2025年新高考数学一轮复习：极化恒等式与等和（高）线定理【四大题型】原卷版

极化恒等式与等和（高）线定理重难点【四大题型】

►题型归纳

【题型1利用极化恒等式求值】.................................................................3

【题型2利用极化恒等式求最值（范围）】......................................................4

【题型3利用等和线求基底系数和的值】........................................................4

【题型4利用等和线求基底系数和的最值（范围）】..............................................5

►命题规律

1、极化恒等式与等和（高）线定理

极化恒等式是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型

和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系；等和（高）线定理是平面向量

中的重要定理，由三点共线结论推导得出，在求基底系数和的值、最值（范围）中有着重要作用.

►方法技巧总结

【知识点1极化恒等式】

1.极化恒等式的证明过程与几何意义

（1）平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

|a+&|2+|a-S|2=2(|a|2+|S|2).

证明：不妨设4B=a,4D=否,则/C=a+B,DB=a-b,

|明2=AC=(a+b^=@+2a-b+件①，

|国2=丽JR-可叩卜2鼠否+.②,

①②两式相加得:

国2+|国2=2（同②+用）=2（网2+国2）.

（2）极化恒等式：

上面两式相减，得：a-b=l[p+q2-（a-S）2]-------极化恒等式

平行四边形模式：a-/J=|[|^C|2-|£>5|2].

2.几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平

方差的

4

（1）平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角

线长”平方差的;，即>]=,-R-B）2]（如图）.

（2）三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即瓦•就=

---2---?

AM-MB一（M为2c的中点）（如图）.

极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.

【知识点2等和（高）线定理】

1.等和（高）线定理

（1）由三点共线结论推导等和（高）线定理：如图，由三点共线结论可知，若赤=23+"无区〃CR）,

则%+〃=1,由△0/2与△0/3'相似，必存在一个常数左，在R,使得苏=左苏，则加=左5?=奴53+knOB,

又OP=xO/+（x”eR）,.,・田^=以+切=左；反之也成立.

⑵平面内一个基底｛况,无｝及任一向量加，OP'^AOA+//5s（/,/zeR）,若点尸在直线N8上或在平

行于的直线上，则%+“=-定值）；反之也成立，我们把直线N8以及与直线N8平行的直线称为等和（高）

线.

①当等和线恰为直线N2时，k=l；

②当等和线在。点和直线之间时，住（0,1）；

③当直线48在。点和等和线之间时，住（1,+8）；

④当等和线过O点时，*=0；

⑤若两等和线关于。点对称，则定值肩，心互为相反数；

⑥定值k的变化与等和线到。点的距离成正比.

►举一反三

【题型1利用极化恒等式求值】

【例1】（2024・贵州毕节•三模）如图，在△4BC中，。是BC边的中点，E,尸是线段4D的两个三等分点,

若瓦？•g5=7,BE-CE^2,则丽•次=（）

【变式1-11（23-24高三上•福建厦门•期末）如图，BC、是半径为1的圆O的两条直径，~BF=2FO,

则丽-~FE=（）

【变式1-2］（2024高三•江苏•专题练习）如图，在平面四边形/BCD中，。为8。的中点，且。4=3,OC

=5.若荏♦而=—7,则品•反的值是

A

D

【变式1-3]（23-24高二下•湖南长沙•开学考试）如图，在平行四边形48。中，4B=1,AD=2,点、E,

F,G,4分别是48,BC,CD,ND边上的中点，则而•丽+而・砒等于

【题型2利用极化恒等式求最值（范围）】

【例2】（2024高三•全国・专题练习）半径为2的圆。上有三点4、B、C满足M+南+羽=0,点P是圆内

一点，则西•丽+丽•玩的取值范围为（）

A.[-4,14）B.[0,4）C.[4,14]D.[4,16]

【变式2-1]（23-24高一下•江苏南通・期中）正三角形4BC的边长为3,点。在边48上，且丽=2瓦?，三

角形力BC的外接圆的一条弦MN过点D,点P为边BC上的动点，当弦MN的长度最短时，丽•丽的取值范围

是（）

A.[—1,5]B.[—1,7]

C.[0,2]D.[1,5]

【变式2-2]（2024•重庆•模拟预测）已知△04B的面积为1/B=2,动点RQ在线段4B上滑动，且|PQ|

=1,则声•丽的最小值为.

【变式2-3]（23-24高三上•上海浦东新•阶段练习）在面积为2的平行四边形中4BCD中，AD4B=也点尸

——>2—>2——>——>

是4D所在直线上的一个动点，贝UPB+PC-PB7C的最小值为.

【题型3利用等和线求基底系数和的值】

【例3】（2024•四川成都・模拟预测）如图，在平行四边形4BCD中,BE=|fiC,DF=|DE,若而=XAB+〃

AD,则4+〃=（）

AB

F/

L--------------c

311

A.-B.--C.—D.0

【变式3・1】（2023•河北沧州・模拟预测）在△ABC中族=界，而=*瓦？+说），点P为/E与8尸的交点,

AP=XAB+/MC,贝状+〃=（）

113

A.0B.—C.-D.-

4Z4

【变式3-2］（23-24高一上•江苏常州•期末）在平行四边形4BCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且

CF=2DF.若尼=4屈+〃而，4,“均为实数，贝壮+〃的值为.

【变式3-3］（23-24高一上・江苏苏州•期末）如图，在矩形力BCD中，M,N分别为线段BC,CD的中点，若

丽=%病+弱丽，^1,22GR,则;k+弱的值为.

【题型4利用等和线求基底系数和的最值（范围）】

［例4］（2024•山东烟台•三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆0,P为圆。上任一点，若丽=%

AB+yAC,贝取久+2y的最大值为（）

4

C3D.1

【变式4-1］（23-24高三上•河北沧州•期中）如图，与△ABC的面积之比为2,点尸是区域内

任意一点（含边界），且而=入荏+〃标（4〃ER）,贝!M+〃的取值范围是（）

D

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,3]D.[0,4]

【变式4-2]（23-24高一下•福建泉州•阶段练习）在△ABC中，M为3c边上任意一点，N为线段上任

意一点，若丽=4四+〃而（九46R）,则4+〃的取值范围是.

【变式4-3]⑵-24高一下•广西桂林•期末）已知。为△A8C内一点，且4瓦？+8OB+5OC=0,点M在△OBC

内（不含边界），若询=4而+〃而，则2+〃的取值范围是.

►过关测试

一、单选题

1.（2024•四川绵阳•三模）如图，在△&BC中，AF=BF=6,EF=5,则瓦？・丽=（）

2.（2024•陕西西安•一模）在△4BC中，点。是线段AC上一点，点P是线段BD上一点，且而=市，而=

+AAC,贝吃=（）

A.B.弓C.fD.f

6336

3.（2024高三•全国•专题练习）在△2BC中，。是BC边上的中点，且族=加，AF=2AE,AB-AC=6,

~FB-FC=-2,则丽•诙=（）

1

A.-1B.2C.--D.1

4.（2024•陕西榆林•三模）在△A8C中，E在边8c上，且EC=38E,。是边4B上任意一点，4E与CD交于点

P,若丽=久诵+y而，则3x+4y=（）

33

A.T4B.-47C.3D.-3

5.（23-24高三下•湖南长沙•阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和

对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，。?=前而『—国|2）,我们称为极化恒等式.已

知在△ABC中，M是中点，AM=3,BC=10,则万•标=（）

C_£>

A.-16B.16C.-8D.8

6.（2024•全国•模拟预测）如图，在△ABC中，AN-tNCQt>0）,丽=2丽（2>0）,若行=萍一）

BC,则2+t的值为（）

7.（23-24高三上•山东潍坊・期末）已知正方形48co的边长为2,是它的内切圆的一条弦，点尸为正

方形四条边上的动点，当弦儿W的长度最大时，两•西的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0,V2]

C.[1,2]D.[-1,1]

8.（2024•河北沧州・三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分

支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边△4BC中，AB=2,以二条边为直径向外作三

个半圆，M是三个半圆弧上的一动点，若丽=2万+〃就，贝!M+〃的最大值为（）

二、多选题

9.（23-24高一下•江苏南京•期中）在△力BC中，点D是线段BC上任意一点，点M是线段4D的中点，若存

在儿〃eR使前=2万+%土，则无〃的取值可能是（）

3

AA.A1=--3//z=-1B.A=1,/z=--

-Q92—°73

c-4=一而〃=^D-2=一而，〃=g

10.（23-24高一下•四川成都•阶段练习）如图,正方形2BCD中，E为4B中点，M为线段4D上的动点，若

前=4万E+〃丽，贝|]4+〃的值可以是（）

31

A.-B.-C.1D.2

11.（23-24高一下•陕西西安•阶段练习）（多选）如图，在四边形中，ZB=60°,AB=3,BC=6,

____>--->---»---»R

且力。=ZBC(4eR),AD■AB=-1，贝|(

B.实数4的值为:

6

C.四边形4BCD是梯形D.若M,N是线段BC上的动点，且|而|=1,则前•丽的

最小值为差

三、填空题

12.（2024・新疆・二模）在等腰梯形2BCD中，AB=2DC,点E是线段BC的中点，若荏=4万+〃前，则

4+〃=

13.（23-24高一下•黑龙江大庆•期末）如图，在△4BC中，。是的中点，E,F是/D上的两个三等分点

瓦？•8?=5,~BF-~CF=-2,则战•无的值是

A

14.（23-24高三•广东阳江•阶段练习）在面积为2的平行四边形ZBCD中，点P为直线2D上的动点，则丽•无

+品2的最小值是.

四、解答题

15.（23-24高一下•甘肃白银•阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点0.E是线段。。

的中点，4E的延长线与CD交于点F.

（1）用荏，而方表示荏；

⑵若万=2荏+〃诟，求；1+〃的值.

16.(23-24高一下,江苏苏州•期中)阅读一下一段文字：(a+b)2=a2+2a-b+b2,(a—bf=a2—2a-b

222

+b,两式相减得①+B)2-(a-])2=4a-b^a-b=^[(a+b)-(a-fa)]我们把这个等式称作“极化恒等

式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量