数列与不等式（2021-2022年高考真题）（解析版）-高考数学备考复习重点资料归纳

第5讲数列与不等式

一、单选题

1.（2022•全国•高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相

邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中

。。1，。68练例是举，。外。小宾,网是相等的步，相邻桁的举步之比分别为

豪二05亢士=心右1=黄=&.已知收成公差为0.1的等差数列，且直线OA的

C//>|/>C|CrJjt5/\

斜率为0.725,则收=（）

【答案】D

【解析】

【分析】

设0口=。&=。4=%=1,则可得关于网的方程，求出其解后可得正确的选项.

【详解】

设OD、=DC、=CB、=BA,=1,则CG=匕,8同=&,

他+CG+网+A4,

依题意，有勺—0.2=占,%-01=&，且=0.725.

OD[+OC[+CB]+BA^

所以0.5+3?-0.3=0725,故&=0.9,

4

故选：D

2.（2022•全国•高考真题（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为

我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用

]

14=1+

到数列也｝:4="；，"一"二«+'T，…，依此类推，其中

a\ula,+—

%

akeN*(^=l,2,••).则()

A.b、〈bsB.b'VbgC.4Vb2D.bA<b?

【答案】D

【解析】

【分析】

根据《£N•伙=1,2,…)，再利用数列也｝与4的关系判断出｝中各项的大小，即可求解.

【详解】

解:因为％eN,信=12…),

,11

1>

所以四〈。|+—，«)“*_L，得到a>〃2，

%ul十

a2

11

(x[+—>a+.“

同理4°+_L，可得与<4，4

%

1111

->----------j—，%+--------「<。]+-------j—

又因为“a2+.........-a24--a2+-----「，

%+—%%+一

&4

故％<4，/>〃；

以此类推，可得〃>/>/>">…，">"，故A错误；

4>">々，故B错误；

11

屋,i

2%+「，得4<4,故c错误；

%+…一

%

11

%+----------j->%+--------------j-

。2+--------pa?+…--------1，得故D正确.

%+—4+—

4%

故选：D.

3.(2022,全国•高考真题(文))已知等比数列｛q｝的前3项和为168,，-4=42,则4=()

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

设等比数列｛q｝的公比为4国工0,易得4/1，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列

的通项即可得解.

【详解】

解：设等比数列｛叫的公比为夕,#0,

若q=l,则/-。5=0,与题意矛盾,

所以"1,

4(1一XO%=96

则卜+/+%=F-=l68,解得

1

q=a

&-%=。闻-4g$=42

所以%=a4=3.

故选：D.

4.（2021・北京•高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党

党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长

%生吗，4M5（单位:cm）成等差数列，对应的宽为么也也也也（单位:cm）,且长与宽之比都相

等，已知4=288,6=96,4=192,则&=

A.64B.96C.128D.160

【答案】C

【解析】

【分析】

设等差数列｛4｝公差为d,求得d=Y8,得到%=192,结合党旗长与宽之比都相等和自二192,

列出方程，即可求解.

【详解】

由题意，五种规格党旗的长4,%，%，4，%（单位:cm）成等差数列，设公差为d,

因为q=288,%=96,可得d=&二£!■=史二"§=-48,

5—13

可得%=288+（3-1）x（-48）=192,

又由长与宽之比都相等，且4=吟可得?=务所以生=*詈=128.

b、byq2oo

故选：c.

5.（2021・北京•高考真题）已知｛q｝是各项均为整数的递增数列，且423,若

q+4+■••+4=100,则〃的最大值为（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】

【分析】

使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得〃可能的最大值，然后

构造数列满足条件，即得到〃的最大值.

【详解】

若要使〃尽可能的大，则%,递增幅度要尽可能小，

不妨设数列｛4｝是首项为3,公差为1的等差数列，其前〃项和为§,•

334

则=--XI2=I02>100,

2

所以〃411.

对于q=〃+2,SH=x11=K8<1007

取数列｛4｝各项为2=〃+2（〃=1,2,…10）,旬=25,

贝q+4+…+qi=100,

所以〃的最大值为11.

故选：C.

6.（2021•全国•高考真题（文））记S”为等比数列｛〃"｝的前"项和.若S：=4,S4=6,则§6=

（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题目条件可得邑，S「S”§6-S,成等比数列，从而求出S6-S4=l,进一步求出答案.

【详解】

团S.为等比数列｛4｝的前〃项和，

团邑，S4-S2,成等比数列

0S2=4,S4-S2=6-4=2

□S6-S4=1,

0S6=l+S4=1+6=7.

故选：A.

7.（2021•全国•高考真题（理））等比数列｛《,｝的公比为小前.〃项和为S”，设甲：<7>0,

乙：⑸｝是递增数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

当4>0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当｛S.｝是递增数列时，必有4>0成立

即可说明4>0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案.

【详解】

由题，当数列为-2,-4,-8,•时，满足“0,

但是｛S“｝不是递增数列，所以甲天是乙的充分条件.

若｛S.｝是递增数列，则必有对>0成立，若夕>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛

盾的，则q>0成立，所以甲是乙的必要条件.

故选：B.

【点睛】

在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证

明过程.

8.（2022•上海•高考真题）已知a>b>c>d,下列选项中正确的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b+d

C.ad>bcD.ac>bd

【答案】B

【解析】

【分析】

用不等式的基本性质得解.

【详解】

Q3>2>1>0,但3+0=2+1,3x0<2xl,A、C错

Qa>b>c>d,:.a>c,b>d,所以a+c>b+d.B正确.

Q30>2>-l>-2,但30x（-l）v2x（—2）,D错.

故选:B.

9.（2021•全国•高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（）

A.y=x2+2x+4B.y=|sinx|4-

」|sinx\

4

C.y=2x+22~xD.y=lnx+—

\nx

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等"，即可

得出员。不符合题意，C符合题意.

【详解】

对于A,y=x2+2x+4=(x+l)2+3>3,当且仅当x=-l时取等号，所以其最小值为3,A

不符合题意；

对于B,因为Ov卜而a41,丁二卜山H+品224=4,当且仅当卜inx|=2时取等号，等号

取不到，所以其最小值不为4,B不符合题意；

对于C,因为函数定义域为R,而2*>0,y=2'+22T=2'+2224=4,当且仅当2，=2,

即”=1时取等号，所以其最小值为4,C符合题意；

对于D,y=lnx+--,函数定义域为(0,1)(l,+oo),而InxtR且IniwO,如当lnx=-l,

inx

1t,D不符合题意.

故选：C.

【点睛】

本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确"一正二定三相等”的意义，再结合有关函

数的性质即可解出.

二、多选题

10.(2021•全国•高考真题)设正整数〃=%2°+q・2++%・犷+4",其中q.0,1},

记<y(〃)=%+q++%.则()

A.co(2n)=ty(n)B.勿(2〃+3)=G(〃)+1

C.&(8〃+5)=研4〃+3)D.0(2"-1)=拉

【答案】ACD

【解析】

【分析】

利用啰(〃)的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.

【详解】

+,

对于A选项，=%+a[+,2n=4,2,+4•2?+,,+4T-2*+ak,2*,

所以，。(2〃)=4+4+.•+q=s(〃)，A选项正确；

对于B选项,取〃=2,2n+3=7=l-20+l-2,+l-2\/.tw(7)=3,

而2=0.2。+12,则奴2)=1,即。⑺工&(2)+1,B选项错误；

k+324k+3

对于C选项，8〃+5=4"+勺24+..+ak2+5=V2°+l-2+a()-2^ai2+^+ar2f

所以，矶8〃+5)=2+/+4+.+4,

23+223

4n+3=a0-2+a1-2+-+at-2*4-3=1-20+1-2'+a0-2+a,-2+

所以，。（4〃+3）=2+/+4++4，因此，口（8〃+5）=。（4〃+3）,C选项正确:

对于D选项，2〃—l=20+2"..+2f故"2"-1）=%D选项正确.

故选：ACD.

11.（2022•全国•高考真题）若x,y满足f+/一盯=i,则（）

A.x+y<\B.x+y^-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假.

【详解】

因为7（a,b\R）,由f+）/一个=]可变形为，

=,解得_24x+），K2,当且仅当x=y=-l时，x+y=-2,当

且仅当％=y=l时，x+y=2,所以A错误，B正确；

22

由丁+/_孙=1可变形为（42+）,2）-1=即w上半解得/+）,2<2,当且仅当x=y=±l

时取等号，所以C正确；

因为Y+V-盯=1变形可得h-1J+（y2=i,设x_]=8sa母y=sin6,所以

12

x=cos^4--7=sin0,y=—f=sinO,因此

x2+y2=cos2^+-sin2^+-?=rsin6cos^=l+-Usin2^--cos2^+-

3G633

所以当X=字尸当时满足等式’但是—』不成立,

所以D错误.

故选：BC.

三、双空题

12.（2021•全国•高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条

对称轴把纸对折，规格为20dmxl2dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dmxl2dm,

20dmx6dm两种规格的图形，它优的面积之和S=240dn?,对折2次共可以得到5dmx12dm,

10dmx6dm,20dmx3dm三种规格的图形，它们的面积之和S?=IBOdm2,以此类推，则对

折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折〃次，那么'工=dm2.

k=\

■公士■--八15（3+〃）

【答案】5720--

2"T

【解析】

【分析】

（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得S“，再根据错位相减法得结果.

【详解】

（1）由对折2次共可以得到5dllix12dm,lOdmx6dm,20dmx3dm三种规格的图形,所以

对着三次的结果有：|x12,5x6,10x3；20x^,共4种不同规格（单位dm）；

故对折4次可得到如下规格：料52,|5x6,5x3,10x（320x33,共5种不同规格；

（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格

如何，其面积成公比为；的等比数列，首项为120（dn?）,第〃次对折后的图形面枳为

120x（1]“',对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为

〃+1种（证明从略），故得猜想£=空绊

120x2120x3120x4+L+^11

设S=,0+0I/)2

120x2120x3120/!1205+1)

呜s=---；—+——：—+

两式作差得:

京=240+120&+泉+…+击卜坐少

=360-耳型回120(n+3)

2〃一2”~—

240(/1+3)八15(n+3)

因此，5=720-———^=720-

2"2“一4

故答案为：5；720」5；二3）

【点睛】

方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

（2）对于｛。也｝结构，其中｛4｝是等差数列，低｝是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于｛4+〃｝结构，利用分组求和法；

（4）对于，一!一；结构，其中血｝是等差数列，公差为d（dHO）,则」—=W--L

利用裂项相消法求和.

四、填空题

13.（2022•全国•高考真题（文））记S”为等差数列｛4｝的前〃项和.若2s3=3S2+6,则公

差1=.

【答案】2

【解析】

【分析】

转化条件为2（4+2J）=2q+d+6.即可得解.

【详解】

由2邑=35,+6可得2（4+4+々3）=3（4+0,）+6,化简得2a3=4+a2+6,

即2（4+"）=%+"6,解得d=2.

故答案为：2.

14.（2022•上海•高考真题）不等式?<0的解集为

【答案】｛x|O<x<1｝

【解析】

【分析】

根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.

【详解】

x-l<0[x-l>0

—<0=>或Wx<°,解第一个不等式组，得。。6第二个不等式组的解集

xx>0

为空集.

故答案为：卜|0<“<1｝

【点睛】

本题考查了分式不等式的解集，考查了数学运算能力，属于基础题.

15.(2021・天津•高考真题)若则上+於■+0的最小值为___________.

a3

【答案】2&

【解析】

【分析】

两次利用基本不等式即可求出.

【详解】

«>0,b>0f

/此2保+力=,此2即=2&，

当且仅当』=二且?=6,即〃=b=及时等号成立，

aob

所以6的最小值为2尤.

故答案为：2vL

五、解答题

16.(2022•全国福考真题)已知｛《,｝为等差数列，｛2｝是公比为2的等比数列，且

a2-b2=a3-b3=b4-a4.

⑴证明：4=么；

⑵求集合招4=4+4」《加工500｝中元素个数.

【答案】⑴证明见解析；

(2)9.

【解析】

【分析】

(1)设数列｛4｝的公差为d,根据题意列出方程组即可证出；

(2)根据题意化简可得帆=2g,即可解出.

(1)

/、q+d—2Z>]=4+2d-4bt/

设数列｛叫的公差为〃，所以,(个办即可解得，方所以

248V34,

原命题得证.

(2)

[tl（1）知，b\=%=g,所以“=q”+4u>4x2"T=4-l）d+4,即2i=2m,亦即

2

/W=2*-e[1,500],解得24410,所以满足等式的解2=2,3,4,-IO,故集合

｛k\bk=tim+a1,l<m<500｝中的元素个数为10-2+1=9.

17.（2022•全国•高考真题）记S.为数列｛可｝的前〃项和，已知4=1,｛斗是公差为;的等差

数列.

⑴求｛%｝的通项公式；

111c

（2）证明：一+—++一<2.

64%

【答案】（1）4=\

⑵见解析

【解析】

【分析】

（1）利用等差数列的通项公式求得&=1+;（〃-1）=彳，得到邑=空区，利用和与

项的关系得到当〃之2时，%=S._S,i=（〃+；）"--"，进而得:子=合，利用

累乘法求得4=吗6,检验对于〃=1也成立，得到｛《,｝的通项公式q=当4;

（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到,+'+…+,=2（1--进而证得.

qa2an\n+\J

⑴

s

L

团4=1,aS]=a]=1,0—=l/

a\

s

乂团1是公差为11的等差数列，

MJ3

S1/xn+2（〃+2）a

团广=+,（〃_）=~F，ms.=工,

anJ,l3J

回当〃之2时，S”_1J"；”".,

啊=邑-%=四曲巨，

””«-i33

整理得：（〃—1）%=5+1）%」

a„〃+1

EP—=--

an-\"1

a.&a„_.a

回4“=4X—=X...X——n—

4a24-2an-\

,34nn+1〃(〃+

=lx—X—X...X----X----=---

23n-2n-\2

显然对于〃=1也成立，

团｛4｝的通项公式4=心⑴；

J+L±^_0/1_1\flO

q%+4=2LI2；(23j(〃n+l)]In+lj<2

9C

18.(2022•全国•高考真题(理))记S”为数列｛4｝的前〃项和.已知寸+〃=2勺+1.

⑴证明：｛4｝是等差数列；

⑵若见,生,为成等比数列，求3的最小值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵-78.

【解析】

【分析】

(1)依题意可得2S.+〃2=2M“+〃，根据%=竹〃:、c，作差即可得到可-4T=1，

从而得证；

(2)由(工)及等比中项的性质求出外，即可得到｛4｝的通项公式与前〃项和，再根据二次

函数的性质计算可得.

(1)

2s

解：因为——+n=2an+1,即2Sn+n~=1nan+n(T),

n

2

当〃22时，2SW_,+(/7-l)=2(n-l)^_,+(«-1)®,

①一②得，2s————

gp26tw4-2n-l=2/wM-2(n-l)a,,_14-1,

即2(〃一1)。“一2(〃一l)a,i=2(〃-1),所以。“一凡一1=1,〃之2且〃eN*,

所以｛勺｝是以1为公差的等差数列.

（2）

解：由（1）可得q=4+3,%=4+6,%=4+8,

又4,%,生成等比数列，所以。72=6•%，

即（4+6）2=（4+3>（4+8）,解得％=72,

用5_IQmi、1c…125\（25?625

所以%—〃—13,所以S“二-12〃4-------——n"2----n=—n----I-----»

“222212yl8

所以，当〃=12或〃=13时（S）.=一78.

19.（2021•全国•高考真题）记S“是公差不为0的等差数列｛an｝的前〃项和，若/=S$M2a4=54.

（1）求数列｛《,｝的通项公式4;

（2）求使S“>a”成立的〃的最小值.

【答案】（1）。”二2〃-6；（2）7.

【解析】

【分析】

⑴由题意首先求得的的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；

⑵首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.

【详解】

⑴由等差数列的性质可得：&=5%,则：%=5。3，，%=0，

设等差数列的公差为"，从而有：用外式6一内侬+4卜一丁,

S4=q+%+/+4=3-24）+（4-d）+4+3—d）=—2d,

从而：-d2=-2d»由于公差不为零，故：d=2,

数列的通项公式为：4=%十（〃-3）4=2〃-6.

⑵由数列的通项公式可得：4=2-6=-4,则：5“=”（-4）+也>乂2=〃2-5〃，

则不等式，>勺即:n2-5n>2/2-6,整理可得：（〃-1）5-6）>0,

解得：〃<1或〃>6,又〃为正整数，故〃的最小值为7.

【点睛】

等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等

差数列的有关公式并能灵活运用.

20.（2021•全国•高考真题（文））记S”为数列｛6｝的前〃项和，己知④>0,生=3%,且数列

｛#：｝是等差数列，证明：血｝是等差数列.

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

先根据■求出数列｛底｝的公差进一步写出｛底｝的通项，从而求出｛4｝的通项

公式，最终得证.

【详解】

回数歹|J｛底｝是等差数列，设公差为d=£-网=-屈=屈

团邓^=苑+（〃-1）册"=〃"，（neN*）

团S“=4〃2,（"eN，）

2H2

团当时，an=Sn-Sn_1=a]n-a1（-1）=2axn-a｝

当〃=1时，24x1-4=4,满足可=2q〃一"，

团｛4｝的通项公式为4=2q〃—q,5wN,）

团4-%=（2W-q）-[2q-1）-q]=24

团｛〃“｝是等差数列.

【点睛】

在利用4=S”-S〃T求通项公式时一定要讨论〃=1的特殊情况.

21.（2021•全国•高考真题（理））记5“为数列㈤｝的前〃项和，〃为数列⑸｝的前〃项积,

21

已知T+T=2.

S”bn

（1）证明：数列也｝是等差数列；

（2）求｛%｝的通项公式.

3।

5"=1

【答案】（1）证明见解析；（2）%=｛]

----7------\，〃22

【解析】

【分析】

（1）由已知H=2得$二小；且也产（），取〃=1,得自=1,由题意得

52次-12

2b2b2人2人b

不古・拓父…五;=d,消积得到项的递推关系五:，进而证明数列圾｝是等差

数歹U；

(2)由(1)可得勿的表达式由此得到5“的表达或然后利用和与项的关系求得

；，〃二1

而可

【详解】

(1)［方法一］:

由已知卷+(=2得S“=瞪工也工°，b尸；,

取〃=1,由得伪=方

由于々为数列⑸｝的前〃项积,

所以工a.2bn,

所以---------="

24-124-125-1''

2b.2A..2%_b

加以Cl1OZ1

2b1-12b2-12%7…

斫U22+1-勿+1

2%-1a

由于“川工。

听力2-'即4+i=；，其中〃wN'

//1以>।19

2%T%

所以数列也｝是以4=T为首项，以d=g为公差等差数歹IJ；

［方法二］【最优解】：

由已知条件知ass……晨•s”①

于是%-£邑邑・…S"〃之2).②

由①②得白=S..③

Un-\

21c八

f④

由③④得…T=g.

令〃=1,由£=4，得自=T.

所以数列｛4｝是以I为首项，;为公差的等差数列.

［方法三］:

21S

由不+丁=2,得以=寸5,且S.HO,dwo,S-1.

又因为2=S”£T……S=S”也…所以%咚二与匕，所以

b-b.=—-----!—=S°T=-(«>2)

“z2Sn-22Sn-22(S„-1)2(一九

21c3

在《-+77=2中，当〃=1时，=5,=-.

%0n2

故数列｛〃｝是以m为首项，3为公差的等差数列.

[方法四]:数学归纳法

由已知春+!=2,得S.=寻[4=]3=2,a=。，猜想数列也｝是以与为首项,

3为公差的等差数列，且“=g〃+l.

下面用数学归纳法证明.

当〃=1时显然成立.

假设当〃=上时成立，即仇=彳攵+1,£=J.

那么当月=4+1时，心=".%=|'9+1]411=卓;(A+D+1.

综上，猜想对任意的〃eN都成立.

即数列｛〃｝是以T为首项，g为公差的等差数列.

(2)

由(1)可得，数列｛"｝是以为首项，以d=g为公差的等差数列，

.也=在(〃-1年=1+不

S=2VJ+〃

"2bn-\1+〃’

3

当〃=1时，q=S[=5，

c_2+〃1+〃I

当n>2时=S“—S”T一一1=一/显然对于=l不成立，

1+nn+n

ln=1

团见=，1

----7-----7T，〃22

〃+1)

【整体点评】

2।2b

（i）方法一从不+7=2得s“=五二，然后利用"的定义，得到数列他｝的递推关系，

进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论：

方法二先从"的定义，替换相除得到力邑，再结合>卷=2得到4-%=g,从而证

得结论，为最优解；

21Sb1

方法三由丁+7=2,得以二五±，由〃的定义得。_广才=歹工.进而作差证得结

论；方法四利用归纳猜想得到数列"=g〃+l,然后利用数学归纳法证得结论.

（2）由（1）的结论得到2=g〃+l,求得S”的表达北然后利用和与项的关系求得｛q｝的

通项公式；

22.（2021•全国•高考真题（理））已知数列｛吗的各项均为正数，记S”为｛吗的前〃项和，

从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛4｝是等差数列：②数列｛叵｝是等差数列；③%=3%.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】证明过程见解析

【解析】

【分析】

选①②作条件证明③时，可设山区，结合为同的关系求出为,利用｛4｝是等差数列可

证电=3q：也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到

等量关系，进行证明.

选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出疯，结合等差数列定义可证;

选②③作条件证明①时，设出局=加+〃，结合凡，邑的关系求出可，根据％=3q可求力，

然后可证｛q｝是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出

结论.

【详解】

选①②作条件证明③：

［方法一］:待定系数法+4与S“关系式

设^^=曲+伏〃>0）,则5“=（3!+6）2,

当〃=1时，a1=£=（a+b）2：

当〃之时，a=S-(an+2(an-a+h^=a(2an-a+2b)；

2nnS/r_j=Z?)-

因为｛，/也是等差数列，所以("+6)2—a(2a-a+3),解得6—0；

2

所以a”=/(2〃-1),at=a,故%=3。2=34].

[方法二]:待定系数法

设等差数列｛4｝的公差为d,等差数列｛点｝的公差为4,

则S=施+(〃T)4，将s'=吗+殁』d代入皿=弧+5-1)4，

化简得夕2+(4-3?=42〃2+仅.4—242)〃+(8一4)2对于皿力+恒成立.

d=2d：,

则有"2q-d=4苑&-44；,解得&=8，d=2a1.所以々2=3〃].

施-4=0,

选①③作条件证明②：

因为%=3q,｛《｝是等差数列，

所以公差4=&-4=24,

2

所以S〃=na]+"(；04=na｝,即=M门,

因为67-底=区(〃+1)-口?=用，

所以｛点｝是等差数列.

选②③作条件证明①：

[方法一]:定义法

设=伏々>贝=(卬!+力『，

0),11sl

当〃=1时，q=S[=(a+Z?)2；

2

当〃之2时，an=Sn-Sn_｝=(an+Z?)-(an-a+b^=a(2an-a+2b)；

因为%=3q,所以a(3a+»)=3(a+6)2,解得匕=0或方=-当；

当力=0时，4=。2吗=/(2〃-1),当〃N2时，6・%=2/满足等差数列的定义，此时｛4｝

为等差数列；

当力=-当时，y[S^=an+b=an-^at后=-1<0不合题意，舍去.

综上可知｛《,｝为等差数列.

【方法二】【最优解】：求解通项公式

因为，=3q,所以6=口，6=师乙=卬或，因为｛点｝也为等差数列，所以公差

4=\[^]-塔=m，所以=«"+（〃-1）4=力施\故工=1%当时，

=S“-S”_[=〃％-（“-I）%]=（2〃-1）4,当〃=1时，满足上式，故｛。”｝的通项公式为

%=（2〃-1）《，所以4_1=（2〃-3）4,%-%=2%,符合题意.

【整体点评】

这类题型在解答题中较为罕见,求解的关键是牢牢抓住已知条件,结合相关公式,逐步推演，

选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于〃的一次函数，直接设出

1rs〃=]

底=〃〃+/〃>0）,平方后得至UI的关系式,利用q=J,、0得至处q｝的通项公式,

进而得到生=36，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出｛4｝与｛，｝的公差，

写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系4=JZ，d=2《,进而

得到的=34；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出S”及£,进而由等差数列

定义进行证明：选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于儿的一次函数，直接设

出底=m+员a>0）,结合仆,S.的关系求出凡，根据々=34可求力，然后可证｛4｝是等差

数列；法二:利用疯是等差数列即前两项的差4=病-后=向求出公差,然后求出£

的通项公式，利用勺=，s_s>2,求出｛《J的通项公式，进而证明出结论.

、nn-\，“一

23.（2021・全国•高考真题（文））设应｝是首项为1的等比数列，数列也｝满足"二号.已

知q,3%，9%成等差数列.

（1）求应｝和也｝的通项公式；

C

（2）记S“和7；分别为｛4｝和也｝的前〃项和.证明：

【答案】（1）勺=《尸，么=（：（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用等差数列的性质及q得到9/—64+1=0,解方程即可；

（2）利用公式法、错位相减法分别求出S“,7；,再作差比较即可.

【详解】

（1）因为｛为｝是首项为1的等比数列且囚，3%，9%成等差数列，

所以6%=%+M，所以6aq=q+9a4,

即9/—6q+l=0,解得夕二;，所以凡=（；）”“，

所以"=詈=/

（2）［方法一］:作差后利用错位相减法求和

SIf11111

2n=5〔变+要+铲+,+F1

Sn23〃)1cli110--1-12--

万七与十k+不一5卬+至+?++F卜三+M+^++

,1

0-11-i2--71-1——

设「=0•+」+=++—r^，⑧

”3031323”T

n_X1__L9---1--

贝％廿2•⑨

3”

_3

所以「=——!__上=_」^・

"4x3"-22X3”T2X3”T

因此7；_&=4—=一一—<0.

"23"2x3n',2x3,

故。吟.

［方法二］【最优解】：公式法和错位相减求和法

证明：由（1）可得s.=—^=4（1--）,

1--23

3

12n-\n不

1T=3+灵++尹+守①

12w-1n小

/三+十十丁+诃，②

①一②得=»/++卜昼

3向23”3.，

所以方=；3（＞"1）-

2-r

所以『茅加等-合中f=n

<0,

2-3"

所以4吟q

［方法三］:构造裂项法

由（回）知〃=〃5，令c“=(a〃+/)且以=q-c”+】，即

（…）出-[a(〃+1)”]出

通过等式左右两边系数比对易得a=》=（,所以%=&+：）（拼

章43扪下同方法二

则7；=4+%++々=—

［方法四］:导函数法

H,X(1-X)

设f(x)=3+/+/+…+工”=-3----L，

\-x

1(「'”)][M1-叩(1)-卜(1一炉)卜(1―力'1+★'川(〃+1)/

由于

(if(1-x)2