2025年中考数学专项复习：圆中的新定义问题（解析版）

剧中的新定义问题

(■1m

熊例题精讲

【例1】.如图，ZkASC是正三角形，曲线CDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中弧。、

弧。区弧EF的圆心依次按A、B、C…循环，它们依次相连接.若A8=l,则曲线CDEF

的长是4TC.

解：:△ABC是正三角形，

AZCAD=ZDBE=ZECF=12Q°,

又「ABn,

；.AC=1,BD=2,CE=3,

：.CD弧的长度=120X兀X1=2上;

1803

♦E弧的长度=120X兀义2=空;

1803

所弧的长度=12°X兀X3=2m

180

所以曲线CDEF的长为22L+里L+2n=4n.

33

故答案为：4ir.

A变式训练

【变1T].对于平面图形A,如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不

大于这个圆的半径，则称圆形A被这个圆“覆盖”.例如图中的三角形被一个圆“覆盖”.如

果边长为1的正六边形被一个半径长为R的圆“覆盖”，那么R的取值范围为RN1.

解：...正六边形的边长等于它的外接圆半径，

边长为1的正六边形被一个半径长为R的圆“覆盖”，那么R的取值范围为：R2L

故答案为：R2L

【变1-2].在平面直角坐标系xOy中，对于点PQ,b)和正实数k,给出如下定义：当

版2+匕>。时，以点尸为圆心，心2+6为半径的圆，称为点尸的“七倍雅圆”

例如，在图1中，点P(l,1)的“1倍雅圆”是以点P为圆心，2为半径的圆.

(1)在点Pi(3,1),P2(1,-2)中，存在“1倍雅圆”的点是Pi.该点的“1

倍雅圆”的半径为10.

(2)如图2,点M是y轴正半轴上的一个动点，点N在第一象限内，且满足NMON=

30°,试判断直线ON与点M的“2倍雅圆”的位置关系，并证明；

(3)如图3,已知点A(0,3),2(-1,0),将直线AB绕点A顺时针旋转45°得到

直线I.

①当点C在直线/上运动时，若始终存在点C的“4倍雅圆”，求左的取值范围；

②点D是直线AB上一点，点D的'q倍雅圆”的半径为R,是否存在以点。为圆心,秒^

为半径的圆与直线/有且只有1个交点，若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明

解：(1)对于Pi(3,1),圆的半径为g2+6=1X32+1=10>0,故符合题意;

对于尸2(1,-2),圆的半径为履2+6=1x12-2=-1<0,故不符合题意；

故答案为P,10；

(2)如图1,过点M作于点Q,

图1

则点M(0,m)(m>0),则圆的半径r=2X0+m=m

则RtAM。。中，NMOQ=/MON=30°,

直线ON与点M的“2倍雅圆”的位置关系为相交;

(3)①过点8作BE,直线/于点E,过点E作x轴的垂线交x轴于点G,交过点A与x

轴的平行线于点F,

将直线绕点A顺时针旋转45°得到直线/,则NE42=45°,故EA=EB,

"：ZFEA+ZFAE=90°,NGEB+/FEA=9Q°,

:.NFAE=NGEB,

VZAFE=ZEGB=90°,EA=EB,

：.AAFE^AEGB(44S),

：.EF=BG,EG=FA,BP3-y=-1-x,y=-x,

解得：x=-2,y=2,故点£(-2,2)；

设直线/的表达式为y=fcc+6,贝4b=3，解得,3节,

12=-2k+bR-Q

故直线/的表达式为产»3,

设点c（X,工x+3）,

2

:始终存在点C的“左倍雅圆”时，则圆的半径7=小+工.计3>0恒成立,

；/>0且AVO成立，即左>0且4=(•1)2-4X3左<0,

2

②存在，理由：

如图2,过点。作。“U于点”，

由点A、B的坐标同理可得，直线A8的表达式为y=3x+3,

设点D（x,3x+3）,

由点A、。的坐标得（x-0）2+（3x+3-3）2=百5kl，则HD=^~.

贝IjR=A/+b=3/+3x+3=3（x+2）2,贝ijJ型R=V^|X+2],

假设存在以点。为圆心，、2R为半径的圆与直线/有且只有1个交点,

解得：x=-1,

故点。的坐标为：（-1,0）.

【例2].我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与

“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图，点A,B,C,D分

别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点。的坐标为（0,-3）,为半圆的直径，半圆

圆心M的坐标为（1,0）,半圆半径为2.开动脑筋想一想，经过点。的“蛋圆”切线

的解析式为___________

解：因为经过点。的“蛋圆”切线过。（0,-3）点，所以设它的解析式为y=fcv-3,

为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1,0）,半圆半径为2,

AA（-1,0）,B（3,0）,

.抛物线过点A、B,

设抛物线的解析式为y=a(x+1)(尤-3),

又；抛物线过点D(0,-3),

-3),即。=1,

-2尤-3.

又'.,抛物线y—x2-lx-3与直线y—kx-3相切，

.♦.X2-2x-3=fcc-3,即％2-(2+左)x=0只有一个解，

/.△=(2+左)2-4X0=0,

：.k=-2即经过点。的“蛋圆”切线的解析式为＞=-2x-3.

A变式训练

【变2-1].已知定点尸(a,b),且动点Q(x,y)到点尸的距离等于定长r,根据平面内

两点间距离公式可得(x-fl)2+(y-b)2=/,这就是到定点尸的距离等于定长厂圆的

方程.已知一次函数的y=-2无+10的图象交y轴于点A,交尤轴于点2,C是线段A8

上的一个动点，则当以OC为半径的OC的面积最小时，GC的方程为(尤-4)2+(y

-2)2=(2A/S)2.

解：•.,一次函数的y=-2x+10的图象交y轴于点A,交x轴于点8,

AA(0,10),B(5,0),

AOA=10,OB=5,

AB=VOA2-K)B2=V102+52=5炳,

,/以oc为半径的oc的面积最小，

OCLAB,

'：S^ABO=—AB-OC=^OA'OB,

22

...oc=缈。殳=.10/=2V5，

AB5辰

设CG,-2r+10),

则0c2=a+(-2/+10)2=(275)2,

解得：九=/2=4,

：.C(4,2),

...以OC为半径的0c的oc的方程为（尤-4）2+（J-2）2=（2而）2,

故答案为：（尤-4）2+（y-2）2=（2泥）2.

【变2-2].

【定义】从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所

成的最大角称为该点对已知图形的视角，如图①，NAPB是点尸对线段的视角.

④⑤

【应用】

（1）如图②，在直角坐标系中，已知点A（2,我），B（2,273）,C（3,弧）,则

原点O对三角形ABC的视角为30。；

（2）如图③，在直角坐标系中，以原点O,半径为2画圆以原点。半径为4画

圆。2,证明：圆。2上任意一点尸对圆。1的视角是定值；

【拓展应用】

（3）很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④.现在有一条笔直

的天桥，标志性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为45°的位置拍

摄.现以建筑的中心为原点建立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为尤=-

5,正方形建筑的边长为4,请直接写出直线上满足条件的位置坐标.

解：（1）延长54交尤轴于点。，过点C作CELx轴于点E,

•.•点A(2,M),B(2,273),C(3,M),

：.AB//y^A,CE=V3-0E=3,

•*.AB±x轴，

・・・BD=2a，0D=2,

：,tanNBOD=^r=V3，tanNCOE=^~二零，

UUUEo

：.ZBOD=60°,ZCOE=30°,

・•・ZBOC=ZBOD-NCOE=30°,

即原点。对三角形ABC的视角为30°过答案为：30°(2)证明：如图，过圆02上任

一点尸作圆01的两条切线交圆01于4B,连接。4,OB,0P,则有04,出，OBL

・・・NOB4=30°,

同理可求得：N0尸3=30°,

1•NA尸5=60°,

即圆。2上任意一点P对圆01的视角是60°,

・,•圆。2上任意一点P对圆01的视角是定值.

(3)当在直线A3与直线CO之间时，视角是NAP。，此时以E(-4,0)为圆心，EA

半径画圆，交直线于尸3,尸6,

VZDP3B>ZDP3A=45°,ZAP6OZ£>P6C=45°,

不符合视角的定义，尸3,P6舍去.

同理，当在直线A8上方时，视角是/BPD,

此时以A(-2,2)为圆心，A8半径画圆，交直线于p,P5,尸5不满足；

过点尸1作交ZM延长线于点则APi=4,PiM=5-2=3,

斓小口/4叫=77，

：.p(-5,2+小)当在直线CD下方时，视角是/APC,

此时以。(-2,-2)为圆心，Z5C半径画圆，交直线于P2,P4,P4不满足；

同理得：F>2(-5,-2-V7);

综上所述，直线上满足条件的位置坐标P](-5,2+近)或P?G5,-2-V7)-

n实战演练

1.如图，六边形A8CDEE是正六边形，曲线尸KiK2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，

其中引，KZIL,…的圆心依次按点A，B,C,D,

E,方循环，其弧长分别记为/l,h,13,/4,/5,/6,….当A8=l时，/2011等于()

&

A2011几口2011K「2011兀62011兀

2346

解：…=三

1803

60几X2_2九

,-180~3~

f60兀X3—3兀

~180~3~

〃60兀X44兀

1803

按照这种规律可以得到：

.,_20U7T

•」2011=--------------.

3

故选：B.

2.已知线段AB,OM经过A、8两点，若90°WNAMBW12O。，则称点M是线段AB的

“好心”；0M上的点称作线段AB的“闪光点”.已知A(2,0),B(6,0).

①点M(4,2)是线段AB的“好心”；

②若反比例函数y=K上存在线段AB的“好心”，则国返WLW8；

x3

③线段的“闪光点”组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；

④若直线y=x+6上存在线段AB的“闪光点”，则-10W6W2.

上述说法中正确的有()

A.①②③④B.①③④C.①③D.①②

解：①如图1,

：.AM=BM,AC=CM=BC=2,ZACM=90°,

.•.圆M经过4、2两点，且NAMB=90°,

.•.点M(4,2)是线段A3的“好心”,

故①正确；

②若反比例函数y=K上存在线段的“好心”，

x

z)点/在x轴上方时，当NAM2=90°时，如图1,此时点M(4,2),即M在反比例

函数》=上图象上，

X

.•・％=2X4=8；

当NAMB=120°时，如图2,过点〃作MC_LA8于C,

Ay

6-

5-

4-

3-

/-M

।।।A5^

-2-\O123456-r

一1-

—21图2

9：AM=MB,

：.ZBAM^30°,

\'AC=2,

V33

：.M（4,

3

在反比例函数y=K图象上，

X

:.k=4乂囚工=对工,

33

...J2Z1_W%W8；

3

z7）点M在x轴的下方时，同理可得-8WZ-虫1_,

3

故②不正确;

③线段AB的闪光点组成的图形如图3所示：

所以线段的“闪光点”组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形;

故③正确；

④当直线＞=/6与上述两个大圆相切时属于临界状态，在两条切线范围内存在“闪光点”,

设直线y=&+b与圆M相切于点尸，则MP与之垂直，且线段是直径，

VB(6,0),M(4,2),

：.P(2,4),

代入y=x+b得，2+b=4,

:.b=2；

设直线y=fcv+6与圆M'相切于点"，则〃与之垂直，且线段4H是直径，

VA(2,0),M'(4,-2),

：.P(6,-4),

代入y=x+，得,6+b'=-4,

:.b'=-10；

综上可知，b的取值范围是-10W/?W2,

故④正确；

所以上述说法中正确的有①③④.

故选：B.

3.我们知道沿直线前进的自行车车轮上的点既随着自行车做向前的直线运动，又以车轴为

圆心做圆周运动，如果我们仔细观察这个点的运动轨迹，会发现这个点在我们眼前划出

了一道道优美的弧线.其实，很早以前人们就对沿直线前进的马车车轮上的点的轨迹产

生了浓厚的研究兴趣，有人认为这个轨迹是一段段周而复始的圆弧，也有人认为这个轨

迹是一段段的抛物线.你认为呢？摆线(Cycloid)：当一个圆沿一条定直线做无滑动的滚

动时，动圆圆周上一个定点的轨迹叫做摆线.定直线称为基线，动圆称为母圆，该定点

称为摆点：

现做一个小实验，取两枚相同的硬币并排排列，如果我们让右侧的硬币绕左侧硬币做无

滑动的滚动，那么：

(1)当右侧硬币上接触点A的运动轨迹大致是什么形状？

(2)当右侧硬币转到左侧时，硬币面上的图案向还是向下？

(3)当右侧硬币转回原地时，硬币自身转动了几圈？()

B.一条摆线；向上；1圈

C.一条围绕于硬币的封闭曲线；向上；2圈

D.一条摆线；向下；2圈

解：(1)根据题意中的表述，可知其运动轨迹是一条围绕于硬币的封闭曲线；

(2)当右侧硬币转到左侧时，硬币自身转动了1圈，故硬币面上的图案向上；

(3)分析可得：当右侧硬币转回原地时，硬币自身转动2圈.

故选：C.

4.定义：如果P是圆。所在平面内的一点，。是射线。尸上一点，且线段OP、。。的比例

中项等于圆。的半径，那么我们称点P与点。为这个圆的一对反演点.已知点〃、N为

圆。的一对反演点，且点〃、N到圆心。的距离分别为4和9,那么圆0上任意一点到

点、M、N的距离之比细=—.

AN一

解：由题意。。的半径J=4X9=36,

Vr>0,

r—6,

当点A在N。的延长线上时，AM=6+4=10,AN=6+9=15,

.AM=22=_2

"AN"153'

当点A"是ON与OO的交点时，A"M=2,A"N=3,

.A"M2

,•A”N

当点A'是OO上异与A,A"两点时，易证△OA'MsAONA',

.A7M_QAy_6_2

"A7NON©百，

综上所述，

AN3

故答案为：2

3

5.如图，在△ABC中，D,E分别是△ABC两边的中点，如果DE(可以是劣弧、优弧或半

圆)上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称宙为△ABC的中内弧，例如，图中立是

△ABC其中的某一条中内弧.若在平面直角坐标系中，已知点尸(0,4),O(0,0),H

(4,0),在中，M,N分别是尸0,M的中点，的中内弧诵所在圆的圆

心P的纵坐标m的取值范围是〃W1或〃z22.

解：如图，连接MN,

由垂径定理可知，圆心尸一定在线段MN的垂直平分线上，

作MN的垂直平分线QP,

'：M,N分别是尸O,尸H的中点，且尸(0,4),O(0,0),H(4,0),

：.M(0,2),N(2,2),Q(1,2),

若圆心在线段MN上方时，

设P(l,m)由三角形中内弧定义可知，圆心尸在线段上方射线QP上均可，

当圆心在线段MN下方时，

"：OF=OH,ZFOH=90°

：.ZFHO=A5°,

'：MN//OH,

:"FNM=/FHO=45°,

作NG±FH交直线QP于G,QG=NQ=1,

根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方(含点G)的直线。尸上时也符合要

求；

综上所述，"zWl或初22,

故答案为加W1或根，2.

6.如图（1）,ZVIBC是正三角形，曲线。ALBICI…叫做"正三角形ABC的渐开线”，其中

,耳面7瓦陶，…依次连接，它们的圆心依次按A，B,C循环•则曲线CA1B1C1

叫做正△ABC的1重渐开线，曲线CA1B1C1A2B2C2叫做正△ABC的2重渐开线，…，曲

线CAiBiC也…4山,心叫做正△ABC的w重渐开线.如图（2）,四边形A8CD是正方形，

曲线CA181C1D1…叫做‘正方形ABCD的渐开线"，其中X1,工1]，B^C-[,可…

依次连接，它们的圆心依次按A,B,C,。循环.则曲线D41B1C1O1叫做正方形A8CD

的1重渐开线，…，曲线。42心£）也“必出，（：血,叫做正方形43。£）的“重渐开线.依

次下去，可得正力形的w重渐开线（〃23）.

若AB=1,则正方形的2重渐开线的长为18m若正〃边形的边长为1,则该正〃边形的

〃重渐开线的长为n（力2+1）n.

则该正，，边形的第一重渐开线长=誓,二重=筌+不

第〃重渐开线的长誓+程彩

,+...+902L2Sn

180

这是四边形，如果是a边形,

则内角和是(〃-2)X1804-/2,

所以正〃边形的边长为1,

则该正n边形的n重渐开线的长为2n/n(1+2H■…+W)+2TT/”[("+1)+(〃+2)H---!■(〃+“)]+…

+2n/n{[(n-1)n+l]+[(n-1)n+2]4■…+[(n-1)n+ri\=n(n2+l)IT.

7.一个玻璃球体近似半圆0,AB为直径.半圆。上点C处有个吊灯EREF//AB,COL

AB,跖的中点为。，OA=4.

(1)如图①，CM为一条拉线，/在上，OM=1.6,DF=0.8,求CD的长度.

(2)如图②，一个玻璃镜与圆。相切，H为切点,/为上一点，为入射光线,

N”为反射光线，ZOHM=ZOHN=45°,tanZCOH=^-,求ON的长度.

4

(3)如图③，M是线段08上的动点，为入射光线，ZHOM=50°,"N为反射光

线交圆。于点N,在M从。运动到B的过程中，求N点的运动路径长.

解：(1)'：OM=1.6,DF=O.S,EF//AB,

DF是△COM的中位线，

点。是OC的中点，

,?OC=OA=4,

：.CD=2；

(2)如图②，过点N作于点D,

AOMB

VZOHN=45°,

/.ANHD是等腰直角三角形,

：.ND=HD,

：tanNCOH=3,ZNDO=90°,

4

•.•-N---D_-3-,

OD4

设ND=3x=HD,则0D=4x,

，：OH=OA=4,

.•.OH=3x+4x=4,

•x=4

7

；.ND=-X3=—,0D=—X4=—,

7777

ON=VOD2+ND2=-y-；

(3)如图，当点M与点。重合时，点N也与点O重合，当点M运动至点2时，点N

运动至点T,故点N的运动路径长为04+舒的长，

：.ZOHB=ZOBH=65°,

VZOHM=ZOHT,OH=OT,

：.ZOTH=ZOHT=65°,

：.ZTOH=5Q°,

AZAOT=180°-50°-50°=80°,

••・舒的长=8QXnx16

IT,

180T

点N的运动路径长=4+」旦TT.

9

8.我们不妨定义：有两边之比为1：«的三角形叫敬“勤业三角形”.

（1）下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是③④；（填序号）

①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三

角形.

（2）如图1,△ABC是。。的内接三角形，AC为直径，。为AB上一点，且

作DELOA,交线段。4于点F,交O。于点E,连接BE交AC于点G.试判断△AED

并求出毁的值；如果不是，请

和AABE是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明,

BE

说明理由;

(3)如图2,在(2)的条件下，当AF：FG=2：3时，求NB即的余弦值.

解：①等边三角形各边的比值为1,故等边三角形不是“勤业三角形"；

②等腰直角三角形两直角边的比值为1，直角边与斜边的比为1：故等腰直角三角

形不是“勤业三角形”；

③设含30角的直角三角形的最短边长为a,则斜边长为2m另一条直角边长为正a,a：

V3«=l：«，故含30°角的直角三角形是“勤业三角形"；

④如图：/XABC中，AB=AC,Za=120°,过点A作AD_LBC于点£),

.,.ZB=ZC=30°,

设A£)=a,贝i」A8=AC=2a,BD=DC=Ma,

***BC=/2y]~^cir

：.AB：BC=AC-.8c=1：M，

.•.含120。角的等腰三角形是“勤业三角形”，

故答案为：③④；

(2)解：ZXA即和△ABE都是“勤业三角形”,

证明如下：

如图：连接。E,设/A2E=a,

ZAOE^2ZABE^2a,

'：OA=OE,

：.ZOAE=^-(180°-ZAOE)=A(180°-2a)=90°-a,

22

XVDEXAC,

AZAED+ZOAE=90°,即NAED+90。-a=90°,

/AED=NABE=a,

又；/EAD=NBAE,

：.AADESAAEB,

.AEADDE

"AB"AE"EB'

AE2^AD-AB,

'：BD=2AD,

：.AD=—AB,

3

•••AE21AB2,A£2=3AD2,

o

.AE1AD1

ABV3AEV3

...△AED和aABE都是“勤业三角形"，

.DE_AE_1^V3.

,•瓦而

(3)解：如图：过点G作G/〃A8交。E于点/,

:.二FGIs^FAD,AEIGs^EDB,

.GI__IF^GF^3EG=GI「EI

AD"5F"AF"2'EB"BD'ED

:.GI=3AD,

2

"：BD=2AD,

•.G•I-3-11,

BD4

•EGGIEI.3

,•西而五X

设EG=3a,EB=4a,

由（2）知，旦

BE3

:.E1=SED=MCI,DI=ED-El=^ZLa_^a=^l-a

433

•••3=凯半a，

DD

...£F=EZ+/F=V3O+—a=-a,

55

在RtZ^EFG中，

即CGS/BED=^^~.

5

9.对于平面内的两点K、L,作出如下定义：若点。是点L绕点K旋转所得到的点，则称

点。是点L关于点K的旋转点；若旋转角小于90°,则称点。是点L关于点K的锐角

旋转点.如图1,点。是点L关于点K的锐角旋转点.

(1)已知点A(4,0),在点。1(0,4),0(2,蓊)，23(-2,2V§)，。4(蓊，

-272)中，是点A关于点。的锐角旋转点的是。2,。4.

(2)已知点2(5,0),点C在直线y=2尤+b上，若点C是点2关于点。的锐角旋转点，

求实数6的取值范围.

(3)点。是x轴上的动点，D(/,0),E(r-3,0),点、F(m,n)是以。为圆心，3

为半径的圆上一个动点，且满足“20.若直线y=2无+6上存在点尸关于点E的锐角旋转

点，请直接写出f的取值范围.

：.OA=OQi=4,ZAOQi=90°,

点Qi不是点A关于点O的锐角旋转点；

：。2(2,，作。无轴于点R

2222

•••0Q2=^OF+Q2F=V2+(2A/3)=4=04,

,?tanZQiOF==73，

.•./。2。/=60°,

・••点。2是点A关于点。的锐角旋转点;

付

X

-N

：。3（-2,K回），作0GJ_X轴于点G,

则tan/QOG=^=唱飞，

・・・N。30G=60°,

——=4=OA,

cos60

VZAOQ3=180°-60°=120°,

・・・。3不是点A关于点O的锐角旋转点；

Vg4（2V2，-2点），作。4HLi轴于点

则tanZ。4。"=----=外&=1,

OH2V2

・・・NQ40H=45°,

:0Q4=------------------=2"=4=04

cos/Q40Hcos45

；.。4是点A关于点O的锐角旋转点；

综上所述，在点。1,。2,。3,。4中，是点A关于点0的锐角旋转点的是。2,。4,

故答案为：。2,。4.

(2)在y轴上取点P(0,5),当直线y=2x+b经过点尸时，可得6=5,

当直线y=2x+b经过点2时，则2X5+6=0,

解得：b=-10,

...当-10<b<5时，。8绕点O逆时针旋转锐角时，点C一定可以落在某条直线y=2x+b

过点。作OGJ_直线y=2x+6,垂足G在第四象限时，如图，

则OT=-b,OS=-」b,

2

5r=VoS2-K)T2(^-b)2+(-b)2=_零从

当0G=5时，6取得最小值，

V5X(-叵b)=-bX(-lb),

22

：.b=-5遥，

-5«W6<5.

(3)根据题意，点B关于点E的锐角旋转点在半圆E上，设点P在半圆S上，点。在

半圆T上(将半圆。绕点E旋转)，如图3(1),半圆扫过的区域为图3(1)中阴影部

分，

如图3(2)中，阴影部分与直线y=2x+6相切于点G,tanNEMG=2,SG=3,过点G

作轴于点/,过点S作SJLG/于点J,

/.ZSGJ=ZEMG,

tanZSGJ=tanZEMG=2,

GI=GJ+JI=3+^^-，

5

MI=』G/=,

2210

：.OE=IE+MI-OM=S^--3,即XE=L3=^^--旦，

2222

解得/=舅£+3,

22

如图3(3)中，阴影部分与HK相切于点G,tanZOMK=tanZEMH=2,EH=6,则

MH=3,EM=3遥,

:・xE=t-3=-3-3^5»

解得t=-3^/5，

观察图象可知，-3jMWf<3+曼豆+旦.

10.在平面直角坐标系无0y中，正方形ABCZ)的顶点分别为A(0,1),B(-1,0),C(0,

-1),D(1,0).对于图形给出如下定义：尸为图形M上任意一点，。为正方形

ABC。边上任意一点，如果P,Q两点间

的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d(M).

已知点E(3,0).

①直接写出d(点E)的值；

②过点E画直线y=kx-3k与y轴交于点F,当d(线段EF)取最小值时，求k的取值

范围；

③设T是直线y=-x+3上的一点，以T为圆心，加长为半径作0T.若d（G）T）满足d

备用图

解：①；E（3,0）,B（-1,0）,

：.d（点E）=BE=4；

@'：d（线段EE）取最小值，

：.d（线段所）的最小值=d（点E）=4,

（点F）W4,

当d（点/）=4时，F（0,3）或（0,-3）,

当F（0,3）时，k=-1,

当尸（0,-3）时，k=l,

：.-1WZW1；

③由②可知，d（点E）=d（点/）=4<3百5，

2

.•.£）点T在第二象限或第四象限，

设T（x,-x+3）,

当T点在第二象限时，TC=时，/+（-x+3+i）2=-9Q,

24

解得尤=2-运或x=2+返（舍）；

22

当T点在第四象限时，时，（x+i）2+（-x+3）2=毁

24

解得尤=1+返电或尤=1-返鱼（舍）；

22

,:d（OD>^-V10+V2，

2

.•.尤或x<2-

与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第I类圆；与

矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第n类圆.

【初步理解】

（1）如图①〜③，四边形是矩形，。。1和。。2都与边A。相切，002与边4B

相切，。。1和。。3都经过点8,。。3经过点。，3个圆都经过点C.在这3个圆中，是

矩形ABCD的第I类圆的是①，是矩形ABC。的第II类圆的是②.

【计算求解】

（2）已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6,直接写出它的第I类圆和第H类圆的

半径长.

【深入研究】

（3）如图④，已知矩形ABCD,用直尺和圆规作图.（保留作图痕迹，并写出必要的文

字说明）

①作它的1个第I类圆；

②作它的1个第II类圆.

解：(1)由定义可得，①的矩形有一条边与。。1相切，点8、C在圆上，

①是第I类圆；

②的矩形有两条边AZXA8与。。2相切，点C在圆上，

②是第II类圆；

故答案为：①，②；

(2)如图1,设A£>=6,AB=4,切点为E,过点。作EF_LBC交BC于凡交于E,

连接BO,

设8。=〃则。E=r,OF—4-r,

由垂径定理可得，BF=CF=3,

在RtZ\20/中，於=(4-r)2+32,

解得「=至；

8

如图2,设AD=4,BC=6,切点为E,过点。作班交BC于R交AD于E,连

接8。，

设2。=厂，则OE=r,0F=6-r,

由垂径定理可得，BF=CF=2,

在RtABO/中，，=(6-r)2+22,

解得「=独；

3

综上所述：第I类圆的半径是至或蛇；

83

如图3,AD=6,AB=4,过点。作MNLAD交于点交BC于点N,连接0C,

设AB边与。。的切点为G,连接0G,

JGOLAB,

设OA1=r,贝!!OC=r,贝UON=4-r,

•.*OG=r,

:,BN=Y,

:,NC=6-r,

在RtZSOCN中，，=(4-r)2+(6-r)2,

解得r—10-4*\/3,

.•.第n类圆的半径是io-473；

(3)①如图4,

第一步，作线段AO的垂直平分线交于点片

第二步，连接EC,

第三步，作EC的垂直平分线交E尸于点O，

第四步，以。为圆心，EO为半径作圆，

二。。即为所求第I类圆；

②如图5,

第一步：作/BAO的平分线；

第二步：在角平分线上任取点E,过点E作EFLA。，垂足为点B

第三步：以点E为圆心，E尸为半径作圆E,交AC于点G,连接尸G；

第四步：过点C作C”〃/G,CH交AD于点H；

第五步：过点》作AO的垂线，交NR4。的平分线于点O;

第六步：以点。为圆心，0H为半径的圆，。。即为所求第II类圆•

图1

12.在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1，已知点A,过点A作直线对于点A

和直线MN,给出如下定义：若将直线MN绕点A顺时针旋转，直线MN与O。有两个

交点时，则称是。。的“双关联直线”，与O。有一个交点尸时，则称是。。的

“单关联直线”，AP是O。的“单关联线段

(1)如图1,A(0,4),当MN与y轴重合时，设与。。交于C,。两点.则

是。。的“双关联直线”(填“双”或“单”)；32的值为3或立；

AD-5一3一

(2)如图2,点A为直线y=-3x+4上一动点，AP是。。的“单关联线段”.

①求OA的最小值；

②直接写出△APO面积的最小值.

解：(1)当与y轴重合时，

与O。交于C,D两点，

根据。。的“双关联直线”的定义可知：是。。的“双关联直线”;

当点C在y轴的正半轴时，AC=3,A£>=5,

.AC_3

•,------;

AD5

当点。在y轴的正半轴时，AO=3,AC=5,

•.•-A-C-,5

AD3

综上，空■的值为：3或

AD53

故答案为：双；旦或§；

53

(2)①过点O作OA垂直于直线y=-3x+4于点A,如图，

设直线y=-3冗+4与y轴交于点与x轴交于点N,

令x=0,则y=4,

：.M(0,4),

.•.OM=4,

令y=0,贝卜3x+4=0,

・尸4

3

：.N(A,0),

3

：.0N=±,

3

MN=VOM2-K)N2=-

o

•,SA0MN4XOM-ON^kxOA-MN,

.\4XA=XOA,

33

.•.。4=①

5

②△AP。的面积最小值为H.理由：

10

尸是。。的“单关联线段”，

尸与O。相切于点尸，贝UOPLOA,即△APO为直角三角形，

由于△AP。的一个直角边为1,当0A最小时，△APO的面积最小,

/.当0A垂直于直线y=-3x+4于点A时，△AP。的面积最小.

连接。尸，如图，

：.APLOP,

•••♦尸=y0人2_0口2=隼＞,

.,.△APO的面积最小值为Lx运■X1=H

2510

13.在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1,A为任意一点，8为。。上任意一点.给

出如下定义：记A,8两点间的距离的最小值为p(规定：点A在。0上时，p=0),最

大值为分那么把号■的值称为点A与。。的“关联距离”，记作d(A,OO).

(1)如图，点。，E,尸的横、纵坐标都是整数.

①d(D,OO)=2；

②若点M在线段所上，求d(M,OO)的取值范围；

(2)若点N在直线上，直接写出d(N,OO)的取值范围；

(3)正方形的边长为若点尸在该正方形的边上运动时，满足d(P,OO)的最小值

为1,最大值为JT5，直接写出力的最小值和最大值.

y

r11111

111111

111111

L1_LJ2,111

111111

11।111

1।1111

L___L_>1111

「

r1「

111J111

111111

111111

1______1______1_________1______1_____1

111111

111111

1_____J------1------

解：(1)@'：D(0,2)到OO的距离的最小值p=l,最大值4=3,

：.d(£>,OO)=上曳=2,

2

故答案为：2；

②当M在点E处，d(E,(DO)=2,

当Af在点尸处，d(F,OO)=2t殳=3,

2

CM,。。)W3；

(2)设ON=d,

••