2025年新高考数学一轮复习：平面向量与复数背景下的新定义问题（六大题型）（学生版+解析）

拔高点突破02平面向量与复数背景下的新定义问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：向量外积（叉积）.......................................................2

题型二：斜坐标系...............................................................3

题型三：向量新定义之新概念.....................................................5

题型四：向量新定义之新运算.....................................................6

题型五：向量新定义之新性质.....................................................8

题型六：复数新定义.............................................................9

03过关测试....................................................................10

亡法牯自与.柒年

//\\

1、平面向量背景下的新定义问题是一类既涉及平面向量基础知识，又融入新颖定义和复杂信息的数

学问题。这类问题要求考生不仅掌握平面向量的基本概念和运算规则，还需要具备良好的分析能力和逻辑

推理能力。平面向量背景下的新定义问题，通常基于平面向量的方向性和大小性，引入新的运算规则或概

念。解题时，首先要准确理解新定义的本质，明确其涉及的向量运算和性质。接着，将新定义应用到具体

的题目情境中，通过向量的加法、减法、数乘、数量积等运算，推导出所需的结论。这类问题往往信息量

大，背景新颖，需要考生耐心分析，细致推理。同时，注意平面向量的模、夹角等几何特征在新定义问题

中的应用，以及如何利用这些特征简化解题过程。最终，通过综合应用平面向量的基础知识和新定义，解

决这类复杂而有趣的数学问题。

2、复数背景下的新定义问题是一类融合了复数基础理论与新颖概念的数学问题。这类问题要求考生

不仅熟悉复数的代数表示、模、辐角等基本概念，还需具备灵活运用复数运算规则的能力。解题时，首先

要深入理解新定义的本质，明确其涉及的复数运算和性质。接着，将新定义与具体的题目情境相结合，通

过复数的加、减、乘、除等运算，推导出所需的结论。这类问题往往考察考生的逻辑推理能力和创新能力,

需要考生在新颖的复数运算或概念中找到解题的突破口。最终，通过综合运用复数的基础知识和新定义，

解决这类富有挑战性的数学问题。

题型一：向量外积(叉积)

【典例1-1】如果向量。的夹角为。，我们就称axb为向量々与6的响量积”，axb还是一个向量，它

的长度为麻4=同卡卜",如果忖=1。，恸=2,a-b=-n＞贝平x*()

A.-16B.16C.-20D.20

【典例1-2】(2024•高三•内蒙古呼和浩特•期末)若向量a=(x1,％),b=(x2,y2),则以八6为邻边的平行

四边形的面积S可以用a、b的外积axb表示出来，即无2%|.已知在平面直角坐标系工。)7中,

A(cosa,石)、B(sin2(z,2cosa),ae0,",贝！|面积的最大值为()

A.1B.y/2C.2D.3

【变式1-1］（多选题）已知向量a,b的数量积（又称向量的点积或内积）：a-b=\a\］b\cos^a,b）,其中

卜,6）表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：加.=同.巧同,,/?）,其

中心,可表示向量的夹角，则下列说法正确的是（）

A.若a,b为非零向量，且依可=„,贝心冉=2

B.若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于|A8XAH

C.已知点4（2,0），网为坐标原点,^\0Ax0B\=2y/3

D.若卜x"=若，则k+2囚的最小值为J12+8/

【变式1-2］（2024.高三.黑龙江哈尔滨•期中）已知两个非零向量〃与6,定义|ax*忖卡卜也，，其中。为

a与6的夹角，若。=（-2,3）,6=（1,1）,贝“心可的值为（）

A.5B.7C.2D.726

【变式1-3】定义：|axb卜,心卜in。，其中夕为向量£,万的夹角，若忖=2,恸=5,（a+b）a=-2,则

|axZ?|=（）

A.6B.—6C.—8D.8

题型二：斜坐标系

【典例2-1】（2024•云南昆明•模拟预测）向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择

取决于问题的特定背景和需求.在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用.比如，

物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问

题.通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更

符合实际场景.已知向量ere2是平面0内的一组基向量，。为0内的定点.对于a内任意一点尸，若

OP^xe1+ye2（x,yeR）,则称有序实数对（x,y）为点尸的广义坐标.若点A,2的广义坐标分别为（孙人）,

（4，丹），关于下列命题正确的（）

A.点”（1,2）关于点。的对称点不一定为"'（-1,-2）

B.A,2两点间的距离为%一位『

C.若向量OA平行于向量08,则再%%的值不一定为0

D.若线段AB的中点为C,则点C的广义坐标为［土产，七支1

【典例2-2】（2024•吉林长春•模拟预测）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果

平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点尸作两坐

标轴的平行线，其在无轴和y轴上的截距m6分别作为点尸的x坐标和y坐标，记P",则在x轴正方

向和y轴正方向的夹角为d的斜坐标系中，下列选项错误的是（）

A.当9=60。时2）与8（3,4）距离为2若

B.点A（l,2）关于原点的对称点为A（T-2）

C.向量。=（占,切）与力=（与％）平行的充要条件是％了2=%再

D.点4（1,2）到直线无+y—l=0的距离为&

【变式2-1】如图所示，设Ox,Oy是平面内相交成。，片■角的两条数轴，『e?分别是与x,y轴正方向

同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为e斜坐标系，若。0=的+”2，则把有序数对（元》）叫做向量

的斜坐标，记为OM=（x,y）.在的斜坐标系中，a6=（也,-1）.则下列结论中，错

误的是（）

①Q-~,—+1；②阿=1；@aLb\④/在Q上的投影为-0

（22）

A.②③B.②④C.③④D.②③④

【变式2-2］如图，设Ox,Oy是平面内夹角为的两条数轴，G，02分别是与X轴、y轴正方向

同向的单位向量.若向量=+）«2，则有序数对（x,y）叫做点A在坐标系。町中的坐标.在该坐标系下，

人（西方），8（%,%）,C（H%）为不共线的三点，下列结论错送的是（）

A.线段AB中点的坐标为（岩,入产）B.一ABC重心的坐标为1芯+；+%,X+1+

C.A,5两点的距离为小（%-々）2+（%-D.若石％=工2丁1，则。，A,5二点共线

题型三：向量新定义之新概念

【典例3・1】（多选题）（2024.山东潍坊.三模）定义平面向量的一种运算“。”如下：对任意的两个向量

“二（%，y），〃二（%2，乂），令减为=（%%-%2%，%无2+%%），下面说法一定正确的是（）

A.对任意的XeR,有,。）。匕=4（。06）

B.存在唯一确定的向量e使得对于任意向量a,都有；0>=潟；=：成立

C.若°与6垂直，则（4®b）®c与00（及）c）共线

D.若［与6共线，则的.与编（砌的模相等

【典例3-2］（多选题）设4、4、4、4是平面直角坐标系中相异的四点，若44=444（九€］<）,

R

4A=MA（ZZG）-且：+：=2，则称A，4调和分割4,4，已知平面上的点c,。调和分割点A,B,

则下面说法正确的是（）

A.A、B、C,。四点共线

B.。可能是线段的中点

C.C、。可能同时在线段48上

D.C、。不可能同时在线段A3的延长线上

a•ba与》不共线

【变式3・1】设为平面内的任意两个向量，定义一种向量运算“软'：a®b=L'一什五‘对于同

Q-Z?,4与。共线.

一平面内的向量a,b,c,d，给出下列结论：

®a®b=b®a-,（2）=（2a）®Z?（AGR）；

③（a+b2c=a<8）c+Z?区c；④若e是单位向量，贝1］忸合目4问+1.

以上所有正确结论的序号是—.

【变式］（•河北邯单上二模）对任意两个非零的平面向量£和定义:a®b=—---T

3-220246,忖+『

a0=若平面向量a）满足忖>W>°，且a㊉6和a2都在集合［夕"eZ,0<〃4中，则

a®b+ab=（）

375

A.1B.—C.1或一D.1或一

244

【变式3・3］（多选题）（2024.高三.山东青岛.期末）已知对任意平面向量A3=（x,y）,把AB绕其起点沿逆时

针方向旋转。角得到向量AP=（xcos。-ysinO,Asin。+ycosO'）,叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转。角得

到点P.已知平面内点A（2,l）,点B（2+r,lT）,|AB|=20,AR。4>0,点3绕点A沿逆时针方向旋转

7T

I•角得到点P,则（）

A.囱=20B.AB^（-2,2）

C.8的坐标为（4,-1）D.尸的坐标为（3+石,石）

题型四：向量新定义之新运算

【典例4-1］（多选题）在实数集R中，我们定义的大小关系“〉”为全体实数排了一个“序”.类似实数排序

的定义，我们定义''点序”，记为">“：已知”（％，X）,N（x2,y2）,M\>N,当且仅当“王>%”或“占=々且

%>%”.定义两点的“㊉”与“软'运算："㊉N=a+&，%+%），M0N=X^X2+y^2.则下列说法正确

的是（）

A.若「（2025,2024）,0（2024,2025）,贝i」P>Q

B.若P（2025,2024）,Q（x,y）,P>Q,贝晨W2025且y42024

C.若尸>Q,则对任意的点T,都有尸㊉冗>。㊉T

D.若尸》。，则对任意的点T,都有P区T>Q区T

【典例4-21定义空间两个向量的一种运算“区人=瓦,卜皿,”）,则关于空间向量上述运算的以下结论中

恒成立的有（）

A.A,（a®b^=

B.{a®b^®c=a®（b®c^

C.（a+区c=（〃区c）+仅区c）

ii..

D.若a=（5，x）,6=（%，%），则a③6=

【变式4・1】设向量加=（〃,"），向量〃=（c,d）,规定两向量机，〃之间的一个运算“®”的结果为向量机。〃

=ad+bc-\\）,若已知向量4=（1,2）,且向量p®q与向量；=（1,一2）共线又与向量丫=（1,1）垂

直，则向量p的坐标为（）

B-（泠

A-K

c(-*)D.生）

【变式4-2】设向量a与0的夹角为。,定义a㊉力=|由11夕+反os。］.已知向量々为单位向量，忖=0,

rr.

a-b\=\,贝以㊉人二()

rVio

A«-------B.72D.2A/3

22

【变式4-3】设向量。与6的夹角为。,定义a㊉6=|asind-Z2cos0,已知卜|=五，|/>|=|<7-/?|=1则

〃㊉/?=()

A亚

A.------B.V2D.6

2

【变式4.4】定义向量一种运算“g”如下：对任意的〃=（九"），b=（p,q）,令aBb=mq-np,下面错误

的是（）

A.若a与Z?共线，则与（8）/?=0

B.30石）2+3力）2="|2.出|2

C.对任意的XER,有（4Q）（8）B=2（〃③万）

D.a®b=b®a

【变式4-5］对任意量给非零向量Q,b，定义新运算:axb=已知非零向量加，〃满足

时＞3”，且向量加，"的夹角eegg］,若4（小义”）和4（/x可都是整数，则mx〃的值可能是（）

17

A.2B.3C.4D.—

4

题型五：向量新定义之新性质

【典例5・1］我们称〃（"wN*）元有序实数组（七,々，，/）为〃维向量，凶+国++|司为该向量的范数.已

知〃维向量a=（4%，，皿），其中乙£{—1,。,1}（，=1,2,n）,记范数为奇数的〃的个数为4,则；

&“=（用含〃的式子表示，neN,）.

【典例5・21对任意两个非零的平面向量a和4，定义】尸=舒・若平面向量a、b满足忖2忖〉0,0

与Z7的夹角夕£［。，1），且35和64都在集合，5中，则a/?+/?〃=（）.

35

A.—B.2C.—D.3

22

【变式5-1］（2024•浙江绍兴•模拟预测）定义两个向量组X=W，x；,X3）,y=（H，£%）的运算

X-Y—xx-yt+x2-y2+x3-y3,设q.e?,分为单位向量，向量组X=^xl,x2,x3^,Y=（%,为，%）分别为e”％,与

的一个排列，则x-y的最小值为一.

【变式5-2］我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有

序实数对（卬，%）表示.平面向量又称为二维向量.一般地，〃元有序实数组（q,%，L,。"）称为〃维向量,

它是二维向量的推广.类似二维向量，对于n维向量，也可定义两个向量的数量积、向量的长度（模）等:

1111

设Q=（4，〃2,L,a〃）,b=（fy,b2,L,Z;n）,则a.＞=（4,a2,L,a〃）•（瓦,优，L,bn）=+a2b2+L+anbn；

H=+W+L+d.已知向量a=（4,a2,L,满足为=〃，向量5=（瓦瓦,L,满足b〃=2〃.

⑴求。•%的值；

⑵若c=（q,。2,L,c〃），其中。〃=ln-^,当2且〃wN*时，证明：—-—.

anIIY2几+4

【变式5-3】设向量。=（外,%）,6=（%,%），当玉2尤2，且%＞当时，则记作ab;当见＜尤2，且

%4当时，则记作ab,有下面四个结论：

①若a=（2,4）,b=（3,5）,则mb:

②若a：b且〃。।AZ?,则以N4；

③若a。，则对于任意向量e,都有（a+c）・仅+小

④若0।b»则对于任意向量c,都有

其中所有正确结论的序号为（）

A.①②③B.②③④C.①③D.①④

题型六：复数新定义

【典例6-1】已知平面直角坐标系xOy中向量的旋转和复数有关，对于任意向量尤=（。/），对应复数

z=a+bi,向量无逆时针旋转一个角度。，得到复数2'=（。+阳（005。+15也。）=。85。-

bsine+i（asin6+6cos8）,于是对应向量尤'=（acos。-方sinO,asine+bcos。）.这就是向量的旋转公式.己

知正三角形A3C的两个顶点坐标是A0,4）,3（3,2）,根据此公式，求得点C的坐标是.（任写一个即可）

【典例6-2】（2024・浙江•模拟预测）已知平面直角坐标系xOy中向量的旋转和复数有关，对于任意向量]

=（a,b）,对应复数2="历，向量x逆时针旋转一个角度6,得到复数

z=（＜z+iZ?）（cos0+isin0）=acos0—bsin0+i（asin0+bcos0）,于是对应向量

x=（acosd-bsinaasinO+bcos。）•这就是向量的旋转公式•根据止匕公式，已知正三角形ABC的两个顶点坐

标是4（1,2）,3（3,4）,则C的坐标是.（任写一个即可）

【变式6-1]（多选题）（2024•河北沧州.一模）在复数城内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予

它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝

对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面x轴上方的

复数为正，在x轴下方的复数为负，在x轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用

[z]来表示复数的“大小”,»：[l+2i]=V5,[l-2i]=-V5,[1]=1,[-3]=-3,[_1-21]^-75,则下列

说法正确的是（）

A.[z]=l在复平面内表示一个圆

B.若zeC，则方程⑵2=一1无解

C.若4/2为虚数，且4=尻，则[z[+[z2]=。

D.复平面内，复数z对应的点在直线y=-x+4上，则|[z]]最小值为20

【变式6-2]（多选题）（2024•全国•三模）一般地，对于复数2=。+历（i为虚数单位，a,6eR）,在平面

直角坐标系中，设忖=|oz|=r(r»0),经过点Z的终边的对应角为凡则根据三角函数的定义可知

a=rcOs0,b=rsin0,因此z=r(cos6+isin。)，我们称此种形式为复数的三角形式，厂称为复数z的模，

。称为复数z的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合。48<2兀的辐角夕的值叫做辐角的

主值.已知复数z满足|z-1归乙re(0,1),Re(z)为z的实部，。为z的辐角的主值，则()

A.卜-屈可的最大值为厂+而公

B.卜-配可的最小值为而乐-r

C.cos0<Vl-r2

D-R力舟(I)

【变式6-3］现定义“〃维形态复数Z,"：z,=cos〃0+isin访，其中i为虚数单位，neN*,"0.

(1)当。=；时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系；

(2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求sin.+j的值；

(3)若正整数加，“相>1,〃>2),满足z“,=Z］,z„=z；,证明：存在有理数4，使得根=q/+l-2q.

【变式6-4］若定义一种运算：":=ac+6d.已知z为复数，且(2,刁:=6-4i.

⑴求复数z；

Isinx

⑵设/，x为实数，若(f+cosxi)2-(1,1).为纯虚数，求7的最大值.

0

〃过关测试,\

1.(多选题)(2024•河南.模拟预测)设向量£=(/%),b=(x2,y2),当且仅当可上马，且%>当时，则称

ab;当且仅当不〈无2,且为4当时，则称ab,则下列结论正确的有（）

A.若ab且〃aAb,贝1]〃2几

B.若a=（2022,2024）,，=（2023,2025）,则

C.若ab，则对于任意向量c，都有（a+c）仅+c）

D.若ab,则对于任意向量c，都有ecWAw

2.（多选题）（2024•江苏盐城•一模）定义平面斜坐标系xOy,记NxQy=。，《，e2分别为无轴、y轴正方

向上的单位向量，若平面上任意一点尸的坐标满足：OP=xel+ye2,则记向量OP的坐标为（％y）,给出

下列四个命题，正确的选项是（）

A.若OP=（玉,％）,OQ=（x1,y2）,则OP+OQ=（毛+/,%+%）

B.若OP=（x,,yJ,OQ=（x2,y2）,则OPOQ=^%2+%为

C.若尸a，yj,。（电,力）,则|尸。|=，（七-xj2+（%-%『

D.若6=60。，以。为圆心、半径为1的圆的斜坐标方程为尤2+丁+孙一i=o

3.（多选题）（2024•山西临汾・二模）设Or,Qy是平面内相交成60。角的两条数轴，弓了?分别是与尤轴、

V轴正方向同向的单位向量.若OP=xq+ye2，则把有序实数对（羽丫）叫做向量OP在斜坐标系。孙中的坐

标，记作。尸=（x,y）.则下列说法正确的是（）

A.若。尸=（2,1）,则|OP|=J7

B.若AB=（2,1）,BC=，1,-£|,则A,B,C三点共线

C.若。4=（3,2）,0£=（2,—3）,则

D.若OA=（2,0）,OB=（0,3）,OC=（4,1）,则四边形0AC2的面积为友

2

4.（多选题）（2024・湖北.二模）定义空间两个非零向量的一种运算：a®b=\^-\t\-sm{a,b）,则关于空间向

量上述运算的以下结论中恒成立的有（）

A.几（。区6）=（回区6B.a®b=b®a

C.若a86=0，贝0_L6D.卜区63。雨

5.（多选题）定义：a,6两个向量的叉乘品力=|卧帆则以下说法正确的是（）

A.若ax/?=0,则。b

B.2传xb）=（必）xb

C.若四边形A3CZ）为平行四边形，则它的面积等于

D.若Jx力=后，。0=1，则卜+N的最小值为g

6.（多选题）在平面直角坐标系xOy内，设两个向量,6=（无2,%），定义运算:

670&=x1_y2-x2y1,下列说法正确的是（）

A.。（8）/?=0是。〃6的充要条件B.a®b=b®a

C.a®[b+c^=a®b+a®cD.若点0,A,B不共线，贝I]Q4B的面积S=JoA区。B|

7.（多选题）（多选）在三维空间中，axb叫做向量）与6的外积，它是一个向量，且满足下列两个条件:

①a_L（axb）,b_L（axb）,且°,］）,axB三个向量构成右手系（如图所示）；②,*0="卜卜也卜,6〉.在

正方体A8CD-44GA中，已知其表面积为S,下列结论正确的有（）

B.ABxAD=ADxAB

D.4。仆4。与8〃共线

8.（多选题）如图所示设3，2V是平面内相交成角的两条数轴，G，%分别是与X,y轴正方

向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为。反射坐标系，若Q0=xei+ye2，则把有序数对（x,y）叫做向

211

量的反射坐标，记为O〃=（x,y）.在。=耳乃的反射坐标系中，。=（1,2）,6=（2,-1）.则下列结论中,

错误的是（）

A.a—b—（—1,3）B.|（2|=^3

D.°在6上的投影向量为-地b

C.a.Lb

14

9.（多选题）对任意两个非零向量a,A,定义新运算:a®b=.已知非零向量见"满足”>3”且

向量加，”的夹角若4（根瓯）和4（〃包时都是整数，则加丽的值可能是（）

A.2B.-C.3D.4

2

10.如图，在平面斜坐标系xOv中，40y=。,平面上任意一点尸关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若

OP=xel+ye1（其中e；,e；分别是无轴，，轴正方向的单位向量），则尸点的斜坐标为（羽丫），且向量O尸的

斜坐标为（羽丫）.给出以下结论，其中所有正确的结论的序号是

①若6=60。，P（2,-l）,则尸卜有；

②若尸（再，必），。（孙为）>则OP+OQ=（xl+x2,yr+%）;

③若P（x,y）"eR,则20P=（〃,心）；

④若OP=（外,乂）,。。=（%2,%），则OPOQ=X1X2+yxy2.

11.（2024・河南•模拟预测）向量）,6的夹角为。，定义运算"®":0区6=|a||b|sin0,若a=（6,1）,

b=（-gj）,则a®6的值为.

12.我们把由平面内夹角成60。的两条数轴Ox,Qv构成的坐标系，称为“@未来坐标系”，如图所示，

分e2分别为Ox,Qy正方向上的单位向量，若向量0「=%+/>2,则把实数对｛苍耳叫做向量OP的“@未来

坐标"，记。尸=｛羽耳，已知｛外,％｝,｛々，％｝分别为向量£，。的“@未来坐标”，若向量a,0的“@未来

坐标”分别为｛1,2｝,｛2,1｝,则向量a,b的夹角的余弦值为一.

13.已知对任意平面向量AB=（x,y）,把8绕其起点沿逆时针方向旋转。得到向量

APXxcosM-ysinaxcosO+ysin。）叫做把点8绕点A沿逆时针方向旋转6得到点P.己知平面内点A（2,l）,

点、B（2+捏,1-拒）,把点8绕点A沿逆时针:后得到点P,向量°为向量而在向量PA上的投影向量，则

14.定义平面非零向量之间的一种运算“*”,记a*》=acose+bsin。（其中。是非零向量〃，人的夹角）.若

Zj<Z2.复数M,V,w分别满足："2+"+l=0,v=,|w+l|=l,贝Ij()

A.u<w<vB.u=v=wC.v>u=wD.w<u<v

20.对于任意的复数z=x+M(x,yeR),定义运算P(z)=xtcos(y无)+isin(/)].

⑴集合A={0|o=尸(z),|z|<l,Rez,7mz均为整数},试用列举法写出集合A；

(2)若z=2+M(yeR),P(z)为纯虚数，求|z|的最小值；

(3)直线/：y=x-9上是否存在整点(x,y)(坐标x,V均为整数的点)，使复数z=x+yi经运算P后，尸(z)对

应的点也在直线/上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由.

21.(2024•河南郑州•三模)复数除了代数形式。+历之外，还有两种形式，分别是三角形式和指数形式，

著名的欧拉公式屋=cos6+isine体现了两种形式之间的联系.利用复数的三角形式进行乘法运算，我们可

以定义旋转变换.根据(a+bi)d°=(a+bi)(cos6+isin6)=acose-bsine+(asine+Zxx>se)i,我们定义：在

直角坐标系内，将任一点绕原点逆时针方向旋转6的变换称为旋转角是。的旋转变换.设点A(a,b)经过旋

，/,[ar=acos0-Z?sin0,

转角是。的旋转变换下得到的点为且旋转变换的表达式为加=公ind+反os。曲线的旋转变换也

如此，比如将“对勾”函数y=x+1图象上每一点绕原点逆时针旋转?后就得到双曲线：

xX

、♦:1

2(V2+1)2(V2-1),

(1)求点(-1,-V3)在旋转角是:的旋转变化下得到的点的坐标；

7T

(2)求曲线孙=1在旋转角是y的旋转变化下所得到的曲线方程；

(3)等边,ABC中，8(一1，一1)，4，。在曲线孙=1上，求,ABC的面积.

22.(2024.河南.模拟预测)从数据组。：(L2,3,L,〃)中取出左4”)个不同的数构成一个新数据组口：

(图,尤2，L，Z).若Vac。，3x,,x.en,i,je{l,2,L,k),使得。=几可+〃苫八2,//e{-l,0,l},则称数据组

n为数据组。的一个左维基本数据库.

⑴判断数据组口：（1,4）是否为数据组。：（123,4,5）的一个2维基本数据库；

（2）判断数据组口：（2,3,4）是否为数据组（1,2,3,4,5,6,7,8,9）的一个3维基本数据库.

（3）若数据组II是数据组。的一个左维基本数据库，求证：ie+k>n.

23.（2024.全国.模拟预测）设有〃维向量4=+•••+anbl:为向量d和。

的内积，当称向量。和6正交.设S“为全体由-1和1构成的〃元数组对应的向量的集合.

写出一个向量方，使得

（2）令8={[x,y]|尤,yeS“}.若mcB,证明：为偶数.

（3）若〃=4,/（4）是从S,中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足猜测/（4）的值,

并给出一个实例.

拔高点突破02平面向量与复数背景下的新定义问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：向量外积（叉积）.......................................................2

题型二：斜坐标系...............................................................3

题型三：向量新定义之新概念.....................................................5

题型四：向量新定义之新运算.....................................................6

题型五：向量新定义之新性质.....................................................8

题型六：复数新定义.............................................................9

03过关测试....................................................................10

亡法牯自与.柒年

//\\

1、平面向量背景下的新定义问题是一类既涉及平面向量基础知识，又融入新颖定义和复杂信息的数

学问题。这类问题要求考生不仅掌握平面向量的基本概念和运算规则，还需要具备良好的分析能力和逻辑

推理能力。平面向量背景下的新定义问题，通常基于平面向量的方向性和大小性，引入新的运算规则或概

念。解题时，首先要准确理解新定义的本质，明确其涉及的向量运算和性质。接着，将新定义应用到具体

的题目情境中，通过向量的加法、减法、数乘、数量积等运算，推导出所需的结论。这类问题往往信息量

大，背景新颖，需要考生耐心分析，细致推理。同时，注意平面向量的模、夹角等几何特征在新定义问题

中的应用，以及如何利用这些特征简化解题过程。最终，通过综合应用平面向量的基础知识和新定义，解

决这类复杂而有趣的数学问题。

2、复数背景下的新定义问题是一类融合了复数基础理论与新颖概念的数学问题。这类问题要求考生

不仅熟悉复数的代数表示、模、辐角等基本概念，还需具备灵活运用复数运算规则的能力。解题时，首先

要深入理解新定义的本质，明确其涉及的复数运算和性质。接着，将新定义与具体的题目情境相结合，通

过复数的加、减、乘、除等运算，推导出所需的结论。这类问题往往考察考生的逻辑推理能力和创新能力,

需要考生在新颖的复数运算或概念中找到解题的突破口。最终，通过综合运用复数的基础知识和新定义，

解决这类富有挑战性的数学问题。

题型一：向量外积(叉积)

【典例1-1】如果向量2，。的夹角为凡我们就称axb为向量£与6的“向量积”，axb还是一个向量，它

的长度为麻/卜同卡卜116>,如果忖=10,恸=2,a.b=-Y2,则\“卜()

A.-16B.16C.-20D.20

【答案】B

【解析】因为问=10,网=2,a-b=-U,所以a/=k|Wcos，=10x2cos6=-12,

所以cos9=-g,所以sin6=1,所以,义W=同卜卜近夕=10x2xg=16.

故选：B

【典例1-2】(2024・高三.内蒙古呼和浩特•期末)若向量8=(%,%),则以0、6为邻边的平行

四边形的面积S可以用q、b的外积axb表示出来，即S=|ax6]=|七%-々Ml.已知在平面直角坐标系》。〉中,

A(cosc,百)、S(sin2«,2cosa),aeo[,贝!]面积的最大值为()

A.1B.V2C.2D.3

【答案】A

【解析】已知在平面直角坐标系xOy中，A(cosa,J^)、B(sin2a,2cosa),ae0微

因为OWaw],则—《42tz—《V,则一5Vsin（2a—不）W1,

贝!|-242sin2。-5）—141,则5=I2""2"小-1目0,1],

TTTT

当2々-7=-工时，即当＜z=0时，一OAB面积取最大值1.

66

故选：A.

【变式1-11(多选题)已知向量。,方的数量积(又称向量的点积或内积)：a-b=\a\-\b\cos^a,b),其中

6)表示向量。,b的夹角；定义向量的向量积(又称向量的叉积或外积)：|ax.=同.卜卜皿(。冉，其

中心,少表示向量。,6的夹角，则下列说法正确的是()

A.若为非零向量，且人同=卜.可，贝

B.若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于|ABxA4

C.已知点4(2,0),网-1,6),0为坐标原点,则向xOq=2有

D.若,xb|=百，则卜+2司的最小值为J12+8#

【答案】BCD

【解析】对于A中，因为a,b是非零向量，由人万卜,川，可得问Wsin(a,6)=琲卜os(a,b)|,即

sin(a,b)=kos(a,b),

可得tan(a,b)=±l,且,田＜0,可，解得,力)=(或,，所以A错误；

对于B中，由S=2xg|AHlAO|sin〈AB,Ar)〉=kBxAU，所以B正确;

uuiuuu/uuruimiUUF|iuuni

对于C中，因为04=(2,0),03=(—1,6),可知。4・。5=—2,CM=08=2,

则侬仍,021=/嬴=_:,且OA,O3e[0,可，可得(0402)=1,

所以|OAxOq=|。4H。耳sin(。4,03)=2百，故C正确；

对于D中，因为|axWm=有，即忖卜卜吊(4,6)=亭忖Wcos(a,b)=退，

可得tan(a,b)=等，可知(。,加[0,兀],可得(a,))=会同卜|=2石，

贝l]|a+26|2=|&|2+4a-/7+41&|2=12+1a|2+41/?|2>12+41a||/?|=12+8A/3,

所以1+2司2J12+80=2j3+2君,当且仅当同=2忖时，等号成立，所以D正确,

故选：BCD.

【变式1-2](2024•高三•黑龙江哈尔滨•期中)已知两个非零向量a与6,定义,xb|=忖.恸-sin。，其中。为

a与。的夹角，若。=(-2,3),6=(1,1),贝山小川的值为()

A.5B.7C.2D.726

【答案】A

【解析】因为。=(一2,3),b=(l,1),则|°|=底,|"=应，

a，b=-2xl+3xl=l,

mi/i\a*b11

则cos(a,Z?)=---------=_LL=-i=，

、/\a\-\b\V13-V2V26

又。兀],贝！Jsin6=JI-cos26

.—1-5

贝lJ|axZ?|=V13xV2x.——=5.

A/26

故选：A

【变式1-3】定义：依6卜忖^sin。，其中夕为向量a，6的夹角，若忖=2,欠=5,(a+fo)-a=-2,则

(zx&|=()

A.6B.-6C.-8D.8

【答案】D

【解析】••,(。+到。=-2,...”2+a.6=_2，即1+,也卜0$。=-2,

3

22+2x5xcos=-2,cos0=--,

4

.•・卜乂以=忖卜卜1116=2乂5*m=8.

故选：D.

题型二：斜坐标系

【典例2・1】(2024.云南昆明.模拟预测)向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择

取决于问题的特定背景和需求.在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用.比如，

物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问

题.通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更

符合实际场景.已知向量弓，02是平面。内的一组基向量，。为。内的定点.对于a内任意一点尸，若

OP=XG+yq(x,yeR),则称有序实数对(1y)为点尸的广义坐标.若点A,B的广义坐标分别为(孙兀),

(范，丹)，关于下列命题正确的()

A.点”(1,2)关于点。的对称点不一定为2)

B.A,♦两点间的距离为一尤2)2+(/_%)2

C.若向量平行于向量，则%的值不一定为0

D.若线段A3的中点为C,则点C的广义坐标为(七三，七匹]

【答案】D

【解析】对于A,OM=ei+2e2,设"(1,2)关于点。的对称点为M'(x,y),贝U

OM'=—OM=_q—Ze2=xq+ye?,

..fx=—1

因为G，02不共线，所以1y=_2,A错误；

对于B,因为四二伽一⑦:9,+%e2_Fei_弘4二(/一%),+(%―%)6，

所以卜J[(尤2_%)q+(%-M)^]2=J(%2-尤1)2ej+2(尤2-/)(%-M居•e；+(%—X『e：,

当向量生,e2是相互垂直的单位向量时，A,B两点间的距离为-％丫+(%-%『,否则距离不为

xx22

y/(i-2)+(y1-y2)'B错误；

对于C,当。4与03中至少1个是0时，结论成立;

当。4与08都不为。时，设04=408(2x0),有西6+乂02=4为，即卜J2，所以

,''一[