计数原理与概率讲义 高三数学二轮复习

计数原理与概率考点一排列与组合问题解决排列、组合问题的一般过程：(1)认真审题，弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素.例1(1)(多选)小许购买了一套五行文昌塔摆件(如图)，准备一字排开摆放在桌面上，下列结论正确的有()A.不同的摆放方法共有120种B.若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有36种C.若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有72种D.若要求“水塔”和“土塔”相邻，且“水塔”不摆两端，则不同的摆放方法共有36种(2)(2024·张家口模拟)有5位大学生要分配到A，B，C三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在A单位实习，则这5位学生实习的不同分配方案有种.(用数字作答)

[规律方法]排列、组合问题的求解方法与技巧(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化.跟踪演练1(1)(2024·义乌模拟)在义乌，婺剧深受民众喜爱.某次婺剧表演结束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相邻且老旦不排在最右边的不同排法总数是()A.36 B.48 C.60 D.72(2)(2024·宁波模拟)某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过5个转运环节，其中第1，2两个环节各有a，b两种运输方式，第3，4两个环节各有b，c两种运输方式，第5个环节有d，e两种运输方式.则快件从甲送到乙恰用到4种运输方式的不同送达方式有种.考点二二项式定理1.求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路：(1)利用通项公式将Tk+1项写出并化简.(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.(3)代回通项公式即得所求.2.对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解.例2(1)(2024·张家口模拟)(1-x2)(1+x)5的展开式中x4的系数为()A.-5 B.5 C.-10 D.10(2)(多选)已知(1-2x)2025=a0+a1x+a2x2+…+a2025x2025，则下列结论中正确的是()A.a1+a2+a3+…+a2025=-2B.a1-a2+a3-a4+…-a2024+a2025=1-32025C.a1+2a2+3a3+…+2025a2025=4050D.|a1|+|a2|+…+|a2025|=32025[规律方法]二项式(a+b)n的通项公式Tk+1=Cnkan-kbk(k=0，1，2，…，n)，它表示的是二项展开式的第k+1项，而不是第k项；其中Cnk是二项展开式的第k+1项的二项式系数，而二项展开式的第跟踪演练2(1)(2024·武汉模拟)若(1+2x)10=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a10(1+x)10，则a2等于()A.180 B.-180 C.-90 D.90(2)(2024·全国甲卷)13+x10考点三概率1.古典概型的概率公式P(A)=事件A2.条件概率公式设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，则P(B|A)=P(3.全概率公式设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)=nΣi=1P(Ai)·P(B|Ai例3(1)(2024·苏州模拟)有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为()A.12 B.1C.14 D.(2)(多选)(2024·广州模拟)甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球(两箱中的球除颜色外没有其他区别)，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件A1和A2表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则()A.P(A1)=35 B.P(B)=C.P(B|A1)=950 D.P(A2|B)=[规律方法]求概率的方法与技巧(1)古典概型用古典概型概率公式求解.(2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解.(3)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解.跟踪演练3(1)(2024·景德镇模拟)六位爸爸站在幼儿园门口等待接六位小朋友放学，小朋友们随机排成一列队伍依次走出幼儿园，爸爸们也随机分两列队伍依次排队站在幼儿园门口的两侧，每列3人.则爸爸们不需要通过插队就能接到自己家的小朋友的概率为()A.16 B.1C.172 D.(2)(多选)(2024·兰州模拟)英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件A，B存在如下关系：P(A|B)=P(A)A.使用支付方式1支付的用户中有10%的人遇到支付问题B.使用支付方式2支付遇到支付问题与使用支付方式3支付遇到支付问题的概率不同C.要将出现支付问题的概率降到0.05，可以将支付方式1支付通道关闭D.减少支付方式3支付的人数有可能降低出现支付问题的概率

答案精析例1(1)ACD(2)50跟踪演练1(1)C(2)16例2(1)A[(1+x)5的展开式通项为Tk+1=C5kx则(1-x2)(1+x)5的展开式中含x4的项为C54x4-x2·C52x2=C54所以(1-x2)(1+x)5的展开式中x4的系数为-5.](2)AB[对于A选项，令x=1，则a0+a1+a2+a3+…+a2025=-1，又a0=C20250所以a1+a2+a3+…+a2025=-2，故A正确；对于B选项，令x=-1，则a0-a1+a2-a3+…-a2025=32025，-a1+a2-a3+…-a2025=32025-1，故a1-a2+a3-a4+…-a2024+a2025=1-32025，故B正确；对于C选项，记y=(1-2x)2025=a0+a1x+a2x2+…+a2025x2025，则y'=-4050(1-2x)2024=a1+2a2x+…+2025a2025x2024，令x=1，则a1+2a2+3a3+…+2025a2025=-4050，故C错误；对于D选项，(1-2x)2025的通项