等比数列及其通项公式课件 高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

1.3.1等比数列及其通项公式事实性质应用下定义表示方法问题1.

我们已经学习了数列、等差数列的概念，有没有其它特殊数列呢？它的概念如何研究呢？复习引入1.计算机的内存容量通常是指随机存储（RAM）的容量，是内存条的关键性参数。进入21世纪以来计算机中主流采用的内存容量（单位MB）从小到大组成数列2048，4096，8192，16384，32768.①情景创设2.

图1.3-1中绿色三角形的个数依次组成数列②3.《庄子•天下》有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完.

这样，每日剩下的部分都是前一天的一半.

如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么每日剩下的部分依次为：③问题2.

这些数列有什么共同特点呢？你能通过运算发现相邻两项之间的关系吗？②③

2048，4096，8192，16384，32768

①形成概念2048，4096，8192，16384，32768.①如果用{an}表示数列①，那么有换一种写法，就是这表明，数列①有这样的规律：从第

项起，每一项与前一项的比都等于

.22数列②③有这样的规律：从第

项起，每一项与前一项的比都等于

.从第

项起，每一项与前一项的比都等于

.从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.223②③

2048，4096，8192，16384，32768

①追问1.我们将这类数列称为“等比数列”.类比等差数列的概念，你能用数学的文字语言描述等比数列的概念吗？等差数列等比数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.公差通常用字母d表示.等差数列等比数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.公差通常用字母d表示.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.公比通常用字母q表示.数列①②③均为等比数列，它们的公比分别为2，3，.②③2048，4096，8192，16384，32768

①公比为正追问2.类比等差数列的概念，你能用数学的符号语言描述等比数列的概念吗？等差数列等比数列等差数列等比数列问题3

对于等比数列概念我们应注意什么呢？请从下面的题目中观察.理解概念问题3

判断下列数列是否是等比数列，如果是，指出公比；如果不是，说明理由.(1)(2)

0，1，0，1，1，0(3)

1，1，2，4，8，16(4)

(5)

9，9，9，9，9，9问题3

判断下列数列是否是等比数列，如果是，指出公比；如果不是，说明理由.(1)(2)

0，1，0，1，1，0(3)

1，1，2，4，8，16(4)

(5)

9，9，9，9，9，9解（1）设数列为

.因为

，

所以

是等比数列，公比.公比为负问题3

判断下列数列是否是等比数列，如果是，指出公比；如果不是，说明理由.(1)(2)

0，1，0，1，1，0(3)

1，1，2，4，8，16(4)

(5)

9，9，9，9，9，9问题3

判断下列数列是否是等比数列，如果是，指出公比；如果不是，说明理由.(1)(2)

0，1，0，1，1，0(3)

1，1，2，4，8，16(4)

(5)

9，9，9，9，9，9解（2）设数列为

.

因为

无意义，

所以不是等比数列.等比数列首项不能为0问题3

判断下列数列是否是等比数列，如果是，指出公比；如果不是，说明理由.(1)(2)

0，1，0，1，1，0(3)

1，1，2，4，8，16(4)

(5)

9，9，9，9，9，9解（2）设数列为

.

因为

无意义，

所以不是等比数列.等比数列中间项不能为0问题3

判断下列数列是否是等比数列，如果是，指出公比；如果不是，说明理由.(1)(2)

0，1，0，1，1，0(3)

1，1，2，4，8，16(4)(5)

9，9，9，9，9，9解（2）设数列为

.

因为

，

所以不是等比数列.等比数列末项不能为0问题3

判断下列数列是否是等比数列，如果是，指出公比；如果不是，说明理由.(1)(2)

0，1，0，1，1，0(3)

1，1，2，4，8，16(4)(5)

9，9，9，9，9，9等比数列末项不能为0等比数列各项均不为0公比可以为0吗？问题3

判断下列数列是否是等比数列，如果是，指出公比；如果不是，说明理由.(1)(2)

0，1，0，1，1，0(3)

1，1，2，4，8，16(4)

(5)

9，9，9，9，9，9等比数列末项不能为0等比数列各项均不为0公比可正、可负、不可为0问题3

判断下列数列是否是等比数列，如果是，指出公比；如果不是，说明理由.(1)(2)

0，1，0，1，1，0(3)

1，1，2，4，8，16(4)(5)

9，9，9，9，9，9解（3）设数列为

.因为

，

所以不是等比数列.从第2项起同一个常数问题3

判断下列数列是否是等比数列，如果是，指出公比；如果不是，说明理由.(1)(2)

0，1，0，1，1，0(3)

1，1，2，4，8，16(4)

(5)

9，9，9，9，9，9解（4）设数列为

.

因为

，

所以不是等比数列.每问题3

判断下列数列是否是等比数列，如果是，指出公比；如果不是，说明理由.(1)(2)

0，1，0，1，1，0(3)

1，1，2，4，8，16(4)

(5)

9，9，9，9，9，9解（5）设数列为

.

因为

，

所以是等比数列,公比

.非零常数列既是等差数列又是等比数列问题4.

类比等差数列的通项公式，等比数列存在通项公式吗？如何推导？表示方法等差数列等比数列根据等差数列定义把这n-1个等式相加得即根据等比数列定义把这n-1个等式相乘得即当

时，上式也成立当

时，上式也成立累加法累乘法追问1.

我们还有其他方法推导等比数列的通项公式吗？等差数列等比数列根据等差数列定义即根据等比数列定义即不完全归纳法追问2.

你能写出以上数列的通项公式吗？②③2048，4096，8192，16384，32768

①通项公式①

②

③

②③2048，4096，8192，16384，32768

①例1.

已知数列

是公比为

的等比数列.（1）若

求数列

的通项公式；（2）若

求n.解（1）由等比数列的通项公式可知，

因此

，数列

的通项公式为应用

基本量首项、公比例1.

已知数列

是公比为

的等比数列.（1）若

求数列

的通项公式；（2）若

求n.解（2）由已知得，知三求一例2.

证明：非零实数a,b,c成等比数列的充要条件是

b2=ac.证明

如果非零实数a,b,c成等比数列，由等比数列的定义得

，那么b2=ac.反过来，非零实数a,b,c满足b2=ac，即由等比数列的定义知，a,b,c成等比数列.因此，非零实数a,b,c成等比数列的充要条件是

b2=ac.问题5.

在等差数列中，我们学习了等差中项的概念，通过类比，等比数列中有什么样的概念呢？如何定义？等差数列等比数列在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，则M称为a与b的等差中项.在两个数a，b之间插入数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项.等差数列等比数列在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，则M称为a与b的等差中项.在两个数a，b之间插入数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项.任意的两个数都有等差中项.同号的两个数才有等比中项.例3.

某污水处理厂采用技术手段清除水中污染物的同时，还能生产出有用的肥料和清洁用水，在处理过程中，每小时可以从处理池中清除掉残留污染物的12％.（1）一天后污染物含量降低到什么程度？（2）使污染物含量减半至少要多少小时（

，结果保留整数）？例3.

某污水处理厂采用技术手段清除水中污染物的同时，还能生产出有用的肥料和清洁用水，在处理过程中，每小时可以从处理池中清除掉残留污染物的12％.解设污水中污染物的初始含量为a0，又设

nh后残留在池中的污染物含量为an，这个问题的数学模型是数列{an}，它满足因此数列{an}是以

0.88a0为首项，以0.88为公比的等比数列.利用通项公式，得

an=0.88na0.（1）

，所以一天后污染物含量大约降低到原来的5％.（2）当污染物含量减半时，由题意可得an=0.88na0=0.5a0，解得故使污染物含量减半至少要

6

h.1经历了什么？事实——概念（定义、表示）——应用3体会了什么？特殊与一般、本课小结2学会了什么？

等比数列的概念、4收获了什么？数学抽象、

化归与转化（类比）、