2025年新高考数学一轮复习：二项式定理【十一大题型】原卷版

二项式定理【十一大题型】

►热点题型归纳

【题型1求二项展开式的特定项】..............................................................3

【题型2求二项展开式的特定项系数】..........................................................3

【题型3两个二项式之积问题】................................................................4

【题型4三项展开式问题】.....................................................................4

【题型5二项式系数和与系数和问题】..........................................................4

【题型6二项式系数的最值问题】..............................................................5

【题型7整除和余数问题】.....................................................................5

【题型8近似计算问题】.......................................................................6

【题型9证明组合恒等式】.....................................................................6

【题型10二项式定理与数列求和1.............................................................................................7

【题型11杨辉三角】..........................................................................8

►考情分析

1、二项式定理

考点要求真题统计考情分析

2022年新高考全国I卷：第

13题，5分从近几年的高考情况来看，二项式

2023年北京卷：第5题，4分定理是高考的热点内容，主要考查二项

(1)能用多项式运算法则2023年天津卷：第11题，5

展开式的通项、展开式的特定项或特定

和计数原理证明二项式定分

理，会用二项式定理解决2023年上海卷：第10题，5项的系数以及各项系数和等问题，往往

与二项展开式有关的简单分以选择题或填空题的形式考查，难度中

问题2024年北京卷：第4题，4分

等，复习时需要加强这方面的练习，解

2024年天津卷：第11题，5

分题时要学会灵活求解.

2024年上海卷：第6题，5分

►知识梳理

【知识点1二项式定理】

1.二项式定理

般地，对于任意正整数"，都有

(a+b)"=C：an+C\an-lb+C^an-2b2+---+C^an-k/+…+Cfb".(*)

公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(。+6)"的二项展开式，其中各项的系数CA/e{0,1,2,

…叫做二项式系数，Gf/T〃叫做二项展开式的通项，用乙+1表示,即通项为展开式的第左+1项:

Tk+\=C「a-眇.

⑵二项展开式的规律

©二项展开式一共有(n+1)项

②(«+1)项按a的降幕b的升幕排列

③每一项中a和6的幕指数之和为n.

2.二项式系数的性质

对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即c;=c；r,M)

当左＜V时，二项式系数逐渐增大；当左〉十时，二项式系数逐渐减

增减性

小，因此二项式系数在中间取得最大值

当〃是偶数时，展开式的中间一项%+1的二项式系数C9最大；当力是奇数

最大值

时，展开式的中间两项马与&1+1的二项式系数c/,C干相等且最大

各二项式C+C：+C彳+…+C：=2"

系数的和C2+C：+C：H—=C：+C：+C：H—=2"T

【知识点2展开式中的通项问题】

1.求二项展开式的特定项的解题策略

求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；

求有理项时，指数为整数等)，解出项数什1,代回通项公式即可.

2.两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略

(1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解,

但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解.

(2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.

【知识点3二项式系数的和与各项系数的和问题】

1.赋值法

"赋值法"普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax+6)",(ax2+6x+cy"(a,6GR)的式子求其展

开式的各项系数之和，常用赋值法.

2.系数之和问题的解题策略

若[0）=即+°6+处/4------\-a„xn,则丸x）展开式中各项系数之和为人1）,奇数项之和为

恁+处+%+…=/⑴？㈠）,偶数项系数之和为0+/+四+…=/⑴/T）

3.展开式的逆用

根据所给式子的特点结合二项式展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定

理求解.

【知识点4二项式系数最大项问题】

1.二项式系数最大项的确定方法

nK

当〃为偶数时，展开式中第5+1项的二项式系数最大，最大值为C3当几为奇数时，展开式中第

〃+1

2

和第宁〃+项3的二项式系数开式中第最大，最大值为C—L或C—L.

【方法技巧与总结】

1.C：+聂+C：H—=C+C：+C：H—=2"T.

►举一反三

【题型1求二项展开式的特定项】

【例1】（2024•辽宁•模拟预测）（2x—后丫的展开式中的常数项为（）

A.112B.56C.-56D.-112

【变式1-1]（2024•辽宁锦州•模拟预测）二项式（口+左）12的展开式的常数项是（）

A55口55„55「55

A-百B.-yC.--D.y

【变式1-2]（2024•河南•模拟预测）已知（其中a>0）的展开式中的第7项为7,则展开式中的

有理项共有（）

A.6项B.5项C.4项D.3项

【变式1-3]（2024・河北廊坊•模拟预测）（x—|y（neN*）的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展

开式中的常数项为（）

A.-160B.-20C.20D.160

【题型2求二项展开式的特定项系数】

【例2】（2024•北京•模拟预测）在Q—2y户的展开式中，/项的系数为（）

A.-20B.20C.-40D.40

【变式2-1]（2023•福建泉州•模拟预测）6—y）1°的展开式中，/的系数等于（）

A.-45B.-10C.10D.45

【变式2-2]（2024•湖北武汉•模拟预测）（2久―行丫展开式中含专项的系数为（）

A.420B.-420C.560D.-560

【变式2-3]（23-24高二下•海南•期末）（楙一代）6的展开式中，/的系数为（）

,15„5„5615

A.7B,-C,-D.-

【题型3两个二项式之积问题】

【例3】（2024•山西长治•模拟预测）（x+2y）Q—丫户的展开式中好好的系数是（）

A.-10B.0C.10D.30

【变式3-1]（2024・西藏•模拟预测）在（?一£）（x+y）6的展开式中，尤2y4的系数为（）

A.-4B.4C.-8D.8

【变式3-2]（2024•吉林长春•模拟预测）（1+久+/）（1一乃1。的展开式中/的系数（）

A.28B.35C.36D.56

【变式3-3]（2024高三・全国•专题练习）已知（a久+l）（2x—1）7的展开式中好的系数为448,则该展开式

中久2的系数为（）

A.56B.-98C.106D.-112

【题型4三项展开式问题】

【例4】（2024•新疆喀什•三模）（/+久+1＞展开式中，炉的系数为（）

A.20B.30C.25D.40

【变式4-1]（2024•河北沧州•二模）在（％-2y+3z）6的展开式中，盯223项的系数为（）

A.6480B.2160C.60D.-2160

【变式4-2]（2024•新疆乌鲁木齐•一模）（久2—”+y）5的展开式中久5y2的系数为（）

A.-30B.-20C.20D.30

【变式4-3]（2024•全国•模拟预测）在（x+1—if的展开式中常数项为（）

A.721B.-61C.181D.-59

【题型5二项式系数和与系数和问题】

【例5】（2024•安徽阜阳•模拟预测）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（）

A.常数项为竽B.各项的系数和为64

C.第3项的二项式系数最大D.奇数项二项式系数和为一32

【变式5-1］（2024•四川乐山•三模）设（x+2024）（2x—1）2023=aQ+arx+a2X2+...+^^2024,则:十

^2,a3,。2024

22十23十…十22024)

A.1B.-1C.2024D.-2024

【变式5-2］（23-24高二上•福建漳州•阶段练习）多项式（ax+1＞的/项系数比炉项系数多35,则其各项

系数之和为（）

A.1B.243C.64D.0

45112

【变式5-3］（2024•广东江门•一模）已知（1+x）+（1+x）+…+（1+%）=%+的（2+x）+a2（2+x）

H—+ciii（2+K）n,则a。+ci2+a4"I—+的值是（）

A.680B.-680C.1360D.-1360

【题型6二项式系数的最值问题】

【例6】（2024・四川雅安•一模）（1—久）1°的展开式中，系数最小的项是（）

A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项

【变式6-1］（2024•江西南昌・三模）若（2/—3n的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式

中系数最大的是（）

A.第二项B.第三项C.第四项D.第五项

【变式6-2］（2024•辽宁丹东•二模）在（X—1）71的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，贝切=

（）

A.5B.6C.7D.8

【变式6-3］（23-24高三上•河南安阳•阶段练习）已知（«-|）"的展开式中只有第5项是二项式系数最大，

则该展开式中各项系数的最小值为（）

A.-448B.-1024C.-1792D.-5376

【题型7整除和余数问题】

71

【例7】（2024•黑龙江齐齐哈尔•一模）若+髭久2+...+喘久能被7整除，则x,n的一组值可能为

（）

A.x=4,n=6B.x=4,n=8

C.%=5,n=7D.%=6,n=9

2100

【变式7-1］（2024・湖南怀化•二模）若（2x+1）10°=劭+a1X+a2x+-+a100x,则2（的+a3+…+。99）

—3被8整除的余数为（）

A.4B.5C.6D.7

【变式7-2］（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深

的研究，对于两个整数。力，若它们除以正整数爪所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a三b

（modm）.若a=禺7义6+C孑7x6?+…+C衿x617,a三b（mod8）,贝Ub的值可以是（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

【变式7-3］（2024•贵州黔南•二模）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这

12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的（1314+1）年后是（）

A.虎年B.马年C.龙年D.羊年

【题型8近似计算问题】

【例8】（2024•湖南•二模）某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为3%,某人存入大额存款的元，

按照复利计算10年后得到的本利和为aio,下列各数中与詈最接近的是（）

A.1.31B.1.32C.1.33D.1.34

【变式8-1］（2024•安徽合肥•三模）某银行大额存款的年利率为3%,小张于2024年初存入大额存款10万

元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（）（单位：万元，结果保留一位小数）

A.12.6B.12.7C.12.8D.12.9

【变式8-2］（2024•北京西城•二模）某放射性物质的质量每年比前一年衰减5%,其初始质量为机0，10年

后的质量为加，则下列各数中与署最接近的是（）

m。

A.70%B.65%

C.60%D.55%

【变式8-3］（2024•江西南昌•一模）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克•牛顿提出.二项式定理可

以推广到任意实数次累，即广义二项式定理：

对于任意实数a,(1+X)a=1+^-X+吗＞•X2+•••+°『-1)•xk+…

当因比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：(1+%)a«1+a•%,并且因的值越小，所得

结果就越接近真实数据用这个方法计算通的近似值，可以这样操作：

诋="4+1=」4(1+；)=2'+3~2x(l+lxi)=2.25.

用这样的方法，估计画的近似值约为()

A.2.922B.2.926C.2.928D.2.930

【题型9证明组合恒等式】

【例9】(2024高三•全国•专题练习)〉(―1)4/C或二家=22气力.

【变式9-1](2024高三・全国・专题练习)求证：(C9n+J2—(C%+J2+(C猊+J2—(◎„+)+-+(—1卢+1

•(嚼=0.

2n

(--T=(―-

Zk=O

712n

【变式9-3](24-25高二•全国•课后作业)已知函数%(%)=(1+A%)=劭++a2x+•••+anx,其

中AER.

⑴若”=8,a7=1024,求心。=0,1,23…,8)的最大值;

CX

(2)若4=-1,求证：Qn^Vn-fcW=X.

【题型10二项式定理与数列求和】

mmim2m6

【例10］（2024•江西•模拟预测）设（2/―?）=aox°+arx+a2x4----1-a6x,则zn（）+7ni+ni2

H-----1-m6=（）

A.21B.64C.78D.156

2

【变式10-1］（23-24高二•全国•课后作业）已知（2—22刀EN）,展开式中％的系数为/（九），则而y+

o2o3O2019

7（3）+7（4）+........+3（2020）等于（）

，2019c2019—1009—1009

Aprn

1105051010505

【变式10-2］（2024•全国•模拟预测）设neN*,在数列｛an｝中，的=1,前n项和为%=2（即+1—1）.

（1）求Bn｝的通项公式.

（2）在等差数列｛6„｝中，儿二口口历二？。?，证明：>"（七•瓦）2迹竽巨.

【变式10-3】（2024•山东•模拟预测）设a,beZ,a力0.如果存在qeZ使得b=aq,那么就说b可被a整除

（或a整除6）,记做a|b且称b是a的倍数，a是b的约数（也可称为除数、因数）.b不能被a整除就记做

alb.由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若a|b,b\c,则a|c；@a,b互质，若a|c,b\c,则

ab\c；③若a|b”则a|>c也，其中6€21=1,2,3广一,加

j=i

（1）若数列｛a“｝满足，an=2『i,其前几项和为Sn,证明：279|S3OOO；

（2）若n为奇数，求证：陵+〃能被a+6整除；

n

丁2九-1,求证：尸（九,1）可整除尸（几女）.

Zr=l

【题型11杨辉三角】

【例11】（2024•河南新乡•三模）如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角

1

形中的£换成不期而得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（）

1

T

111

T6J

1j_j__1_1

520JO205

ii__________111__________1

B

A・应+阕;+i=gi)&+i-嬴+nQ+i=(7)CL

1]__________1__111

C(n+l)Q+(n+gi=nC"iD-0+1)4+(n+lE=nCL

【变式11-1】（2024•甘肃•模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式

中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（）

第0行(a+b)°1

第1行(a+6)i11

第2行(a+»2121

第3行(a+b)31331

第4行讲6)414641

第5行(“+6)515101051

第6行(a+b)61615201561

第7行(疗6)7172135352171

第8行(a+小18285670562881

A.第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数

B.第2023行中第1012个数和第1013个数相等

C.记“杨辉三角”第n行的第i个数为《，则〉（2J%i）=3n

D.第34行中第15个数与第16个数之比为2:3

【变式11-2]⑵-24高二下•山东荷泽•期末)在(1+x+%2)n=D°+D袅+D次2+...+叽/+•••+

/n-l+D朝久2n中，把球，叫,席喑称为三项式系数.

1

11

121

1331

14641

⑴当n=2时，写出三项式系数Dg,D%Di，可，D,的值;

（2）（a+6）%neN）的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当OWnW4,neN时，类似杨辉三

角形数阵表，请列出三项式的n次系数的数阵表；

(3)求口为16《016—02016^2016+02016^2016—02016^2016■…+D%算貂;的值(用组合数作答).

【变式11-3】（2025•四川内江•模拟预测）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是

杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为

杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式

右

左积

积

第

0行

行

第111

行

第2121

行

第31331

行

第44641

行

第55WW5

行

第66

152015

命

中

右

左

以

实

袤

袤

谦

藏

而

乃

乃

乘

者第行1cLci1……瑞.1

除

隅

积

商

皆

之

方

算

数第"行：弓•••：

廉1CC•••C2&T1

图1

图2

⑴求图2中第10行的各数之和；

（2）从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和；

（3）在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14?若存在，试求出这三个数；若不存

在，请说明理由.

►过关测试

一、单选题

1.（2024•江西•一模）弓+今（％—1）7的展开式中的常数项为（）

A.147B.-147C.63D.-63

2.（2024•河南•模拟预测）（2久+3，+（收一1）5的展开式中x的系数为（）

A.30B.40C.70D.80

3.（23-24高二下•云南丽江•阶段练习）在（1+x）6（l+54的展开式中，苴的系数为（）

A.200B.180C.150D.120

4.（2024•湖北•模拟预测）22。24被9除的余数为（）

A.1B.4C.5D.8

5.（2024•陕西西安•模拟预测）在。+1）（%+2）（%+m）（x+九）的展开式中，含%3的项的系数是7,则m+九=

A.1B.2C.3D.4

6.（2024•湖北•模拟预测）若（3«—3的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其

展开式中福的系数为（）

A.8B.28C.70D.252

320

7.（2024•广东佛山•模拟预测）已知a=1+G02+%22+C^02+…+C^2,则a被10除所得的余数为

（）

A.9B.3C.1D.0E.均不是

8.（23-24高二下•云南•期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式

系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论错误的是（）

杨辉三角

肯

0行

nt1行

启

2行11

i

3行121

LDs

闫1331

4行

14641

启

5行

,615101051

t行

n71615201561

ci行

Lr8172135352171

t.行

La918285670562881

-行

ci1193684126126843691

am

Lor1104512021025221012045101

JT1

ltf111551653304624623301655511I

A.1+=c§

B.第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数

C.第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为2:11

D.第2020行的第1010个数最大

二、多选题

9.（2024•山西临汾・三模）在（|—⑸-的展开式中（）

A.所有奇数项的二项式系数的和为128

B.二项式系数最大的项为第5项

C.有理项共有两项

D.所有项的系数的和为38

10.（2024•江苏•模拟预测）若（%2+、―2）1°=劭+。1汽+劭％2++•••+。20%2。，则（）

A.a。=1024B.臼=1