2025年高考一轮复习特训：多面体与求内切外接问题（八大题型）（原卷版）

特训09多面体与求内切外接问题（八大题型）

方法归纳4

一、外接球问题

若一个简单多面体的所有顶点都在一个球面上，则该球为此多面体的外接球。简单多面体的外接球问

题是立体几何的重点和难点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心位置问题，其中球心位置的确定

是关键，下面介绍几种常见的球心位置的确定方法。

如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球

的球心。由此，可以得到确定简单多面体外接球的球心位置有如下结论：

结论1：正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点。

结论2:正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点。

结论3：直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点。

结论4：正棱锥外接球的球心在其高上，具体位置通过构造直角三角形计算得到。

结论5：若棱锥的顶点可构共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。

二、内切球问题

若一个多面体的各个面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这

个多面体的内切球。因此，多面体内切球球心到该多面体各个面的距离相等。并非所有多面体都有内切球,

下面介绍几种常见多面体内切球问题：

1.正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心到多面体任一面的距离。

2.正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合。

题型归纳

目录：

♦题型01:三棱柱

♦题型02:四棱锥

♦题型03:棱台

♦题型04:侧棱垂直于底面

♦题型05:正方体、长方体

♦题型06:其他多面体

♦题型07:三棱锥

♦题型08:折叠问题

♦题型01:三棱柱

1.在一个封闭的直三棱柱ABC-A4cl内有一个体积为V的球，若AB工3C,AB=6,AC=10,朋=5,

则球的体积的最大值为（）

A.三n32

B.——71C.27KD.36TI

63

2.在正三棱柱ABC-A与G中，AB=AA,=4,E为线段CG上动点，。为BC边中点，则三棱锥A-BDE外

接球表面积的最小值为.

3.已知正三棱柱的底面边长为4—,高为6,经过上底面棱的中点与下底面的顶点截去该三棱柱的三个角,

如图1,得到一个几何体，如图2所示，若所得几何体的六个顶点都在球。的球面上，则球。的体积为（）

图1图2

AR475-80^/5n160正

A.O（J7ID.-------71C.--------71L）.---------兀

333

4.如图，在直三棱柱ABC-A4G中，侧棱长为2,ACJ.BC,AC=3C=1,点。在上底面（包含

边界）上运动，则三棱锥o-ABC外接球半径的取值范围为（）

♦题型02:四棱锥

5.四棱锥P—ABCD中，平面平面ABCD,底面ABCD为矩形，PA=PD,AB=2,BC=2。若

四棱锥P-ABCD的外接球表面积为20兀，则四棱锥P-ASCD的体积为（）

A.4石B.12A/3C.生叵或4石D,4石或12百

3

6.已知正四棱锥尸-ABCD的侧棱长为如，且二面角P-AB-C的正切值为2应，则它的外接球表面积

为（）

4025

A.12兀B.—7iC.87rD.—兀

32

♦题型03:棱台

7.已知正四棱台ABC。-=半球的球心。在底面AAGA的中心，且半球与该棱台的各棱

均相切，则半球的表面积为（）

A.9兀B.1871C.27KD.367r

8.在正三棱台ABC-A2G中，44=26,AB=4有，二面角片-BC-A的正弦值为半，则ABC-A⑻G

的外接球体积为（）

A80兀口160扃n65^6571

C.40扃LJ,----------------

336

♦题型04:侧棱垂直于底面

9.如图，四棱锥P-ABCD中，尸面A8CD,四边形ABCD为正方形，B4=4,PC与平面ABC。所成

C.34兀D.1471

10.如图，在四面体ABCQ中，与△5CD均是边长为2指的等边三角形，二面角A-BD-C的大小

为90。，则四面体ABC。的外接球表面积为

♦题型05:正方体、长方体

11.已知正方体ABC。-的棱长为4,点£是棱8的中点，尸为四边形8RG内（包括边界）的一

动点，且满足男尸〃平面3AE，男尸的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（）

A.8c兀B.24兀C.18几D.3缶

12.已知一个长方体的封闭盒子，从同一顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,盒内有一个半径为1的小球,

若将盒子随意翻动，则小球达不到的空间的体积是（）

2022

A.36——71B.32——71

33

,40

C.60—12TID.60-----兀

3

♦题型06:其他多面体

13.如图1,一圆形纸片的圆心为。，半径为4g,以。为中心作正六边形ABCD£F,以正六边形的各边

为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆。上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图

形如图2所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台.若该

正六棱台的高为卡，则其外接球的表面积为（）

357r

D.

—

14.六氟化硫，化学式为SR,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在

电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作

是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体E-AfiCD-尸的棱长为

。，下列说法中正确的个数有（）

E

①异面直线AE与BF所成的角为45。；

②此八面体的外接球与内切球的体积之比为36;

③若点P为棱上的动点，则AP+CP的最小值为2岛；

④若点。为四边形ABC。的中心，点。为此八面体表面上动点，且则动点Q的轨迹长度为空即.

A.1个B.2个C.3个D.4个

♦题型07:三棱锥

15.若三棱锥S-ABC的所有顶点都在半径为2的球。的球面上，S3为球。的直径，且AC=20,则该三

棱锥的最大体积为（）

A.-B.-C.3D.—

333

16.在正三棱锥A-BCD中，分别为AC、3c的中点，P为棱CD上的一点，且尸C=2PD,MNIMP,

若BD=R，则此正三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（）

A.3nB.6兀C.8兀D.9兀

17（多选）.已知三棱锥P-ABC的底面A3C是直角三角形，PAL平面ABC,PA=AB=AC=2,则（）

A.三棱锥尸-45c外接球的表面积为12兀

B.三棱锥尸-ABC外接球的表面积为487r

C.三棱锥尸一ABC内切球的半径为三也

3

D.三棱锥尸—ASC内切球的半径为主诋

9

18（多选）.如图，在正三棱锥P—中，PB=&C=2娓,2E分别是棱AC,尸2的中点，M是棱尸C

上的任意一点，则下列结论中正确的是（）

p

B

A.PB1AC

B.异面直线DE与AB所成角的余弦值为:

C.AAf+MB的最小值为用’

D.三棱锥P-A5c内切球的半径是@

10

19.如图，正三棱锥尸-ABC的侧面和底面ABC所成角为a,正三棱锥Q-ABC的侧面和底面ABC所成角

为由A8=2g，尸和。位于平面ABC的异侧，且两个正三棱锥的所有顶点在同一个球面上，则

NPBQ=,tan(a+0的最大值为.

♦题型08:折叠问题

20.在41BC中，AB=AC=2,ABAC=120°,过点A作垂足为点M,将_ABC沿直线AM翻折,

使点8与点C间的距离为3,此时四面体的四个顶点都在球。的球面上，则球。的表面积为（）

A.5M兀B.IOTTC.身昼D.13n

36

21.如图1,在矩形A3CZ）中，AB=1,BC=2,M是边BC上的一点，将ABM沿着AM折起，使点8到

达点P的位置.

图1图2图3

（1）如图2,若M是BC的中点，点N是线段的中点，求证：CN〃平面E4M；

（2）如图3,若点P在平面AMCD内的射影”落在线段AD上.

①求证：CD_L平面E4D；

②求点M的位置，使三棱锥尸-法加的外接球的体积最大，并求出最大值.

模拟精练

一、单选题

1.（2024・新疆•三模）设四棱台的上、下底面积分别为岳，S2,侧面积为S,若一个小球

与该四棱台的每个面都相切，则（）

2

A.S=S,S2B.S=S]+邑

C.S=2y[S^D.A=&+厄

2.（2024•陕西西安•模拟预测）已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为2的扇形，则此圆锥内切球

的表面积为（）

A.13兀B.—兀C.KD.—7i

81505

JT

3.（2024陕西安康.模拟预测）如图，在三棱锥S-ABC中，AB=3C=SC=2,ZCAB=~,。为3C的

7T

中点、，SDLBC,SA与平面ABC所成的角为“则三棱锥S-钻C外接球的表面积为（

20兀-22兀

A.B.C.D.——

33"T3

4.（2024・广东.模拟预测）建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底

小，底部多为圈足且圈足较浅（如图所示），因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建

盏的上半部分抽象成圆台QQ,已知该圆台的上、下底面积分别为16兀cn?和971cm2,高超过1cm,该圆台上

、下底面圆周上的各个点均在球。的表面上，且球。的表面积为lOOnnf,则该圆台的体积为（）

5.（2024•江西鹰潭•三模）在菱形ABCD中，AB=2,AC=273,将ABC沿对角线AC折起，使点8到

达k的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥2'-4co的外接球的表面积为（）

A.5兀B.1671C.20TID.100兀

6.（2024•湖北荆州•模拟预测）三棱锥尸-A5c的四个顶点在球。的球面上，AB=6,BC=8,AC=10,

顶点尸到一的三边距离均等于4,且顶点P在底面的射影在一ABC的内部，则球。的表面积等于（）

7.（2024河北沧州•三模）《几何补编》是清代梅文鼎撰算书，其中卷一就给出了正四面体，正六面体（立

方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种正多面体的体积求法.若正四面体尸-ABC的棱长为2后，

M为棱上4上的动点，则当三棱锥ABC的外接球的体积最小时，三棱锥"-ABC的体积为（）

A.孚B.4点C.46D.

8.（2023•浙江•模拟预测）如图1,直角梯形A3CD中，AB//DC,XDCB^90,DC=BC=AB^2,^AB

中点E,将3CE沿EC翻折（如图2）,记四面体ECZ）的外接球为球。（。为球心）.尸是球。上一动

点，当直线AO与直线AP所成角最大时，四面体尸-AEC体积的最大值为（）

A*B.逑「4加4A/10

15515

二、多选题

9.（2024•山西晋中.模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABC。-44GA中，G为8片的中点，则下列

结论正确的有（）

A.CG与aa所成角的余弦值为萼

B.与平面ABG的交点》是ABG的重心

C.三棱锥已-84G的外接球的体积为4居

D.8月与平面A2G所成角的正弦值为"

3

10.（2024・浙江绍兴•三模）平行四边形ABC。中A5=2AD=2,且/BAZ）=60。，AB、C£）的中点分别为E、

F,将VADE沿。E向上翻折得到△;＞叫,使尸在面BCDE上的投影在四边形BC£）E内，且尸到面BCZ5E的

距离为亚，连接PC、PF、EF、PB,下列结论正确的是（）

3

A.PD=PF

B.PD±BC

C.三棱锥P-DEF的外接球表面积为3万

D.点。在线段PE上运动，则1221+1Q81的最小值为也+石

11.（2024.山东济宁.三模）如图，在直三棱柱A