2025年新高考数学一轮复习：平面向量的数量积及其应用（八大题型）（练习）（学生版+解析）

第02讲平面向量的数量积及其应用

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：平面向量的数量积运算...................................................2

题型二：平面向量的夹角问题.....................................................2

题型三：平面向量的模长.........................................................3

题型四：平面向量的投影、投影向量...............................................3

题型五：平面向量的垂直问题.....................................................3

题型六：建立坐标系解决向量问题.................................................4

题型七：平面向量的实际应用.....................................................4

题型八：向量回路恒等式.........................................................5

02重难创新练..................................................................6

03真题实战练..................................................................7

题型一：平面向量的数量积运算

1.（2024•陕西西安•模拟预测）已知平行四边形ABCD中，

AB=4,AO=3,ABAD=60°,DP=2DC（2>0）,APBP=9,则彳的值为（）

A.-B.-C.-D.1

5432

2.（2024・陕西•模拟预测）如图是某人设计的正八边形八角窗，若。是正八边形跖GH的中心，=1,

则ACCD.

3.（2024・重庆・三模）已知单位正方形A8CD点E是8C边上一点，若BE=2CE,贝ljA£CE=.

题型二：平面向量的夹角问题

4.（2024•陕西铜川三模）已知点。为ABC外接圆的圆心，且Q4+OB+CO=0,则cos（AC,2C）=.

5.（2024.福建宁德.三模）已知q,e；是两个单位向量，若e；在e；上的投影向量为;e?,则q与的夹角

为.

6.（2024•福建漳州三模）已知向量”=。,1）,忖=4,且6在”上的投影向量的坐标为（-2,-2）,则d与b的

夹角为.

7.（2024•福建莆田•三模）已知向量°,。满足同=21|=4,S.\a-2b\=5,则向量b夹角的余弦值

是.

8.已知6均为单位向量，且卜-24=2,则.与匕一〃的夹角的余弦值为.

题型三：平面向量的模长

9.已知向量々=（1,3+/）,：=（-2,4）,且（3°-匕）〃“，则向=.

10.若向量°,6满足同=*，忖=1,°_1_（。一6）,则"+囚=.

11.（2024.陕西渭南•模拟预测）已知向量°,。均为单位向量，且卜-若，则实数2=

12.已知向量a=（t,2）,b=（―/,1）,满足卜―6卜卜+q，贝!]/=.

题型四：平面向量的投影、投影向量

13.（2024.河北张家口.三模）已知向量a=（2,l）,b=（2,0）,c=a+26,若则Z在片上的投影向量

为.

14.（2024・浙江绍兴•三模）若非零向量a,b满足同=忖=卜+.，则a+2Z?在〃方向上的投影向量为（）

31r

A.2bB.-bC.bD.-b

22

15.（2024•宁夏银川•三模）已知，是单位向量，且4与a+6垂直，，与〃的夹角为135。，则a+b在人上的

投影数量为一

16.（2024•山东泰安・模拟预测）已知单位向量〃涉满足〃-力=1,则〃在h方向上的投影向量为（）

1

AB.bC.-aD.一ci

-F2

题型五：平面向量的垂直问题

17.（2024・湖北黄冈•模拟预测）已知向量〃=0,0），6=（sin。,cos。），。£（0,兀），若〃，八则6=（）

*5一兀一兀

A.—兀B.—7iC.—D.——

6336

18.（2024・海南•模拟预测）已知向量〃=（2,㈤,b=（l,-1）,若（a-4）1人则加二（）

A.-1B.0C.1D.2

19.（2024•陕西•模拟预测）已知两个向量a=（2,-l）,b=（g,；"）,且（a+b），（a-b）,则加的值为（）

A.±1B.±^/2C.±2D.±273

题型六：建立坐标系解决向量问题

20.如图，在矩形A8CD中，AB=3,BC=4,点E为BC的中点，若DF=2FC，则A£A^=.

21.在“1BC中，48=4,AC=3,zBAC=90°,。在边BC上（与8、C不重合）,延长射线到P,使

得AP=9,^PA=mPB+^-m^PC（机为常数），则。8的长度为

22.如图在平面四边形ABCD中，ZCBA=ZCAD=90,ZACD^30,AB=BC,点E在线段BC上满足

BE=—EC,若AC=%AD+〃AE（/l,〃£H）,则.

题型七：平面向量的实际应用

23.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平

衡状态时，若两只胳膊的夹角为60。，每只胳膊的拉力大小均为350N,则该学生的体重（单位：kg）约为

（参考数据：取重力加速度大小为g=10m/s2,73«1.732）

A.55B.61C.66D.71

24.（2024.高三.福建厦门.期末）长江某地南北两岸平行，一艘游船南岸码头A出发航行到北岸.假设游船

在静水中的航行速度巧的大小为M=10km/h,水流的速度E的大小为卜2|=4km/h.设匕和名的夹角为

<0<180）,北岸的点A在A的正北方向，则游船正好到达A处时，cos6=（）

A.亘B.一叵C.工D.二

5555

25.（2024•江西南昌・二模）如图，一条河的两岸平行，河的宽度1=0.6km,一艘客船从码头A出发匀速

驶往河对岸的码头R已知AB=lkm,水的流速为2km/h,若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6min,

则客船在静水中的速度为（）

B

水渣方向

A.672km/hB.8km/h

C.2km/hD.10km/h

26.质点尸在平面上作匀速直线运动，速度向量；=（4,-3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离

为卜|个单位）.设开始时点尸的坐标为（T。，10）,则5秒后点尸的坐标为（）

A.（-2,4）B.（-30,25）

C.（10,-5）D.（5,-10）

27.点尸在平面上以速度v=（-2,3）作匀速直线运动，若4秒后点P的坐标为（-5,16）,则点P的初始坐标为

（）

A.（3,13）B.（3,4）C.（-7,19）D.（-13,28）

题型八：向量回路恒等式

28.如图，在平面四边形A3CD中，|AC|=4,|BD\=5,则（6+方"）.（辰:+&））=

D

29.如图，在平面四边形A3CD中，若AC=5,AB+DC-AC+BD=10,则即=

1.（2024•甘肃兰州.三模）已知向量。=（1,-2）,。=（-1,-2）,设。与。的夹角为凡贝（lsin2=（）

2.（2024.湖北武汉.一模）已知向量。=（-1,2）,6=（尤,4）,且°工人则||=（）

A.46B.4-73C.26D.8

3.（2024•江西宜春•模拟预测）已知向量。，6满足|。|=2,2|=3,a-（a-b）=-l,则悭-可=（）

A.5B.75C.6D.8

4.（2024.江苏泰州•模拟预测）若a=（2,0）,恸=1,6卜石，则a与的夹角为（）

t兀571

A.—B.-D.

63~6

JT

5.（2024.黑龙江大庆.模拟预测）已知.71BC的三个内角A,B,C的对边分别为。，b,c,A=~,DC=2BD,

b=3,c=l,则线段AD的长为（）

AA/7RA/19「用NA/43

3333

6.（2024.辽宁沈阳•二模）已知向量〃=（2,4）/=（3,-1）,则“攵=0”是“（〃+町奶）”的（）

15.（2024・广东江门•二模）设向量OA=（1,尤）,OB=（2,x）,则cos〈04,OB〉的最小值为

16.已知向量&+/?+右=0,|。|二1,|0|二|c|=2,d-b+b'C+C'd=

1.（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形A3CD的边长是2,E是A3的中点，则EC.ED=（

A.V5B.3C.2.75D.5

2.（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量a=（3,1）力=（2,2）,则cos（a+6,a-6）=（）

B.姮D.竽

Ac

-1717-f

3.（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量满足|4=M=lJc|=0,且Q+Z?+C=0，则

cos〈a-c,b-c〉=()

22

AB.——C.D

-45-?

4.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知。的半径为1,直线以与。相切于点4直线PB与।O

交于8,C两点，。为BC的中点，若归O|=0,则尸4尸。的最大值为（）

A.31+2返

B.

22

C.1+72D.2+72

5.（2023年新课标全国I卷数学真题）已知向量a=（U）/=（l,-l）,若（〃+砌+闷，贝!!（）

A.4+〃=1B.之十4=—1

c.M=iD.切=一1

6.（2022年新高考全国II卷数学真题）已知向量。=（3,4）,〃=（1,0）,c=。+仍，若<a,c>=<仇c>,贝!]%=（）

A.-6B.-5C.5D.6

7.（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量。=（2,1）/=（-2,4）,贝山-》（）

A.2B.3C.4D.5

8.（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量〃力满足屹|=迅,|。-26=3,则。%=（）

A.-2B.-1C.1D.2

9.（2022年新高考北京数学高考真题）在.ABC中，AC=3,3C=4,NC=90。.P为ABC所在平面内的动

点，且尸C=l,则PA尸3的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

10.（多选题）（2022年新高考全国H卷数学真题）已知。为坐标原点，过抛物线C:y2=2px（p>0）焦点

厂的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限，点”（，。），若14用UAMI,贝|（）

A.直线A3的斜率为2而B.\OB^OF\

C.|AB|>4|OF|D.ZOAM+ZOBM<1^0°

11.（2024年天津高考数学真题）在边长为1的正方形A3CD中，点E为线段8的三等分点，

1uururuun

CE=-DE,BE=ABA+^tBC,则4+〃=；尸为线段BE上的动点，G为AF中点，则ADDG的最小值

12.（2023年天津高考数学真题）在„ABC中，BC=1,NA=60,AD=—AB,CE=—CD,记AB=a,AC=b,

用。,6表示AE=；若BF=；BC,则AR的最大值为.

13.（2023年新课标全国II卷数学真题）已知向量a,%满足卜-.=石，卜+.=|2。-.，则卜卜.

14.（2022年新高考天津数学高考真题）在中，CA=a,CB=6,£>是AC中点，CB=23E,试用a力

表示DE为，若A8J_£>E，则—ACS的最大值为

15.（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量。=（九3）,6=（1,7"+1）.^a±b,则以=.

16.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量°,6的夹角的余弦值为:，且忖=1,利=3,贝I]

（2a+Z?）•b=.

第02讲平面向量的数量积及其应用

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：平面向量的数量积运算...................................................2

题型二：平面向量的夹角问题.....................................................2

题型三：平面向量的模长.........................................................3

题型四：平面向量的投影'投影向量...............................................3

题型五：平面向量的垂直问题.....................................................3

题型六：建立坐标系解决向量问题.................................................4

题型七：平面向量的实际应用.....................................................4

题型八：向量回路恒等式.........................................................5

02重难创新练..................................................................6

03真题实战练..................................................................7

//

题型一：平面向量的数量积运算

1.(2024•陕西西安•模拟预测)已知平行四边形ABCD中，

AB=4,AO=3,ABAD=60°,DP=2DC(2>0),APBP=9,则彳的值为()

A.-B.-C.-D.1

5432

【答案】B

【解析】平行四边形ABCD中，由AB=4,AD=3,NBA£>=60。，得AHAO=4x3x；=6,

由。尸=XOC(/l>0),^AP=AD+DP=AAB+AD,BP=BC+CP=(A-1)AB+AD,

因止匕4尸•BP=(2AB+AD)-[(2-1)AB+AD]=162(2-l)+6(22-l)+9=9,

3

整理得8X2—24—3=0,即(24+1)(44-3)=0,所以4=

2.（2024陕西.模拟预测）如图是某人设计的正八边形八角窗，若。是正八边形ABCDEFGX的中心，,4=1,

则ACCD.

2

【解析】ACCD=^AB+BC^CD=ABCD+BCCD=0+lxlxcos45=3.

故答案为：亚.

2

3.（2024•重庆•三模）已知单位正方形ABC，点E是BC边上一点，若BE=2CE,则A£CE=.

2

【答案】

【解析】因为在单位正方形ABC。，点E是8C边上一点，又BE=2CE,

21

所以AE=AB+5石=A3+—3C,CE=——BC,

33

所以AE.CE="+|BC）｛_；Bcj=_gAB.BC_|Bc2=-|,

2

故答案为：.

题型二：平面向量的夹角问题

4.（2024・陕西铜川•三模）已知点。为—ABC外接圆的圆心，且。4+OB+C。=0,贝Ucos（AC,2C）=.

【答案】-；/45

【解析】由。4+O8+CO=0,得。4+O8=OC，由O为ABC外接圆的圆心，得|。｛=|。@=|oc],如图,

结合向量加法的几何意义知，四边形Q4cB为菱形，且/CAO=60,故/ACS=120.故cosAC,8C=-g.

故答案为：

5.（2024•福建宁德•三模）已知e”e；是两个单位向量，若6在e?上的投影向量为ge；,则e；与q-q的夹角

为.

【答案】j

e,-e1i

【解析】由题意可得9百即e/02=5,

故％与4-e?的夹角为?

故答案为：y.

6.（2024•福建漳州•三模）已知向量a=（U），W=4,且匕在。上的投影向量的坐标为（-2,-2）,则a与方的

夹角为.

【答案】T/135

4

【解析】设。与》的夹角为6,且。《0,兀］,忖=彳/=夜，

bb

则b在。上的投影向量为^cos。=cos0----a—cos6-----(1,1)—(-2,-2)=-2(1,1),

aa

b等所以5

即cos。•一=-2,所以COS。=

a

故答案为：—.

4

7.（2024.福建莆田.三模）已知向量“，万满足同=2忖=4,且卜-2*5,则向量°,b夹角的余弦值

是.

【答案】

【解析】因为卜-2司=5,所以（a-2b『=25,所以/-4a/+4/=25.

因为同=2忖=4,所以42-4%4x22=25，所以a%=1，

7

故答案为：—

8.已知a,6均为单位向量，且卜-20=2,则.与匕一。的夹角的余弦值为.

【答案】一回二娓

44

21

【解析】卜-2可=-4〃/+4忖=4=>〃/=工

slab才-".（一"）-'.一，_1

、\a\\b-a\同xjq「_2a.lxJl-2x^-+l

则"与b-a的夹角的余弦值为-好.

4

故答案为：-逅.

6

题型三：平面向量的模长

9.已知向量a=（1,3+/）,。=（-2,4）,且（3a-Z?）〃a,则向=.

【答案】75

【解析】3。-6=3（1,3+。一（一2,4）=（5,37+5）,

因为（3a-b）〃q,所以lx（3/+5）—5x（3+。=。，解得r=—5,

所以”=（1,-2）,同=#+（-2）2=5

故答案为：^5.

10.若向量a,6满足同=,带1,〃_L（Q_Z?）,则+〃卜.

【答案】布

【解析】由a_L（a-6）,有鼠（a-b）=0,即/一々力=0，得a为=/=1_.

又"+司=4a。+4a+62=3+3+1=7,得|2a+b|=V7.

故答案为：V7.

11.（2024•陕西渭南•模拟预测）已知向量0,6均为单位向量，且卜-20=石，则实数2=

【答案】±2

【解析】由题意知a_L6，.-盟=6，故a.6=0，且卜-叫=5,

BPa-2Aa-b+A2b=5'故1+%=5,;.分=4"=±2,

故答案为：±2

12.已知向量〃=(£,2),b=(―/,1)»满足,—。|=k+。卜贝11%=

【答案］±0/0或-血/-0或0

【解析】因为a=«,2),b=(T,l),,一0=卜+0,

所以(a—6)2=(a+b)2=a+b-2a-b—a+b+2a-b^>a-b—Q>

a，b=t*(—r)+2x1=—1~+2=0,

得/=±^2-

故答案为：±0

题型四：平面向量的投影、投影向量

13.(2024•河北张家口•三模)已知向量2=(2,1)出=(2,0),c=a+痛,若益爪,则；在5上的投影向量

为.

【答案】卜go]

【解析】因为。=(2,1),6=(2,0),所以八一+4=(2+241),

又a'c，所以2(2+2X)+l=0,解得几=一：，

c-b11(1、

因为司=一1’所以,在°上的投影向量为-

故答案为：[—

14.(2024•浙江绍兴三模)若非零向量&,6满足同=1|=,+可，则a+26在。方向上的投影向量为()

31r

A.2bB.—bC.bD.—b

【答案】B

【解析】根据题意同=W=卜+W可得问2=M卜\a+b[,

所以2同2cos(a,6)+|a「=0,则cos(a,6)=

所以eb=_g|a-=一；|『，

d+2b]-bd'b+2\b--+2

则a+26在6方向上的投影向量为b=-b

2

故选：B

15.（2024•宁夏银川•三模）已知。是单位向量，且4与0+6垂直，&与。的夹角为135。，贝在。上的

投影数量为.

【答案】县

2

【解析】因为〃与a+Z?垂直，

所以a-（a+b）=0,即/+4.6=0,

解得〃山=-1，

又因为。与b的夹角为135°,

所以。6=同步卜。$135=-1,解得忖=虚，

b-（a+b]h2+a-b?-1J9

所以a+%在6上的投影数量为

WWV22

故答案为：变

2

16.（2024•山东泰安・模拟预测）已知单位向量〃加满足,-司=1,则d在匕方向上的投影向量为（）

1f1

A.—bB./?C.—aD.—a

22

【答案】A

【解析】因为。,6是单位向量，所以同=1，W=1,由卜-6卜1得卜=1,则/-2q.6+b2=],得=；,

设a与匕的夹角为。，贝Ijd在6方向上的投影向量为同cose-2=&

\bb

故选：A

题型五：平面向量的垂直问题

17.（2024・湖北黄冈•模拟预测）已知向量6=（sin6,cos。），6«0,兀），若贝（）

【答案】B

【解析】由题意知，a-b=sm0+^cos0=O,

则tanO=-J§\又。€(0,兀)，

2兀

所以。

故选：B

18.(2024•海南•模拟预测)已知向量“=(2,〃z),b=(l,-l),若「一母。，则m=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

［解析1a=(2,m),b=(l,-l),:.a-b=(2,m)-(l,-l)=(l,m+l),

由(a-6)_Lb得：(a-b)•b=Q,

贝Ij(a_6)•6=(1,+1)•(1,-1)=1-1=-m=0,所以〃？=0,

故选：B.

19.(2024•陕西•模拟预测)已知两个向量a=(2,-1),b=(右,m),且(a+b)，(a-为，则加的值为()

A.±1B.±^2C.±2D.±2A/3

【答案】B

【解析】由矶(力),得(a+6>(a-b)=0,则"=1,即崩|=出|,

因此^22+(―I)2=+病,所以m=+>/2.

故选：B

题型六：建立坐标系解决向量问题

20.如图，在矩形ABC。中，AB=3,BC=4,点E为8c的中点，若DF=2FC，则A£A7^=.

【答案】14

【解析】以A为原点，A8为x轴建立平面直角坐标系

则A(0,0),B(3,0),C(3,4),D(0,4),

因为点E为BC的中点，且。尸=2PC，

所以E(3,2),F(2,4),

故AE=（3,2）,A尸=（2,4）

所以=6+8=14

故答案为：14.

21.在」ABC中，AB=4,AC=3,90°,。在边BC上（与8、C不重合）,延长射线到P,使

得AP=9,若尸4=根产8+13-m]尸。（根为常数），则。8的长度为

7

【答案】y/1.4

【解析】如图，以A为坐标原点，分别以AB,AC所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系，

则B（4,0）,C（0,3）,

由若PA=%PB+]|—机）PC,得PA=m（PA+A8）+]|—机）（PA+AC）,

整理得：PA=-2mAB+(2m-3)AC=-2m(4,0)+(2m-3)(0,3)=(-8/77,6m-9).

由AP=9,得64加之+（6帆—9）2=81,解得机=——或m=0.

2721663

当相时，可得出=所以点尸的坐标为,所以

'259~25

直线"的方程为"鼻，直线座的方程为力「,

联立两直线方程可得点。的坐标为

所以忸£）|=7

5

3

当根=0时，止匕时PA=pC,所以AC,尸三点共线，点O在直线AP上，所以ACD三点共线，又B,C,D三

点共线，所以可知。与C重合（舍去），

一7

.•・8。的长度是二.

7

故答案为：—.

22.如图在平面四边形ABCQ中，/。巳4=/。4。=90,/48=30,45=3。，点石在线段3。上满足

BE=；EC,^AC=AAD+JUAE（A,JU^R）,贝1」沏=.

【解析】以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB=3C=2,

则有4（0,0）,2（2,0）,C（2,2）,E（2,g：AC=2五,

2%

AD=ACtan30=、一,过。作。尸_Lx轴于尸，NZM厂=45,

3

2瓜276V2诉闫/2百26)

DF=------sin45=------x——=------，所以"-,~―

3323<33J

AC=(2,2),='半,AE=[2,g],

因为AC=XA£)+〃AE,

所以，（2,2）=4

26

--2+2//=2Z=-

[,解得：-

所以,2

273.2)3

-----Z+—//=2〃二一

I33尸2

则彳〃的值为还.

4

故答案为:手

题型七：平面向量的实际应用

23.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平

衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为350N,则该学生的体重（单位：kg）约为

m（参考数据：取重力加速度大小为g=10m/s2,73®1.732）

A.55B.61C.66D.71

【答案】B

【解析】如图，|0&=[0,=350,ZAOB=60°,

作平行四边形OACB,则OACB是菱形，OC=OA+OB,

|OC|=21OX|sin60°=35073,

所以忖=|OC|=3506,

1M，、方苗3506350x1.732,、

因Tl此t该学生体重为-----=----------®61（kg）.

g10

故选：B.

c

24.（2024・高三・福建厦门・期末）长江某地南北两岸平行，一艘游船南岸码头A出发航行到北岸.假设游船

在静水中的航行速度匕的大小为时=10km/h,水流的速度g的大小为同=4km/h.设匕和匕的夹角为

夕（0<6<180）,北岸的点A在A的正北方向，则游船正好到达4处时，cos3=（）

【答案】D

【解析】设船的实际速度为v，匕与南岸上游的夹角为戊，如图所示,

彩4_2

要使得游船正好到达A处，则网—同，即cosa=--

-

匕105

2

又因为。=兀一二，所以cos6=cos（兀-a）=-cosa=-w

25.（2024.江西南昌.二模）如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=0.6km,一艘客船从码头A出发匀速

驶往河对岸的码头R已知A8=lkm,水的流速为2km/h,若客船从码头A驶到码头3所用的时间为6min,

则客船在静水中的速度为（）

B

水渣方向

A.672km/hB.8km/h

C.2734km/hD.10km/h

【答案】A

【解析】设客船在静水中的速度大小为vikm/h,水流速度为v2km/h，则|以|=2km/h,

则船实际航行的速度V=V|+V2，f=3=01h，由题意得|v|=M=10km/h.

600.1

把船在静水中的速度正交分解为vi=%+Vy,即|上|=4=器=6km/h,

22

v|vx+v21=^|v|-||=8km/h,而，与以同向，即Iv》+V21=|v%|+|v2|,

・•.|v尤|=8-2=6km/h

22

••IVi|=7lvx|+|vyI=672km/h.

故选：A.

26.质点尸在平面上作匀速直线运动，速度向量：=（4,-3）（即点尸的运动方向与y相同，且每秒移动的距离

为，个单位）.设开始时点尸的坐标为（-10,10）,则5秒后点尸的坐标为（）

A.（-2,4）B.（-30,25）

C.（10,-5）D.（5,-10）

【答案】C

UUU

【解析】设4（-10，10）,5秒后尸点的坐标为则AVa+lO,y—lO）,

umii

由题意有A4,=5v.

即(x_10,y-10)=(20,—15)

x+10=20,x=10,

所以解得

y—10=—15,y=-5-

故选:c

27.点尸在平面上以速度v=(-2,3)作匀速直线运动，若4秒后点P的坐标为(-5,16),则点尸的初始坐标为

()

A.(3,13)B.(3,4)C.(-7,19)D.(-13,28)

【答案】B

【解析】根据题意，列出方程组宓一5，即可求解•设点尸的初始坐标为(匹力，

因为点尸在平面上以速度V=(-2,3)作匀速直线运动，若4秒后点尸的坐标为(-5,16),

可得卜+W：一5,解得卜=：,即点尸的初始坐标为(3,4).

[>+3x4=16[>=4

故选：B.

题型八：向量回路恒等式

28.如图，在平面四边形ABCD中，|AC|=4,|3。|=5,则(矗+浣).(/+G)=

【答案】-9

【解析】由题意得，AB+DC=(AC+CB)+(DB+BC)=AC-BD<

―>―>―>―>—>―>—>—>

BC+AD=(BA+AC)+(AB+BD)=AC+BD>

因为|AC|=4,\BD\=5,

从而(6+虚>(/+/^))=|公|2-|BZ)|2=16-25=-9-

故答案为：-9.

29.如图，在平面四边形A8CD中，AC=5,\AB+DC][AC+BD]=10,则即=________

【答案】岳

【解析】由题意可得:

uunuuur、/UUDuunx/UUDuuruunuunxzuinnUUDXzuumuumxzuuinuumuumuun2

AB+DC\AAC+BD\={AC+CB+DB+BC\AAC+BD\=(AC-BD\AAC+BDAC2-BD,

故25-版=10,^BD=15*即5.

故答案为：岳.

1.（2024.甘肃兰州三模）已知向量。=（1,-2）/=（-1,-2）,设4与b的夹角为。,则sin8=()

【答案】D

【解析】因为。=（1,一2）,6=（-1,一2）,

所以a,Z?=3，同=忖=，

八a-b3

所以3"丽

因为。为a与〃的夹角，所以sin6=Jl-cos?.=《

故选：D

2.（2024・湖北武汉•一模）已知向量a=（T2）,6=（x,4）,且a,b，则忖=（

A.46B.473C.2>/5D.8

【答案】A

【解析】因为。_L6,所以=-lxx+2x4=0,所以x=8.

因为匕=（8,4）,所以忖=j8?+42=4也.

故选：A.

3.（2024•江西宜春•模拟预测）已知向量a,6满足Ia1=2,闻=3,a-（a-b）=-l,则悭-耳=（）

A.5B.75C.6D.8

【答案】B

【解析】由I，1=2,|5|=3,tz•（＜2—Z?）=—1,得a?—〃./=—1，则Q.5=Q2+1=5，

因止匕（2a—6）2=4/—4G2+Z?2=4x4—4x5+9=5,

所以忸_目=技

故选：B

4.（2024•江苏泰州•模拟预测）若。=（2,0）,忖=1,|。-司=百，则d与q-b的夹角为（）

71c兀­兀c5兀

A.lB.一C.—D.—

6326

【答案】A

【解析】因为。=（2,0）,所以卜卜2,

又卜一耳=石，所以（a-6）=/-2a-b+b2=2?-2°电+12=3,解得a.Z?=l,

所以Q.（Q_/?）=Q-ab=22-l=3,

设a与b的夹角为e,

a-la-b]3TT

所以cos6=——^=丁'二.,又。«0,可，所以6=9

\^\a-b\2xV32L」6

故选：A

5.（2024•黑龙江大庆.模拟预测）已知的三个内角A,B,C的对边分别为。，b,c,A=j,DC=2BD,

b=3,c=l,则线段AD的长为（）

'百RM「商口而

A.D.------C.---D.-----

3333

【答案】B

【解析】因为0C=25。，所以AC—AO=2（AD—A3）,

19

整理得3AD=AC+2A5,BPAD=-AC+-ABf

〜2124.4-2141419

所以AO=-AC+-ACAB+-AB=—x9+—xlx3x—+—=——，

99999299

所以=

3

故选：B