专题10-分式与分式方程压轴题真题(解析版)-初中数学七年级上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)

专题10分式与分式方程压轴题真题-高分必刷题（原卷版）专题简介：本份资料包含《分式与分式方程》这一章在各次月考、期末中的主流压轴题，所选题目源自各名校月考、期末试题中的典型考题，本专题资料适合于培训机构的老师培养尖子生时使用或者学生想挑战高分时刷题使用。题型一：分式方程的无解问题1.（长郡）（1）若关于的方程无解，求的值；（2）若n是自然数，关于x的分式方程的解为，且，求的值。【解答】解：（1）去分母，得：x+3+k（x﹣3）＝3+k，即（1+k）x＝4k，∴k＝﹣1时，方程无解，∵分式方程无解，即x2﹣9＝0，解得：x＝3或x＝﹣3，当x＝3时，3+3+0＝3+k，解得：k＝3；当x＝﹣3时，﹣3+3﹣6k＝3+k，解得：k＝﹣．去分母，得：(x+n)(2-x)+n(x+2)=(x+2)(2-x)，∴x=2-2n，∵方程的解为t，解不为増根，最简公分母(x+2)(2-x)≠0，∴x≠-2且x≠2，∴2-2n≠-2，得n≠2且2-2n≠2得n≠0，2-2n=t，，∴t≥0，∴2-2n≥0，∴n≤1，n为自然数，∴n=0（舍）或n=1，当n=1时，t=2-2n=0，(t+1)-n=(0+1)-1=1综上，原式的值为1．2.（中雅）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且）则称点为点的“系雅培点”。例如：的“3系雅培点”为，即。（1）点的“2系雅培点”的坐标为；（2）若点在轴的正半轴上，点的“系雅培点”为点，若在△中，，求的值；（3）已知点在第四象限，且满足。点是点的“系雅培点”，若分式方程无解，求的值。【解答】解：（1）点P（6，1）的“2系雅培点”P′的坐标为（6+2×1，1+），即点P′（8，4），故答案为（8，4）；（2）设点P（0，m）（m＞0），同理可得：点P′（km，m），则PP′＝|km|＝2OP＝2m，解得：k＝±2；（3）点A是点B（m，n）的“﹣3系雅培点”，同理可得：点A（m﹣3n，n﹣m），∵xy＝﹣12，故（m﹣3n）（n﹣m）＝﹣12，即（m﹣3n）2＝36，∵点A（x，y）在第四象限，故m﹣3n＞0，∴m﹣3n＝6，解分式方程＝1得：x＝，①当c＝﹣4时，方程无解；②当x＝＝3时，方程无解，即c+4＝（4m﹣12n﹣6）＝×（24﹣6）＝6，解得c＝2，综上，c＝2或﹣4．3．（师大）已知，关于x的分式方程．（1）当a＝1，b＝0时，求分式方程的解；（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程无解；（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值．【解答】解：（1）把a＝1，b＝0代入分式方程＝1中，得﹣＝1，方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），（x﹣5）+x（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），x﹣5+2x2+3x＝2x2﹣7x﹣15，x＝﹣，检验：把x＝﹣代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x＝﹣．答：分式方程的解是x＝﹣．（2）把a＝1代入分式方程＝1得﹣＝1方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，（11﹣2b）x＝3b﹣10①当11﹣2b＝0时，即b＝，方程无解；②当11﹣2b≠0时，x＝x＝时，分式方程无解，即＝﹣，b不存在；x＝5时，分式方程无解，即＝5，b＝5．综上所述，b＝或b＝5时，分式方程＝1无解．（3）把a＝3b代入分式方程＝1，得：，方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），整理得：（10+b）x＝18b﹣15，∴x＝，∵＝＝18﹣，且b为正整数，x为整数，∴10+b必为195的因数，10+b≥11，∵195＝3×5×13，∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，但1、3、5小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数．对应地，方程的解x为3、5、13、15、17，由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去．对应地，b只可以取3、29、55、185，所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．题型二：分式的分子有理化类压轴题4.（青竹湖）阅读下列材料：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.

如：、这样的分式就是假分式，再如：、这样的分式就是真分式，类似地，假分式也可以化为带分式.如：.

解决下列问题：分式是（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式的形式；（2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值；（3）求分式的最值。

【解答】解：（1）分式是真分式；＝＝1﹣；（2）＝＝1+，x﹣1＝﹣6，解得x＝﹣5；x﹣1＝﹣3，解得x＝﹣2；x﹣1＝﹣2，解得x＝﹣1；x﹣1＝﹣1，解得x＝0；x﹣1＝1，解得x＝2；x﹣1＝2，解得x＝3；x﹣1＝3，解得x＝4；x﹣1＝6，解得x＝7．故满足条件的整数x的值为﹣5，﹣2，﹣1，0，2，3，4，7；（3）＝＝6﹣，故当x＝﹣时，分式的最小值为6﹣＝﹣．故答案为：真分式；1﹣．5.（一中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数.如：.我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”。如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式.类似地，假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式).如：；解决下列问题：（1）分式是________分式(填“真”或“假”)；（2）将假分式化为带分式；（3）如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值.【解答】解：（1）由题意得：分式是真分式，故答案为：真；（2）＝＝＝x﹣2+；（3）原式＝＝＝＝2（x﹣1）+，由于分式的值为整数，故x+1＝±1或±5，∴x＝0或﹣2或4或﹣6．∵x是整数，∴x＝0或﹣2或4或﹣6．6.（广益）阅读与应用：我们知道，即，所以我们可以得到，（当且仅当）类比学习：若和为实数且，则必有，当且仅当时取等号；其证明如下：，，（当且仅当时，有）例如：求的最小值，即，此时当且仅当时，即时，的最小值为.（1）阅读上面材料，当时，则代数式的最小值为.（2）求的最小值，并求出当取最小值时，的值.（3）若，求代数式的最大值，并求出此时的值.【解答】解：（1）∵a+≥2＝4，∴当a＝2时，则代数式a+（a＞0）的最小值为4；故答案为：2，4；（2）当y＝＝＝（m+1）+，∵y≥2＝8有最小值，∴m+1≥，∴当m＝3时，y取得最小值8；（3）∵0≤x≤4，∴2x+（8﹣2x）≥2，∴≤4，∴≤2，∴最大值2．7.（郡维）我们学过单项式验以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们可以用整式进行演算，即先把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐，再类似数的整式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数。这个过程暂且称之为“大除法”例如计算由过程得：∴（1）类似小学学过的：，我们有类似的结论：被除式（2）请你用竖式计算：（3）己知，求多项式（4）若取整数，则使分式的值为整数，则（5）求分式的取值范围【解答】解：（1）=除式×商式+余式；（2）；（3）2018；（4）0；（5）.题型三：其它压轴题8.（青竹湖）湘一“追逐梦想”数学兴趣小组编了一个“诗·远方”的计算程序，规定：输入数据，时，若输出的是代数式称为“诗”，若输出的是等式称为“远方”.回答下列问题：（1）当输入正整数，时，得到“远方”和“诗”，若“远方”为，求证“诗”：是完全平方式.（温馨提示：对于一个整式，如果存在另一个整式，使的条件，则称是完全平方式，比如，是完全平方式）（2）当输入，时，求“远方”：的，的正整数解.（3）若正数，互为倒数，求“诗”：的最小值。【解答】解：2y＝x2﹣1代入2（x+y+1），得2（x+y+1）＝2x+2y+2＝2x+x2﹣1+2＝x2+2x+1＝（x+1）2为完全平方式．（2）∵x（x﹣1）+xy+y＝51，∴x2﹣x﹣2+xy+y＝49，（x+1）（x﹣2）+y（x+1）＝49，（x+1）（x+y﹣2）＝49，∵x，y都是正整数，∴或或解得或（舍去）或（舍去），∴x，y的正整数解为6和3；（3）∵正数x，y互为倒数，∴xy＝1，S＝＝＝1﹣，当x+2y取最小值时，S有最小值，∵x+2y≥2＝2，即x＝，y＝，S＝1﹣＝1+2﹣3＝2﹣2．答：“诗S”：S＝的最小值为2﹣2．9.（雅礼）对，定义一种新运算，规定：(其中、均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：.(1)已知，.①求，的值；②若关于的不等式组无解，求实数的取值范围.(2)若对任意实数，都成立(这里和均有意义)则，应满足怎样的关系式？【解答】解：（1）①根据题意得，，∴；②根据题意得，无解，化简不等式组得无解，∴，∴；（2）∵R（x，y）＝R（y，x），∴，∴axy+2ax2+by2+2bxy＝axy+2ay2+bx2+2bxy，∴2ax2﹣bx2+by2﹣2ay2＝0，（2a﹣b）x2﹣（2a﹣b）y2＝0，（2a﹣b）（x2﹣y2）＝0，∵R（x，y）＝R（y，x）对任意实数x，y都成立（这里R（x，y）和R（y，x）均有意义），∴（2a﹣b）（x2﹣y2）＝0对任意实数x，y都成立，∴2a﹣b＝0，∴b＝2a．10.（雅实）阅读：对于两个不等的非零实数、，若分式的值为零，则或.又因为，所以关于的方程有两个解，分别为，.应用上面的结论解答下列问题：（1）方程的两个解分别为，，则_________，_________；（2）方程的两个解中较大的一个为；（3）关于x的方程的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），则x1＝，x2＝．【解答】解：（1）由已知可得：p＝﹣1×4＝﹣4；q＝﹣1+4＝3；故答案为：﹣4；3；（2）∵ab＝3，a+b＝4，∴这两个数为：3和1，∴两解中较大的一个为3；故答案为：3；（3）∵，∴2x﹣1+＝（n+2）+（n﹣1），∴2x﹣1＝n+2或2x﹣1＝n﹣1，∵x1＜x2，∴x1＝，x2＝，故答案为：；．11.（青竹湖）若多项式与都是常数，，满足，则称这两个多项式为“湘一相依”多项式.⑴填空：写出“湘一相依”多项式为 ；分解因式为. ⑵求证：若，多项式与多项式互为“湘一相依”多项式；⑶正数m，n满足多项式与，并且将，若两多