=45°,进而得到CD=

2V2,ADBE=45°,即得△BDE为等腰直角三角形，得到DE=BE,设DE=BE=x,由勾股定理得（2+%）2+

7

%2=（2V2）,求出x即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：过点。作DE1CB的延长线于点E,贝ljNBED=90。，

•.ZCB=90°,AC=BC=2,

：.AB=V22+22=2VL乙4=^ABC=45°,

：.CD=2A/2,^DBE=45°,

.•.△BDE为等腰直角三角形，

：.DE=BE,

设DE=BE=x,贝l|CE=2+x,

在RtAW中，CE2+DE2=CD2,

(2+%)2+x2=(2V2)2,

解得汽i=V3—1,x2=—V3—1(舍去)，

：.DE=BE=遮一1,

：.BD=J(V3-1)2+(V3-1)2=V6-V2,

故选：B.

6.(2024・甘肃)如图，在矩形4BCD中，对角线AC,BD相交于点。，AABD=60°,AB=2,贝的长为

()

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【分析】根据矩形4BCD的性质，得04=OB=OC=OD="C,结合N4BD=60°,得到△AOB是等边三

角形，结合2B=2,得到04=。8=28=1aC,解得即可.

本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.

【详解】根据矩形48C。的性质，得。4=。8=OC=。。=

'：^ABD=60°,

△/。8是等边三角形，

'：AB=2,

/.OA=OB=AB=-AC=2,

2

解得AC=4.

故选c.

7.（2024•四川自贡）如图，等边AABC钢架的立柱CD14B于点。，4B长12m.现将钢架立柱缩短成DE,

乙BED=60°.则新钢架减少用钢（）

A.（24-12V3）mB.（24-8V3）mC.（24-6V3）mD.（24-4V3）m

【答案】D

【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用.利用三角函数的定义分别求得DE=2

BE=4>j3=AE,CD=6V3,利用新钢架减少用钢=AC+BC+CD-4E-BE-DE,代入数据计算即可

求解.

【详解】解：：等边△ABC,于点。，48长12m,

.'.AD=BD=-AB=6m,

2

■:乙BED=60°,

.*.tan600=—=V3,

DE

：.DE=2V3,

：.BE=y/DE2+BD2=4V3=AE,

:4CBD=60°,

CD-BD-tanZ-CBD-y/3BD—6y/3m,BC—AC—AB-12m,

新钢架减少用钢=AC+BC+CD-AE-BE-DE

=24+6V3-8V3-2V3=（24-4V3）m,

故选：D.

8.（2023•江苏南京）若一个等腰三角形的腰长为3,则它的周长可能是（）

A.5B.10C.15D.20

【答案】B

【分析】此题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，掌握相关知识是解题的关键.根据等腰三角

形的定义及三角形的三边关系求解即可.

【详解】解：••・等腰三角形的腰长为3,

3-3〈等腰三角形的底长＜3+3,

即0V等腰三角形的底长＜6,

6〈等腰三角形的周长＜12,

故选:B.

9.（2024•海南）设直角三角形中一个锐角为x度（0＜x＜90）,另一个锐角为y度，则y与x的函数关系

式为（）

A.y=180+xB.y=180—xC.y=90+%D.y=90—x

【答案】D

【分析】本题考查了函数关系式.利用直角三角形的两锐角互余可得到y与x的关系式.

【详解】解：•・,直角三角形中一个锐角的度数为x度，另一个锐角为y度，

,'.y=90—%.

故选：D.

10.（2024四川广元）如图，将ACBC绕点A顺时针旋转90。得到A4DE,点、B,C的对应点分别为点。，E,

连接CE,点。恰好落在线段CE上，若CD=3,BC=1,则AD的长为（）

A.V5B.V10C.2D.2近

【答案】A

【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得AC==90。,

DE=BC=1,推出AHCE是等腰直角三角形，CE=4,过点A作1CE于点”，得到HD=1,利用勾

股定理求出力D的长.

【详解】解：由旋转得△4BC三△ADE,ACAE=90°,

：.AC=AE,/.CAE=90°,DE=BC=1,

/.△ACE是等腰直角三角形，CE=CD+DE=3+1=4,

过点A作4H1CE于点、H,

E

BA

：.AH=\CE=CH=HE=2,

：.HD=HE-DE=2-1=1,

AD=y/AH2+HD2=V22+I2=V5,

故选：A.

11.（2023•浙江衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角4。的大小，需将4。转

化为与它相等的角，则图中与NO相等的角是（）

A.Z.BEAB.乙DEBC./-ECAD./-ADO

【答案】B

【分析】根据直角三角形的性质可知：N。与Z4D。互余，NDEB与乙4D。互余，根据同角的余角相等可得结

论.

【详解】由示意图可知：ADtM和AD8E都是直角三角形，

•­•4。+/LADO=90°,乙DEB+AADO=90°,

Z.DEB=4。，

故选：B.

12.（2023•海南）如图，在回A8CD中，AB=8,N4BC=60。，BE平分乙4BC,交边4。于点E,连接CE,若

AE=2ED,贝!的长为（）

AED

C.4V3D.2V6

【答案】C

【分析】由平行四边形的性质可得ND=/-ABC=60°,CD=AB=8,AD||BC,由平行线的性质可得乙4EB=

乙CBE,由角平分线的定义可得N4BE=NCBE,从而得到乙4BE=N4EB,推出4E=4B=8,DE=4,过

点E作EF1CD于点尸，由直角三角形的性质和勾股定理可得==2,EF=2愿,CF=6,即可得

到答案.

【详解】解：,••四边形2BCD是平行四边形，

Z.D=^ABC=60°,CD=AB=8,AD||BC,

•••Z.AEB=Z-CBE,

•••BE平分4ZBC,

Z-ABE=Z-CBE,

•••乙ABE=Z-AEB,

AE=AB=8,

•・•AE=2ED,

・•.DE=4,

如图，过点E作EF1CD于点F,

则NEFC=乙EFD=90°,

•••乙DEF=90°一乙D=90°-60°=30°,

1

DF=-DE=2,

2

•••EF=y/DE2-DF2=V42-22=2aCF=CD-DF=8-2=6,

•••CE=VCF2+EF2=k+（2百I=4痔

故选：C.

13.（2023•内蒙古）如图，在△ABC中，/.ABC=90°,Z.BAC=60°,以点4为圆心，以4B的长为半径画弧

交4C于点。，连接BD,再分别以点B,。为圆心，大于［BD的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线力P交BD

于点M,交BC于点E,连接DE,则〃BDE：SACDE的值是（）

A.1:2B.1：V3C.2:5D.3:8

【答案】A

【分析】根据尺规作图可得，4E是的平分线，可得N84E=30%由三角形内角和定理可得NC=30。，

由等腰三角形性质可得4E=CE,根据直角三角形的性质可得BE=\AE,可推出EC=2BE,根据三角形面

积公式即可求解.

【详解】解：由尺规作图可得，4E是ABAC的平分线，

."BAE=^LCAEABAC=30°,

2

'：^ABC=90°,Z.BAC=60°,

：.Z.C=30°,

：.AE=CE,

在RtUBE中，BE=^AE,

：.BE=\EC,即=

♦・S〉BDE：S〉CDE=1：2,

故选：A.

14.（2023•广东广州）如图，海中有一小岛A,在5点测得小岛A在北偏东30。方向上，渔船从5点出发由

西向东航行lOnmile到达。点，在。点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（）

.10V3

A.-----C.20D.10V3

【答案】D

【分析】连接力C,此题易得ABAC=30。，得4B=2BC=20,再利用勾股定理计算AC即可.

【详解】解：连接4C,

BO/I

BC

由已知得：^ABC=90°-30°=60°,^ACB=90°,CB=10,

：.ABAC=30°,

在RtAABC中，AB=2BC=20,

：.AC=yjAB2-BC2=V202-102=10V3（nmile）,

故选：D

15.（2023•宁夏）将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60。和45。角的顶点及

它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边

分别交直尺上沿于4,B两点，贝MB的长是（）

A.2-V3B.2V3-2C.2D.2V3

【答案】B

【分析】根据等腰直角三角形的性质可得4。=CD=2cm,由含30度角直角三角形的性质可得BC=2CD=

4cm,由勾股定理可得BD的长，即可得到结论.

【详解】解：如图，在RtZkaaD中，AACD=45°,

：./.CAD=45°=/.ACD,

'.AD=CD=2cm,

在RtABCD中，ZSCZ)=60°,

:.乙CBD=30°,

'.BC—2CD-4cm,

：.BD=VBC2-CD2=V42-22=2V3(cm),

：.AB=BD-AD=(2V3-3)cm.

故选：B.

16.(2023•四川德阳)如图.在AABC中，ACAD=90°,AD=3,AC=4,BD=DE=EC,点尸是AB边

的中点，贝UDF=()

A.-B.-C.2D.1

42

【答案】A

【分析】根据勾股定理可先求得CD的长度，根据直角三角形的斜边上的中线与斜边的数量关系，可求得2E

的长度，根据三角形的中位线定理可求得答案.

【详解】,：Z.CAD=90°,

△CW为直角三角形.

CD=yjAD2+AC2=V32+42=5.

,/点E为Rt△CAD的斜边CD的中点,

1K

：.AE=-CD=-.

22

■:BD=DE,BF=FA,

：.DF=-AE=-.

24

故选：A.

17.（2023•江苏徐州）如图，在△ABC中,IB=90。,乙4=30。,8。=2,。为AB的中点.若点E在边/C上,

且*=取，则4E的长为（）

ADDC

A.1B.2C.1或苧D.1或2

【答案】D

【分析】根据题意易得4B=2显,AC=4,然后根据题意可进行求解.

【详解】解：VzB=90°,=30°,BC=2,

：.AB=y/3BC=2痘,AC=2BC=4,

:点。为48的中点，

：.AD=|/1B=V3,

..AD_DE

*AB~BC9

：.DE=1,

①当点E为4C的中点时，如图，

：.AE=-AC=2,

2

②当点£为AC的四等分点时，如图所示:

：.AE=1,

综上所述：AE=1或2；

故选D.

18.（2023・贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多

几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120。，腰长为12m,则底边上的高

是（）

A

A.4mB.6mC.10mD.12m

【答案】B

【分析】作1BC于点D,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得NB=ZC=|（180°-4BAC）=

30。，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案.

【详解】解：如图，作4D1BC于点。，

vAD1BC,

11

AD=-AB=-X12=6m,

22

故选B.

19.（2023・河北）如图，在中，=4,点M是斜边的中点，以为边作正方形AMEF,若

s

mAMEF=16,贝瓦ABC=（）

A.4V3B.8V3C.12D.16

【答案】B

【分析】根据正方形的面积可求得4M的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定理求

得2C的长，根据三角形的面积公式即可求解.

【详解】解：YS正方形=16,

.'.AM=V16=4,

ABC中，点M是斜边BC的中点，

：.BC=2AM=8,

：.AC=y/BC2-AB2=>/82-42=4V3,

SAABC=|xABxAC=|x4x4-\/3=8A/3,

故选：B.

20.(2023•湖北黄冈)如图，RtAABC的直角顶点A在直线。上，斜边BC在直线6上，若a||七41=55。，

则22=()

【答案】C

【分析】利用平行线的性质及直角三角形两内角互余即可得解;

【详解】•••a\\b,

zl=/.ABC=55°,

又•••4ABC+N2=90°,

z_2=35°

故选择：C

21.（2023・湖南）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知N4CB=90°,

点。为边4B的中点，点A、8对应的刻度为1、7,贝北。=（）

A.3.5cmB.3cmC.4cmD.6cm

【答案】B

【分析】由图求得4B的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.

【详解】解：由图可知AB=7—1=