2025年新高考数学一轮复习:函数的性质:单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值(十六大题型)(讲义)(学生版+解析)_第1页
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文档简介

第02讲函数的性质:单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值

目录

01考情透视•目标导航...........................................................................2

02知识导图•思维引航...........................................................................3

03考点突破•题型探究...........................................................................4

知识点1:函数的单调性.........................................................................4

知识点2:函数的最值...........................................................................5

知识点3:函数的奇偶性.........................................................................5

知识点4:函数的周期性.........................................................................5

知识点5:函数的对称性.........................................................................6

解题方法总结...................................................................................6

题型一:单调性的定义及判断....................................................................9

题型二:复合函数单调性的判断.................................................................10

题型三:分段函数的单调性.....................................................................11

题型四:利用函数单调性求函数最值.............................................................12

题型五:利用函数单调性求参数的范围...........................................................12

题型六:利用函数的单调性比较函数值大小.......................................................13

题型七:函数的奇偶性的判断与证明.............................................................14

题型八:已知函数的奇偶性求参数...............................................................15

题型九:已知函数的奇偶性求表达式、求值.......................................................16

题型十:奇函数的中值模型.....................................................................16

题型十一:利用单调性与奇偶性求解函数不等式...................................................17

题型十二:函数对称性的应用...................................................................18

题型十三:函数周期性的应用...................................................................19

题型十四:对称性与周期性的综合应用...........................................................20

题型十五:类周期与倍增函数...................................................................21

题型十六:抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性..........................................22

04真题练习•命题洞见..........................................................................23

05课本典例•高考素材..........................................................................62

06易错分析•答题模板..........................................................................24

易错点:判断函数的奇偶性忽视定义域...........................................................24

答题模板:判断函数的奇偶性...................................................................24

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

2024年n卷第8题,5分

2024年I卷第6题,5分从近几年高考命题来看,本节是高

(1)函数的单调性2024年天津卷第4题,5分考的一个重点,函数的单调性、奇偶

(2)函数的奇偶性2023年I卷第4、11题,10分性、对称性、周期性是高考的必考内

(3)函数的对称性2023年甲卷第13题,5分容,重点关注周期性、对称性、奇偶性

(4)函数的周期性2022年II卷第8题,5分结合在一起,与函数图像、函数零点和

2022年I卷第12题,5分不等式相结合进行考查.

2021年n卷第8题,5分

复习目标:

(1)借助函数图像,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义.

(2)结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.

(3)结合三角函数,了解周期性的概念和几何意义.

(4)会依据函数的性质进行简单的应用.

一般地,设函数/(.、)的定义域为%区间DG.4:

如果对于。内的任意两个自变量的植

当吃K时,都仃/g</(.vj,则/(.v)Th区间Z)上是增函数.

Y]调函数的定义

般地,设函数/(.V)的定义域为H区间。G:

如果对于。内的任意两个自变量的值

当时,都有/(.vjv/CvJ,则/(x)在区间。上是减函数.

单调性

如果函数尸/(*侨区间/上单调递增或单调递减,

单调区间的定义

则函数r=/(x)在这•区间具有单调性,区间/叫做r=/(x)的单调区间

复合函数的单调性遵从“同增异减”,即在对应的取值区间上,外层函数是增(减)函

数,内层函数是熠(减)函数,豆合函数是增函数;外层函数是熠(减)函数,内层函

数是减(增)函数,复合函数是减函数.

(l)V.vez),都有/(2二监

最大值

(2)3.v0ep,使得尸M

最值

(l)V.vep,都有了(、)NM;

最小值

(2)3x0ep,使得/(.城二心

图像关于T轴对称

对于函数/(K)的定义域内任意一个K,都有/(・K)=/(X))

奇偶性

图像关于原点对称

对于函数/(2的定义域内任意一个K,都有/(7)=■/(.x))

/方苒数丁=/C),如果存在一个非零常数r,

函数的性质使得当x取定义域内的任何值时,都有/&+乃=/(2,

那么就称函数箕=/(.”为周期函数

/(•v)=/(.v+«)=>r=|a|)

/(-v)=-/(A+fl)=>T=2|a|

周期性

F------^T=2\a\

f(x+a)

、5=2|0|

f(x+a)

常用周期结论

人'+加抽”=吗

2=搐"=4同

/(•"。)=1-焉=7=3|。|

JV'/

/(M=/(x+4)+/(wa)nT=6|a|)

<若函数7=/(工+。)为偶函数,则函数j=/(x)关于x=a对称)

《若函数尸/。+。)为奇函数,则函数J=/(K)关于点00)对称\)

<若/(M=,Qa-x),则函数/代)关于对称)

(若/(2/(2。・2=2瓦则函数/(M关于点(。力)对称、)

老占突硒・力理悭宙

1r知识国*'

知识点1:函数的单调性

(1)单调函数的定义

一般地,设函数/(X)的定义域为A,区间。aA:

如果对于。内的任意两个自变量的值占,%当天时,都有/(%)</(无2),那么就说了(X)在区间

。上是增函数.

如果对于。内的任意两个自变量的值百,々,当玉<龙2时,都有了(无1)</(犬2),那么就说了(X)在区间

。上是减函数.

①属于定义域A内某个区间上;

②任意两个自变量%,彳2且%<彳2;

③都有/(%[)<〃%2)或/(%1)>/(%2);

④图象特征:在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的,减函数的图象从左向右是下降的.

(2)单调性与单调区间

①单调区间的定义:如果函数/(X)在区间。上是增函数或减函数,那么就说函数/Xx)在区间。上具

有单调性,。称为函数“X)的单调区间.

②函数的单调性是函数在某个区间上的性质.

(3)复合函数的单调性

复合函数的单调性遵从“同增异减”,即在对应的取值区间上,外层函数是增(减)函数,内层函数是

增(减)函数,复合函数是增函数;外层函数是增(减)函数,内层函数是减(增)函数,复合函数是减

函数.

【诊断自测】(2024•高三•上海杨浦•期中)已知函数y=〃x),xeR.若/。)</(2)成立,则下列论

断中正确的是()

A.函数/(尤)在(T,y)上一定是增函数;

B.函数/(尤)在(-co,y)上一定不是增函数;

C.函数/(X)在(T»,y)上可能是减函数;

D.函数/(尤)在(一》,a)上不可能是减函数.

知识点2:函数的最值

一般地,设函数y=f(x)的定义域为如果存在实数M满足

①VxeD,都有〃(2)3x0eD,使得"x0)=M,则M是函数y=的最大值;

①Vxe。,都有②瑞e。,使得〃Xo)=M,则M是函数y=〃x)的最小值.

【诊断自测】(2024•高三•北京•开学考试)函数>=—1-l+x(xN3)的最小值为_____.

x-1

知识点3:函数的奇偶性

函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有

偶函数关于y轴对称

/(-%)=f{x),那么函数y(x)就叫做偶函数

如果对于函数/(%)的定义域内任意一个X,都有

奇函数关于原点对称

/(-X)=-/(x),那么函数了(%)就叫做奇函数

【诊断自测】(2024•高三•河北唐山•期末)函数/⑺为奇函数,g(x)为偶函数,在公共定义域内,下

列结论一定正确的是()

A./(x)+g(x)为奇函数B./(x)+g(x)为偶函数

C./(x)g(x)为奇函数D./(x)g(x)为偶函数

知识点4:函数的周期性

(1)周期函数:

对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有

“X+7)=/(尤),那么就称函数y="x)为周期函数,称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期:

如果在周期函数/(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么称这个最小整数叫做f(x)的最小正周

期.

【诊断自测】若偶函数”无)对任意xeR都有f(x+3)=-工,且当xe[-3,-2]时,/(x)=4x,则

/(x)

〃113)=一

知识点5:函数的对称性

(1)若函数y=/(尤+a)为偶函数,则函数y=/(x)关于x=a对称.

(2)若函数y=/(x+a)为奇函数,则函数y=/(x)关于点⑶0)对称.

(3)若/'(x)=/(2a-x),则函数f(x)关于x=。对称.

(4)若/(x)+/(2a-x)=2b,则函数/(x)关于点(a,b)对称•

【诊断自测】若函数y=g(x)的图象与y=lnx的图象关于直线尤=2对称,则g(x)=.

解题方法总结

1、单调性技巧

(1)证明函数单调性的步骤

①取值:设%,%是/(X)定义域内一个区间上的任意两个量,且西<%2;

②变形:作差变形(变形方法:因式分解、配方、有理化等)或作商变形;

③定号:判断差的正负或商与1的大小关系;

④得出结论.

(2)函数单调性的判断方法

①定义法:根据增函数、减函数的定义,按照“取值一变形一判断符号一下结论”进行判断.

②图象法:就是画出函数的图象,根据图象的上升或下降趋势,判断函数的单调性.

③直接法:就是对我们所熟悉的函数,如一次函数、二次函数、反比例函数等,直接写出它们的单调

区间.

(3)记住几条常用的结论:

①若/(X)是增函数,则-/(元)为减函数;若/(x)是减函数,则-/(x)为增函数;

②若/(%)和g(x)均为增(或减)函数,则在/(%)和g(x)的公共定义域上/(x)+g(x)为增(或减)函数;

③若/(x)>0且/(x)为增函数,则函数6G为增函数,」一为减函数;

/(-V)

④若/(x)>0且/(X)为减函数,则函数由为减函数,—一为增函数.

/(x)

2、奇偶性技巧

(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

(2)奇偶函数的图象特征.

函数/(尤)是偶函数o函数f(x)的图象关于y轴对称;

函数/(尤)是奇函数o函数/(x)的图象关于原点中心对称.

(3)若奇函数y=f(x)在x=0处有意义,则有/(0)=0;

偶函数y=/(x)必满足〃尤)=f(\x|).

(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反;奇函数在其定义域内关于原点对称的

两个区间上单调性相同.

(5)若函数/(%)的定义域关于原点对称,则函数/(%)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记

g(x)=;"(*)+/(-x)],/7(x)=/(f)],贝!1/(x)=g(x)+g).

(6)运算函数的奇偶性规律:运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的

函数,如/(X)+g(x),f(x)-g(x),f(x)Xg(x)J(x)+g(x).

对于运算函数有如下结论:奇土奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶;

奇、(十)奇=偶;奇乂(+)偶=奇;偶*(十)偶=偶.

(7)复合函数y=/Ig(x)]的奇偶性原来:内偶则偶,两奇为奇.

(8)常见奇偶性函数模型

奇函数:①函数/(x)=7n("+1)(x丰0)或函数/(尤)=m(-~-).

<2-1fl+1

②函数f{x)=+{ax-ax).

1

③函数/(x)=log“三”=log“(1+用L)或函数f(x)=log“二二”=iog;i(l--—)

x-mx-mx+mx+m

2

④函数/(无)=loga(7.X+1+X)或函数/(x)=log"(J-+1-X).

注意:关于①式,可以写成函数/(X)=〃Z+3L(X#O)或函数〃x)=机-心上(〃?eR).

ax-1ax+1

偶函数:①函数〃x)=±(/+aT).

;ra

②函数/(x)=logfl(a+l)-^.

③函数〃|x|)类型的一切函数.

④常数函数

3、周期性技巧

函数式满足关系(xeR)周期

f(x+T)=f(x)T

f(x+T)=-f(x)2T

/(x+T)=」一"(x+T)=-

2T

f(x)f(x)

f(x+T)=f(x-T)2T

f(x+T)=-f(x-T)4T

\于(a+x)=/(a-x)

2(。一a)

\f(b+x)=f(b-x)

f于(a+x)=f(a-尤)

2a

[/(x)为偶函数

1f(a+x)=-f(a-x)

2(。—a)

f(b+x)=-f(b-x)

1/(a+x)=-f(a-x)

2a

/(尤)为奇函数

/(a+x)=/(a-x)

4s-〃)

f(b+x)=-f(b-x)

f/(«+x)=/(a-x)

4a

[7(x)为奇函数

f(a+x)=-f(a-x)

4a

1/(无)为偶函数

4、函数的的对称性与周期性的关系

(1)若函数y=/(x)有两条对称轴x=a,x=b(a〈b),则函数/(x)是周期函数,且7=2(>-.);

(2)若函数y=/(无)的图象有两个对称中心(a,c),S,c)(a<6),则函数y=/(x)是周期函数,且

T=2(b—a);

(3)若函数y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(6,0)(a<力,则函数y=/(x)是周期函数,

且7=4(6-。).

5、对称性技巧

(1)若函数y=/(x)关于直线x=a对称,则/(a+x)=/(a-尤).

(2)若函数y=/(x)关于点(a,6)对称,则/(a+x)+/(a-x)=26.

(3)函数y=/(a+x)与y=/(a-x)关于y轴对称,函数y=/(a+x)与y=-/(a-x)关于原点对称.

「题型疝

题型一:单调性的定义及判断

【典例1-1】(2024•陕西榆林•一模)已知函数/(尤)在[0,+。)上单调递增,则对实数。>0,6>0,“a>b”

是“/(。)>/。)”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【典例1-2](2024•安徽蚌埠•模拟预测)下列函数中,满足“对任意的西e(0,+⑹,使得

""卜"马)<o,,成立的是()

玉一%2

A./(x)=-X2-2x+l

B.f(x)=x--

X

C.f(.x)=x+l

D./(x)=log2(2x)+1

【方法技巧】

函数单调性的判断方法

①定义法:根据增函数、减函数的定义,按照“取值一变形一判断符号一下结论”进行判断.

②图象法:就是画出函数的图象,根据图象的上升或下降趋势,判断函数的单调性.

③直接法:就是对我们所熟悉的函数,如一次函数、二次函数、反比例函数等,直接写出它们的单调

区间.

【变式1-1】三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器,而函数/(尤)="2+(的图象恰如其形,因而得名三

叉戟函数,因为牛顿最早研究了这个函数的图象,所以也称它为牛顿三叉戟.已知函数〃月=分2+±的图

%

象经过点(2,8),且〃-2)=0.

(1)求函数〃尤)的解析式;

(2)用定义法证明:/(无)在(-。,0)上单调递减.

【变式1-2](2024•高三•上海•期中)由方程中|+引讨=1确定函数y=/(x),则>=/(%)在(一8,%)

上是()

A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数

题型二:复合函数单调性的判断

【典例2-1】函数“x)=(;尸3-8的单调递增区间是()

A.B.(-co,-2)C.(4,+co)D.

【典例2-2](2024•高三•浙江绍兴•期末)函数y=ln(/-2x)的单调递减区间是()

A.B.(l,+oo)C.(-8,0)D.(2,+00)

【方法技巧】

讨论复合函数y=/[g(x)]的单调性时要注意:既要把握复合过程,又要掌握基本函数的单调性.一般

需要先求定义域,再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合,然后分别判断它们的单调性,

再用复合法则,复合法则如下:

1、若"=g(x),y=/(")在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数,则y=/[g(x)]为增函数;

2、若"=g(x),»=/(〃)在所讨论的区间上一个是增函数,另一个是减函数,则y=/[g(x)]为减函

【变式2-1](2024•高三•甘肃•开学考试)函数〃x)=2「os:-3龙的单调递减区间是()

7i2kn7i2历i7i2kn5兀2历i

A.---1----,---1----(jteZ)B.一+,一+(jteZ)

43123123123

7i2防i7i2kn7i2kn兀2%兀

C.----1----,---1----(左eZ)D.一+,—+(keZ)

12312312343

1

【变式2-2】函数〃x)=不小的单调递减区间是()

A.(r»,3)B.(3,4]C.(5,+co)D.(4,-HX)

题型三:分段函数的单调性

【典例3-1】(2024•陕西商洛•一模)已知函数/(x)=「:一是定义在R上的增函数,则。的

(3—a)x+2,x>1

取值范围是()

A.[1,3)B.[1,2]C.[2,3)D.(0,3)

/、f(a-2)x+4a-6,xW1-八

【典例3-2】已知函数〃x)=:;满足对于任意的毛,尤J都有J,储〉0成

\u+2,x>1%一元2

立,则实数。的取值范围是()

A-ITB-[2,1]C]川D.[1,|_

【方法技巧】

函数的尤)=1顼"<",在R上为增函数,则:

卜(%),%〉m

①s(x)在(—0,利上单调递增;②“龙)在(M,+oo)上单调递增;③s(m)4K帆).

_/、[〃IxKm'.>、——-»、t〃ei

函数/(犬)=,在R上为减函数,贝!J:

[/(%),%>m

①s(x)在(-w,m]上单调递减;②Z(x)在(m,+co)上单调递减;③s(m)>t(m).

、ax+l-a,0<x<lz、f(\-f(r]

【变式3-1】已知函数〃x)=,5,若%,々e(O,2),玉力9,都有八x、_八">0成立,

2,1<x<2x]一不

则a的取值范围为()

A.(0,2]B.(一8,1]C.(0,1]D.(0,+动

(2“-3)元+2,xVI

【变式3-2】已知函数〃x)=。1是R上的减函数,则。的取值范围是()

—,x>l

、X

33

A.0<a<一B.IW〃<—

22

33

C.0<aW—D.4I<〃<—

22

题型四:利用函数单调性求函数最值

【典例4-1】(2024•全国•模拟预测)设%£呜,则函数y=Jsinx+Jcosx的最大值为___.

【典例4-2]若函数/(x)=f—2x+|x—矶〃>0)在[0,2]上的最小值为1,则正实数〃的值为.

【方法技巧】

利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性,再求最值.常用到下面的结论:

1、如果函数y=/(x)在区间①,切上是增函数,在区间g,c)上是减函数,贝I函数y=/(x)(xw。,c)

在%=匕处有最大值/(力.

2、如果函数y=/(x)在区间(0,切上是减函数,在区间屹,c)上是增函数,贝!]函数y=/(x)(xe。,c)

在x=3处有最小值/(».

3、若函数y=/(x)在[a,切上是严格单调函数,则函数y=/(x)在[a,句上一定有最大、最小值.

4、若函数y=/(x)在区间团,团上是单调递增,则》=/(天)的最大值是/。),最小值是/(a).

5、若函数y=/(x)在区间[a,句上是单调递减,则y=/(x)的最大值是/(a),最小值是/(/?).

【变式4-1](2024•上海嘉定•一模)函数y=—f+3在工©3上的最大值和最小值的乘积为

•尤-112」

【变式4-2]若函数、=卜2一〃a+2]在[0,1]的最大值为2,则m的取值范围是.

题型五:利用函数单调性求参数的范围

【典例5-1](2024•全国•模拟预测)若函数f(x)=41x-|+3在区间[1,内)上不单调,则。的取值范围

是()

A.[l,+oo)B.(l,+oo)

C.(-oo,l)D.(-oo,l]

【典例5-2】(2024•广东佛山•二模)已知Ovavl且若函数/(%)=21og/:—k)g2/在(0,+8)上单调

递减,则实数〃的取值范围为()

A.(―,—)B.(0,—)C.(―,—)U(-4)D.(0,—)|J(—,1)

42442242

【方法技巧】

若已知函数的单调性,求参数。的取值范围问题,可利用函数单调性,先列出关于参数"的不等式,

利用下面的结论求解.

1>若4>/(%)在[加,川上恒成立04>/(X)在[加,川上的最大值.

2、若a<f(x)在[机,加上恒成立v/(x)在[帆,网上的最小值.

【变式5-1]若〃x)=-$3+gx2+2x+l是区间(根一1,加+4)上的单调函数,则实数机的取值范围是()

A.m<-5B.m>3

C,机4—5或机>3D.-5<m<3

【变式5-2](2024•全国•模拟预测)函数〃x)=log”(#-a|-l)在[1,2]上单调递增,则实数0的取值范

围是()

A.(2,+oo)B.(0,l)u(2,+oo)C.[4,+oo)D.(0,l)u[4,+<»)

【变式5-3](2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=log.(尤3-62+*一20)(4>0且“R1)在区间(1,+«)上

单调递减,则。的取值范围是()

A.|^0,|B.C.(1,2]D.[2,+s)

【变式5-4]若函数""=1唱(*+6》-5)在区间(3切—2,加+2)内单调递增,则实数m的取值范围为

2

()

题型六:利用函数的单调性比较函数值大小

【典例6-1](2024•宁夏银川•一模)若/(x)=ln(x2+l)-=,设。=/(_3),6=/(足2),。=/(2°3),贝|0,

IxI

b,c的大小关系为()

A.c>a>bB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

【典例6-2](2024•宁夏石嘴山•三模)若定义在R上的偶函数/(无)在[0,+e)上单调递增,则

的大小关系为()

B.小|"2>小3

D-

【方法技巧】

1、比较函数值大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数单调性解决.

【变式6-1](2024•高三•河北沧州•期中)已知函数=记

e+e

a=/(-log52),/?=/^^c=/^-1^|,则()

A.c>b>aB.c>a>b

C.a>c>bD.b>a>c

【变式6-2】函数/■(x)=x3+2x-cosx,a=〃lg3),b=/1lng:c=/23,则。,4c的大小关系为()

A.a>b>cB.b>c>a

C.b>a>cD.c>a>b

【变式6-3](2024•四川•模拟预测)若定义在R上的偶函数〃尤)在[0,+e)上单调递增,则

的大小关系为,)

A.小|)>佃>")B.小|>《)>佃

C/即小扪")D,醺>/(今小|)

题型七:函数的奇偶性的判断与证明

【典例7-1】设函数〃x),g(x)的定义域为R,且/⑴是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是

()

A./(x)g(x)是偶函数B.I”尤)心(尤)是奇函数

C.”尤)|g(x)|是奇函数D.[〃x)g(尤)|是奇函数

【典例7-2】(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=4Iog4(77^-x)-3的图象经过点则函

数y=/(x)的奇偶性为()

A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数

【方法技巧】

函数单调性与奇偶性结合时,注意函数单调性和奇偶性的定义,以及奇偶函数图像的对称性.

【变式7-1](多选题)(2024•重庆•模拟预测)函数/(x)=2*;2*,且⑺=叩1+城一3q,那么

A./(x)+g(x)是偶函数B./(分g(x)是奇函数

g(M

C.是奇函数D.g(/(x))是奇函数

〃尤)

【变式7-2】利用图象判断下列函数的奇偶性:

—+2%+1,%>0

x2+2x-l,x<0

x2+x,x<0,

⑵/。)=

x2-x,x>0

⑶y=(》;

(4)y=|log2(x+l)|;

(5)y=x2-2|x|-l.

题型八:已知函数的奇偶性求参数

_____12兀_]%>0

【典例8-1】已知函数/(x)=log2(GT?-x)是奇函数,则“=____,若g(x)=(f「则

(X),尤&u

g(g(-l))=一.

【典例8-2】已知函数/⑺={^的图象关于原点对称,g(£)=lg(10*+l)+法是偶函数,则〃+6=—.

【方法技巧】

利用函数的奇偶性的定义转化为/"(-*)=±ya),建立方程,使问题得到解决,但是在解决选择题、

填空题时还显得比较麻烦,为了使解题更快,可采用特殊值法求解.

k-9x

【变式8-1](2024•高三•湖北武汉•期末)函数g(x)=;左[工化<°)为奇函数;则实数左的取值

为.

【变式8-2】已知函数/(x)=bg3(9'+〃z)-x的图象关于y轴对称,则加=_.

2

【变式8-3]已知函数/(%)==匚定义域为R,g(%)=%(/(%)+,),若g(x)为偶函数,则实数〃的值

2+1

为.

题型九:已知函数的奇偶性求表达式、求值

【典例9-1】已知函数〃x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,M/(x)+g(x)=x2-x+l,则

g(3)的值是_.

【典例9-2】(2024•广东湛江•二模)已知奇函数了》=,、,八贝iJg(x)=____.

g(x)+l,x>0,

【方法技巧】

抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性得出关于/Xx)的方程,从而可得

/(X)的解析式.

【变式9-1]若定义在R上的偶函数“X)和奇函数g(x)满足/(x)+g(x)=e*,则g(x)的解析式为

g(x)=.

【变式9-2】已知函数/(无)对一切实数x都满足〃x)+/(r)=0,且当x<0时,f(x)=2x2-x+l,则

〃力=—.

题型十:奇函数的中值模型

【典例10-1】函数/(尤)=1,+但(正'石+q在区间[-m,河内的最大值为M,最小值为N,其中机>0,

则M+N=.

【典例10-2】对于函数/(%)=63+法忖+。(其中a/eRceZ),选取a,b,c的一组值计算/(2),/(-2),

所得出的正确结果一定不可能是()

A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2

【方法技巧】

已知/(x)=奇函数+Af,xe[—a,a],贝I

⑴/(-%)+/(x)=2M

(2)/(x)a+/(x)E0=2M

【变式10-1】(2024•广西•一模)/⑺是定义在R上的函数,/卜+m+;为奇函数,则

/(2023)+/(-2022)=()

A.-1B.-一C.2D.1

2

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