2025年中考数学一轮复习：一元二次方程（解析版）

考点三一元二次方程

知识整合

一、一元二次方程的概念

1.一元二次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.

2.一般形式

ax-+bx+c=O(其中”,b,c为常数，,其中o?力羽。分别叫做二次项、一次

项和常数项，6分别称为二次项系数和一次项系数.

注意：(1)在一元二次方程的一般形式中要注意aW0,因为当a=0时，不含有二次项，

即不是一元二次方程；

(2)一元二次方程必须具备三个条件：

①必须是整式方程；

②必须只含有一个未知数；

③所含未知数的最高次数是2.

二、一元二次方程的解法

1.直接开平方法

适合于(x土a)2=6(620)或(以±6)2=(cx土d)2形式的方程.

2.配方法

(1)化二次项系数为1;

(2)移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；

(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

(4)把方程整理成(x±a)2=6(620)的形式；

(5)运用直接开平方法解方程.

3.公式法

(1)把方程化为一般形式，即ar?+bx+c=O；

(2)确定a,4c的值；

(3)求出求一4ac的值;

(4)将a,b,c的值代入％=-"士扬-4ac即可.

2a

4.因式分解法

基本思想是把方程化成(改+b)(cx+d)=0的形式，可得依+6=0或s+d=O.

考向一一元二次方程解法

典例引领

1.解下列方程：

(1)X2+2X-5=0;

(2)(X-2)2+X(X-2)=0.

【答案】⑴%=—1+A/^,x2=—1—^6；

(2)玉=2,X2=1.

【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，

(1)根据配方法即可求出答案；

(2)根据因式分解法即可求出答案.

【详解】⑴0<+2x-5=O.

回x?+2x=5,

回+2x+1=6，

团(％+1)2=6,

团％=-1±^6，

团芯=-1+&,x2=-1-46；

(2)回(％-2)2+%(%—2)=0,

团(％—2)(%-2+x)=0,

0x—2=0或x—2+%=0,

回玉=2,%2=1.

2.解方程：

(1)X2-6^-1=0;(配方法)

(2)2元2-5X+1=0;(公式法)

(3)(X-2)2+X(X-2)=0；(因式分解法)

⑷(X一3乂*一1)=5.(选择适当的方法)

【答案】(1)菁=3+加，％=3—J15

c5+历5-V17

(2)玉=^—，x^=^—

(3)%=2,%2=1

(4)为=2+指，Xj=2-46

【分析】本题考查了解一元二次方程，

(1)根据配方法计算即可；

(1)根据公式法计算即可；

(3)根据因式分解法计算即可；

(4)根据公式法计算即可.

【详解】(1)解：%2—6%—1=0,

移项得：x2-6x=l>

配方得：%2-6^+9=10,即。一3)2=10,

开方得：尤-3=±而，

则%=3+质，％=3-如；

(2)由题意可得：a=2,b=-5,c=l,

E/72-4ac=(-5)2-4x2x1=17>0,

同、--(-5)±V175土历

2x24

5+V175-历

国%=1—，%=[-；

(3)(x-2)2+x(x-2)=0

团(％—2)(无一2+%)=0

BP(^-2)(2x-2)=0

团无一2=0或2%—2=0

解得石=2,x2=1；

(4)解：(％-3)(%-1)=5

x2-4x=2

x2-41+4=2+4

(x-2)2=6

x-2=+A/6，

解得：%=2+瓜,%2=2—A/6.

3.解方程：

(1)X2-4X-5=0;

(2)X2-4X-2=0.

【答案】⑴阳=5,%=T

(2)Xy=2+A/6,%=2—5/6

【分析】本题考查了解一元二次方程.

(1)利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答;

(2)利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答.

【详解】(1)解：X2-4X-5=0

(x-5)(x+l)=0

%-5=0或x+l=O

x

解得：i=5,X2=—1；

(2)解：x2-4x—2=0

x2一4%+4=6

(x-2)2=6

x—2=±y/6

解得：玉=2+n,42=2—痛.

4.用适当的方法解下列方程：(x+4)2=3(x+4).

【答案】X=-4,x2=-l

【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，

配方法，公式法，因式分解法，利用因式分解法解一元二次方程即可；解题的关键是掌握

一元二次方程的解法.

【详解】(X+4)2=3(X+4)

(X+4)2-3(x+4)=0

(尤+4)(x+4—3)=0

整理得,(x+4)(x+l)=0

回％+4=0,x+l=0

解得%=-4,x2=-l.

5.提出问题：

为解方程/_3*2一4=0,我们可以令尤2=y,于是原方程可转化为-4=0,解此方

程，得乂=4,%=-1(不符合要求，舍去).

当%=4时，尤？=4,x=±2.

原方程的解为玉=2,3=-2.

以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想.

解决问题：运用上述换元法解方程：一2『-13(一一2)+42=0.

【答案】%=2垃,X2=-2A/2,三=3,尤4=一3

【分析】本题考查换元法解高次方程，根据材料提示，令f-2=y,利用换元法解方程即

可求解.

【详解】解:令尤2-2=y,

则原方程可转化为y1-13y+42=0,

因式分解得(V—6)(y—7)=0,

解得％=6,y2=i.

当x?—2=6时，解得玉=20,x,=—2^2，

当丁-2=7时，解得％=3,4=-3,

:•原方程的解为X]=,x?=-2y/i,演=3,x4——3.

6.换元法是数学中的一种解题方法.若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母

代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化.如：解二元一次方程组

2(%+y)+3(九一y)——2

;。，按常规思路解方程组计算量较大.可设x+y=。，x-y=6,那

x+y—2(x-y)=3

2。+3b=—2

么方程组可化为,。，从而将方程组简单化，解出a和b的值后，再利用

a-2b=5

x+y=a,x-y=6解出x和y的值即可.用上面的思想方法解方程:

⑴

(2)%2+2x+4j*+2x-5=0

【答案】(1)占=-l：X2=2；=1+75；x4=1-75

(2)jq=V2—1,x,=—\/2—1

【分析】该题主要考查了换元思想解方程，一元二次方程的解答，分式方程的解答，解题

的关键是运用换元法进行整体代换；

(1)设上=々/0),将原方程化为3f+2=0,解得/=2或"1,再分别代入

x+2

2

」Y=/求解分式方程的解即可；

x+2

(2)设J尤？+2尤=(/2())，则有三+2%=产，将原方程化为：/+4/-5=0,解得t=-5

(舍)或仁1,再代入正在.求解即可；

【详解】(1)设工—0),

x+2

2

「•原方程化为，+—=3,

t

/―3/+2=0,

解得，=2或，=1,

当”1时，套I，

解得x=2或产一1,

经检验，%二一1或%=2是方程的解;

当1=2时,----=2,

x+2

解得x=1+6或x=l-百，

经检验，x=1+0或x=l-正是方程的解.

团原方程的解为：玉=—1；%=2；Xj=1+5/5;x4-l-y/5.

(2)设J尤2+2元=/(/20),则有炉+2%=产，

二原方程可化为：产+41-5=0,

解得t=-5(舍)或f=l,

Jx?+2x=1,

•••X2+2X-1=0,

解得玉=血―1或％=-也-1；

经检验：玉=血-1,%=-逝-1是原方程的解.

7.解下列方程：

(1)炉+3尤一4=0;

(2)2%2-4%-1=0.

【答案】(1)X]=Lx2——4；

⑺_2+762-a

(2)%=--一，工2

2

【分析】本题考查了解一元二次方程的能力.

(1)利用因式分解法求解即可；

(2)利用公式法求解即可.

【详解】(1)解：X2+3X-4=0,

团(％-1)(%+4)=0,

团1-1=0或％+4=0,

回玉=1,x2=-4；

(2)解：回2/—4x—1=0,

团a=2,b=-4,c=—l,

回A=〃-4QC=16+8=24>0,

2

ra-b±y/b-4ac4±V24_2±A/6

=---------------

2a42

冏_2+V62-76

口再=—~'兀2

2

8.解方程:

(1)X2—3x=—1；

⑵(X+5)2=3(%+5).

【答案】(1)玉=3+好一好

122222

(2)&=—5,4=—2

【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分

解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键.

(1)用配方法求解即可；

(2)移项后用因式分解法求解即可.

【详解】⑴回尤2-3X=T,

2c9,9

[?]x—3xH—=-1H—,

44

(2)团(X+5)2=3(%+5),

团(％+5)2-3(%+5)=0,

团(x+5)(x+5-3)=0,

团x+5=0或x+5—3=0,

回％1=-5,x2=-2.

9.解下列方程：

(1)X2—2x—l-0;

⑵尤2+6尤-16=0

【答案】⑴%=1+血,%=1-应

⑵为=~8,尤2=2

【分析】本题考查了解一元二次方程.

(1)利用配方法得到(x-l『=2,然后利用直接开平方法解方程；

(2)利用因式分解法把方程转化为x+8=。或x-2=0,然后解两个一次方程即可.

熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方

法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

【详解】(1)解：x2-2x-l=0,

(1)2=2

x—1=，

玉=1+A/2,%2=1—V2;

(2)f+61-16=0,

(x+8)(x—2)—0,

x+8=0,x-2=0,

玉——8,%?=2.

10.解方程

(1)2X2-4X-1=0

(2)2(x-3)2=3.r-9

、2+布

【答案】

9

(2)&=3,X?=~^

【分析】本题考查了解一元二次方程,

(1)利用公式法，即可解得；

(2)利用因式分解法，即可解答.

【详角军】（1）W：由2炉—4x—1=0可得〃=2,Z?=-4,C=—1,

——b土ylb2-4ac4±^（-4）—4x2x（—1）2±^6,

，，-2a-2^2-2'

解得占=专回,々=三色

（2）解：2（X-3）2=3X-9,

2（X-3）2-3（^-3）=0,

（x-3）[2（x-3）-3]=0,

可得x-3=0或2（x-3）-3=0,

解得西=3,x2=1.

11.解下列方程：

（1）X2-2X-5=0（配方法）

⑵（x-3）2=2（3-x）

【答案】⑴西=1+&，^=1-76

（2）芯=3,々=1

【分析】本题考查解一元二次方程.

（1）配方法解方程即可；

（2）因式分解法解方程即可.

掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键.

【详解】（1）解：f-2x-5=0

x2-2x=5

f—2x+1=5+1

（x-1）2=6

团％-1=±m

解得：\=1+5/6,X2=l—y/6;

(x-3)(x-l)=0,

贝L-3=0或x—l=0,

解得%=3,x2=1.

12.阅读材料：为解方程(尤2-1)2-5(/-1)+4=0,我们可以将--1看作一个整体，设

x2-l=y,则原方程可化为

y2_5y+4=0①，解得乂=1,必=4.

当y=l时，无2-1=1,团无2=2,Ex=±V2.

当y=4时，X2-1=4,X2=5,回尤=±如.

故原方程的解为％=>J2,x2=-y/2,x3=5/5,X4=-\[5.

解答问题：

(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用一法达到了降次的目的.

(2)请利用以上知识解方程(x2+X)2-4(X2+无)+3=0.

【答案】(1)换元

(2)方程的解为为=三普，％=匚誓，苫3=匚¥，匕=匚或5

【分析】本题考查了利用换元法解次数高于2次的整式方程，读懂材料提供的方法是关

键.

(1)根据材料即可完成解答；

(2)利用材料中提供的方法完成即可.

【详解】(1)解：上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，体现了换元的数学思

想.

故答案为：换元；

(2)解：设y=/+x,

原方程可化为y2-4y+3=0,

则('-3)(—=0,

y-3=0或y-l=0,

X=3，y2=1,

当y=3时，M+元=3,

-1±万

解得

当y=1时,x2+x=l,

-1±75

解得

，原方程的解为占=士史-1-屈-I+A/5-I-A/5

,XA—

2242

13.阅读材料：解方程（f-2）2-（/_2卜2=0时，我们可以将无2一2视为一个整体,

设/一2=>,则/=（/一2）1原方程化为丁-丁一2=0,解此方程，得％=-1,必=2.

当y=-l时，%2-2=-b炉=1,.-.x=±l；

当y=2时，尤2一2=2,犬=4,,*.x=±2.

回原方程的解为玉=—1，元2二1，%3二-2,%二2.

以上方法就叫换元法，达到了降次转化为一元二次方程的目的.这一过程体现了数学整体

思想和转化的思想.

类比应用：运用上述方法解方程：（尤2+2,2-（/+2,-12=0.

【答案】玉=一1+6,^=-1-75,

【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设V+2x=y,原方程化为：

y2-y-12=0,得出方程的解，当>=4时，当尸-3时，代入原方程即可求解，解题的关

键是掌握换元法解一元二次方程的一般步骤.

【详解】解：设d+2x=y,则：y2=（x2+2x）2,

原方程化为：y-y-12=0,

解得：x=4,y2=-3,

当y=4时，x2+2x=4,即：（X+1）2=5,

解得：X[=-l+石，x2=—1—A/5,

22

当y=-3时，X+2X=-3,即：（x+1）=-2（舍去）,

回原方程的解为玉=T+石，々=-1-

14.定义：若一个整数能表示成（〃，8是整数）的形式，则称这个数为"平和

数".例如，5是"平和数".理由：因为5=2?+F.再如，

M=x2+2xy+2/=（x+y）2+y2（x,y是整数），所以M也是“平和数”.

解决问题：

（1）请你再写一个小于5的"平和数"；判断29是否为“平和数"—（填"是"或"否"）；

（2）若二次三项式/一6》+13（x是整数）是"平和数"，可配方成（x-mf+Ti（加，〃为常

数），贝|瓶〃=.

（3）已知“平和数”/+9一41+6》+13（X,y是整数）的值为0,贝Ijx+y的值为；

（4）已知5=工2+9/+6了-6丫+左（尤，，是整数，上是常数），要使S为"平和数”，请写出符

合条件的左的值_____;

⑸己知实数x,y满足一无2+9了+、-25=0,求x+y的最小值.

【答案】（1）4；是

（2）12

⑶-1

⑷％=10

⑸当X=4时，x+y的最小值为9

【分析】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关

键；

（1）根据"平和数"的定义判断即可；

（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；

（3）配方后根据非负数的性质可得X和y的值，进行计算即可；

（4）利用完全平方公式把原式变形，根据"平和数"的定义证明结论；

（5）根据题中结论求解；

【详解】⑴4是"平和数"，

理由：因为=22+。2;

29是“平和数"，

理由：因为29=52+2?.

故答案为：4（答案不唯一），是；

（2）Q尤2-6*+13=尤2-6尤+9+4=（x-3）2+4

/.m=3,n=4,

mn=12,

故答案为：12；

(3)Qx2+y2-4x+6y+13

=(x-2)2+(y+3)2=0

x=2,y=—3,

x+y=-1.

故答案为：-1；

(4)S=x2+9y2+6x-6y+k

=(x+3)2+(3y-l)2+^-10

由题意得：左—10=0,

/.k=10;

(5)—x2+9x+y-25—0,

.,.x+y

=—8x+25

=(X-4)2+9>9;

团当X=4时，％+y的最小值为9.

15.学习的本质是自学.周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式%2+4%+6进行了

酉己方，发现Y+4x+6=/+4尤+4+2=(x+2>+2,小睿发现(》+2「是一个三R负数，即

(X+2)2>0,他继续探索，利用不等式的基本性质得到(x+2『+21+2=2,即

(X+2)2+2>2,所以，他得出结论是(尤+2?+2的最小值是2,即d+4x+6的最小值是

2.小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两

个题，请你解答.

(1)求代数式加一6根+10的最小值.

⑵求代数式-2V-4X+3的最值.

【答案】⑴川-6m+10的最小值是1

⑵-2/-4x+3的最大值为5

【分析】本题考查配方法的应用以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键.

(1)将—6〃?+10变形为(机-3)2+1即可解决；

(2)将-22-4x+3变形为-2(尤2+1)2+5即可.

【详角军】(1)切2—6m+10=(〃p-6〃Z+9)+1=(M-3)2+1.

Q(利-3)2'o.

.•.(m-3)2+l>L

.'.m2—6H7+10的最小值是1.

(2)-2x?-4x+3=-2(尤2+2x)+3

=-2(x?+2x+1)+2+3

=-2(X+1)2+5.

•.•(x+l)2>0,

.---2(X+1)2<0

.-.-2(X+1)2+5<5

-2x?-4x+3的最大值为5.

16.推理能力有助于形成实事求是的科学态度与理性精神.我们知道任何实数的平方一定

是一个非负数，即：(a+b^>0,且-(a+Z^WO.据此，我们可以得到下面的推理：

团x?+2尤+3=(x?+2x+1)+2=(x+1)~+2,而(x+1)20

0(X+1)2+2>2,故V+2x+3有最小值，最小值是2.

试根据以上方法判断代数式-3y?+6y+2是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最

大值或最小值.

【答案】有最大值，最大值为5.

【分析】此题考查了利用非负数求最值，先把代数式化为完全平方的形式，再根据所给推

理确定其最值即可，解答此题的关键是把原式化为完全平方式.

【详解】解：原式=一3(/一2〉+1)+5=—3(>—1)2+5,

0-3(J-1)2+5<5,

回-3>2+6>+2有最大值，最大值为5.

变式拓展

1.用适当的方法解下列方程：

(1)X2-4X+2=0;

(2)尤2-5X+6=0.

【答案】(1)玉=2+夜，X2=2-V2

(2)玉=2,x2=3

【分析】本题主要考查解一元二次方程.

(1)运用公式法解方程即可；

(2)运用十字相乘法分解因式解方程即可.

熟练掌握解一元二次方程的各种方法，选择恰当的方法解方程是解题的关键.

【详解】(1),.,△=(-4)2-4xlx2=8,

…作立=2±0,

2

.,.玉=2+^/^,x?=2—^2,.

(2)由％2一5%+6=0得

(x-2)(x-3)=0,

..%]=2,%?=3.

2.选择适当的方法解下列方程

(1)2X2+X-1=0

(2)3(X+1)=2A:(X+1)

【答案】⑴XI=],%2=-1

3

⑵再=5,%2=_]

【分析】本题考查解一元二次方程.

(1)利用公式法求解即可；

(2)移项后运用因式分解法求解即可.

【详解】(1)解：由题意可得。=2,6=l,c=-l,

•.A=Z?2-4t7c=l2-4x2x(-l)=9>0,

-b+y/b2-4ac-1±3

•V-------------------

故该方程的解为：x,=-,x2=-l.

(2)解：移项得：3(x+l)—2x(x+l)=。,

即(3—2x)(尤+1)=0,

即3—2光=0或x+l=0,

,,3

解得再=2,%2=—1.

3.解方程：％2_8X+9=0.

【答案】A=4+币,％=4-不

【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法求解即可.

【详解】解:a=l,b=-S,c=9,

A=Z?2-4£/C=(-8)2-4X1X9=28>0,

-b土瓜8±V28

x=-------=-------，

2a2

%1-4+y/y,4=4-Vv.

4.解下列方程：

⑴f+4i=o；

(2)2X(X-3)=X-3.

【答案】(1)占=6—2,4=_&2；

(2)石=3,%2=*

【分析】本题考查了解一元二次方程一配方法和因式分解法.

(1)方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，开

方即可求出解；

(2)移项，提公因式，利用因式分解法即可求解.

【详解】(1)解：f+4x-l=0,

移项得：x2+4x=l>

配方得：尤2+4尤+4=1+4,即(x+2『=5,

开平方得：X+2=±y/5,

回为)=y/s_2,x,=—y/s—2；

(2)解：2x(x-3)=x-3,

移项得：2Mx—3)—(x—3)=0,

分解因式得:(x-3)(2x-l)=0,

回％-3=0或2x—l=0,

c1

回玉=3,%2=~•

5.解下列方程：

(1)3%2-15x+6=0;

(2)(X-2)2=(2X+3)2.

【答案】(1)%=三空，/=且空

(2)Xj=--,x2=-5

【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：配方法、直接开平方

法、公式法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键.

(1)利用公式法解一元二次方程即可；

(2)利用因式分解法解一元二次方程即可.

【详解】(1)解：•.•3X2—15X+6=0,

x~—Sx+2=0,

..6z—1,b=~5,c=2,

.■.A=Z?2-4ac=(-5)2-4xlx2=17>0,

,5+7175-A/F7

"-y-；

(2)解：•.•(x-2)2=(2x+3y,

.-.(X-2)2-(2X+3)2=0,

(x—2+2x+3)(x—2—2x—3)=0,

(3x+1)(-X-5)=0,

;.3尤+1=0或一x—5=0,

14

••X]=--fx?=-J.

6.解方程

(1)2X2+3=7%

(2)(3X+8)2-(2X-3)2=0

【答案】(1)%=3,%=；

(2)X]=-1,X?=-11

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化

为1,这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为

使方程逐渐向x=。形式转化.

(1)利用配方法求解即可；

(2)利用因式分解法求解即可.

【详解】(1)解：2f+3=7尤

移项得：2/-7彳=-3,

方程两边同时除以2得：x2-^x=-1

配方得：尤2小+夕=->()

(尤-/=fl，

416

两边同时开方得：尤-7-=±=5

44

解得：%=3,%2=5

(2)解：(3X+8)2-(2X-3)2=0

(3x+8+2x—3)(3%+8—2x+3)=0,

(5x+5)(x+n)=0

5%+5=0或％+11=0

x

解得：i=-l,x2=-11

7.解一元二次方程:

(l)4x2=12x

⑵f+3%—5=0

【答案】⑴%=0,%=3；

-3+729-3-回

⑵%=----，Xr.------

222

【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法与公式法解方程是解本题的

关键;

(1)把原方程化为4x(x-3)=0,再化为两个一次方程，再解一次方程即可;

(2)先计算A=3?-4*1*(一5)=9+20=29>0,再利用求根公式解方程即可.

【详解】(1)解：04炉=12X,

04%2-12x=0,

EI4x=0或x-3=0,

解得：占=0,尤2=3;

(2)0X2+3X-5=O,

EA=32-4X1X(-5)=9+20=29>0,

2

-3+729-3-729

解得:%—

122

8.用适当的方法解下列方程:

(l)<-4.r-45=0;

(2)X2-A：-7=0.

L答案】(1)玉=-5,x2=9；

e1-V291+V29

(2)/二---,x2=---

【分析】(1)利用因式分解法解答即可;

(2)利用公式法解答即可;

本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和公式法是解题的关键.

【详解】(1)方程因式分解得，(x+5)(x-9)=0,

团x+5=0,x-9=0,

团须=-5,%=9；

(2)回a=l,b=-l,c=-7,

0A=Z?2-4<ac=(-l)2-4xlx(-7)=l+28=29>O,

同-Z?±VA1±^291±729

2a2x12

1-厉1+A/29

1r2a1X]=，X?---

9.解下列一元二次方程:

(1)厂—4=2(2—x)；

(2)2无2+4元一3=0.

【答案】(1)玉=2,%2=—4

(2)项=-l+——9x2=-1-

【分析】本题考查了解一元二次方程;

(1)根据因式分解法解一元二次方程;

(2)根据公式法解一元二次方程，即可求解.

【详解】(1)解：无2—4=2(2—2，

团(x+2)(x—2)=2(2-x),

团(x+2)(x—2)+2(x-2)=0,

团(％—2)(无+2+2)=0,

团x—2=0或无+4=0；

解得：芭=2,电=一4

(2)解：2f+4x—3=0,

田a=2,b=4,c=-3,A=/?2-4ac=16-4x2x(-3)=40,

向-b±y/b2-Aac-4±2A/10

2a4

解得：xr=-l+^^-,x2=-1.

10.我们知道：/一6尤=(尤2—6尤+9)-9=(*—3)2—9；

-x2+10%=-(x2-10.r+25)+25=-(^-5)2+25,这一种方法称为配方法.

由此可得：P=%2-6%=(%-3)2-9,g=-x2+10%=-(^-5)2+25,

V(x-3)2>0,

团当x=3时，P有最小值为-9；

无一5尸W0,

回当x=5时，。有最大值为25.

利用以上的方法解答下列问题：

⑴填空：按上面材料提示的方法配方：-1+12P==.

(2)应用：如图，已知线段AS=6,M是A3上的一个动点，设AM=尤，以A"为一边作正

方形AMND,再以MB、为一组邻边作长方形MBCN.问：当点M在AB上运动时，长

方形MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由.

D]<-------N6--------►

\

X

\

Ai<—.V-►

【答案】⑴-(储-12^+36)+36,-(%-6)2+36

⑵长方形MBCN的面积存在最大值，最大值为9,理由见解析

【分析】本题主要考查配方法的应用.

(1)根据题干中所给的配方法可进行求解；

(2)由题意可得长方形MBOV的面积为6x-f,然后根据配方法可进行求解.

【详解】(1)解：-a2+12a=-(«2-12fl+36)+36=-(x-6)2+36,

故答案为：-(0r-12a+36)+36,—(x—6)~+36；

(2)解：长方形AffiCN的面积存在最大值，最大值为9,理由如下：

由题意可得长方形MBCN的面积为6x-Y,

6无一X2=­x~+6x=—(尤2—6元+9)+9=—(x—3y+9,

-(X-3)2+9<9,

长方形MBCN的面积存在最大值，最大值为9.

11.解下列方程：

(1)(%+1)2=25；

(2)X2+4X-6=0;(用配方法)

⑶2/+31=0;

(4)9(X+1)2-(X-2)2=0.

【答案】(1)%=4,x2=-6

(2)不=—2+如，%,=-2->/10

15

（4）&=_^，％=一万

【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是快速解题的关键.

(1)利用直接开平方法解方程；

(2)利用配方法解方程；

（3）利用公式法解方程;

（4）利用因式分解法解方程.

【详解】（1）解：（X+1）2=25,

两边开平方，得：x+l=±5,

即％+1=5或％+1=—5,

解得玉=4,x2=-6；

(2)解：f+4尤—6=0,

移项，得：f+4%=6,

酉己方，得：%2+4%+4=6+4,

即(％+2)2=10,

两边开平方，得：x+2=±V10,

解得玉=-2+闻，/=_2-厢;

(3)解：2f+3x—1=0,

a=2,b=3,c=—l

/.A=&2-4^C=32-4X2X(-1)=17>0,

—b±y/b2-4ac—3±y/17—3±\/17

••x=

2a2x24

-3+A/17一3.后

44

(4)解：9(%+l)2—(x—2)2=0,

变形得[3(尤+1)『一(尤一2)2=0,

因式分角轧得[3(x+l)+(x—2)][3(无+l)_(x—2)]=0,

即(4x+l)(2x+5)=0,

4x+l=0或2x+5=0,

15

••玉=_"X2=~~-

12.读材料：若机2_2机〃+2〃2_8〃+16=0,求相,〃的值.

解：0m2—2mn+2n2—8n+16=0,

团｛rn1—2mn+n2^+(n2-8〃+16)=0,

回(7〃一九)’+(72—4)-=0,

回(m-吟=0,(M-4)'=0,

团〃=4,m=4.

根据你的观察，探究下面的问题：

(1)已知/+6。6+1062+46+4=0,贝i]a=,b=.

⑵已知AABC的三边长a,6,c都是正整数，且满足2〃-84+6?-26+9=0,求c的值.

【答案】⑴6,-2

(2)c=2

【分析】本题主要考查配方法的应用及三角形三边关系，因此此题可：

(1)根据题干所给方法可直接进行求解；

(2)根据题干所给方法求出八6的值，然后再根据三角形三边关系可进行求解.

【详解】(1)解：Sa2+6ab+i0b2+4b+4=0

Ela2+6ab+9b2+Z?2+4Z>+4=0

团(a+36)2+(6+2)2=0

团(。+3叶=0,0+2)2=0,

回a=6,〃=—2；

故答案为6,-2；

(2)解：国2a2一8。+/-26+9=0

回2a2-8。+8+廿-2。+1=0

EI2(a-2)2+(Z?-l)2=0

ffl(a-2)2=0,伍-I)。=0,

回。=2,6=1,

加，b,c是AABC的三边长，

町<c<3,

加是正整数，

团c=2.

13.阅读理解:

一位同学将代数式尤2一2尤+5变形为（d-2x+1）+4,得至I］（X-1）2+4后分析发现

（x-l）2>0,那么当尤=1时，此代数式有最小值是4.

请同学们思考以下问题：

⑴己知代数式£+2工一1,此代数式有最一值（填"大"或"小”），且值为_.

（2）已知代数式一f+4x+9,此代数式有最一值（填"大"或"小"），且值为

⑶通过阅读材料分析代数式©/显？X—的最值情况，写出详细过程及结论.

【答案】⑴小，-2

⑵大，13

311

⑶当兀=-9时，此代数式有最小值-日

【分析】本题考查了配方法的应用，平方的非负性，解题的关键是掌握完全平方公式

22

=a±2ab+b.

（1）先将该式化为V+2x+l-2,再根据完全平方公式进行配方即可解答；

（2）先将该式化为-1?-4x+4）+13,再根据完全平方公式进行配方即可解答；

（3）先将该式化为2（/+3犬+：［-1-1,再根据完全平方公式进行配方即可解答.

【详角星】（1）解回X2+2X-1=X2+2X+1-2=（X+1）2-2,

0（x+l）2>0,

回当尸一1时，此代数式有最小值一2,

故答案为：小，—2；

（2）解：一为2+4》+9=—（尤2-4x）+9=-（x2-4x+4）+13=-（无一2丫+13,

E（x-2）2>0,

团当x=2时，此代数式有最大值13,

故答案为：大，13；

（3）解：2x2+6x-l

=2（x?+3尤）-1

I2

（3丫11

=21+万>万，

巾+/。，

021+||>0,

311

回当x=-；时，此代数式有最小值

14./一5炉+4=o是一个一元四次方程.

根据该方程特点，通常用"换元法"解方程：

设f=y,则/=,于是原方程可变为,解得％=1,必=.

当y=l时，尤2=1,:.x=+\.

当'=时，x2=,-x=.

•••原方程有4个根，分别是.

【答案】见解析

【分析】此题考查了换元