专项06 利用平行四边形的性质和判定解题

专项06利用平行四边形的性质和判定解题类型一证明线段相等或平行1.(2023四川自贡中考)如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且AM=CN.求证：DM=BN.2.如图，BD是△ABC的中线，E是BD的中点，过点B作AC的平行线BF，交CE的延长线于点F，连结AF.求证：AF∥BD.类型二证明垂直3.如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线恰好经过边CD的中点F，且与边BC的延长线交于点E.(1)若AB=6，求BE的长；(2)连结BF，求证：BF⊥AE.类型三求角的度数4.(2023湖南长沙市长沙县二模节选)如图，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别平分∠ADC和∠CBA，分别交AB、CD于点E、F.若∠DAB=60°，求∠DFB的度数.类型四求线段的长度5.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在OB和OD上，且BE=DF.(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若∠AEB=90°，OE=3，且∠EAF=45°，求线段AC的长.6.如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE、BF，分别交AB于点H，交CD于点G，AD∥BC，AE=CF.(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；(2)若∠DAH=∠GBA，GF=2，CF=4，求AD的长.类型五证明两条线段互相平分7.(2023浙江绍兴建功中学期中)如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，EF与BD相交于点O，AE=CF.求证：BD、EF互相平分.8.如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O.求证：AD与BE互相平分.

专项06利用平行四边形的性质和判定解题答案全解全析1.证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AM=CN，∴AB-AM=CD-CN，即BM=DN，又∵BM∥DN，∴四边形MBND是平行四边形，∴DM=BN.2.证明∵AC∥BF，∴∠ECD=∠EFB，在△ECD和△EFB中，∠ECD=∠EFB,∴△ECD≌△EFB(AAS)，∴CD=BF，∵CD=AD，∴BF=AD，∵AD∥BF，∴四边形AFBD为平行四边形，∴AF∥BD.3.解析(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠E，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF=∠BAE，∴∠BAE=∠E，∴BE=AB=6，即BE的长为6.(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠E，∵F是CD的中点，∴DF=CF，在△ADF和△ECF中，∠DAF=∠E,∴△ADF≌△ECF(AAS)，∴AF=EF，由(1)可知，BE=AB，∴BF⊥AE.4.解析∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABC=180°-∠DAB=180°-60°=120°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=12∠ABC=60°∴∠DFB=180°-∠ABF=180°-60°=120°.5.解析(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵BE=DF，∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形.(2)∵∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，又∵∠EAF=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∵OE=OF=3，∴EA=EF=2OE=6，在Rt△OAE中，AE=6，OE=3，∴OA=AE2+OE2=626.解析(1)证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AED=∠CFB=90°，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠BCF，在△DAE和△BCF中，∠DEA=∠BFC=90°,∴△DAE≌△BCF(ASA)，∴AD=CB，∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形.(2)∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠DAH=∠BCG，AB∥CD，∴∠CGB=∠GBA，∵∠DAH=∠GBA，∴∠CGB=∠BCG，∴BG=BC，在Rt△CFB中，∵BF=BG-FG=BC-2，CF=4，BC2=BF2+CF2，∴BC2=(BC-2)2+42，∴BC=5.∴AD=BC=5.7.证明连结BE、DF，如图所示，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，又∵AE=CF，∴DE=BF，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BD、EF互相平分.8.证明如图，连结BD、AE，∵FB=CE，∴BC=EF，∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠