2025年中考数学一轮复习：三角形及全等（讲义）（解析版）

考点15.三角形及全等（精讲）

【命题趋势】

三角形及其全等三角形是中考必考内容，三角形的相关概念（如：内角和、三边关系、三线等）常结合

三角形全等在选填题中考查，全等三角形的性质与判定常用四边形在解答题中考查。三角形及其全等三角形

主要重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10-15分。考生在复习

本考点时，不仅要熟悉掌握其本身的性质和运用，还要注重转化思想在题目中的应用，同步联想，其他几何

图形在什么情况下会转化成该考点的知识考查。

【知识清单】

1：三角形的相关概念

1）三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形。

2）三角形的三边关系

（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边.推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当己知两边时，可确定

第三边的范围；③证明线段不等关系。

3）三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180。。

推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它丕相邻的两个内角的和；③三角形的•

一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

2：三角形中的重要线段

1）三角形中的重要线段

（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。

3：全等三角形的判定与性质（☆☆☆）

1）三角形全等的判定定理：

（1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；

（2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；

（3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；

（4）角角边定理:有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“/US”）；

（5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边

对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）。

2）全等三角形的性质：

（1）全等三角形的对应边相等,对应角相等:

（2）全等三角形的周长相等,面积相等;

（3）全等三角形对应的空线、高线、角平分线都相等。

4：全等三角形的实际应用（☆☆）

1）通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形。

2）若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补

短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目。

3）利用全等三角形解决实际问题的方法：把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画

出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键.

5:角平分线的性质与判定（☆☆☆）

1）角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

如图，已知0C平分/AO8,CDLOA,CELOB,则CD=CE.

2）角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.

【易错点归纳】

1.从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其

中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），

有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路。

2.角平分线的性质定理中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”

这个条件，否则不能得到线段相等。

【核心考点】

核心考点1.三角形的相关概念

例1:（2023•江苏徐州•统考中考真题）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5,则第三边

的长可以为（写出一个即可）.

【答案】4

【分析】根据三角形三边关系可进行求解.

【详解】解：设第三边的长为尤，贝第5-3<x<5+3,即2<x<8,

回该三角形的边长均为整数，囱第三边的长可以为3、4、5、6、7,故答案为4（答案不唯一）.

【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键.

变式1.（2023•浙江金华•统考中考真题）在下列长度的四条线段中，能与长6cm,8cm的两条线段围成一个

三角形的是（）

A.1cmB.2cmC.13cmD.14cm

【答案】C

【分析】根据三角形三边的关系求出第三边的取值范围，再判断即可.

【详解】解：设第三边长度为xcm,则第三边的取值范围是2Vx<14,只有选项C符合，故选：C.

【点睛】本题考查了三角形三边的关系，能熟练求出求出第三边的取值范围是本题的关键.

变式2.（2023•河北保定•统考模拟预测）平面内，将长分别为2,4,3的三根木棒按如图方式连接成折线

A—B—C—D,其中AB可以绕点3任意旋转，保持NC=90。，将A,。两点用绷直的皮筋连接，设皮筋

长度为d,则d不可能是（）

【答案】D

【分析】连接3。，根据勾股定理可得的长，在分两种情况讨论即可；

【详解】连接3D,则后彳=5.如图1，当点A在线段上时，d=5—2=3；

如图2,当点A在08的延长线上时，d=5+2=7,国d的取值范围为3W1W7,故选：D.

【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、三角形的三边关系，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股

定理求出80.

例2：（2023・四川遂宁•统考中考真题）若三角形三个内角的比为1：2：3,则这个三角形按角分类是

三角形.

【答案】直角

【分析】设一份为人°，则三个内角的度数分别为左°,2k。,3k。,然后根据三角形内角和进行求解即可.

【详解】解：设一份为左°,则三个内角的度数分别为源，2k。,3k。.

贝|］左0+2左°+3左。=180°,解得左°=30°.所以2左°=60°,3炉=90°,即Z3=60°,ZC=90°.

故这个三角形是直角三角形.故答案是：直角.

【点睛】本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键.

♦变式训练

变式1.（2023・吉林・统考中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理

是.

【答案】三角形具有稳定性

【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可.

【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性.故答案为：三角形具有稳定性.

【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响.

变式2.（2022•黑龙江大庆•中考真题）下列说法不正确的是（）

A.有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形B.有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形

C.有两个角互余的三角形是直角三角形D.底和腰相等的等腰三角形是等边三角形

【答案】A

【分析】利用等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，对各选项逐项分

析可得出正确答案.

【详解】解：A、设团1、回2为锐角，因为：01+02+03=180°,

所以：回3可以为锐角、直角、钝角，所以该三角形可以是锐角三角形，也可以是直角或钝角三角形，故A

选项不正确，符合题意；B、如图，在母43。中，BESAC,CD^AB,且B£=CD

EIBEEL4C,CDS\AB,EECZ)B=0BEC=9O",

[CD=BE

在Rt^BCD与RfACBE中,,^Rt^BCD^Rt^CBE(HL),

\BC-CB

^EABC=BACB,^AB=AC,即AABC是等腰三角形.，故B选项正确，不符合题意；

C、根据直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形，故C选项正确，不符合题意；

D、底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，故D选项正确，不符合题意；故选：A.

【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，要求

学生在学习过程中掌握三角形的各种性质及推论，不断提升数学学习的能力.

例3：(2023・河北•模拟预测)在ABC中，数据如图所示，若N1比N3小2。，则N2比NC()

A.大2。B.小2。C.大4。D.小4°

【答案】A

【分析】根据三角形内角和定理，得？A?B?C?A?1?2,得到？3?C?1?2,

?B?1?2?C结合已知判断即可.

【详解】根据三角形内角和定理，得？A?B?C?A?1?2,

0?B?C?1?2,0?B?1?2?C,

EINl比，3小2。，E?2?C2?,故选A.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键.

变式1.（2023•河北石家庄•校联考模拟预测）一块板材如图所示，测得？390?,ZA=20°,ZC=35°,

根据需要N4）。为140。，师傅说板材不符合要求且只能改动NA,则可将NA（选填"增加"或"减

【答案】减小5°

【分析】延长8交AB于点E,根据三角形内角和和三角形外角性质即可求得.

【详解】延长。交AB于点E,如图

C

回？390?,ZC=35°EZBEC=180°-90°-35°=55°

0ZADC=14000ZADE=180°-140°=40°0ZA=NBEC-ZADE=55°-40°=15°

20°-15°=5°故答案为：减小，5°

【点睛】本题考查了三角形内角和，三角形外角性质，解题的关键是作出辅助线.

变式2.（2023•河北秦皇岛,统考三模）定理：三角形的内角和是180。.

已知：NCED、ZC.是△CEO的三个内角.求证：ZC+ZD+ZCE£>=180°.

有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②④表示/BEC；③上述证明得到的结论，只有

在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形.其中正确的是（）

AEB证明：如图，过点E作直线为8,

‘使得

AZ2=ZZ)(j,

\.,.Zl+Z_®_=180°,

：

c).ZC+ZD+ZCED=180°.

A.①②B.②③C.②④D.①③

【答案】C

【分析】根据平行线的性质得出Z2=ZD，Z1+ZBEC=18O°,即可推出结论.

【详解】解：证明：如图，作点E作直线A3,使得A3〃CD,

0Z2=ZD（两直线平行，内错角相等），0Z1+ZBEC=18O°,0Zl+ZD+ZCED=180°.

①*表示两直线平行，内错角相等；故①不正确，不符合题意；

②④表示N3EC,故②正确，符合题意；

③④上述证明得到的结论，在任何三角形均适用；故③不正确，不符合题意；④正确，符合题意；

综上：正确的有②④，故选：C.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握两直线平行，内

错角相等；两直线平行，同旁内角互补.

变式3.（2023・山西太原•统考二模）如图，在凹四边形A3CD中，ZA=55°,ZB=30°,ZD=20°,求

/BCD的度数.

下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：

方法一：作射线AC;方法二：延长交于点£；方法三：连接3D

请选择上述一种方法，求/BCD的度数.

【答案】ZBCD=105°,方法见解析

【分析】选择方法一：作射线并在线段AC的延长线上任取一点E,根据外角的性质求出

NBCE=ZB+NBAE即可解得;

选择方法二：延长BC交A。于点E,根据外角的性质求出N3ED=N3+NA即可解得；

选择方法三：连接BD,根据三角形内角和求出NA+N/RD+NAD3=180。，在△BCD中,

/BCD=180°-ZCBD-ZCDB,再根据角之间的和差即可求出.

【详解】解：选择方法一：如答图L作射线AC并在线段AC的延长线上任取一点E.

回/BCE是」ABC的外角，^\ZBCE=ZB+ZBAE.同理可得"CE=NO+NZME.

SZBCD=ZB+ZBAE+ZD+ZDAE.SZBCD=ZB+ZBAD+ZD.

0Zfi4T>=55°,ZB=30°,ZD=20°,0ZBCZ）=105°

选择方法二：如答图2,延长BC交AD于点E.

EINBEO是的外角，0ZB£D=ZB+ZA.

同理可得/BCD=NBED+4>.ElZBCD=AB+ZA+AD.

0ZA=55°,ZB=30°,ND=20°,ElZBCD=105°

选择方法三：如答图3,连接2D在△ABO中，ZA+ZABD+ZADB=180°.

ZA+ZABC+ZCBD+ZADC+ZCDB^180°SZA+ZABC+ZADC=1800-ZCBD-ZCDB.

在△BCD中，NBCD=180。-NCBD-NCDB.EZBCD=ZA+ZABC+ZADC.

0ZA=55°,ZABC=30°,ZADC=20°,0ZBCD=105°

【点睛】此题考查了三角形的外角性质、三角形内角和，解题的关键是构造辅助线，会用三角形的外角性

质、三角形内角和解题.

核心考点2.三角形中的重要线段

例4：（2023•河北石家庄•校联考模拟预测）嘉淇剪一个锐角.ABC做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕

与BC交于点、D,连接AD,则线段AD分别是..ABC的（）

A.高，中线，角平分线B.高，角平分线，中线

C.中线，高，角平分线D.高，角平分线，垂直平分线

【答案】B

【分析】根据三角形的高线、角平分线及中线的定义依次判断即可.

【详解】解：由图可得，图①中，线段AD是—ABC的高线，

图②中，线段AD是的角平分线，图③中，线段AD是的中线，故选：B.

【点睛】题目主要考查三角形的高线、角平分线及中线的定义，理解题意是解题关键.

变式1.（2023•河北石家庄•校联考二模）小熊和小猫把一个三角形纸片折一次后，折痕把原三角形分成两

个三角形.如图，当N1=N2时，折痕是三角形的（）

【答案】C

【分析】根据折叠的性质和平角定义得到Nl=N2=90。，再根据三角形的高线定义求解即可.

【详解】解：0Z1+Z2=18O°,Z1=Z2,回Nl=N2=90°,

又回折痕经过三角形的顶点，回折痕是三角形的高线，故选：C.

【点睛】本题考查折叠性质、平角定义、三角形的高线，理解三角形的高线定义是解答的关键.

变式2.（2022•河北•中考真题）如图，将AABC折叠，使AC边落在边上，展开后得到折痕/,贝心是

△ABC的()

A.中线B.中位线C.高线D.角平分线

【答案】D

【分析】根据折叠的性质可得/C4D=N54D,作出选择即可.

【详解】解：如图,

回由折叠的性质可知/C4D=/BAD,HAD是々AC的角平分线，故选：D.

【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键.

例5：（2023•河北沧州•统考三模）题目：如图，一至C的三边均不相等，在此三角形内找一点。，使得

OAB,△O3C,..筋的面积均相等.甲、乙两人的做法如下，判断正确的是（）

乙正确D.甲正确，乙错误

【答案】C

【分析】根据角平分线的性质可判断甲的做法不正确，根据三角形中线的性质和三角形的重心的性质可判

断乙的做法正确，可得答案.

【详解】解：对于甲：由做法可知：点。是三角形的三条角平分线的交点，

回点。到三边的距离相等，记这个距离是〃，

由于ABC的三边均不相等，则OAB,△0BC,一期的面积均不相等，回甲的做法错误；

对于乙：由做法可得：点。是三角形三边中线的交点，连接CO,如图，

=ABC

国SAB。=3,ABCABO=5sAe0,E1sAe0=]S"c，问理可得：，瘀。=§SACO,

回OAB,△O3C,人曲的面积均相等，团乙的做法正确；故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的角平分线的性质、三角形的中线和三角形重心的性质，正确理解题意、掌握

相关图形的性质是解题的关键.

变式1.（2023•江苏苏州•校考二模）等腰ABC中，AB=AC=5,BC=6,则重心G到底边的距离

是.

【答案】j4/l11

【分析】根据题意作出高线，首先根据等腰三角形的性质及勾股定理可求得AD的长，再根据重心的性质

即可求得结果.

【详解】解：如图所示，过点A作A。13c于点Z）,

0AB=AC=5,BC=6,SBD=CD=^BC=3,回AD=JAB:一瓦＞=,52_3?=4,

0AD为等腰三角形底边上的中线，

团重心G一定在AD上，且重心G到底边的距离为GD的长，

144

根据重心的性质可知，GD=-AD=-.故答案为：

333

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，重心的性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直

角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.

变式3.（2023•宁夏银川•校考一模）材料一：如图①，点C把线段A3分成两部分（AC>BC）,若

爷=票那么称线段的被点C黄金分割，点C叫做线段®勺黄金分割点.类似地，对于实数:

4<%V，如果满足（%—%）=（%—出）（〃3—4），则称“2为的黄金数.

材料二：如果一条直线,把一个面积为s的图形分成面积为航和邑两部分0>S2）,且满足今=称，那么

称直线/为该图形的黄金分割线.如图②，在.ABC中，若线段CO所在的直线是ABC的黄金分割线，过

点C作一条直线交边于点E,过点。作。尸〃EC交，LBC的一边于点R连接反，交CD于G.

②

问题：⑴若实数，。为0,1的黄金数，求<?的值.（2）S.CFGS&EDG（填>，<，=）

⑶所是一ABC的黄金分割线吗？为什么？

【答案】（1）上后（2）=⑶是，理由见解析

2

【分析】（1）根据黄金数的定义，即可求解；（2）根据平行线间的距离处处相等，可得S.CEF=SCE0,即

SS

可求解；（3）根据S.CFG=S.EDG,可得S.DFC=SDFE，S.E“=S.a>E,BDC=Wit»BEFC；从而得到

□.BDC_

5ADC=5AEF,再由线段CO所在的直线是“ABC的黄金分割线，可得SABCSBDC,即可求解.

【详解】（[）解:初为0,1的黄金数，且实数

团（a—0）2=（1—a）（1—0）,即02+°_]=0,解得：为=—12^<。（舍确）,。2=—1；』；

（2）解：设点尸到CE的距离为/I,

DF//EC>0SCEF=—CE-h=SCED,即SCFG+SCEG=S。矶；+S.CEG，

团Sc尸G=SMG；故答案为：=

（3）解：是理由如下：回S,C尸G=S^DG,回SDFC=S=SC£>E,SBDC一0四边形BEFC,

团S4ADC~^Z\ADF+S4DFC~^ADF+4DFE~/\AEF，

又回线段CD所在的直线是dBC的黄金分割线，

回#=*,回与g回反是_ABC的黄金分割线.

»ABC»BDC〉ABC）四边形BE尸C

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，平行线的性质，黄金分割点，黄金分割线等知

识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

例6：（2023•河北衡水•二模）如图，在..ASC中，点。在BC边上，沿AD将..ABC折叠，使点C与BC边

上的点C，重合，展开后得到折痕

（1）折痕。是ABC的；（填"角平分线""中线"或"高"）

（2）若—3AC'=15。，则/C比/3的度数大

【答案】高15

【分析】（］）由折叠的性质结合三角形角平分线，中线，高的定义即可判断；

（2）由折叠的性质结合三角形外角的性质即可求解.

【详解】（1）由折叠的性质可知AD13C,ACAD=ACAD,CD=ZC'D,

国折痕。是的高.故答案为：高；

（2）自由折叠的性质可知NC=NACZ）,ZAC'D=ZB+ZBAC,

IBZC-ZB=ZAC'D-ZB=ZBAC=15°.故答案为：15.

【点睛】本题考查折叠的性质，三角形角平分线，中线，高的定义，三角形外角的性质.熟练掌握上述知

识点是解题关键.

变式1.（2023上•浙江•九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点8（-2,3）,点C在x轴负半轴，

OB=BC,点M为△O3C的重心，若将△O8C绕着点。逆时针旋转90。，则旋转后三角形的重心的坐标

为.

【答案】(-L-2)

【分析】由重心的性质可得点M的坐标，根据旋转的性质证全等即可求得旋转后三角形的重心的坐标.

【详解】解：^OB=BC,点M为△O3C的重心EI3M_LCO,MH=：瓦/

团点3(—2,3)回点M(—2,1),MW=1,=2

团将△O3C绕着点O逆时针旋转90。过点M"作M"E_Lx轴，连接OM,OM"

0ZMOM"=ZHOE=90°0ZMOH=ZM"OE

回ZMHO=ZM"EO=90°,MO=M"O0VMHC玲M"EO

回OE=OH=2,"E=MA=10点AT(—1,—2)故答案为：(T,一2)

【点睛】本题考查重心的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等.熟记相关数学结论是解题关

键.

变式2.(2023・四川宜宾•模拟预测)如图，ABC中，AC=8,ZA=30°,ZABC=50°,点P为A3边上

任意一点，(P不与点8、C重合)，/为的内心则：

c

(1)CP的最小值=;(2)NCZB的取值范围是.

【答案】4105°<ZC/B<155°

【分析】⑴根据垂线段最短可知：当CPLAB时，PC的值最小.(2)首先证明N8/C=90o+；NBPC,由

三角形外角的性质与三角形内角和定理可得30°<NBPC<130°,据此可得结论.

【详解】解：⑴根据垂线段最短可知：当CPL四时，PC的值最小，

・此时NAPC=90。，ZA=30°APC=1AC=4,故答案为：4；

(2)/为的内心，AZIBC=^ZPBC,NICB=g/PCB

111

ABIC=180°-(ZIBC+ZICB)=180°--(ZABC+ZACB)=180°--(180°-ZBPC)=90°+-ZBPC,

ZA=3O°,ZABC=50°,..30°<ZBPC<130°,105°<ZB/C<155°,故答案为：

105°<ZB(<155°.

【点睛】本题考查三角形的内心，垂线段最短，直角三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定

理，解题的关键是求得30。</3尸。<130。.

核心考点3.全等三角形的判定与性质A

例7：(2023•浙江•统考中考真题)如图，在与中，ZA=ZC,请添加一个条件,

使得△425Z△砌.

--

【答案】OA=OC^OB=OD^AB=CD

【分析】根据对顶角相等可得/AOB=NCOD,再添加边相等，可利用ASA或AAS判定△力必会△狈.

【详解】解：国在与△COD中，ZA=ZC,ZAOB=ZCOD,

回添加Q4=OC,则.AC®乌COD(ASA)；或添加OB=8,则VAQB丝VCOD(AAS)；

或添加AB=CD,则VAO3丝VCOD(AAS)；故答案为：OA^OC(答案不唯一).

【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、

AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若

有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

变式1.（2023•浙江衢州•统考中考真题）如图，在一ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交

AB,AC于点。，E.分别以点。，E为圆心，大于［DE长为半径画弧，交于内一点E连结AF并

延长，交BC于点G.连结DG,EG.添加下列条件，不能使BG=CG成立的是（）

A.AB=ACB.AG±BCC.NDGB=NEGCD.AG=AC

【答案】D

【分析】据题意可知AG是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出BG=CG即可.

【详解】根据题中所给的作图步骤可知，AG是—ABC的角平分线，即N54G=/C4G.

当AB=AC时，又/BAG=NCAG,且AG=AG,

所以一A8G名一ACG（SAS）,所以BG=CG,故A选项不符合题意.

当AG_L3C时，ZAGB=ZAGC=90°,又/3AG=NCAG,且AG=AG,

所以ABG^.ACG（ASA）,所以BG=CG,故B选项不符合题意.

当NOG3=NEGC时，因为N3AG=NC4G,AD=AE,AG=AG,

所以ADG^.AEG（AAS）,所以NAGO=NAGE,

又ZDGB=NEGC,所以ZAGD+NDGB=ZAGE+NEGC,即ZAG3=ZAGC.

又NAGS+NAGC=90。，所以NAG3=NAGC=90。，

则方法同（2）可得出BG=CG,故C选项不符合题意.故选：D.

【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键.

变式2.（2023•浙江衢州•统考中考真题）已知：如图，在ABC和跖中，B,E,C,尸在同一条直线

上.下面四个条件：®AB=DE；②AC=DF；③BE=CF；@ZABC=ZDEF.

AD

⑴请选择其中的三个条件，使得△ABC/ZkOEF（写出一种情况即可）；

⑵在（1）的条件下，求证：△ABC好△£>£下.

【答案】（1）①②③或①③④（写出一种情况即可）（2）见解析

【分析】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可；

（2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可.

【详解】（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③；或者选择的条件为：①③④；

（2）证明：当选择的条件为①②③时，

BE=CF,:.BE+EC=CF+EC,BPBC=EF,

AB=DE

在，ABC和勿EF中，<BC=EF,\ABC四，DE尸（SSS）；

AC=DF

当选择的条件为①③④时，BE=CF,:.BE+EC=CF+EC,即BC=£F,

AB=DE

在「ABC和DEF中,i^ABC-ZDEF,：.ABC^DEF（SAS）.

BC=EF

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键.

例8：（2023•台湾・统考模拟预测）已知，ABC与血尸全等，A、B、C的对应点分别为。、E、F,且E点

在AE上，B、F、C、。四点共线，如图所示•若/A=40。，ZCED=35°,则下列叙述何者正确？（）

A.EF=EC,AE=FCB.EF=EC,AE^FCC.EF^EC,AE=FCD.EF^EC,AEwFC

【答案】B

【分析】由ABC与JfEF全等,A、B、C的对应点分别为。、E、F,可得NA=/O=40。，AC=DF,

ZACB=ZDFE,可得EF=EC；ZCED=35°,/。=40。可得>NCED,由大角对大边可得CE>CD；

利用AC=O尸，可得AC-CE<DF-CD,即AE<FC,由上可得正确选项.

【详解】解：ABC0DEF,ZA=Z£>=40°,AC=DF,ZACB=NDFE,

ZACB=ZDFE,EF=EC.ZCED=35°,/£）=40°,:.ZD>ZCED.:.CE>CD.

AC=DF,:.AC-CE<DF-CD,即AE<FC.:.AE手FC.EF=EC,AE手FC.故选：B.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质.利用全等三角形对应角相等，对应边相等是解题的关键.

变式1.（2023•浙江台州•统考一模）如图，AADEgaABC,点。在边AC上，延长ED交边BC于点

F,若NE4c=35。，则4FD=.

CFB

【答案】145。/145度

【分析】根据四△ABC可得NAED=NACB,再由三角形内角和得到NDFC=NE4c=35。，利用邻

补角定义求出/BED即可.

【详解】解：S^ADE^^ABC,^\ZAED=ZACB,

^\ZADE=ZFDC,ElZDFC=ZE4C=35°,0ZBFD=180°-Z.DFC=145°.故答案为：145°

【点睛】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和以及邻补角定义，解答关键是在全等三角形性质基

础上灵活运用数形结合思想

例9：（2023•浙江台州•统考中考真题）如图，锐角三角形ABC中，AB=AC,点。，E分别在边AB,

AC上，连接BE,CD.下列命题中，假命题是（）.

A.若CD=BE,则Nr>CB=NE3CB.若NDCB=NEBC,则=

C.若BD=CE,则NOCB=NE3cD.若NDCB=/EBC,则BD=CE

【答案】A

【分析】由AB=AC,可得/ABC=/ACB,再由。£>=3£,BC=CB,由SSA无法证明,.BCD与CBE全

等，从而无法得到/DCB=/EBC；证明VABE@/ACD可得CD=BE；证明V4B£@MCD,可得

ZACD=ZABE,即可证明；证明A£>3C—ECB（ASA）,即可得出结论.

【详解】解：SAB=AC,I3NABC=/ACB,

回若CD=3E,又BC=CB,ffl3CD与二CBE满足"S5A”的关系，无法证明全等，

因此无法得出NDC3=/EBC,故A是假命题，团若NDCB=NEBC,^iZACD=ZABE,

ZACD=ZABE

在11ABE■和，ACD中，<AB=AC,^■ABE^ACD（ASA）,SiCD=BE,故B是真命题；

ZA=ZA

AB=AC

若BD=CE,则AD=AE,在一ABE和AACD中，<ZA=ZA,SABEACD（SAS）,SZACD=ZABE,

AE=AD

SZABC=ZACB,SZDCB=ZEBC,故C是真命题；

若NDCB=NEBC,则在△D3C和ECB中，

ZABC=ZACB

-BC=BC,B..DBC=_ECB（ASA）,SBD^CE,故D是真命题；故选：A.

ZDCB=ZEBC

【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，正确的命题叫

真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理.

变式1.（2023・山东•统考中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点

AB,C,D,E均在小正方形方格的顶点上，线段4民8交于点尸，若NCFB=a,则等于

（）

A.180°-«B.1800-2aC.90°+。D.90°+2e

【答案】C

【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解.

【详解】解：如图，由图可知：GD=EH=1,CG=BH=4,ZCGD=ZBHE=90°,

0CGD空BHE（SAS）,0NGCD=NHBE,^CG//BD,0ZC4B=ZABD,

SZCFB=ZCAB+ZGCD=a,^\a=ZABD+ZHBE,

0ZABE=ZABD+ZDBH+ZHBE=90°+«；故选C.

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键.

例10:（2023•江苏南通•统考中考真题）如图，点。，E分别在A3,AC上，ZADC=ZAEB=90°,

BE,CO相交于点。，OB=OC.求证：Z1=Z2.

小虎同学的证明过程如下：

证明：ZADC=ZAEB=90°,EINOO3+N3=NEOC+NC=90°.

aNDOB=NEOC,0ZB=ZC.第一步

又Q4=（M,OB=OC,回△ABO/△ACO第二步

团N1=N2第三步

（1）小虎同学的证明过程中，第步出现错误；（2）请写出正确的证明过程.

【答案】⑴二⑵见解析

【分析】（1）根据证明过程即可求解.（2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论.

【详解】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，故答案为：二.

（2）证明：ZADC=ZAEB=90°fZBDC=ZCEB=90°,

ZBDO=ZCEO

在4005和△石OC中，＜/DOB=NEOC,DOB^EOC（AAS）,:.OD=OE,

OB=OC

fOA=OA

在用ADO和咫AEO中，\RtADO=RtAEO（HL\,Z1=Z2.

\OD=OE

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键.

变式1.（2023・陕西・统考中考真题）如图，在“ABC中，ZB=50。，NC=20。.过点A作AE_LBC,垂足为

E,延长E4至点D.使A»=AC.在边AC上截取AF=AB,连接。咒.求证：DF=CB.

【答案】见解析

【分析】利用三角形内角和定理得-C4B的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论.

【详解】证明：在中，ZB=50°,ZC=20°,：.ZCAB=180°-ZB-ZC=110°.

AE±BC..-.ZAEC=90°...ZDAF^ZAEC+ZC=110°,:.NDAF=NCAB.

AD=AC

在△ZMF和△CAB中，＜ZDAF=ZCAB,|?|*DAF=G4B（SAS）.：.DF=CB.

AF=AB

【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键.

变式2.（2023・湖南•统考中考真题）如图，AB=AC,CD±AB,BEVAC,垂足分别为O,E.

⑴求证：ABE^ACD；(2)^AE=6,CD=8,求的长.

【答案】⑴见解析(2)=4

【分析】(1)利用"AAS"可证明一ABE竺ACD；⑵先利用全等三角形的性质得到=AE=6,再利用

勾股定理计算出AC,从而得到AB的长，然后计算AB-AD即可.

【详解】(1)证明：CD±AB,BELAC,ZAEB=ZADC=90°,

ZEB=NADC

在」ABE和ACD中，-NBAE=ACAD,.二ABE四。ACD(AAS)；

AB^AC

(2)解：ABEgACD,:.AD=AE^6,

在RtACD中,AC=yjAD2+CD2=762+82=10，

AB=AC=10,:.BD=AB-AD=10-6=4.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角

相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

变式3.(2023•吉根统考中考真题)如图，点C在线段3。上，在11ABe和.DEC中，

ZA=NDAB=DE,NB=NE.求证：AC=DC.

【答案】证明见解析

【分析】直接利用ASA证明空△DEC,再根据全等三角形的性质即可证明.

ZA=ZD

【详解】解：在ABC和DEC中，＜AB=DE^ABCDEC(ASA)SAC=DC.

ZB=ZE

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

例11：(2023・重庆•统考中考真题)如图，在RtaASC中，ABAC=90,AB=AC,点。为BC上一点，

连接AD.过点2作5ELAD于点E,过点C作Cb_LAD交AD的延长线于点?若BE=4,CF=1,则

EF的长度为.

A

【答案】3

【分析】证明得到BE=ARCB=AE,即可得解.

【详解】解：0ZBAC=90°,fflZE4B+ZE4C=90°,

BBE±AD,CFYAD,EZAEB=ZAFC=90°,0ZACF+ZE4C=90°,S\ZACF=ZBAE,

ZAEB=ZCFA

在AAFC^DABEA中：＜ZACF=ZBAE,回AAFC^ABE4(AAS),

AB=AC

^AF=BE=4,AE=CF=1,I2EF=AF-A£=4—1=3,故答案为：3.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质.利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全

等是解题的关键.

变式1.(2023•山东临沂•统考中考真题)如图，ZA=90°,AB=AC,BD±AB,BC=AB+BD.

⑴写出AB与3D的数量关系⑵延长8C到E,使CE=BC,延长。C到尸，使CF=DC,连接E尸.求

证：EF_LAB.(3)在(2)的条件下，作NZCE的平分线，交AF于点、H,求证：AH=FH.

【答案[=(2)见解析(3)见解析

【分析】(])勾股定理求得8C=夜A8,结合已知条件即可求解；

(2)根据题意画出图形，证明-CBDWCEP,得出/E=/DBC=45。,则EF〃m，即可得证；

(3)延长BAE厂交于点延长CH交ME于点G,根据角平分线以及平行线的性质证明EG=EC,进

而证明aMC/sFHG(AAS),即可得证.

【详角星】(1)解：0ZA=9O°,AB=AC0BC=72AB,

SBC^AB+BD^\y/2AB=AB+BD即(夜一1)AB=3。；

(2)证明：如图所示，

EIZA=90°,AB=ACI3ZABC^45°,SBDJ.AB,回ND3c=45°

I3CE=BC,Z1=Z2,CF=DCSi.CBD^i.CEF

0ZE=ZDBC=45°^\EF//BDEAB±£F

(3)证明：如图所示，延长54,所交于点Af,延长CH交ME于点G,

EICH是/ACE的角平分线，SZACG=ZECG,⑦NCGE=NECG回EG=EC

0CBD^,CEF,©EF=BD,CE=CB,0EG=CB,

5^BC=AB+BD,SEG=AB+BD=AC+EF,

即尸G+EF=AC+EF,^\AC=EG,又AC〃尸G,则ZH4G=/HFG,

ZHAG=ZHFG

在<AHC,.尸HG中,\ZAHG=ZFHG,fflAHC^,FHG(AAS),^AH=HF

AC=FG

【点睛】本题考查了全等三角形的与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，

熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键.

变式2.(2023•青海海西•校考一模)请完成如下探究系列的有关问题：

探究1：如图1,ABC是等腰直角三角形，NB4C=90。，点D为3C上一动点，连接AD,以AD为边在

AD的右侧作正方形ADEF,连接CP,则线段CF,8。之间的位置关系为—，数量关系为一.

探究2：如图2,当点。运动到线段BC的延长线上，其余条件不变，探究1中的两条结论是否仍然成立?

为什么？(请写出证明过程)。

探究3：如图3,如果MwAC,ABAC^90°,/BC4仍然保留为45。，点。在线段BC上运动，请你判断

线段CF,3。之间的位置关系，并说明理由.

图1图2图3

【答案】探究1：CFLBD,CF=BD；探究2,仍然成立，理由见详解；探究3：CF1BD,理由见详解

【分析】探究1：根据题意证明△45。空△ACF(SAS),推出CF=BD,推出NACF=N8=45。，推出

NBCF=90。即可；探究2：结论不变，证明方法与探究1类似；

探究3,过点A作AFLAC,交C8的延长线于点尸，/BC4=45。时，利用正方形性质可推出

APD^ACF(SAS)即可得到NBCF=ZBCA+ZACF=90°,得出结论.

【详解】探索1：4c=90。，:.ZBAD+ZCAD^90°,

四边形ADEF为正方形，二/ZM尸=90。，ZCAD+ZCAF=90°,:.ZBAD=ZCAF,

AB=AC

・•・在△ABD和△ACF中，＜ZBAD=ZCAF,AABDAACF(SAS),

AD=AF

:.CF=BD,ZACF=ZB=45°,:.ZBCF=90°,：.CFLBD,

故答案为：CF1BD,CF=BD；

探索2：探索工中的两条结论是否仍然成立，

理由如下：ZBAC=90°,,-.ZBAD=90°+ZCAD,

;四边形ADEF为正方形，，NZMF=9()o+/C4D,「.NBADuNa/，

AB=AC

：.在△ABD和△ACF中，＜NBAD=NCAF,:.AABD^C4F(SAS),

AD=AF

:.CF=BD,ZACF=ZB=45°,:.NBCF=90°,CF1BD；

探索3：线段C/，8。之间的位置关系是CF,3D,

理由如下：如图，过点A作AFLAC,交CB的延长线于点尸,

图3

ZBC4=45°,:.ZAPD=45°,AP=AC,四边形相＞£F为正方形，.•.AD=AF,

ZPAD=90°-ZDAC,ZCAF=90°-ZDAC,:.ZPAD=ZCAF,

：.APD