2025年中考数学一轮复习：二次根式（讲义）（解析版）

考点04.二次根式(精讲)

【命题趋势】

二次根式在各地中考中，每年考查2道题左右，分值为8分左右，对二次根式的考查主要集中在对其

取值范围、化简、计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解

答题形式考察。此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也

多属于中考必考题。

【知识清单】

1：二次根式的相关概念(☆☆)

(1)二次根式的概念：形如、份(a20)的式子叫做二次根式。其中符号“丁”叫做二次根号，二次根号下

的数叫做被开方数。

注意:被开方数。只能是非负数。即要使二次根式而有意义，则定。。

(2)最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式,

叫做最简二次根式。

(3)同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式。

2：二次根式的性质与化简(☆☆☆)

(1)二次根式的性质：

a(a>0)

1)双重非负性：Va>0(«>0)；2)(4a)2=a(a>0)；3)J?=|a|=|o(a=O)；

-a(a<0)

(2)二次根式的化简方法：

1)利用二次根式的基本性质进行化简；

2)利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。

(3)化简二次根式的步骤：1)把被开方数分解因式；2)利用积的算术平方根的性质，把各因式(或因数)

积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；3)化简后的二次根式中的被开方数中每一个

因数(或因式)的指数都小于根指数2。

3：二次根式的的运算(☆☆☆)

(1)加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后,再将被开方数相同的二次根式合并。

口诀：一化、二找、三合并。

(2)乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：&•a=向心。此0)。

（3）除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即:

(4)分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程。

分母有理化因式:

1_y/a_y/a

1)分母为单项式时,分母的有理化因式是分母本身带根号的部分;即:

4a>Ja-y[aa

2)分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分;

1+>Jb+yjb

即:

y/a-yfb（y一扬）（而+而）a-b

(5)混合运算顺序：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括

号的先算括号内的。在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用。

【易错点归纳】

L二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如："、-囱

都是二次根式。

2.最简二次根式必须同时满足以下两个条件:①开方数所含因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号);

②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为lo

3.根据二次根式的性质化简时，右前无&化简出来就不可能是一个负数。

4.利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化

简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取

值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简。

5.化简(或计算)后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。

6.二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式。

【核心考点】

核心考点1.二次根式的相关概念

1

例1:（2023•四川绵阳•中考真题）使式子+尸石在实数范围内有意义的整数尤有（）

Jx+3

A.5个B.3个C.4个D.2个

【答案】C

1x+3>0,4

【详解】团式子+，4-3x在实数范围内有意义回解得：-3<x<—,

Jx+34-3尤20,

又回x要取整数值，回x的值为：-2、-1、0、L即符合条件的天的值有4个.故选C.

变式1.（2023•浙江金华•统考中考真题）要使而I有意义，则x的值可以是（）

A.0B.-1C.-2D.2

【答案】D

【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围即可得到答案.

【详解】解：回二次根式4^2有意义，0x-2>O,0x>2,

团四个选项中，只要D选项中的2符合题意，故选D.

【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于。是解

题的关键.

变式2.（2023・江苏•校考模拟预测）己知尤、y为实数，且y=Jx-2023+,2023-x-1,则x，的值

是

1

【答案】

2023

【分析】由y=Jx-2023+J2023-x-1,可知x=2023,贝！］y=T,根据式=2023一、计算求解即可.

【详解】解：由y=Jx—2023+j2023-无一1,可知龙=2023,贝i|y=T,

11

13第"=2023一,故答案为:

20232023

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幕，代数式求值.解题的关键在于求解x的值.

例2：（2023•山东烟台•统考中考真题）下列二次根式中，与0是同类二次根式的是（）

A.4B.76C.瓜D.712

【答案】C

【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可.

【详解】解：A、74=2,与0不是同类二次根式，不符合题意；

B、布与0不是同类二次根式，不符合题意；

C、般=2也,与血是同类二次根式，符合题意；

D、712=2A/3,与0不是同类二次根式，不符合题意；故选：C.

【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二

次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

变式1.（2023・广东•九年级校考阶段练习）下列各式中，不是二次根式的是（）

A.735B.亚C."D.£

【答案】B

【分析】根据二次根式的定义（形如后（。上0）的式子叫做二次根式）逐项判断即可得.

【详解】解：A、后是二次根式，则此项不符合题意；B、也不是二次根式，则此项符合题意；

C、行是二次根式，则此项不符合题意；D、J是二次根式，则此项不符合题意；故选：B.

【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟记二次根式的定义是解题关键.

变式2.（2020•山东济宁市•中考真题）下列各式是最简二次根式的是（）

【答案】A

【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案.

【详解】解：A、是最简二次根式，故选项正确;

B、V12=2A/3,不是最简二次根式，故选项错误;

C、必=时，不是最简二次根式，故选项错误;

不是最简二次根式，故选项错误；故选A.

【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型.

变式3.（2023•河南驻马店•九年级校考阶段练习）请写出一个大于2且小于3的二次根式：.

【答案】A/5（答案不唯一）

【分析】根据题意得出2=6，3=邪,然后取根式即可.

【详解】解：虫="，3=邪,

大于2且小于3的二次根式为迅（答案不唯一），故答案为：下（答案不唯一）.

【点睛】题目主要考查二次根式的比较大小，熟练掌握比较大小的方法是解题关键.

例3：（2023•重庆•九年级校考期中）如果最简二次根式行右与正和是同类二次根式，那么。的值是

（）

A.4B.5C.6D.8

【答案】A

【分析】此题主要考查了同类二次根式和最简二次根式.解题的关键是掌握同类二次根式的定义，即：化

成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式.

根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方求解.

【详解】回最简二次根式^/i^石与否是同类二次根式，.•・13-24=5,解得：«=4,故选：A.

变式1.（2023・湖南衡阳•九年级统考期中）最简二次根式而I与36是同类二次根式，则。的值

为.

【答案】4

【分析】根据同类二次根式的概念可得。+1=5,解方程即可；本题主要考查同类二次根式，掌握同类二

次根式的概念是解题的关键.

【详解】解：回最简二次根式而T与3右是同类二次根式，0a+l=5,0a=4.故答案为：4.

例4：（2023•湖北黄冈•统考中考真题）请写出一个正整数机的值使得凡是整数；，"=.

【答案】8

【分析】要使屈是整数，贝U8〃?要是完全平方数，据此求解即可

【详解】解：回痂是整数，回8根要是完全平方数，

国正整数机的值可以为8,即8%=64,即屈=闹=8,故答案为：8（答案不唯一）.

【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到8〃?要是完全平方数是解题的关键.

变式1.（2023上•广东惠州•九年级校考期中）已知。为正整数，且抗五也为正整数，则。的最小值

为.

【答案】3

【分析】首先将被开方数化简，然后找到满足题意的最小被开方数即可.

【详解】解：♦.•叵=2收，且开方的结果是正整数，.13a为某数的平方，

又•.•3x3=9,9是满足题意最小的被开方数，二。的最小值为3.故答案为：3.

【点睛】本题考查了二次根式的定义，知道开方结果为正整数被开方数必为平方数.先化简再讨论是本题

的关键.

核心考点2.二次根式的性质与化简

例5：（2023•江苏泰州•统考中考真题）计算必尸等于（）

A.±2B.2C.4D.72

【答案】B

【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案.

【详解】解：必了="=2—故选：B.

【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键.

变式1.（2023•河北保定•统考二模）若旧=2&,闻=60,则a+b=；

【答案】16

【分析】根据二次根式的定义可求得a、b的值，继而求得结论.

【详解】团痴=2&,屈=班,即2而=2折，50=6近，

0o=ll,b=5,回。+6=16,故答案为：16.

【点睛】本题考查了二次根式的定义，化成最简二次根式是解题的关键.

变式2.（2022•广西桂林・中考真题）化简配的结果是（）

A.273B.3C.272D.2

【答案】A

【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2,易知化简结果为2石.

【详解】解：712=74X3=A/22X3=2^,故选：A.

【点睛】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简.

变式3.（2023・安徽蚌埠•统考三模）已知一组数6，娓,3,2石，715,3亚,后,2加，…，排列

方式如下：y/3,#，3,273；岳,3亚，V21.276;....若3的位置记为（1,3）,3板的位置记为

（2,2）,贝U3店的位置记为.

【答案】（4,3）

【分析】根据题意，3个一组，求得45是第15个数，为第4组第3个数，即可求解.

【详解】解：073-巫,3,2TLV15,3亚，国,2瓜；…若3的位置记为（1,3）,3亚的位置记

为（2,2）,回36=屈，45是第15个数，为第4组第3个数，贝U36的位置记为（4,3）,故答案为：

（4,3）.

【点睛】本题考查了二次根式的性质，数字类规律，有序数对表示位置，找到规律是解题的关键.

例6：（2023上•湖北•九年级专题练习）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：

化简：（-11-x\

解：隐含条件1—3x20,解得：x<1,El-x>0,

团原式（=（1—3x）—（1—x）—1-3x—1+x-—2x,

【启发应用】⑴按照上面的解法，试化简J（3一元）2_（后可;

【类比迁移】⑵实数。，6在数轴上的位置如图所示，化简：77+&+32邛_司；

—5-----«~~>

（3）已知a,b,c为AABC的三边长.化简：J（a+b+c）"+“a-Z>-c）-++“c-b-aj.

【答案】（1）1（2）-26⑶2a+2Z?+2c

【分析】（1）根据二次根式有意义的条件判断出x的范围，再根据二次根式的性质化简可得；

（2）由a、b在数轴上的位置判断出。+。<0、b-a>0,再利用二次根式的性质化简即可得；（3）由三角

形三边间的关系得出a-6-c<0、b-a-c<0,c-b-a<0,再利用二次根式的性质化简可得.

【详解】（［）解：隐含条件2-％20,解得：x<2,.-.x-3<0,

团原式=（3—九）一（2—x）=3—%—2+x=1；

（2）解：观察数轴得隐含条件：〃<0,b>0,\a\>\b\f回〃+b<0,b-a>0f

回原式——a-（a+Z?）—（Z?-a）=—a—a—b—b+a=—a—2b；

（3）解：由三角形三边之间的关系可得隐含条件：a+b+c>Q,b+c>a,a+c>b,a+Z?>c,

^\a-b-c<0,b-a-c<0,c-b-a<0,

回原式=(a+6+c)—(a-6-c)-(6-a-c)-(c-b—a)=a+b+c-a+b+c-b+a+c-c+b+a=2a+2b+2c.

【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质笳=同及三角形

三边间的关系等知识点.

变式1.（2023上•吉林长春•九年级校联考阶段练习）若a<0,则化简正的结果为.

【答案】一。

【分析】结合已知条件，根据二次根式的性质化简即可.

【详解】解：•••avO,J7=|。卜一。，故答案为：一。.

【点睛】本题考查算二次根式的化简，熟练掌握其定义及性质是解题的关键.

变式2.（2023・广东广州•统考中考真题）已知关于无的方程无2_（2左一2）无+/_1=。有两个实数根，贝|

J（I）2一（万I）z的化简结果是（）

A.-1B.1C.-l-2kD.2k-3

【答案】A

【分析】首先根据关于x的方程无2-（2左-2卜+/-1=0有两个实数根，得判别式

△=[-（2Z:-2）]2-4xlx（^2-l）>0,由此可得kWl,据此可对一（万I—进行化简.

【详解】解：回关于x的方程/-^々/，^/—「。有两个实数根，

回判别式4=[-（2左一2）T-4xlx,2_i）»o,整理得：-8^+8>0,回％W1,回左一1W0,2—%>0,

回Jot—1）2—（7^1）2=_伍_1）_（2—左）=_1.故选：A.

【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一

元二次方程根的判别式是解答此题的关键.

变式3.（2023上•山西晋城•九年级统考期中）当。=6时，求a+Jl—2〃+储的值.如图

小亮小芳

⑴的解法是错误的.⑵当"4时，求，/_8°+16-|5-4的值.

【答案】⑴小亮⑵-1

【分析】此题考查二次根式的性质，二次根式有意义的条件，绝对值的化简，

（1）根据二次根式的性质判断1-。<0,由此进行判断；

（2）利用完全平方公式将，储_吊+16化为-4『，再根据取值化简即可；

正确理解二次根式的性质进行化简是解题的关键.

【详解】（1）yjl-la+a2=^（l-a）2

当。=6时，1-a<0,则小亮的解法是错误的，故答案为：小亮；

（2）当。<4时，—8<?+16—15—o|———15—a|=4—<2—（5—o）=4—a—5+ci=—1.

例7.（2023•广东•校考模拟预测）若|1001—4+Ja-1002=U,则a—10012=.

【答案】1002.

【分析】根据绝对值的性质和二次根式的性质，即可解答

【详解】V«-1002>0,/.a>1002.由|1001-a|+Ja-1002=a,得-1001+a+Ja-1002=a，

；•Ja-1002=1001,Atz-1002=10012.A«-10012=1002.故答案是：1002.

【点睛】此题考查绝对值的非负性，二次根式的性质，解题关键在于掌握运算法则

变式1.（2023・河南周口•校考模拟预测）若也属于真分数，任意写出一个符合条件的小的值____.

6

【答案】25（答案不唯一）

【分析】巫属于真分数，则正<6是整数，且不能为6的因数，即可求解.

6

【详解】回YE属于真分数，回而<6,且为整数，

6

回可以取痴=5,即m=25,故答案为：25（答案不唯一）.

【点睛】本题考查二次根式的性质，理解真分数的定义是解题的关键.

例8.（2023上•山西长治•九年级校考期中）阅读与思考

下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务.

双层二次根式的化简

二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号

内又带根号的式子、它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号.

例如：要化简,3+2夜，可以先思考(1+0)2=12+2xlxJI+(JI『=3+2jI(根据1).

13+20=jF+2xlx拒+(0『=+=1+夜.通过计算，我还发现设

yja+byfl=J(m+"司=m+n也(其中m,n,a,6都为正整数)，则有

a+b\[2=m2+2n2+2mnyf2-0a=m2+2M2,b=.

这样，我就找到了一种把部分而该化简的方法.

任务：(1)文中的"根据1"是,b=.

(2)根据上面的思路，化简：J14-6什.(3)已知Ja+46=x+y6，其中a，尤，y均为正整数，求a的

值.

【答案】⑴完全平方公式；2〃?〃(2)3-行(3)。=7或。=13

【分析】(])根据完全平方公式进行解答即可；(2)根据题干中提供的信息，进行变形计算即可；

(3)根据。+4g=x2+3y2+2移括，得出。=，+3/，4=2孙，根据x,y为正整数，求出x=2,y=l

或x=l,y=2,最后求出a的值即可.

【详解】⑴解：(1+五『—+2X1X后+(应了=3+2忘的根据是完全平方公式；

^a+b-j2=nr+2n2+?.mn>j2，=m2+2w2,b=2mn.故答案为：完全平方公式；2mn.

(2)解：[14—6布=,9—6A/^+5=J32—6A/^+(A/^)=J(3—=3—A/5.

(3)解：由题意得。+46=》2+3了2+2盯g,Ea=x2+3y2,4=2xy,

ELx,y为正整数，回x=2,>=1或x=l,y=2,=22+3xl2=7=I2+3x22=13.

【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和

二次根式的性质.

变式1.(2023上•湖北•九年级校考周测)^/(-4)2+^27+74+2^-74-2^=.

【答案】5

【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，利用算术平方根、立方根的性质以及二次根式的性质化简即

可求解.

【详解】解：“-4)2+河+“+2石-，4-2百

=7+A/3+1—^A/3—ij=7+V3+1-^3+1=5,故答案为：5.

核心考点3.二次根式的的运算

例9：（2023•青海西宁•统考中考真题）下列运算正确的是（）

2

2

A.72+73=75B-区m=-5C.(3-V2)=11-672D.6+国X近=3

【答案】C

【分析】根据二次根式的运算法则运算判断.

【详解】解：A、0+6,不能合并，原计算错误，本选项不合题意;

B、正牙=5,原计算错误，本选项不合题意;

C、（3-V2）2=ll-6^,计算正确，本选项符合题意;

D、6+^rX石=6x^^x坞=9

注意运算顺序，原计算错误，本选项不合题意；故选：C

【点睛】本题考查二次根式的运算，乘法公式；注意掌握运算法则是解题的关键.

变式1.（2023・辽宁大连•统考中考真题）下列计算正确的是（）

A.B.2乖＞+3乖＞=5&tC.78=472D.73（273-2）=6-273

【答案】D

【分析】据零指数嘉，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算进行计算即可求解.

【详解】解：A.（夜°）=1,故该选项不正确，不符合题意；

B.26+3后=5石，故该选项不正确，不符合题意；C.场=20,故该选项不正确，不符合题意；

D.A/3（273-2）=6-2A/3,故该选项正确，符合题意；故选：D.

【点睛】本题考查了零指数累，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握二

次根式的运算法则是解题的关键.

变式2.（2023•重庆•统考中考真题）估计逐J的值应在（）

A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间

【答案】A

【分析】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得.

【详解】解：6x[指一&]=病一1,

•.•25<30<36,.•.后<病<回，即5<回<6,.­.4<^0-1<5,故选：A.

【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键.

例10:（2023・上海・统考中考真题）计算:

【答案】-6

【分析】根据立方根、负整数指数惠及二次根式的运算可进行求解.

【详解】解：原式=2+6-2-9+3-百=-6.

【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幕及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幕及二次

根式的运算是解题的关键.

变式1.（2021•湖南常德市•中考真题）计算:

A.0B.1

【答案】C

【分析】先将括号内的式子进行通分计算，最后再进行乘法运算即可得到答案.

【详解】解J?]”：且=2.故选：C.

（2）2222

【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解答此题的关键.

变式2.（2023•甘肃武威•统考中考真题）计算：V27-—X2V2-6V2.

2

【答案】60

【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可.

【详解】解：727+20-60=3行娶.2&一6忘=120一6夜=6应.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键.

例11：（2023•河南驻马店•模拟预测）斐波那契（约1170T250）是意大利数学家，他研究了一列数，被称

为"斐波那契数列".他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第〃（“为正整数）个

数%可表示为笥6且连续三个数。用之间存在以下关系凡—+4=4+i

（«>2）.①第1个数4=1；②第2个数：%=2；③"斐波那契数列"中的前8个数是1,1,2,3,5,

8,13,21；④若把"斐波那契数列"中的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成一组新数列，在新

数列中，第2017项的值是1.以上说法正确的有.（请把你认为正确的序号全都填上去）

【答案】①②④

［分析］将〃=1和〃=2代入即可求得ai和a2>再按照%-+%="用可以求得前

八个数，根据"把‘斐波那契数列'中的每一项除以4所得的余数"求出来一部分特殊项，观察规律，即可得到

第2017项的值.

【详解】①①=］=^xVs=1,故正确;

③"斐波那契数列"中的前8个数是1,1,2,3,5,8,13,21,故正确;

④1,1,2,3,5,8,13,21除以4所得的余数分别是1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,

2017+6=336-1,故在新数列中，第2017项的值是1,故正确.故答案为：①③④.

【点睛】本题考查了规律探究题，读懂题意，列出特殊项，观察一般规律是解决本题的关键.

变式1.（2022・四川达州•统考中考真题）人们把由二1■“OS18这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选

2

法中的“。.618法"就应用了黄金比•设”存1,b二程,记+匕22

---------T

1+a1+b

100100

贝ijS]+S?+…+S]oo=

【答案】5050

【分析】利用分式的加减法则分别可求5尸1,8=2,S1Oo=WO,利用规律求解即可.

【详解】解：•."=',八'，—=1,

2222

12+Q+Z?2+a+Z?<

;S,=------+----=-----------=-------=1,

1+a1+b1+a+b+ab2+a+b

2

o222+cr+bc2+cr+b-。

3,—H不=2x~~~不=2x~~=2,,

1+a1+Z?1+Q+b2+Q+Z?

_1001001+6Z1OO+1+Z?1O°

100loo100wom

-+TTP™—i+a+b+ab~

S1+52+---+S100=l+2+……+100=5050故答案为：5050

【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得砧=1,找出的规律是本题的关键.

变式2.(2023・四川内江•九年级校考期中)定义：我们将(&+/)与(«■-")称为一对"对偶式"，因为

(布+扬)(々-扬)=(G)2-(扬)2=a-b,可以有效的去掉根号，若=l,则

J18-尤+1—x=•

【答案】7

【分析】易知J18-x+Jll-x与是一对"对偶式”,可根据

\/18—x+A/1l~x=(J18-x+]-x)(y/18—x—Jl1-x)化简计算即可.

【详解】解：根据材料可知，718^1+与J18-X->Jll-x是一对"对偶式"，

0，18-x-Jll-x=1,mJ18-x+A/11—x=(y/18—x+y/11—x)(>/18—%—Jll-x)

=(J18-X)-(jll-尤)=18-x-(11-x)=7故答案为：7.

【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法运算及题中所给运算是解题的关键.

例12：(2022•四川宜宾•统考中考真题)《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出

了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是："以小斜基并大斜塞减中斜塞，余半之，自乘于上，

以小斜幕乘大斜幕减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积."若把以上这段文字写成公式，即为

S=J现有周长为18的三角形的三边满足o:6:c=4:3:2,则用以上给出的公式

求得这个三角形的面积为.

【答案】3标

【分析】根据周长为18的三角形的三边满足a:6:c=4:3:2,求得a=8,6=6,c=4,代入公式即可求解.

【详解】解：回周长为18的三角形的三边满足a:6:c=4:3:2,设a=4k,b=3k,c=2k

团4左+3左+2左=18解得左=2:a=8,8=6,c=4

222+6

S=1„=f4x8-P^~^=81024-484)=后=3厉,答案:

3厉

【点睛】本题考查了化简二次根式，正确的计算是解题的关键.

变式1.（2022・山东聊城•中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式丫=在7进行计算，其中。

为子弹的加速度，,为枪筒的长.如果a=5xl（）5m/s2,5=0.64m,那么子弹射出枪口时的速度（用科学

记数法表示）为（）

A.0.4xl02m/sB.0.8xl02m/sC.4xl02m/sD.8xl02m/s

【答案】D

【分析】把a=5xl05m/s2,s=0.64m代入公式y=0瓦，再根据二次根式的性质化简即可.

【详解】解：v=V2^^V2x5xl05x0.64=8xl02（m/s）,故选：D.

【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为

axIO"的形式，其中左.|<10,"为整数，表示时关键要正确确定。的值以及"的值.

例13：（2023・重庆•校考三模）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代

数式相乘，积不含有二次根式，例如，（逐-2）（百+2）=1,«.«=a,（273-A/2）（2A/3+A/2）=10.通

过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式.小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结

论:

甲：~3~45=~~4^~；乙：设有理数处"满足：\+]+/]=.60+4,则=

丙：7^022-^021^2020-^019；丁：已知屈"一^^=4,则〃5=十而二二6；

戊：厂1「+厂1厂+…+—产」~~33一而.以上结论正确的有（）

3+V35V3+3A/57V5+5V799V97+9779966

A.甲丙丁B.甲丙戊C.甲乙戊D.乙丙丁

【答案】B

【分析】根据分母有理化进行计算逐项分析判断即可求解.

【详解】解：甲：/装=子，正确;

a(72-1)立+1)

乙：设有理数。，6满足:ab=(q+b)yf2+(b-〃)=—6近+4,

V2+1V2-12-12-1

贝lJa+b=-6,故乙错误;

丙.1f_=J2O22+J2O21,-^—1:=j2020+j2019

^2022-^202172020-72019

72022^021>V2020-72019,故丙正确；

J：,「（飞43-x—Jl1-%）（、43-、+Jll-xj=43—%—ll+x=32,《43-1—y/11—x=4,

则143-%+/l-%=8,故丁错误；

^1111

/戈•----f=H尸-----7=H-------7=---------尸+•••-!-------7=----f

•3+V35V3+3V57V5+5V799797+97799

=——+5y—_|_—5y+...+99<97———97,92_1=-—,故戊正确，选：

630702x99x9722x9922x3366

B.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键.

变式1.（2023・重庆•九年级校考阶段练习）阅读材料：

材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有

理化因式.

例如：6x6=3,（而-应）（几+应）=6-2=4,我们称目的一个有理化因式是百，的一个

有理化因式是行+VL

材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中

不含根号，这种变形叫做分母有理化.

面加1lx—色8_8后6_8（"+3）

736X百3瓜-也（V6-V2）（76+72）4

请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：

（1）炉的有理化因式为,夕+如的有理化因式为；（均写出一个即可）

311

⑵将下列各式分母有理化（要求；写出变形过程）：①右；②而三；

⑶计算：金十号后+舟忑+…+居士诉的结果.

【答案】（1）可；近-行（2）①誓；@275+3（3）72023-1

【分析】（1）根据题目中的材料，可以直接写出屈的有理化因式和近+如的有理化因式；

（2）①分子分母同时乘&?，然后化简即可；②分子分母同时乘2宕+3,然后化简即可；

（3）先将所求式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可.

【详解】（1）解：由题意可得，旧的有理化因式为JR,S+6的有理化因式为近-百，

故答案为：713；布-下.

⑵解：①为*T噜②

11_11x（20+3）_11x（2百+3）_11x（2行+3）_+3

2石-3一（2石-3）x（2百+3）-20-911；

1111

（3）&++++

解：IW272T?3^7^-V2022+V2023

=夜一1+石-后+4-用…+J2023-J2022=12023-1,故答案为：72023-1.

【点睛】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式，解答本题的关键是明确分母有理化的

方法，可以找出相应的有理化因式.

变式2.（2023•北京西城•九年级校考期中）阅读下述材料：

我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用.其实，有一个类似的方法叫做"分子有理化”，

与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：

（4一月（用网]

A/T—A/6=

分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题.例如:

比较近-而和#-6的大小.可以先将它们分子有理化如下：币-底=1

>/7+76

1

V6-A/5=

>/6+75

因为近+石>痣+石，所以夕-病-石.

再例如：求y=《x+2-匕-2的最大值.做法如下：

解：由x+220,x—220可知x22,而y=Jx+2—Jx—2=

当x=2时，分母^/77I+疝I有最小值2,所以y的最大值是2.

解决下述问题：（1）比较3应-4和的大小；（2）求y=Jl-x+Jl+x-4的最大值和最小值.

【答案】（1）3①-4<2若-亚（2），的最大值为2,最小值为0-1

【分析】（1）利用分子有理化得到30-4=/二，2寻回=之百回，然后比较30+4和

2j^+M的大小即可得至1」3近一4与2如一河的大小;

（2）利用二次根式有意义的条件得到而y=J厂,利用当x=0时，J厂

有最大值1,E有最大值1得到所以y的最大值；利用当x=i时，厂有最小值3-1,g

VJ1+x+yX

有最小值o得到y的最小值.

【详解】⑴26-巾田平吐回=；，

3^2+43^2+42V3+V102^3+V10

而30>26，4>A/10,;30+4>2石+加，/.3A/2-4<273-VTo;

(2)由1—xNO,l+x>0,x>O^O<x<l,y-yjl-x+y/l+x-\fx=\/l-x+i=—T=,

yjl+x+y/x

团当x=o时，有最小值，则方」一尸有最大值i,则^^有最大值1,所以y的最大值为

yjl+x+y/x

2；

当x=i时，Ji+%+«有最大值,则下上一厂有最小值3-1,此时Ji-%有最小值o,所以y的最小值

A/1+X+A/X

为0-1.

【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想.解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提

供的知识点和方法解决问题.同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别.

例14：(2023上•福建泉州•九年级校联考阶段练习)已知。，匕为两个正实数，

ct+b—2\]ab=(yjci')~+{y/b)~~2y[a-y[b={yfa—\[b)220,a+b22晒即：等2痴，当且仅当"a=8"

时，等号成立.我们把审叫做正数4，6的算术平均数，把肩叫做正数4，6的几何平均数，于是上

述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.它在数学中有广

泛的应用，是解决最值问题的有力工具.示例：当x>0时，求>=彳+工+1的最小值；

X

解：y=(x+-)+l>2lx+1=3,当x=L即x=l时，y的最小值为3.

xVxx

⑴探究：当了>0时，求,=*-3-16的最小值;

x

(2)知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用

2

为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，W年的保养，维修费用总和为里上万元，问这种

10

汽车使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=所有费用：年数”)？最少

年平均费用为多少万元？(3)创新应用：如图，在直角坐标系中，直线AB经点尸(3,4),与坐标轴正半轴相

交于A,B两点，当AAOB的面积最小时，求直线的表达式.

o

4

【答案】(1)5(2)10年；2.5万兀(3)y=-1工+8

【分析】(1)直接利用手2族可得结论；(2)先求解年平均保养费用，利用胃2族可得结论；

22

(3)设直线AB为：y=kx+b,用含％的代数式表示A3的坐标，求解AAOB的面积，利用噂2疝求

解面积最小值时Z的值，据此求解即可.

【详解】(1)解：.・.丫='-3丈+16=丁_3+更>2、”-3=5,

.•・当彳=3，即x=4时，y的最小值为5；

X

/、e।口八一\n1+nn101/n101八,

(2)解：由题思得：n>0,，年平均费用=-^―+。4〃+10卜〃=G+一+不之2、G—+-=2-5.

(10)10〃2V10n2

.•.当工=12时，..,“=10,即〃=10时，这种汽车使用10年报废最合算，最少年平均费用为2.5万元；

10n

(