专题03 完全平方公式 带解析

2022-2023学年北师大七年级数学下册精选压轴题培优卷专题03完全平方公式一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•西安期末）下列运算正确的是（）A．a5÷a3＝a2 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（a3）2＝a5 D．a3+a2＝a5解：a5÷a3＝a2，A符合题意；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，B不符合题意；（a3）2＝a6，C不符合题意；a3+a2＝a3+a2，D不符合题意；故选：A．2．（2分）（2022春•埇桥区校级期中）如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果a+b＝5，ab＝6，则阴影部分的面积为（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．1解：S阴影＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝（a2+b2）﹣ab＝（a+b）2﹣ab，把a+b＝5，ab＝6代入得：原式＝×25﹣×6＝3.5．故选：C．3．（2分）（2022秋•桐柏县期中）若n满足关系式（n﹣2020）2+（2021﹣n）2＝3，则代数式（n﹣2020）（2021﹣n）＝（）A．﹣1 B．0 C． D．1解：∵（n﹣2020）2+（2021﹣n）2＝3，∴（n﹣2020）2+2（n﹣2020）（2021﹣n）+（2021﹣n）2﹣2（n﹣2020）（2021﹣n）＝﹣3，∴1﹣2（n﹣2020）（2021﹣n）＝3，∴﹣2（n﹣2020）（2021﹣n）＝2，∴（n﹣2020）（2021﹣n）＝﹣1，故选：A．4．（2分）（2022春•济阳区校级期末）x2+ax+121是一个完全平方式，则a为（）A．22 B．﹣22 C．±22 D．0解：∵（x±11）2＝x2±22x+121，∴在x2+ax+121中，a＝±22．故选：C．5．（2分）（2021秋•崇川区校级月考）若x2+2mx+16是完全平方式，则（m﹣1）2+2的值是（）A．11 B．3 C．11或27 D．3或11解：∵x2+2mx+16是完全平方式．∴m2＝16．∴m＝±4．当m＝4时，（m﹣1）2+2＝9+2＝11．当m＝﹣4时（m﹣1）2+2＝25+2＝27．故答案为：C．故选：C．6．（2分）（2021春•奉化区校级期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5解：设A的边长为x，B的边长为y，由甲、乙阴影面积分别是、可列方程组，将②化简得2xy＝③，由①得，将③代入可知x2+y2＝3.5．故选：B．7．（2分）（2018秋•西城区校级期中）如图，有三种卡片，分别是边长为a的正方形卡片1张，边长为b的正方形卡片4张和长宽为a、b的长方形卡片4张，现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大的正方形边长为（）A．a+3b B．2a+b C．a+2b D．4ab解：设拼成后大正方形的边长为x，则a2+4ab+4b2＝x2，则（a+2b）2＝x2，∴x＝a+2b，故选：C．8．（2分）（2019春•石台县期末）如图所示，有三种卡片，其中边长为a的正方形1张，边长为a、b的矩形卡片4张，边长为b的正方形4张用这9张卡片刚好能拼成一个正方形，则这个正方形的面积为（）A．a2+4ab+4b2 B．4a2+8ab+4b2 C．4a2+4ab+b2 D．a2+2ab+b2解：由题意，得a2+4ab+4b2故选：A．9．（2分）（2022春•包河区期中）已知（2022﹣m）（2020﹣m）＝2021，那么（2022﹣m）2+（2020﹣m）2的值为（）A．4046 B．2023 C．4042 D．4043解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．∴（2022﹣m）2+（2020﹣m）2＝[（2022﹣m）﹣（2020﹣m）]2+2×（2022﹣m）（2020﹣m）＝4+2×2021＝4046．故选：A．10．（2分）（2022春•拱墅区期末）如图，用1块边长为a的大正方形，4块边长为b的小正方形和4块长为a，宽为b的长方形（a＞b），密铺成正方形ABCD，已知ab＝2，正方形ABCD的面积为S，（）A．若a＝2b+1，则S＝16 B．若a＝2b+2，则S＝25 C．若S＝25，则a＝2b+3 D．若S＝16，则a＝2b+4解：由题意，正方形ABCD的边长为a+2b，ab＝2，a＞b＞0，若a＝2b+1，则正方形ABCD的边长为a+2b＝4b+1，b（2b+1）＝2，即2b2+b﹣2＝0，解得：b＝（负值不合题意，舍去），∴b＝，∴S＝（4b+1）2＝（4×+1）2＝17，∴选项A不正确；若a＝2b+2，则正方形ABCD的边长为a+2b＝4b+2，b（2b+2）＝2，即b2+b﹣1＝0，解得：（负值不合题意，舍去），∴b＝，∴S＝（4b+2）2＝（4×+2）2＝20，∴选项B不正确；若S＝25，则（a+2b）2＝25，∵a+2b＞0，∴a+2b＝5，∴a＝5﹣2b，∴b（5﹣2b）＝2，即2b2﹣5b+2＝0，解得：b1＝，b2＝2，当b＝时，a＝5﹣2b＝4，2b+3＝4，此时，a＝2b+3；当b＝2时，a﹣5﹣2b＝1，a＜b，不合题意，∴选项C正确；若S＝16，则（a+2b）2＝16，∵a+2b＞0，∴a+2b＝4，∴a＝4﹣2b，∴b（4﹣2b）＝2，即b2﹣2b+1＝0，解得：b1＝b2＝1，当b＝1时，a＝4﹣2b＝2，2b+4＝6，∴a≠2b+4，∴选项D不正确；故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022春•临渭区期末）已知：a﹣b＝1，a2+b2＝25，则（a+b）2的值为49．解：∵a﹣b＝1，a2+b2＝25，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝25﹣2ab＝1．∴2ab＝24．∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+24＝49．故答案为：49．12．（2分）（2022春•泗县期中）已知（2021﹣a）（a﹣2022）＝﹣5，则（a﹣2021）2+（a﹣2022）2＝11．解：设m＝a﹣2021，n＝a﹣2022，则原题变为：﹣mn＝﹣5，即mn＝5，求m2+n2，∵m2+n2＝（m﹣n）2+2mn＝[（a﹣2021）﹣（a﹣2022）]2+2×5，＝（a﹣2021﹣a+2022）2+10＝1+10＝11．故答案为：11．13．（2分）（2022春•高新区月考）若4x2﹣（k﹣1）xy+9y2是关于x的完全平方式，则k＝13或﹣11．解：∵4x2﹣（k﹣1）xy+9y2＝（2x）2﹣（k﹣1）xy+（3y）2，∴（k﹣1）xy＝±2×2x×3y，解得k﹣1＝±12，∴k＝13，k＝﹣11．故答案为：13或﹣11．14．（2分）（2021秋•罗城县期末）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝3，则ab＝1．解：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝7﹣3＝4，所以可得：ab＝1，故答案为：115．（2分）（2021春•拱墅区校级期中）若25x2+1加上一个单项式能成为一个完全平方式，这个单项式是10x或﹣10x或．解：①25x2是平方项时，25x2±10x+1＝（5x±1）2，∴可添加的项是10x或﹣10x，②25x2是乘积二倍项时，+25x2+1＝，∴可添加的项是，综上所述可添加的项是：10x或﹣10x或．故答案为：10x或﹣10x或．16．（2分）（2021春•南京月考）三种不同类型的地砖的长、宽如图所示，若现有A型地砖4块，B型地砖4块，C型地砖2块，要拼成一个正方形，则应去掉1块地砖；这样的地砖拼法可以得到一个关于m，n的恒等式为（2m+n）2＝4m2+4mn+n2．解：4块A的面积为：4×m×m＝4m2；4块B的面积为：4×m×n＝4mn；2块C的面积为2×n×n＝2n2；那么这三种类型的砖的总面积应该是：4m2+4mn+2n2＝4m2+4mn+n2+n2＝（2m+n）2+n2，因此，多出了一块C型地砖，去掉一块C型地砖，这两个数的平方为（2m+n）2．这样的地砖拼法可以得到一个关于m，n的恒等式为：4m2+4mn+n2＝（2m+n）2故答案为：4m2+4mn+n2＝（2m+n）2．17．（2分）（2021秋•晋江市校级期中）如图正方形的面积可以用两种方法得出：即c2或（b﹣a）2+4×，由此可推出a2+b2＝c2，若直角三角形中两直角边的和a+b＝4，斜边c长为3，利用该等式来计算直角三角形的面积是．解：∵a2+b2＝c2，∴（a+b）2﹣2ab＝c2，又∵a+b＝4，斜边c长为3，∴42﹣2ab＝32，∴ab＝，∴直角三角形的面积为ab＝，故答案为：．18．（2分）（2022秋•荆门期末）如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b（a＜6，b＜6）的长方形，若长方形的周长为16，面积为15.75，则图中阴影部分面积S1+S2+S3＝12.5．解：由题知，a+b＝16÷2＝8，ab＝15.75．∴（a+b）2＝64，a2+2ab+b2＝64，a2+b2＝64﹣2ab＝64﹣2×15.75＝32.5，∵S1＝（6﹣b）2，S3＝（6﹣a）2，S2＝[b﹣（6﹣a）]2＝（a+b﹣6）2，∴阴影部分面积S1+S2+S3＝（6﹣b）2+（6﹣a）2+（a+b﹣6）2＝36﹣12b+b2+36﹣12a+a2+（8﹣6）2＝a2+b2﹣12b﹣12a+76＝a2+b2﹣12（b+a）+76＝32.5﹣12×8+76＝12.5．故答案为：12.5．19．（2分）（2022•三水区一模）现有两个正方形A，B．如图所示进行两种方式摆放：方式1：将B放在A的内部，得甲图；方式2：将A，B并列放置，构造新正方形得乙图．若甲图和乙图阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为13．解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1，即a2+b2﹣2ab＝1，由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，得：2ab＝12，所以a2+b2＝13，故答案为：13．20．（2分）（2021春•宝安区校级月考）观察下列各式及其展开式（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……请你猜想（2x﹣1）8的展开式中含x2项的系数是112．解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为6，7，8的等式，右边各项的系数分别为：1，6，15，20，15，6，1；1，7，21，35，35，21，7，1；1，8，28，56，70，56，28，8，1；故含x2项的系数为：22×（﹣1）6×28＝112．三．解答题（共9小题，满分60分）21．（6分）（2022春•顺德区校级期中）如图所示，在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路．（1）为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种办法，结果分别如下：方法①：（a﹣b）2.方法②：a2﹣2ab+b2.请你从小明的两种求面积的方法中，直接写出含有字母a，b代数式的等式是：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．（2）根据（1）中的等式，解决如下问题：①已知：a﹣b＝5，a2+b2＝20，求ab的值；②已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝12，求（x﹣2021）2的值．解：（1）方法①，通过平移两条路，草坪可看作边长为（a﹣b）米的正方形，因此面积为（a﹣b）2（平方米），方法②，从大正方形面积里减去两条路的面积，即（a2﹣ab﹣ab+b2）平方米，也就是（a2﹣2ab+b2）平方米，所以有（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故答案为：（a﹣b）2，a2﹣2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（2）①∵a﹣b＝5，∴a2﹣2ab+b2＝25，又∵a2+b2＝20，∴ab＝﹣；②设x﹣2020＝m，x﹣2022＝n，则m﹣n＝2，m2+n2＝（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝12，∴m2﹣2mn+n2＝4，即12﹣2mn＝4，∴mn＝4，∴（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝4+16＝20，∴（x﹣2021）2＝（）2＝＝＝5，答：（x﹣2021）2的值为5．22．（6分）（2022春•榆阳区期末）如图，某地有一块长为（a+4b）米，宽为（a+3b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间边长为（a+b）米的空白正方形地块将修建一个凉亭．（1）求绿化部分的总面积（用含有a、b的代数式表示）；（2）若a＝2，b＝5，求出此时绿化部分的总面积．解：（1）由题意得：长方形地块的面积＝（a+4b）（a+3b）＝（a2+7ab+12b2）（平方米），正方形凉亭的面积为：（a+b）2＝（a2+2ab+b2）（平方米），则绿化面积S＝（a2+7ab+12b2）﹣（a2+2ab+b2）＝（5ab+11b2）（平方米）；（2）∵a＝2，b＝5，∴绿化总面积S＝5ab+11b2＝5×2×5+11×52＝325（平方米）．23．（8分）（2022春•海州区校级期末）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，比如：用图1所示的正方形与长方形纸片可以拼成一个图2所示的正方形．【问题发现】利用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积S，写出你从中获得的等式为（a+b）2＝a2+2ab+b2；【类比探究】已知x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，则（11﹣x）2+（x﹣8）2＝5；【拓展延伸】学校计划在如图3的两块正方形草地间种些花，两块草地分别是以AC、BC为边的正方形，且两正方形的面积和S1+S2＝25，点C是线段AG上的点，若AG＝7，求用来种花的阴影部分的面积．解：【问题发现】根据面积的不同算法得：（a+b）2＝a2+2ab+b2；【类比探究】令a＝11﹣x，b＝x﹣8，∴a+b＝3，ab＝2，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9﹣4＝5，故答案为：5；【拓展延伸】由题意得：AC+CG＝7，AC2+CG2＝25，则2AC•BC＝2AC•CG＝（AC+CG）2﹣（AC2+CG2）＝49﹣25＝24，∴阴影部分的面积为：AC•BC＝6．24．（6分）（2022春•高邮市期末）已知a+b＝3，ab＝﹣2，求下列各式的值：（1）a2+b2；（2）（a﹣2）（b﹣2）；（3）9a•27b÷3b﹣ab．解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×（﹣2）＝9+4＝13；（2）（a﹣2）（b﹣2）＝ab﹣2a﹣2b+4＝ab﹣2（a+b）+4＝﹣2﹣2×3+4＝﹣2﹣6+4＝﹣4；（3）9a•27b÷3b﹣ab＝32a•33b÷3b﹣ab＝32a+3b﹣b+ab＝32a+2b+ab＝32（a+b）+ab＝32×3﹣2＝34＝81．25．（8分）（2022春•渠县期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1所以a2+b2＝7根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）填空：若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，则（4﹣x）2+（x﹣5）2＝17．（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．解：（1）2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝64﹣40＝24，∴xy＝12，（2）由（4﹣x）﹣（5﹣x）＝﹣1，∴[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2＝（4﹣x）2﹣2（4﹣x）（5﹣x）+（5﹣x）2＝（﹣1）2；又∵（4﹣x）（5﹣x）＝8，∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝1+2（4﹣x）（5﹣x）＝1+2×8＝17；故答案为：17．（3）设AC＝m，CF＝n，∵AB＝6，∴m+n＝6，又∵S1+S2＝18，∴m2+n2＝18，由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，∴62＝18+2mn，∴mn＝9，∴S阴影部分＝0.5×mn＝0.5×9＝4.5，答：阴影部分的面积为4.5．26．（8分）（2022春•郴州期末）两个边长分别为m和n的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若在图1中大正方形的右上角再摆放一个边长为n的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含m，n的代数式分别表示S1，S2；（2）若m﹣n＝10，mn＝20，求S1+S2的值；（3）若S1+S2＝30，求图3中阴影部分的面积S3．解：（1）S1可以看作两个正方形的面积差，即S1＝m2﹣n2，S2是长为2n﹣m，高为n的长方形的面积，即S2＝（2n﹣m）•n＝2n2﹣mn；（2）∵m﹣n＝10，mn＝20，∴S1+S2＝m2﹣n2+2n2﹣mn＝m2+n2﹣mn＝（m﹣n）2+mn＝100+20＝120；（3）∵S1+S2＝m2+n2﹣mn＝30，∴S3＝m2+n2﹣m2﹣n（m+n）＝m2﹣mn+n2＝（m2+n2﹣mn）＝×30＝15．27．（8分）（2022秋•西岗区校级期末）【探究】若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；【应用】请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；【拓展】（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是8，分别以MF、DF为边作正方形．①MF＝x﹣1，DF＝x﹣3；（用含x的式子表示）②求阴影部分的面积．解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝9﹣4＝5；（2）①∵四边形EMFD是长方形，AE＝1，四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC＝x，D