第35讲-利用传统方法解决立体几何中的角度与距离问题(解析版)

加QQ309000116进百度群内容2000G分成20多类自动更新永久服务第35讲利用传统方法解决立体几何中的角度与距离问题参考答案与试题解析一．解答题（共35小题）1．（2021•浙江模拟）如图，中，，，现将以为轴旋转，将点旋转至点，使得．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求与面所成角的正弦值．【解答】解：由题意可知，，故，（3分），，面，，面，（5分）面，，为等腰直角三角形，．（7分）取中点，连接，，由是以以为轴旋转而成，故，（9分），，所以面，过作交于，面，，面，（11分）即为与面所成角，（12分）而，．面．，，，，．（15分）2．（2021•南开区期中）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，．，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求平面与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求的长，若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：取中点，连接，则，，，均垂直于平面，所以，所以四边形是矩形，所以，所以，所以，所以，同理，又因，所以，于是，所以，因为，所以平面．（Ⅱ）解：因为平面，所以，，所以平面与平面所成角的平面角为，所以平面与平面所成角的正弦值为．（Ⅲ）解：假设线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，设成角为，，在上取点，使，连接，由（Ⅰ）知是平面的法线，设与成角为，则，因为，所以，所以有，整理得，解得或．所以线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，的长度为或．3．（2021•浙江模拟）已知多面体中，，均垂直于平面，，，，是的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取的中点，连结，，是的中位线，，且，，均垂直于平面，且，，且，四边形为平行四边形，即，平面，平面，平面．解：（Ⅱ）由，得平面，点到平面的距离等于点到平面的距离，在平面内过点作于点，平面，平面平面，平面，即就是到平面的距离，也就是点到平面的距离，设，则到平面的距离，，即直线与平面所成角的正弦值为．4．（2021春•湖北期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，是线段上的动点．（1）若是线段中点时，证明：平面；（2）若直线与底面所成角的正弦值为，且三棱锥的体积为，请确定点的位置，并说明理由．【解答】解：（1）连接交于，连接，底面是菱形，是中点，又是的中点，，且平面，平面，平面．（2）底面，为直线与底面所成的角，，，．又，，菱形中，，，底面，平面，平面底面，且它们的交线是，在底面内，过点作，垂足为点，则：平面，故点到平面的距离．故是线段上靠近点的三等分点．5．（2021•丹东二模）如图，在四棱锥中，底面四边形是菱形，点在线段上，平面．（1）证明：点为线段中点；（2）已知平面，，点到平面的距离为1，四棱锥的体积为，求．【解答】（1）证明：连接交于点，连接，平面，平面，平面平面，，底面是菱形，是的中点，是的中点．（2）平面，，由（1）可知，，又平面是菱形，，平面，平面，故到平面的距离等于到平面的距离，即，又，，是等边三角形，故，，，．6．（2021•嵊州市二模）如图，已知四棱锥，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点．证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取中点，连接，，，，又为的中位线，．设，则，，，，得，故．又，平面，得；（Ⅱ）解：平面平面，且平面平面，平面，，平面，三棱锥的体积．取的中点，连接，，，又由平面，知，而，平面，故．，，，则．设到平面的距离为，则由，知，即．又，直线与平面所成角的正弦值为．7．（2021•邢台月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形．（1）证明：平面平面．（2）求直线与平面所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为平面平面且相交于，，又平面，所以平面，所以．又因为，，所以平面．因为平面，所以平面平面，（2）解：取的中点，连接，，因为，所以，又因为平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以．如图，建立空间直角坐标系，由题意得，，1，，，，，，，，0，，所以，，．设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以．所以，则直线与平面所成角的正弦值为．8．（2021•台州期末）如图，在四棱锥中，，是以为斜边的等腰直角三角形，底面为直角梯形，，，，为线段的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的大小．【解答】解：（1）证明：由底面为直角梯形，得，又由，为线段中点，得，所以四边形为平行四边形，则．又平面，平面，故平面．（2）由已知，，所以二面角的平面角为，由，，，得是等边三角形，故，所以的大小为．9．（2021春•上虞区期末）如图，四棱锥中，，是以为底的等腰直角三角形，，为中点，且．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）过作垂线，垂足为，则为中点，，则有得，．又，平面，平面平面；（Ⅱ），到平面距离等于到平面距离．过作垂线，垂足为，在中，过作垂线，垂足为，可证得：平面．由，，，求得：，从而，即直线与平面所成角的正弦值为．10．（2021•浙江月考）如图，在三棱台中，平面平面，，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：设，则，，在中，由余弦定理知，，，解得，，即，又平面平面，平面平面，平面，平面，平面，．（Ⅱ）解：由三棱台的性质知，，故直线与平面所成角即为直线与平面所成角．由（Ⅰ）知，平面，即为所求．，，，在中，由余弦定理知，，，在中，．故直线与平面所成角的正弦值为．11．（2021•杭州期中）如图，三棱台中，，，四边形为等腰梯形，，平面平面．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【解答】（1）证明：延长、、交于点，四边形为等腰梯形，，，即，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，．（2）解：由，可知为的中点，设，则，，由（1）知，，，即，，、平面，平面，，，，过点作于点，平面，平面，，又，、平面，平面，，由（1）知，平面，，，即，，为的中点，到平面的距离，直线与平面所成角的正弦值为．12．（2021•沙坪坝区校级期中）如图，棱长为2的正方体中，已知点，，分别是棱，，的中点．（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求异面直线和所成角的余弦值．【解答】解：（1）连接，可得为异面直线与所成角，连接，可知为等边三角形，则，即异面直线与所成角的大小为；（2）连接，则为异面直线和所成角，由正方体的棱长为2．可得，，．异面直线和所成角的余弦值为．13．（2021春•杨浦区期中）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱、的中点．（1）求异面直线与所成角的大小；（2）连接，与交于点，点在线段上移动．求证与保持垂直；（3）已知点是直线上一点，过直线和点的平面交平面于直线，试根据点的不同位置，判断直线与直线的位置关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）如图所示，连接，，可得为等边三角形．，异面直线与所成角为，大小为．（2）由正方体的性质可得：平面，又平面，，又，．（3）过直线和点的平面交平面于直线，，，，直线与直线不可能平行．当三点，，共线时，，此时直线与直线相交，点为直线上其它点时，直线与直线为异面直线．14．（2013•温州一模）如图，已知平面与直线均垂直于所在平面，且，（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若平面，求与平面所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：过点作于点，平面平面，平面．又平面，，又平面，平面，平面．（Ⅱ）平面，，又，，，．点是的中点，连接，则．平面，，．四边形是矩形．设，则，．又，，平面，从而平面平面，过作于点，则平面．是与平面所成的角．在中，，则，．．与平面所成角的正弦值为．15．（2021•湖南校级模拟）如图，已知平面与直线均垂直于所在平面，且．（1）求证：平面；（2）若平面，求二面角的钝二面角的余弦值．【解答】解：证明：过点作于点，平面平面，平面，又平面，，又平面，平面，平面．（Ⅱ）方法一：平面，，又，，，．点是的中点，连接，则，平面，，，四边形是矩形．设，，，．过作于点，，，取中点，连接，取的中点，连接，，，．，，．为二面角的平面角．连接，则．又，．即二面角的余弦值为．16．（2013春•天心区校级月考）在空间几何体中，平面，平面平面，，．（1）求证：平面；（2）若平面，试比较三棱锥与的体积的大小，并说明理由．【解答】证明：（1）如图，取中点，连，由得，平面平面，平面，又平面，，又平面，平面．（2）解：连接，则．平面平面，面面，平面．又平面，．又由（1）知，四边形是矩形，证明：（1）如图，取中点，连，由得，平面平面，平面，又平面，，又平面，平面．（2）连接，则．平面平面，面面，平面．又平面，．又由（1）知，四边形是矩形，，．，而，则．，．，而，则．17．（2015•红桥区二模）如图，已知平面，平面，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：平面，平面，平面，平面，，，又平面（4分）（Ⅱ）平面，，已知．平面，，，可得取的中点，连接，，则，为二面角的平面角，，故二面角的正弦值分18．（2021•通州区一模）如图所示的几何体中，平面平面，是直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，，．求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：，，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面．（Ⅱ）证明：，，平面平面，是直角三角形，四边形是直角梯形，，，平面，，，，，，平面．（Ⅲ）解：存在．由（Ⅱ）可知平面；作，交于，可知，，所以平面，平面，．，，，．19．如图，已知矩形所在平面外一点，平面，、、分别是、、的中点，，（1）求证：平面；（2）求证，，且；（3）求直线与所成的角；（4）求直线与平面所成的角；（5）求平面与平面所成的角．【解答】解：（1）证明：取中点，连，则平行且等于，又平行且等于，为中点，平行且等于为平行四边形，从而，又平面，平面，平面（2），，在平面内，在平面内面又平面，；，是中点，，且；且，，且；（3）取的中点，连接，，则，则与所成的角就是与所成的角，则，，，，则，则为正三角形，则，即直线与所成的角为．（4）由（2）知平面，则是在平面上的射影，则为直线与平面所成的角，，，即直线与平面所成的角为．（5）过作平面，则是平面与平面所成的角，同时也是平面与平面所成的角，，平面与平面所成的角是．20．（2021•五华区校级模拟）如图所示的几何体中，正方形所在平面垂直于平面，四边形为平行四边形，为上一点，且平面，．（1）求证：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求直线与平面所成角的正切值．【解答】（1）证明：因为平面平面，平面平面，四边形为正方形，即，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）解：，求三棱锥体积的最大值，只需求的最大值．令，，由（1）知，所以，当且仅当，即时，．因为四边形为平行四边形，所以，因为平面，所以直线与平面所成角的正切值为．．21．如图，已知点是三角形所在平面外一点，且，截面分别平行于，（点，，，分在棱，，，上）（1）求证：四边形是平行四边形且周长为定值；（2）设与所成角为，求四边形的面积的最大值．【解答】（1）证明：平面，平面，平面平面．同理可得，可得，同理得到，四边形中，两组对边分别平行，因此，四边形为平行四边形．空间四边形被一平面所截，截面是平行四边形．且，①，②，则①②得，，，四边形的周长，故四边形的周长为定值．与所成角为，平行四边形中或，可得截面的面积，设，则，，同理可得，且，则，当且仅当等号成立，由此可得：当为的中点时，截面的面积最大，最大值为．22．（2021•浙江模拟）如图，在四棱锥中，，．．是的重心，底面．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：过点作于，交于，底面，底面，，又，、平面，平面，平面，，，，即为的中点，，，且和在同一平面，，为的中点，是的重心，、、三点共线，，又平面，平面，平面．（Ⅱ）解：连接，，．，，，，而，四边形为菱形，，，，，，，设到的距离为，则，，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为．23．（2021春•浙江期末）如图．在四棱锥中，，，平面，且，，，、分别为棱，的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：因为，分别为，的中点，所以，又因为，所以．从而，，，四点共面，因为平面，平面．所以，又因为，，所以平面，从而，因为，且为的中点，所以，又因为，所以平面．（2）如图，连结；由（1）知平面，所以为直线在平面内的射影，且，所以即为直线与平面所成的角，在直角梯形内，过作于，则四边形为矩形，，，在中，，所以，，在中，，，，所以．24．（2021•全国模拟）如图，在四棱锥中，，，平面，，为上的动点．（Ⅰ）当为的中点时，在棱上是否存在点，使得平面？说明理由；（Ⅱ）的面积最小时，求三棱锥的体积．【解答】解：（Ⅰ）当为中点时，平面．证明如下：取的中点，连接，，分别为，中点，，又，，又平面，平面，平面；（Ⅱ）由平面，平面，知，又，，平面，又平面，，为直角三角形．当时的面积最小．在底面直角梯形中，由，，得，．在中，由，，可得，．则，．．25．（2021•浙江模拟）如图，已知三棱锥中，平面平面，，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值．【解答】解法一：（1）取的中点，的中点，连，，．，，又，是的中点，，，又，，又面面且二平面交于，面，．又，面，．（2）由①知面，面面且交于，过作垂足为，即是到面的距离，，，又是的中点，到面的距离，与面所成角的正弦值为．解法二：（1）取的中点，连、，，，，又面面且交于．面，，，，又，，，，，，面，．（2）过作交其延长线于，面面且交于，面，连可得，又，，，，，又，，，，，令到面的距离为，则，，与面所成角的正弦值为．解法三：（1）取的中点，建立如图所示的坐标系，由已知可得，，，，，（2）由（1）可知，设面的法向量为，则，令，则，，，与面所成角的正弦值为．26．如图所示，已知三棱锥中，，，，为的中点，且是正三角形，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值．（3）若为的中点，求三棱锥的体积．【解答】（1）证明：是正三角形，为的中点，为直角三角形，且，，，，平面，平面，，，，，平面，平面，平面平面．（2）解：取的中点，连接，则，即，作于，则为的中点，为二面角的平面角．，，，，，，，，，由余弦定理可得，二面角的正弦值为．（3）解：中，为的中点，为的中点，，平面，平面，平面，平面，平面，，，．27．（2021秋•荔湾区校级期末）如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，且．（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接，交于点，设中点为，连接，．，分别为，的中点，，且，，且，，且，四边形为平行四边形，，即，平面，平面，，是菱形，．，平面，，平面，平面，平面平面．（2）因为直线与平面所成角为，所以，所以，所以，故为等边三角形，设的中点为，连接，则，设点到平面的距离为，点到平面的距离为，则由，得因为面，面，所以，又，，面；因为，平面，面，所以面，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，即，因为，，所以，又，代入得，所以，所以与平面所成角的正弦值为．28．（2021•澄海区校级月考）已知四棱锥中，平面，且，底面是边长为的菱形，．（1）求证：平面平面；（2）设与交于点，为中点，若二面角的正切值是，求的值．【解答】（1）证明：因为平面，平面，则，因为为菱形，则，又因为，则平面，又平面，故平面平面；（2）解：过点作，交于点，连接，因为平面，则由三垂线定理可得，所以是二面角的平面角，又，，，且，所以，则，所以，故．29．（2021•温州模拟）在四棱锥中，，，，底面是梯形，，，，．求证：；求直线与平面所成角的大小．【解答】证明：取的中点，连接，，则，，，平面．平面，，，，平面，平面，；解：由题意，．设到平面的距离为，则由等体积可得，直线与平面所成角的正弦值为，大小为．30．（2015秋•临海市校级月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．（1）证明：平面；（2）求二面角的正切值．【解答】（1）证明：在直角梯形中，由，，得，由，得，即，又平面平面，从而平面，所以，又，从而平面；（2）解：作，与交于点，，与交于点，连接，由（1）知，所以就是二面角的平面角，在直角梯形中，由，得，又平面平面，得平面，从而，由于平面，得．在中，由，，得；在中，由，，得，，，所以二面角的正切值为．31．（2014•滨州一模）在四棱锥中，平面，，，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若二面角的大小为，求的值．【解答】（Ⅰ）证明：设为与的交点，作于点，由四边形是等腰梯形，得，，，，，，由平面，得，又，平面．（Ⅱ）解：作于点，连接，由（Ⅰ）知平面，，平面，从而得到，，是二面角的平面角，二面角的大小为，，由，，得，同理，得，，设，则，在中，由，得，在中，由，得，解得，即．32．（2021•义乌市模拟）如图1，平行四边形中，，在的延长线上取一点，使得；现将沿翻折到图2中△的位置，使得．（