2025年新高考数学一轮复习：圆锥曲线背景下的新定义问题（八大题型）（学生版+解析）

拔高点突破03圆锥曲线背景下的新定义问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：定义新曲线.............................................................2

题型二：双扭线.................................................................3

题型三：卡西尼卵形线...........................................................5

题型四：心形线.................................................................6

题型五：四叶草曲线.............................................................7

题型六：定义新图形.............................................................9

题型七：定义新性质............................................................11

题型八：综合问题..............................................................13

03过关测试....................................................................15

方法技巧与总结

圆锥曲线背景下的新定义问题，关键在于理解新定义的本质，并将其与常规圆锥曲线知识相结合。

方法总结如下：

1、明确新定义：首先仔细阅读题目，明确新定义的内容、符号及其含义。

2、联系常规知识：将新定义与圆锥曲线的第一、第二定义或标准方程等常规知识联系起来，找出它

们的相似之处或转换关系。

3、建立数学模型：根据新定义，建立相应的数学模型或方程，利用解析几何或代数方法进行求解。

4、验证与推理：在求解过程中，注意验证每一步推理的正确性，确保最终答案符合题目要求。

5、灵活应用：对于复杂问题，可能需要综合运用多种数学知识和方法，灵活应对。

//

题型一：定义新曲线

【典例1-1】若将一个椭圆绕其中心旋转90。，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭

圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（）

A.£=1B,r£尤―T

++=1CD=i

843562-f4

【典例1-2］（多选题）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离,不是树枝无法相依，而是相互了望的星星;

世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅.已知点尸（1,。），直线/:x=4,动点P到

点尸的距离是点尸到直线1的距离的一半.若某直线上存在这样的点P,则称该直线为“最远距离直线”，则

下列结论中正确的是（）

22

A.点P的轨迹方程是土+乙=1

43

B.直线/］：工+2＞一4=0是“最远是巨离直线”

C.平面上有一点A（-U）,则1丛1+上尸W的最小值为5

D.点P的轨迹与圆C:x2+y2-2x=0是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）

【变式1-1］（多选题）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新/og。.设计师的灵

II22

感来源于曲线c：+"l"=l.其中星形线E：|x|i+|y|i=1常用于超轻材料的设计.则下列关于星形线说法

正确的是（）

A.E关于y轴对称

B.E上的点到x轴、y轴的距离之积不超过。

O

c.E上的点到原点距离的最小值为:

D.曲线E所围成图形的面积小于2

题型二：双扭线

【典例2-1］（多选题）（2024•高三.湖北鄂州•期末）中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，

可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于它所

显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线，却

可以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.曲线C：（f+y2『=9（x2-y2）是

A.曲线C的图象关于原点对称

B.曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）

C.曲线C上任意一点到坐标原点。的距离都不超过3

D.若直线>=丘与曲线C只有一个交点，则实数%的取值范围为［1,+w）

【典例2-2】“四二一广场”是重庆第一中学校的文化地标（如图1）,广场中心的建筑形似火炬宛若花开，

三朵“花瓣”都是拓扑学中的莫比乌斯带（如图2）.将莫比乌斯带投影到平面上，会得到无穷大符号“oo”.在

平面直角坐标系中，设线段AB长度为2a（。>0）,坐标原点。为中点且点A,8均在无轴上，若动点

产满足=那么点p的轨迹称为双纽线，其形状也是无穷大符号“oo”（如图3）.若。=1,点P

3

在第一象限且cos/PO8=',贝（）

图1图2图3

A-1B.D.2

【变式2-1］（2024•陕西榆林•三模）在平面直角坐标系xOy中，把到定点耳（-。,0）,西（。,0）距离之积等于

/（a>0）的点的轨迹称为双纽线.若。=2,点/（工,%）为双纽线C上任意一点，则下列结论正确的个数是

()

①C关于x轴不对称

②c关于y轴对称

③直线y=x与c只有一个交点

④c上存在点尸，使得归耳|=「局

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式2-2］在平面上，定点月、尸2之间的距离|£《|=2c.曲线C是到定点小尸2距离之积等于，（c>。）

的点的轨迹.以点K、鸟所在直线为X轴，线段耳耳的中垂线为y轴，建立直角坐标系.已知点Mx。，%）是

曲线C上一点，下列说法中正确的有（）

①曲线C是中心对称图形：

②曲线C上有两个点到点月、尸2距离相等；

③曲线C上的点的纵坐标的取值范围是

④曲线C上的点到原点距离的最大值为怎

A.①②B.①③C.①③④D.①②③④

【变式2-3］（2024•内蒙古赤峰•一模）2022年卡塔尔世界杯中的数字元素——会徽（如图）正视图近似伯

努利双纽线.定义：在平面直角坐标系xOy中，把到定点E（-〃,0）旦（〃,0）的距离之积等于/（a>0）的点的轨

迹称为双纽线C.已知P（%,%）是双纽线C上的一点，下列说法错误的是（）

A.双纽线C关于原点。成中心对称

a,,a

B.——<y<—

202

C.双曲线c上满足耳|=|p四的点P有两个

D.|OP|的最大值为

题型三：卡西尼卵形线

【典例3-1］（多选题）我们在解析几何学习过程中知道椭圆、双曲线定义分别是到两定点距离之和、距离之

差的绝对值等于某个定值.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为常数

的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.已知两定点耳（-2,0）,月（2,0）,动点P（%%）满足|尸耳|忖阊=4,

设尸的轨迹为曲线C,则下列命题正确的是（）

A.曲线C过原点

B.尸的横坐标最大值是20

3

C.P的纵坐标最大值是不

D.21n（尤;+1）

【典例3-2】天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：平面内到两个定点的距离之积为常

数的点的轨迹是卡西尼卵形线（CassiniOval）.在平面直角坐标系中，设定点为耳（-c,0）,g（c,0）,点。

为坐标原点,动点P（x,y）满足归耳|忖闾=/（。20且为常数），化简得曲线E：

222224

x+y+c^yj4xc+a.下列命题中正确序号是.

①曲线E既是中心对称又是轴对称图形；

②俨蜀+|P闾的最小值为2a；

③当a=c时，|PO|的最大值为友〃；

@月尸层面积不大于;

【变式3-1】卵形线是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个

定点（叫做焦点）的距离之积等于常数的点的轨迹.某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性

质的探究，设耳（-C,。），居（3。）是平面内的两个定点，1尸耳“尸乙1="（。是定长），得出卡西尼卵形线的

相关结论：①该曲线既是轴对称图形也是中心对称图形；②若〃=c,则曲线过原点；③若0<a<c,则曲

线不存在；④若0<c<a,贝|。2-。24/+、24。2+。2其中正确命题的序号是.

【变式3-2］（2024•河南濮阳•模拟预测）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称

为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系xOy中，动点P（x,y）到两个定点耳（TO）,乙。,0）的距离之积等于3,

化简得曲线C：/+/+1=32+9,下列结论不正确的是（）

A.曲线C关于y轴对称

B.|尸耳用尸闾的最小值为2/

3

C.可尸与面积的最大值为1

D.|0P|的取值范围为［3,2］

题型四：心形线

【典例4-1］（多选题）（2024・高三.浙江.开学考试）数学家笛卡尔研究了很多曲线，传说笛卡尔给公主克里

斯蒂娜寄的最后一封信上只有一个数学表达式：r=a（l-sin。），克里斯蒂娜用极坐标知识画出了该曲线图

”，明白了笛卡尔的心意.已知利用关系式.〃和〃=产亨可将信中表达式转化为直角坐标系下的

曲线方程.如图，该曲线图象过点（。,-2）,则（）

B.曲线经过点（-1,0）

C.当点（%,%）在曲线上时，一苧芋

D.当点（%,为）在曲线上时，一24%4：

【典例4-2］（多选题）（2024•全国•模拟预测）“心形线”体现了数学之美，某研究小组用函数图象：

22

G:尸4+，一/+4.丫，C2:y=4+y/-x-4x和抛物线C3:x=2py的部分图象围成了一个封闭的“心形线”,

过G焦点尸的直线/交G（包含边界点）于A,8两点，P是C1或G上的动点，下列说法正确的是（）

p

「o|X

A.抛物线C,的方程为C3：/=4y

B.|PB|+|EB|的最小值为5

c.SPAB的最大值为7

D.若尸在G上，则P4PB的最小值为T

【变式4-1]（多选题）（2024.高三.海南省直辖县级单位.开学考试）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲

线，如星形线、卵形线、蔓叶线等，心形线也是其中一种，因其形状像心形而得名，其平面直角坐标方程

可表示为炉+/+殁=+y2M>o,图形如图所示.当°=1时，点鸟（孙％）在这条心形线C

上，且玉%k0,则下列说法正确的是（）

A.若西//（成,则附|=2

B.若0[〃0£,贝“附网=1

C网+网<4

D.C上有4个整点（横、纵坐标均为整数的点）

题型五：四叶草曲线

【典例5-1】（2024•云南昆明•模拟预测）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C:（尤2+y]=4/y2被称为

幸运四叶草曲线”（如图所示）.给出下列四个结论：

①曲线c关于直线丁=一工对称；

②存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线c在此正方形区域内（含边界）；

③存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C在此圆面内（含边界）；

④曲线C上存在一个点M,使得点M到两坐标轴的距离之积等于1.

其中，正确结论的序号是.

【典例5-2】（2024.云南昆明•模拟预测）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线。［M+^丫=^^^^被称为

“幸运四叶草曲线''（如图所示）.给出下列四个结论：

①曲线C关于直线y=ax（aN0）交于不同于原点。的%）,以々，％）两点，则%+%+必+%=0

②存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）；

③存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C在此圆面内（含边界）；

④曲线C上存在一个点使得点”到两坐标轴的距离之积大于;.

其中，正确结论的序号是.

【变式5-1］（2024•四川内江•三模）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图：四叶草曲线C就是其

中一种，其方程为（尤②+/）'=/丁.给出下列四个结论：

y

①曲线c有四条对称轴；

②曲线c上的点到原点的最大距离为：；

③在第一象限内，过曲线C上一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为:；

O

④四叶草面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是.

【变式5-2](多选题)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方

B.曲线C上的点到原点的最大距离为g

C.曲线C第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为。

O

D.四叶草面积小于?TT

题型六：定义新图形

【典例6-1】(2024・浙江舟山•模拟预测)阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用.如图，在平

面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点

A(-LO),4(0,-2),4(3,0),4(0,4),A(-5,0),4(0,-6),4(7,0),4(0,8),并按这样的规律继续下去.

⑴求44,4A+4.

⑵求证：不存在正整数〃，使得三角形44+4+2的面积为2022;

（3）求证：对于任意正整数力，三角形AA+A+2为锐角三角形.

222

【典例6-2］（2024.河北衡水•一模）在空间直角坐标系下，由方程去+方+亍=1（。＞0,。＞0,。＞0）所表示

的曲面叫做椭球面（或称椭圆面）.如果用坐标平面2=0,〉=0,*=0分别截椭球面，所得截面都是椭圆（如

图所示），这三个截面的方程分别为/b2,c上述三个椭圆叫做椭球面的王

z=0y=0x=0

截线（或主椭圆）.已知椭球面的轴与坐标轴重合，且过椭圆j9'16一’与点则这个椭球面

z=0

【变式6-1］（2024•山东青岛.三模）在平面内，若直线/将多边形分为两部分，多边形在/两侧的顶点到直

22

线/的距离之和相等，则称/为多边形的一条“等线”，己知O为坐标原点，双曲线E:3-==1（°＞0,6＞0）

ah

的左、右焦点分别为耳，居,E的离心率为2,点P为E右支上一动点，直线机与曲线E相切于点尸，且与E

的渐近线交于48两点，当轴时，直线y=l为，尸月居的等线.

（1）求E的方程；

⑵若y=属是四边形AFtBF2的等线，求四边形AFtBF2的面积；

(3)设OG=(OP,点G的轨迹为曲线「，证明:「在点G处的切线〃为AAG4的等线

【变式6-2](2024•河南信阳•模拟预测)在空间解析几何中，可以定义曲面(含平面)S的方程，若曲面S

和三元方程E(x,%z)=0之间满足：①曲面S上任意一点的坐标均为三元方程歹(x,y,z)=。的解；②以三

元方程F(x,y,z)=0的任意解(%,%,z0)为坐标的点均在曲面S上，则称曲面S的方程为尸(苍y,z)=0,方

程P(x,y,z)=0的曲面为S.已知空间中某单叶双曲面C的方程为y+^-^=l,双曲面C可视为平面xOz

中某双曲线的一支绕z轴旋转一周所得的旋转面，已知直线/过C上一点Q(l』,2),且以d=(-2,0,T)为方

向向量.

(1)指出xOy平面截曲面C所得交线是什么曲线，并说明理由；

(2)证明：直线/在曲面C上；

(3)若过曲面C上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面C上.设直线厂在曲面C上，且过点

T(0,O,2),求异面直线/与厂所成角的余弦值.

题型七：定义新性质

【典例7-1】(2024•江西新余•二模)通过研究，已知对任意平面向量Afi=(x,y),把AB绕其起点A沿逆时针

方向旋转。角得到向量入尸=(%3。-外皿仇派由9+"05。)，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转，角得到点P,

(1)已知平面内点4卜后,2相)，点3(班,-26),把点3绕点A逆时针旋转冷得到点P,求点尸的坐标：

(2)已知二次方程x2+y2-xy=l的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆/+£=1(。>6>0)绕原点。逆

时针旋若所得的斜椭圆C,

(i)求斜椭圆C的离心率;

2

(ii)过点。作与两坐标轴都不平行的直线4交斜椭圆C于点M、N,过原点。作直线乙与直线

72]

+

4垂直，直线/2交斜椭圆C于点G、H,判断\MN\\OHf是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说

明理由.

【典例7-2］（多选题）黄金分割比例叵口具有严格的比例性、艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价

2

值.这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例.我们把离心率e=避二i的椭圆称为

2

“黄金椭圆”，则以下说法正确的是（）

A.椭圆万+看^=1是，黄金椭圆”

22

B.若椭圆彳+2=1（〃>6>0）的右焦点为b（0,0）,且满足尸="，则该椭圆为“黄金椭圆”

ab

22

C.设椭圆・+2=1（。>6>0）的左焦点为死上顶点为8,右顶点为A,若厂=90。，则该椭圆

ab

为“黄金椭圆”

22

设椭圆斗+方（。>>>）的左、右顶点分别是左、右焦点分别是耳,

D.=104B,F2,若

=|A图・山邳，则该椭圆为“黄金椭圆”

【变式7-1］（2024•辽宁大连•模拟预测）曲率半径可用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度，曲率半径

22

越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆<7:』+2=1（°>6>0）上点。（%,%）处的曲率半径公式

ab

3

为.若椭圆c上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的20倍，则椭圆C的离心

率为___.

【变式7-2］（2024.高三.北京顺义.期末）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往不

能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.在平面直角坐标系中，定义〃（P，Q）=|占-引+E-叼为

两点尸（乙%）、Q（%,%）之间的“出租车距离”.

给出下列四个结论：①若点0（0,0）,点4（1,2）,则d（O,A）=3；

②到点。（。,0）的“出租车距离”不超过1的点的集合所构成的平面图形面积是万；

③若点A。,2）,点2是抛物线上的动点，则d（A3）的最小值是1；

④若点4(1,2),点B是圆。+丫2=1上的动点,则d(AB)的最大值是3+忘.

其中，所有正确结论的序号是.

【变式7-3](2024•山东枣庄•模拟预测)设&(%,%),3优，%)为平面上两点，定义

d(A3)=归一法|+帆一必卜已知点P为抛物线C:f=2py(0>O)上一动点，点Q(3,0),d(P,Q)的最小值为

2,则。=；若斜率为|■的直线/过点0,点M是直线/上一动点，则d(P,M)的最小值为.

题型八：综合问题

【典例8-1】(2024•新疆乌鲁木齐•二模)在平面直角坐标系中，重新定义两点A&,%),3(尤2，%)之间

的“距离”为|的=卜-，+[%-%|，我们把到两定点耳(一60),玛(c,0)(c>0)的“距离”之和为常数2a(a>c)

的点的轨迹叫“椭圆”.

⑴求“椭圆”的方程；

(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；

⑶设c=l,a=2,作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为CC的左顶点为A,过瑞作直线交C于

M,N两点，4WN的外心为。，求证：直线。。与的斜率之积为定值.

【典例8-2】(2024.湖南.二模)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如尤=沙+1表示过点(1,。)

的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一

点处的切线都是该直线族中的某条直线.

22

⑴若圆C1：x+y=l是直线族mx+ny=l(m,neR)的包络曲线，求利，〃满足的关系式；

(2)若点Pg,yo)不在直线族：。(2。-4)x+4y+(a-2)2=0(GeR)的任意一条直线上，求为的取值范围和

直线族。的包络曲线E;

⑶在(2)的条件下，过曲线E上A8两点作曲线E的切线乙4,其交点为P.已知点C(0,l),若A,民C三

点不共线，探究NPC4=NPCB是否成立？请说明理由.

【变式8-1](2024•河南南阳•一模)在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,

该圆的圆心是椭圆（双曲线）的中心，半径等于椭圆（双曲线）长半轴（实半轴）与短半轴（虚半轴）平方和（差）的算

22

术平方根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆E:=+与=l（a＞方＞0）的蒙日圆的面积为13兀，该椭圆的上顶点和

ab

下顶点分别为6,且出4=2,设过点的直线4与椭圆E交于A8两点（不与两点重合）

且直线4：x+2j-6=0.

（1）证明：APltBE的交点P在直线y=2上；

⑵求直线M，期,4围成的三角形面积的最小值.

【变式8-2］（2024.山东荷泽.模拟预测）行列式是代数学中线性代数的重要分支，是一个方阵所对应的一

个标量值.行列式具有简洁、对称、优美的特点，可以用来求直线方程，求三角形的面积，解线性方程组等.

利用行列式进行求解，则可以简化运算步骤，提高做题速度.其中二阶行列式定义为：

aa

Ui2一17人，一\、，AL,“22”23一%1%3,、，%1〃22

=a”%2一；二*以1仃列式定乂为：〃21〃22“23—。口X—。受X+X

12一一/、

例如：35=1X5-2X3=-1.在平面直角坐标系中，已知VABC的三个顶点坐标为

Ww，%）,c（w，%）则VA3C的面积公式可表示为:

⑴已知。（0,0）,M（-3,-2）,N（l,-6）,求■仅W的面积.

⑵已知点A（-2,0）,3（0,2）,若点C是圆/-2》+丫2=0上的动点，求VABC面积的最小值.

22

（3）已知椭圆,+方=1（。＞6＞0）,它的左焦点坐标为卜26,0）,右顶点坐标为（4,0）,设点。的坐标为

（2,1）,过原点。的直线交椭圆于点瓦歹，求④的面积的最大值.

【变式8-3］（2024.吉林.模拟预测）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如左'（3-2）-&-1）=。

表示过点（2,1）且斜率存在的直线族，y=x+f'表示斜率为1的直线族.直线族的包络曲线定义为：直线族中

的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.

⑴若直线族蛆+利+1=0（〃5€1i）的包络曲线是圆0:尤2+/=16,求利〃满足的关系式；

⑵若点“伍,为）不在直线族①:2尢v-8y-力=0（2eR）的任意一条直线上，对于给定的实数看,求治的

取值范围和直线族①的包络曲线E；

（3）在（2）的条件下，过直线尤-4y-8=0上一个动点尸作曲线E的两条切线，切点分别为A,B,求原点。

到直线A8距离的最大值.

1.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线。：（/+y）3=4无2y2被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1；

③存在一个以原点为中心、边长为血的正方形，使曲线C在此正方形区域内（含边界）.

其中，正确结论的序号是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

2.（多选题）（2024•高三・河南•开学考试）双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重

要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美.它既是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术

家设计作品的主要几何元素.双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8"，如图曲线C：（尤2+丫2）2=9（Y-必）

是双纽线，下列说法正确的是（）

A.曲线C的图象关于原点对称

B.曲线C经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）

C.曲线C上任意一点到坐标原点。的距离都不超过3

D.若直线丁=丘与曲线C只有一个交点，则实数上的取值范围为U,+s）

3.（多选题）（2024・高三•广东•开学考试）到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵

形线.设K（-c,0）和月（c,0）且c>0,动点M满足|峥闾=/（°>0）,动点加的轨迹显然是卡西尼卵形

线，记该卡西尼卵形线为曲线C,则下列描述正确的是（）

A.曲线C的方程是优+力2-2°212-力=1―4

B.曲线C关于坐标轴对称

C.曲线C与％轴没有交点

D.△町工的面积不大于

4.（多选题）卵形曲线也叫卵形线，是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线.卡西尼卵形线是

平面内与两个定点（叫做焦点）距离之积等于常数的点的轨迹.设焦点耳（-c，0），&（c，。）是平面内两个定点,

2

\PFi\-\PF2\=a是定长），特别地，当。=。时的卡西尼卵形线又称为伯努利双纽线，某同学通过类比

椭圆与双曲线的研究方法，对伯努利双纽线进行了相关性质的探究，得到下列结论，其中正确的是（）

A.曲线过原点

B.关于原点中心对称且关于坐标轴成轴对称

C.方程为（炉+*2=2/（/_9）

D.曲线上任意点P（x。，%）,Xoe[-a,a],y0

5.在平面直角坐标系xOy中，过椭圆E:，+y2=i外一动点尸作E的两条切线〃4,且

（1）求动点尸的轨迹C的方程；

（2）对于给定非空点集若”中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在,

则记此最大值为d（M,N）.已知直线/与曲线C相交于A8两点，若M,N分别是线段A3和曲线C上所有点

构成的集合，。为曲线C上一点，当二的面积最大时，求d（M,N）.

6.在xOy平面上，我们把与定点月(-。,0),工30)(a＞0)距离之积等于"的动点的轨迹称为伯努利双纽线,

用名为该曲线的两个焦点.已知曲线c:，+严2=9(%2-/)是一条伯努利双纽线.

(1)求曲线C的焦点£,月的坐标；

(2序IJ断曲线C上是否存在两个不同的点A、B(异于坐标原点。)，使得以A8为直径的圆过坐标原点

O.如果存在，求点A、3坐标；如果不存在，请说明理由.

7.中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱.

它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽

线.在xOy平面上，我们把与定点F,,F2(«,0)(a＞0)距离之积等于标的动点的轨迹称为伯努利双纽

线，Ft,瑞为该曲线的两个焦点.数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究.已知曲

线C:(炉+9丫=9(x2-/)是一条伯努利双纽线.

(1)求曲线C的焦点及，尸2的坐标；

(2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A,B(异于坐标原点。)，使得以A6为直径的圆过坐标原点O.

如果存在，求出A,8坐标；如果不存在，请说明理由.

22

8.(2024.全国•模拟预测)定义：一般地，当，＞0且3时，我们把方程宗+2=小＞6＞0)表示的椭

222

圆a称为椭圆下方=1(。＞方＞0)的相似椭圆.已知椭圆C：,+丁=1,椭圆C，(彳＞0且"1)是椭圆

C的相似椭圆，点尸为椭圆C”上异于其左、右顶点M,N的任意一点.

(1)当2=2时，若与椭圆c有且只有一个公共点的直线=4恰好相交于点P,直线4,4的斜率分别为勺，勺,

求k他的值；

(2)当彳=/(e为椭圆C的离心率)时，设直线与椭圆C交于点直线PN与椭圆C交于点2石,

求|AB|+|DE|的值.

22

9.已知椭圆「:=+与=l(a>b>0)的左、右焦点分别为耳、F2,直线/的斜率为左，在y轴上的截距为利

ab

(1)设左=1,若r的焦距为2,/过点片，求/的方程；

⑵设m=o,若,点J是r上的一点，且附|+|%=4,/与「交于不同的两点A、B,。为r的上顶点,

求么ABQ面积的最大值；

(3)设〃是/的一个法向量，Af是/上一点，对于坐标平面内的定点N,定义m=”.MN用a、b、k、m表

\n\

示年与乙，并利用冬•5&与片的大小关系，提出一个关于/与r位置关系的真命题，给出该命题的证明.

10.在平面直角坐标系X0y中，对于直线/:分+勿+C=。和点6(%,乂)，£(程力)，记

77=(^+byx+c)(ax2+by2+c),若〃<0,则称点《，鸟被直线/分离，若曲线c与直线/没有公共点，且

曲线C上存在点片，鸟被直线/分隔，则称直线/为曲线C的一条分隔线.

(1)求证：点A(l,2),3(-1,0)被直线x+y-l=o分隔；

(2)若直线>=区是曲线/-4y2=1的分隔线，求实数4的取值范围；

(3)动点M到点Q(0,2)的距离与到y轴的距离之积为1,设点M的轨迹为曲线E,求证：通过原点的直

线中，有且仅有一条直线是£的分隔线.

11.设直线/：>=g(x),曲线S:y=F(无).若直线/与曲线S同时满足下列两个条件：①直线/与曲线S相

切且至少有两个切点；②对任意尤eR都有g(x)N2x).则称直线/为曲线S的“上夹线”.

(1)已知函数/(x)=x-2sinx.求证：>=x+2为曲线/(x)的“上夹线”；

(2)观察下图：

根据上图，试推测曲线S:y=%isinx(">0)的“上夹线”的方程，并给出证明.

12.在平面直角坐标系。孙中，定义：如果曲线G和C?上分别存在点M,N关于X轴对称，则称点M和

点N为G和的一对“关联点”.

⑴若C:X?+盯+V=6上任意一点P的“关联点”为点Q,求点Q所在的曲线方程和|。尸|+|。。|的最小值；

(2)若C,:(x2+/『=4江(y2x>0)上任意一点S的“关联点”为点T,求叼的最大值；

⑶若J:y=2Inx-2依和Q:y=1-(a+1)/在区间(0,+句上有且仅有两对“关联点”，求实数〃的取值范

围.

22

13.定义：若椭圆C：n=l(a>"0)上的两个点401，%),8(久2，%)满足学+黄=。，则称身为

该椭圆的一个“共辗点对”.

22

如图，A3为椭圆C：土+工=1的“共朝点对”，已知4(3,1),且点8在直线/上，直线/过原点.

(1)求直线/的方程;

(2)已知P,Q是椭圆C上的两点，。为坐标原点，且PQ〃Q4.

(i)求证：线段PQ被直线/平分；

(ii)若点8在第二象限，直线/与PQ相交于点“，点N为尸8的中点，求比团V面积的最大值.

14.(2024.高三.湖北.开学考试)类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面

(含平面)s的方程，若曲面S和三元方程P(x,y,z)=0之间满足：①曲面s上任意一点的坐标均为三元方

程厂(％%2)=0的解；②以三元方程0的任意解(xo，%,z0)为坐标的点均在曲面s上，则称曲面

S的方程为尸(x,y,z)=0,方程网x,y,z)=0的曲面为S.已知曲面C的方程为==

(1)写出坐标平面xOz的方程(无需说明理由)，并说明xOz平面截曲面C所得交线是什么曲线；

(2)已知直线/过曲面C上一点2),以d=(1,0,2)为方向量，求证：直线/在曲面C上(即/上任意

一点均在曲面C上)；

(3)已知曲面C可视为平面xOz中某双曲线的一支绕z轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面C上任意一

点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面C上.设直线/'在曲面C上，且过点7(1,0,0),求异面直线/

(第二间中的直线/)与/'所成角的余弦值.

15.定义非零向量OM=(a,b)的“相伴函数”为/(x)=asinx+灰:o&x(xeR),向量OM=(a,6)称为函数

/(x)=asiiu+Z7Cosx的“相伴向量”(其中。为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.

⑴设力(x)=cos[x+j-2cos(x+a)(aeR),求证：〃(x)eS；

(2)求(1)中函数h(久)的“相伴向量''模的取值范围；

(3)已知点河(。⑼9片0)满足：(0-石)2+(人1)2=1,向量OM的“相伴函数”/(x)在x=x0处取得最大值.

当点M运动时，求tan2%的取值范围.

22

16.（2024・高三・四川达州・开学考试）定义：若椭圆（7:=+2=1（0>匕>0）上的两个点4（%,%）,3（尤2，%）

ab

满足竿+笋=。，则称为该椭圆的一个“共轲点对”，记作[A8].已知椭圆c的一个焦点坐标为

耳（-1,0）,且椭圆过点

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求证：有两个点2满足“共轨点对”[AB],并求出2的坐标；

⑶设（2）中的两个点3分别是用,与，设。为坐标原点，点尸，。在椭圆C上，且与，尸，灰,。顺时针排列

且尸。〃。4,证明：四边形”?不。的面积小于4石.

17.（2024・广东汕头・三模）已知抛物线G：y2=4◎和C2：Y=4y,其中a>0.G与G在第一象限内的交点

为p.a与G在点P处的切线分别为乙和i2,定义it和i2的夹角为曲线c,G的夹角.

3

（1）若G，C2的夹角为，，tanO=T，求”的值；

4

（2）若直线4既是G也是G的切线，切点分别为。，尺，当-PQR为直角三角形时，求出相应。的值.

18.（2024.高三.上海徐汇•期中）如图定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过

椭圆上一点加作x轴的垂线交其“伴随圆”于点N（M、N在同一象限内），称点N为点M的“伴随

点”.已知椭圆E:[+'=l（a>b>0）上的点[6,的“伴随点”为（73,1）.

⑴求椭圆“及其“伴随圆”的方程；

(2)求sOMN的最大值，并求此时“伴随点”N的坐标;

22

19.(2024•宁夏银川・模拟预测)已知椭圆E:=+3=l(a>6>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角

a'b'

形的三个顶点，且椭圆E过7(2,1),直线/：y=x+机与椭圆E交于A、B.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设直线窗、76的斜率分别为％,k2,证明：勺+&=。；

(3)直线「是过点T的椭圆E的切线，且与直线/交于点P,定义NP7B为椭圆£的弦切角，NTAB为弦TB

对应的椭圆周角，探究椭圆E的弦切角NP7B与弦窗对应的椭圆周角N7AB的关系，并证明你的论.

拔高点突破03圆锥曲线背景下的新定义问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：定义新曲线.............................................................2

题型二：双扭线.................................................................3

题型三：卡西尼卵形线...........................................................5

题型四：心形线.................................................................6

题型五：四叶草曲线.............................................................7

题型六：定义新图形.............................................................9

题型七：定义新性质............................................................11

题型八：综合问题..............................................................13

03过关测试....................................................................15

亡法牯自与.柒年

//\\

圆锥曲线背景下的新定义问题，关键在于理解新定义的本质，并将其与常规圆锥曲线知识相结合。

方法总结如下：

1、明确新定义：首先仔细阅读题目，明确新定义的内容、符号及其含义。

2、联系常规知识：将新定义与圆锥曲线的第一、第二定义或标准方程等常规知识联系起来，找出它

们的相似之处或转换关系。

3、建立数学模型：根据新定义，建立相应的数学模型或方程，利用解析几何或代数方法进行求解。

4、验证与推理：在求解过程中，注意验证每一步推理的正确性，确保最终答案符合题目要求。

5、灵活应用：对于复杂问题，可能需要综合运用多种数学知识和方法，灵活应对。

//

题型一：定义新曲线

【典例1-1】若将一个椭圆绕其中心旋转90。，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭

圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（）

X2y2,x2y2,0x2y2「x2y2।

AA.——+—=1Bn.——+—=1C.—+—=1D.——+—=1

84356269

【答案】A

【解