2025年普通高中学业水平合格性考试数学综合训练卷（基础卷）（全国春季高考适用）

普通高中学业水平合格性考试数学综合训练卷01

(考试时间：90分钟；满分：100分)

一、选择题：本题共19小题，每小题3分，共57分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合。={1,2,3,4,5,6,7},4={2,3,6,7},8={2,3,4,5},则()

A.{1,7}B.{6,7}

C.{2,6}D.{2,6,7}

【答案】B

【分析】由集合的交集、补集运算即可求解.

【详解】已知集合。={1,2,3,4,5,6,7},4={2,3,6,7},8={2,3,4,5},

则稠={1,6,7},Ap(q)={6,7}.

故选：B.

2.AOWB是在斜二测画法下的直观图，其中。8'=20'4=4,则的面积是()

A.2-72B.4C.8D.85/2

【答案】C

【分析】根据斜二测画法作出△OAB的图象再求解即可.

【详解】由题意，作出△QW的图象可得。8=8,。4=2,且N3Q4=90。，故»卸=：x2x8=8.

故选：C

f3_x+5丫<]

3.已知函数〃x)=."一’则〃/⑵)的值为()

\-2x+8,x>l,

A.4B.5C.8D.0

【答案】B

【分析】根据分段函数的解析式求得正确答案.

【详解】因为/(X)=］所以/'(2)=-2x22+8=0,

所以/(〃2))=〃O)=3xO+5=5.

故选：B

4.点(-sin60。,cos60。)关于,轴对称的点的坐标是()

【答案】A

【分析】根据特殊角的三角函数先求出该点坐标，关于y轴对称后，y不变，x相反

【详解】sin60°=^-,cos60°=—,

22

(Q、

/.(-sin60°,cos60°)=,

(22)

关于y轴对称点的坐标是［曰］

故选：A.

5.下列各组函数表示同一函数的是()

A.g(%)=xB./(x)=%,g(%)=—

C./(x)=尤,g(x)=V?D.f(x)=E，g(x)=(五)

【答案】C

【分析】由对应关系及定义域逐项判断即可.

【详解】对于A：两函数对应关系不一样，不表示同一函数，；

对于B：f(x)=x,xeR,g(x)=jX--,xe(-oo,0)u(0,+oo),两函数定义域不同，不表示同一函数；

对于C::f(x)=X,XGR,==X,A：GR,对应关系相同且定义域相同(都是R),表不同一

函数；

对于D：/(x)=V?,x£R;g(x)=(«),两函数对应关系与定义域都不相同，不表示同一函数.

故选：c

6.已知函数〃力=9-〃a+5在（f,2]上单调递减，则机的取值范围为（）

A.[4,+co）B.[2,+co）C.（-co,4]D.

【答案】A

【分析】根据二次函数的对称轴列不等式即可得解.

【详解】由二次函数性质可知，要使函数/（X）在（-8,2]上单调递减，只需曰22,

解得相“，即机的取值范围为[4,+®）.

故选：A

7.已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中

3次的概率.先由计算器给出。到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,

6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机

数：

7527029371409857034743738636694776104281

1417469803716233261680456011366195977424

根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（）

A.0.852B.0.7C.0.8D.0.75

【答案】D

【分析】根据给定的随机数表，求出只击中1次或2次的频数，再求出古典概率.

【详解】由已知的数表知，射击运动员射击4次，只击中1次或2次的有7140,7610,1417,0371,6011,

共5组，

因此该射击运动员射击4次，至少击中3次的有15组，

所以该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为葛=0.75.

故选：D

8.在下列四个正方体中，A,3为正方体的两个顶点，M,N,。为所在棱的中点，则在这四个正方体

中，直线A3与平面不平行的是（）

【答案】A

【分析】根据线线平行证明线面平行.

【详解】A选项：

A

Q

如图所示，由中位线性质可知48〃。。，且OQn平面MNQ=Q,则A3与平面MAQ不平行，A选项满

足题意；

B选项：由正方体结构特征，易得AB//MQ,结合线面平行的判定定理，知B不满足题意；

C选项，由正方体结构特征，易得AB//MQ,结合线面平行的判定定理，知C不满足题意；

D选项，由正方体结构特征，易得48//AQ,结合线面平行的判定定理，知D不满足题意，

故选：A.

9.设尤eR,向量2=(1,2),b=(x,l)>S.alb<贝1卜+©=()

A.75B.26C.710D.10

【答案】C

【分析】先根据平面向量垂直的坐标公式求出》,再根据平面向量线性运算的坐标表示及模的坐标公式

即可得解.

【详解】因为所以7B=o，

即x+2=0,所以x=—2,

则〃+1=(-1,3),

所以

故选：C.

4

10.已知Q〉0,则“+1H的最小值为()

a

A.-1B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】根据基本不等式求解即可.

【详解】因为。＞0,根据基本不等式可得4+1+±=。+±+122、13+1=5,

aava

4

当且仅当〃=—,即〃=2时，等号成立；

a

4

所以a+ld—的最小值为5,

a

故选：D.

11.己知函数〃x）=sin（2x+°）（_弓＜夕＜弓）的图象关于x=T对称，则0=（）

717171兀

A.——B.—C.——D.—

6633

【答案】A

【分析】根据正弦型函数的对称性有。=-g+E,k《Z,结合已知确定。的值.

6

QjrTTjr

【详解】由题设4+9=W+E,kez,贝噂=一二+而,keZ,

326

下7兀兀-LI,兀

乂一二■＜,＜二■，故夕二一二

226

故选：A

12.如图，平行四边形ABC。中，AE=2EB,DF=FC,若=Z肆则通=)

A.-a+-b

22

1一3—1一3-

C.-a——bD.--a+-b

2222

【答案】C

【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果.

【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，且AE=2EB,DF=FC,

所以标=而+9=而+：配，^2AF=2AD+DC（1）,

yiCE=CB+BE=CB+^BA,即3在=3屈+丽②,

_____

由①+②得到2衣+3函=函，又行=£，CE=b，所以而二下一手.

故选：C.

13.已知一组数据占,%，…，毛的平均数元=4,方差$2=5,则数据4占+2,4无2+2,…,4x,+2的平均数、方差

分别为（）

A.16,20B.16,80C.18,20D.18,80

【答案】D

【分析】根据平均数、方差的性质求解.

【详解】由题意数据4占+2,4%+2,…,4%+2的平均数为n+2=4x4+2=18，

方差为42s2=16x5=80,

故选：D.

14."关于x的不等式如2+〃a+izO的解集为R"的一个必要不充分条件是（）

A.0<m<2B.2<m<5C.-l<m<4D.0<m<4

【答案】C

【分析】根据题意求出“关于尤的不等式的2+如+1a0的解集为R"的充要条件为。（mW4,对比选项

即可求解.

,[m>0,

【详解】当m=0时，120恒成立；当机W0时，由题悬，得｛2,八解得0<7〃V4,

[m--4m<0,

综上，实数机的取值范围为0W〃z<4,

则"关于x的不等式mx2+mx+l>0的解集为R”的一个必要不充分条件是-14机W4.

故选：C.

15.如图，在正方体ABC。-AqGR中，M,N分别为DB,AG的中点，则直线4知和夹角的余弦

值为（）

【答案】C

【分析】由正方体结构特征证得AM//NC,化为求直线NC和9V夹角余弦值，应用余弦定理求结果.

【详解】连接AC,CN,由正方体的性质，知M也是AC的中点，且AC〃AC,即AN//CM,

所以直线AM和BN夹角，即为直线NC和3N夹角，

若正方体棱长为2,皿NC=BN=遥,BC=2,

所以cosZBNC=NC+BN-BC=±=2,即直线同〃和BN夹角余弦值为-.

2NCBN2x633

故选：C

16.如图圆柱的底面周长是10cm,圆柱的高为12cm,BC为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的

侧面从下底面点A处爬到上底面点B处，那么它爬行的最短路程为（）

A.10cmB.11cmC.13cmD.12cm

【答案】C

【分析】把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为9,利用两点之间线段最短可判断蚂蚁

爬行的最短路径为A8',利用勾股定理计算出AB'即可.

【详解】

把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B',

则蚂蚁爬行的最短路径为AB',

如图，由题意可知AC=12,CB'=5,

在RtAACE,AB=V52+122=13-

所以它爬行的最短路程为13cm,

故选：C

17.下列函数中，与函数，=5sin0x+：J的图象形状相同的是()

A.y=8sin[3x+：]；B.y=3sin(5x+：j；

C.y=5sin21x+弓j；D.y=5sin3(x+：].

【答案】D

【分析】利用三角函数图象形状相同的性质即可得解.

【详解】与函数y=5sin(3x+：j的图象形状相同，则振幅和周期相同即可，

即A=5,啰=3；

对于A,y=8sin(3x+：j中A=8,振幅不相同，故A错误；

对于B,y=3sin15x+：j中A=3,振幅不相同，故B错误；

对于C,y=5sin21x+：j中。=2,周期不相同，故C错误；

对于D,y=5sin3[x+5]中A=5,0=3,相同，则图象相同，故D正确.

故选：D.

18.用二分法求方程的近似解，求得/(x)=V+2x-9的部分函数值数据如表所示:

X121.51.6351.751.8751.8125

“X)-63-2.625-1.459-0.141.3410.5793

则当精确度为0.1时，方程V+2x-9=()的近似解可取为()

A.1.6B.1.7C.1.8D.1.9

【答案】C

【分析】利用二分法结合零点存在定理即可判断选项.

【详解】由表格可得，函数“x)=V+2x_9的零点在区间(1.75,1.8125)内，

结合选项可知，方程d+2x-9=0的近似解可取为L8.

故选：C

19.已知函数=，在R上单调递增，则。的取值范围是()

[-X+ax-39x<l

A.[2,3]B.[2,4]C.(1,4]D.[2,+co)

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合二次函数及对数函数单调性列出不等式组，求解

即得.

6Z>1

【详解】由函数Ax)在R上单调递增，得，解得2WaW4,

«-4<0

所以。的取值范围是[2,4].

故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.

20.己知A,B两个事件相互独立，且P(A)=0.4,P(B)=0.7,贝.

【答案】0.28

【分析】根据相互独立事件的定义计算即可.

【详解】因为AB相互独立，

所以P(AB)=尸(A)尸(3)=0.4*0.7=0.28.

故答案为：0.28.

21.已知i为虚数单位，复数2=则复数Z的虚部为

【答案】^/0.1

【分析】根据复数的四则运算直接化简，再根据复数的相关定义可得解.

__ii(l-3i)=3+i一3,1：

[%解】,1+3i(i+3i)(l-3i)101010'

所以复数z的虚部为

故答案为：—■

22.已知正方形ABCD的边长为1,点P满足》=/1确4>。)，则定.而的最大值为.

3

【答案】-/-0.75

4

—.—.1,3

【分析】建立平面直角坐标系，求出相应向量的坐标，由数量积的坐标运算可得尸C•。尸二-您-彳)？-二,

24

再由二次函数的最值知识即可求得.

【详解】以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系，

则A(0,0),B(l,0),C(l,l),D(0,l),P(A,0),

因为定=(1TJ),而=(4-1),

所以定.而"(IT—IMTZ+N—IMU-1,

13

所以当"=5时,无•而取得最大值一“

3

故答案为：-“

23.我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为ZOmg/n?.已知我国某

火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为lOOmg/n?,现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理,

处理后废气中剩余二氧化硫的浓度V（单位：mg/m3）与处理时间f（单位：分钟）满足关系式:

>=,那么从现在起至少经过分钟才能达到排放标准.（参考数据：

lg2«0.3010,lg3«0.4771,结果取整数）

【答案】16

【分析】由题意得到不等式，两边取对数，得至/21*=甘=,代入1g2*0.3010,1g3*0.4771,

l-21g3l-21g3

求出答案.

【详解】由题意得100<20,

W

Io1

<-=>Hg—<lg-^>^（21g3-l）<-lg5

故史上一上生

叫l-21g3l-21g3

因为lg2《0.3010/g310.4771,

~、l-lg21-0.3010

所以，之———X-----------»15.26,

l-21g31-2x0.4771

故，=16,

所以从现在起至少经过16分钟，才能达到排放标准.

故答案为：16

三、解答题：本题共3小题，共27分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

24.如图，已知E,F,G,H分别是正方体ABC。—A与CD的棱AB，BC,CCX,£2的中点，且EF

与用相交于点。.

⑴求证：点。在直线DC上；

⑵作出过A、G、，三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹）

【答案】⑴证明见详解

⑵图形见详解

【分析】（1）通过证明。在平面ABCD与平面CDRC的交线上,来证得。在直线。C上.

（2）取BC的中点P,连接AP,PG,RG,易证AR//PG,则APGR即为所求截面.

【详解】（1）平面ASCDc平面CO2G=OC,

由于Qw斯,所u平面ABCD,

所以Qe平面ABCD,

同理QeHG,HGu平面CDRQ,

所以Qe平面C£）2G，

所以QeOC,即点。在直线。C上.

（2）如图所示，取3c的中点P,连接AP,PG，2G,

因为GP//BC],BCJIAD、,

所以GP//AQ,故A，2，G,P共面.

则APGR即为所求截面.

25.在VABC中，c=l,A=—,且AABC的面积为且.

32

(1)求。的值；

(2)若。为BC上一点，且________,求sinZAZ汨的值.

从①AD=1；②NC4O=$这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

O

【答案】⑴。=近

⑵答案见解析

【分析】(1)根据三角形面积公式计算得到。的值；

(2)若选①，由正弦定理得sinB,从而计算sin/ADB=sinB；若选②，由余弦定理得cosB=今^,

结合三角内角和得sinZADB=cosB.

【详解】(1)由于C=l,A=?2兀,

S.ABr=—Z?csinA=­-1•sin—=,解得。=2；

△ABC2232

由余弦定理得/=62+C2—26CCOSA,解得"J7；

⑵若选①'则当仞=1时，在V中，由正弦定理嘉二金,

2="历/yr

即^^一耳，所以sinB=三，,•,>1£）=AB，•,•sinNAr>B=sin3=^—

—77

2

若选②，则当/C4D=30。时，在VA3C中，由余弦定理知,

a1=b1+C1-2.b