2025年高考数学一轮复习：解三角形的最值和范围问题【九大题型】解析版

解三角形的最值和范围问题重难点【九大题型】

【题型1三角形、四边形面积的最值或范围问题】................................................2

【题型2三角形边长的最值或范围问题】........................................................5

【题型3三角形周长的最值或范围问题】........................................................8

【题型4三角形的角（角的三角函数值）的最值或范围问题】....................................12

【题型5利用基本不等式求最值（范围）】.....................................................15

【题型6转化为三角函数求最值（范围）】.....................................................17

【题型7转化为其他函数求最值（范围）】.....................................................21

【题型8“坐标法”求最值（范围）】.........................................................25

【题型9与平面向量有关的最值（范围）问题】.................................................29

►命题规律

1、解三角形的最值和范围问题

解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或

与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，主

要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的

关键是建立起角与边的数量关系.

►方法技巧总结

【知识点1三角形中的最值和范围问题】

1.三角形中的最值（范围）问题的常见解题方法：

（1）利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）；

（2）利用基本不等式求最值（范围）；

（3）转化为三角函数求最值（范围）；

（4）转化为其他函数求最值（范围）；

（5）坐标法求最值（范围）.

2.三角形中的最值（范围）问题的解题策略：

（1）正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运

用.解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究

其最值（范围）.

（2）转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略

三角形中最值（范围）问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利

用三角函数的范围求出最值或范围.

（3）坐标法求最值（范围）求最值（范围）问题的解题策略

“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边

角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结

合三角函数、基本不等式等知识求其最值.

►举一反三

【题型1三角形、四边形面积的最值或范围问题】

【例1】（2024•河北石家庄•三模）在△ABC中，角4、B、C所对的边分别为a、b、c,c=4,ab=9.

2

（1）若sinC=求sin力•sinB的值；

（2）求△ABC面积的最大值.

【解题思路】⑴根据正弦定理可得sinA=（sinB=也从而可求sin4♦sinB的值；

（2）利用基本不等式可得a2+b222ab=18,再根据余弦定理可得cosC的范围，从而可得sinC的范围，结

合三角形面积公式，即可得△48C面积的最大值.

【解答过程】⑴由正弦定理扁=4=51=6,可得sin4=，inB=3,

oiiiusm£>oiii/ioo

b9

：■sin/•sinB=-r--=—=

6636

(2)0•,ab=9,a2+&2>2ab=18,

由余弦定理可得>2ab—161

cosC=-18-9,

ion

:.-<cosC<1,0<1—(cosC)2<—,

・•.0<sinC<S=|a6sinC=|sinf<2近,

当且仅当a=b=3时，等号成立，此时面积取得最大值2西.

【变式1-1］（2024•全国•模拟预测）记锐角三角形4BC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosZ=

V3—acos^,2asinC=V3.

⑴求4

(2)求△48c面积的取值范围.

【解题思路】(1)方法一：由余弦定理角化边求解；方法二：由正弦定理边化角求解.

(2)利用正弦定理得。=鬻=叵芈母=总+*结合△48C为锐角三角形，求得5<C<?进而求

sinesinC2tanC2sz

得|<6<2,即可求解.

【解答过程】(1)方法一：由余弦定理，得万义生萨=遍一ax之铲，解得c=g.

又2asinC=8，所以由正弦定理，得sin4=竺乎=J

又△2BC为锐角三角形，所以力=也

方法二：由题意知，bcosA=2asinC—acosB.

由正弦定理得sinBeos/=2sin4sinC—sin/cosB,

所以sinBeos/+cosBsin/=2sin4sinC,

所以sin(B+4)=2sinZsinC,即sinf=2sinXsinC；

又因为sinC力0,所以sinA=发又因为4e(0,。所以

(2)由正弦定理得匕=csinB=低in(A+C)_VIsin4cosc+V^cos〉sinC=W।」

sinCsinCsinC2tanC2'

f0<C<^

因为为锐角三角形，所以八/口5n2

解得所以tanC>V^,所以|<bV2.

因为c=所以SA4BC=[besinZ=乎5，所以V率

故△4BC面积的取值范围为(竽,冬).

【变式1-2](2024•辽宁•模拟预测)如图，在平面内，四边形ZBCD满足B,。点在2C的两侧，AB=1,

BC=2,△2CD为正三角形，设乙48C=a.

D

BC

(1)当a=g时，求AC；

(2)当a变化时，求四边形A8CD面积的最大值.

【解题思路】(1)在△ABC中，由余弦定理可得2C的值；

(2)由余弦定理可得4c2的表达式，进而求出正三角形4CD的面积的表达式，进而求出四边形4BCD的面积

的表达式，由辅助角公式及a的范围，可得四边形面积的范围.

【解答过程】(1)因为4B=1,BC=2,B=j,

由余弦定理可得：AC=7AB2+BC2-24B•BCcosB=Jl+4-2xlx2x|=V3.

(2)由余弦定理可得=人5+BC2—2AB-BCcosa=1+4—2xlx2cosa=5—4cosa,

因为△力CD为正三角形，所以S3CD=哼4c2=乎_^cosa,

44

SAABC=^AB-BCsina=1x1X2sina=sina,

所以S四边形4BCD=S^ABC+S&ACD=sina—V3cosa+=2sin(a-5)+^

因为ae(0,n),所以学，

所以sin(a—1)(-苧,1]，

所以S四边形4BCDC俘2+鸣，

故当a=今时，四边形4BCD面积的最大值为2+竽

【变式1-3](2024•上海・三模)己知△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且遮a=2csinA.

⑴求sinC的值;

(2)若c=3,求△48C面积S的最大值.

【解题思路】⑴由正弦定理即可得sinC=当；

(2)由余弦定理结合重要不等式可得ab取值范围，再由三角形的面积公式S4wc=^1bsinC可求出面积的最

大值.

【解答过程】(1)由题意可知，=2csinZ,

由正弦定理得gsinZ=2sinCsin4

因为CW(0m),所以sin^wo,

BPsinC=孚

(2)由(1)可知sinC=当，

所以C=三或C=y--

在△力BC中，由余弦定理得

AB2=AC2+BC2-2ACXBCcosC,

当C=5时,c=3,

1

9=b2+a2—2ab--=b2+a2—ab>2ab—ab=ab,

当且仅当a=b=3时取等号，即

故△Z8C的面积=—absinC=fab4

当。=啰时，c=3,

22

9=拉+。2+2B•|=64-a+ab>2ab+ab=3abf

当且仅当a=b=遍时取等号，即ab<3,

故△的面积=5absinC=申~ab<

Z44

综上所述，△ABC的面积最大值为乎.

【题型2三角形边长的最值或范围问题】

【例2】(2024•四川•三模)在△4BC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,且满足2csinBcosA=b

(sin^cosB+cosTlsinB).

(1)求4;

⑵若△ABC的面积为16g,。为"的中点，求BD的最小值.

【解题思路】(1)根据正弦定理进行边化角得cos4=：,则得到4的大小；

(2)利用三角形面积公式得尻=64,再利用余弦定理和基本不等式即可得到最值.

【解答过程】(1)因为2csinBcoSi4=b(sinAcosB+cosXsinB),

由正弦定理可得2sinCsinBcos/=sinBsin(/+B)=sinFsinC,

又C€(0,T[),BG(O,ir),故sinCW0,sinBH0,

1IT

所以cos/=又/G(0m),故/=-

(2)SMBC--cbsinA=16g,又4=・•・be=64,

22

在△B/D中，由余弦定理BO?=B/2+ZO2-2SO•cos/=c+(1)-2c•1•cosp

=c2+[—gcb>2lc2­——[cb=gcb=32,

42y422

当且仅当c=1=4或时取等号，

•••8。的最小值为4vL

【变式2-1］（2024•江西•模拟预测）在△ABC中，角A,B,。所对的边分别记为a,b,c,且tanZ=

cosB—sinC

cosC+sin夕

⑴若B=F，求c的大小.

(2)若a=2,求b+c的取值范围.

【解题思路】(1)由tanA=—.,得sinAcosC+sinZsinB=cosAcosB—cosAsinC,再利用两角和差的

cosc+sino

正余弦公式化简，进而可求得48的关系，即可得解；

（2）利用正弦定理求出瓦c,再根据4B的关系结合三角函数的性质即可得解.

cosB-sinCcosB—sinC

【解答过程】(1)因为tanA=所以鬻=

cosC+sinB9cosC+sinB'

即sirL4cosc+sinAsinB=cosAcosB—cosAsinC,

即sin/cosC+coSi4sinC=cosAcosB—sinAsinB,

所以sin。+C)=cos(TI+B),即sinB=cos(.4+B),

而e(0,11),所以B+A+B=]或B—(X+B)=p

所以/+2B=］或/=—］（舍去），

又因为8=也所以4=也

所以。=竽；

（2）由（1）得4+2B=去

因为sinZ—sinB-sinC,

匚匚[、17asinB2sin82,sin-2sin3

所以力=MT=MT=sin(A2B)=薪，

_asinC_2sinC_2sin(、+B)_2cosB

sin/sinZsin(-—cos2B,

川2(sinB+cosB)_2(sinB+cosB)_2__^2_

、cos2Bcos2fi-sin2ficosB-sinBcos^B+^j1

’0<B<IT

又由1°屋一28Vn,得0<B<；,

0<-+^<n

I2

所以?<8+：<?所以0<cos(8+》<¥，

所以6+c€(2,+oo).

A

【变式2-2](2024•广东广州•三模)在锐角△ZBC中，内角力,B,C的对边分别为防b,c,且。=bsin,

+acosB.

(1)求/;

⑵若。是边BC上一点(不包括端点)，且〃BD=Nb4D,求需的取值范围.

【解题思路】(1)根据题意，利用正弦定理和三角形的内角和定理，化简得至ijsint=cos4进而求得sint=

即可求解.

(2)设乙4BO=N84O=x(0<x<9,在△48中，利用正弦定理，化简得到累=—1+萼一，根据

\3/V3+tanx

题意，结合正切函数的性质，即可求解.

AA

【解答过程】(1)c=bsin-+acosB,・•・sinC=sinBsin-+sinZcosB,

又/+B+C=n,可得sinC=sin(X+B)=sinZcosB+cosZsinB,

•••sinAcosB+cosAsinB=sin^sin-+sinylcosB,

/TC

•••sinBcoSi4=sinBsin-,又0<B<-,sinBW0,

可得cos4=sinp所以1—2sin2^=sin*解得sing=|■或sin?=—1,

v0<i4<p所以sing=g,即4=)

(2)设N4BD=乙BAD=x(0<x<则2。"=^-x,Z.ACD=y-x,

Z-ABD=乙BAD,AD=BD,

在△acz）中，由正弦定理得黑=累=_]+26,

DU/\Lfsin(^—xjV3cosx+sinxV3+tanxV3+tanx'

因为△ABC为锐角三角形，所以0<%<三且0（与一x<*贝哈<x<5,

(o,9,所以需e(o,£).

所以tanxe停，⑸，可得g+tan久e（竽,2甸，所以T+播

在p1—sin/_sinB

【变式2-3］（2024•江西鹰潭•二模）△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,[两足cosZ-cosB'

（1）求证：4+2B=5；

（2）求等的最小值.

【解题思路】（1）根据题意，化简得到sin（4+B）=cosB=sin（5—B）,即可得证；

（2）由（1）知2=^—2B且C=：+B,利用正弦定理得到白竺=4COS2B+六一5,结合基本不等式，即

可求解.

【解答过程】（1）证明：由1s*："=空可得471且sirh4cosB+cosAsinB=cosB,

cosAcosBz

所以sin（4+B）=cosB=sinQ—8）,

因为4B为三角形的内角，可得4+8=5—8,即4+28=9得证.

(2)解：由(1)知/=]—28,且C=11—/—3=5+8,

日斤J]/+炉_siMZ+siMB_cos22B+sin2R_(2COS28-1)2+1—COS2B

c2sin2ccos2Bcos2B

所以*丝=4COS2B+扁一5N4五—5,当且仅当=亭时，等号成立,

C"COS^-D2.

所以更用的最小值为4鱼-5.

C乙

【题型3三角形周长的最值或范围问题】

【例3】（2024•安徽淮北•二模）记△4BC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知c—b=Zcsir^

⑴试判断△ABC的形状；

（2）若c=1,求△4BC周长的最大值.

【解题思路】（1）根据题意，求得cos4=%利用余弦定理列出方程，得到。2+/=©2,即可求解；

（2）由（1）和c=L得到a=sin/,b=cos4则△ZBC周长为1+sinZ+cosZ,结合三角函数的性质,

即可求解.

【解答过程】⑴解：由C—6=2csin2^,可得sin2j=F，所以上誓=^,

Z22c22c

即：_等=^_,，所以cos4=*

又由余弦定理得生芸卫=2,可得。2+/）2=。2,所以c=3

2bccz

所以△ZBC是直角三角形

（2）解：由（1）知，△4BC是直角三角形，且c=l,可得a=sin4,b=cos/,

所以△/BC周长为1+sinA+cosA=1+V^sin（4+：），

因为力e（o,J,可得4+在&,苧）,

所以，当4=今时，即△ABC为等腰直角三角形，周长有最大值为夜+1.

【变式3-1]（2024・四川绵阳•模拟预测）已知在△ABC中，。为8c边的中点，且4。=店.

（1）若△2BC的面积为2,coszXDC=求B；

⑵若45+n2=18,求△28C的周长的最大值.

【解题思路】（1）根据题意，利用三角形的面积公式，求得BD=1,由余弦定理，求得2B=2夜，再由

正弦定理求得sinB=乎，进而求得B的值；

（2）设CD=BD=x,分别在△ABD和△仞/）中，利用余弦定理，列出方程求得x=2,结合（4B+4C）2<2

（AB2+AC2）,即可求解.

【解答过程】（1）解：因为△ABC的面积为2,且D为BC的中点，

1

可得SMBD=^\AD\\BD\sin^ADB=1,

又因为sinN力DB=sinzXPC=等，可得BD=1,所以BC=2

在△4BD中，由余弦定理得AB?=AD2+BD2-2AD-BD-cos^ADB

=(㈣之+/_2x而x1x等=8,所以2B=2VL

由正弦定理缶=篇，可得singT，

因为N40C+乙ADB=TtS.cosz.ADC=

可得COSNADB=COS(TT—/.ADC)=—cosz.ADC=—^<0,

即NADB为钝角，所以B为锐角，所以B=：.

(2)解：设CD=BD=x,分别在△4BD和△4CD中，

由余弦定理AB?=AD2+BD2-2AD-BD-cosZTlDB,

即AB?=x2+5—2%-VScos/-ADB,同理可得4c2=%2+5+2%-y/^cosZ-ADB,

所以482+AC2=2(%2+5)=18,可得x=2,

又因为(4B+4C)2V2(482+4。2)=36,当且仅当4B=4C时，等号成立，

所以48+ACW6,所以△ABC周长的最大值为10.

【变式3-2](2024•云南曲靖•二模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,hc,且acosC+gcsin

A=b+c.

(1)求角B的取值范围；

(2)已知△ABC内切圆的半径等于孚，求△ABC周长的取值范围.

【解题思路】(1)由正弦定理可得sirh4cosc+V^sinCsinZ=sinB+sinC,利用三角恒等变换可得sin(4—，

)=|,可求角B的取值范围；

(2)由三角形的面积可求得。=—b—c+bc,结合余弦定理可得(6c)2—2bc(b+c)+(b+c)2=(6+c)2

—36c,计算可得b+cW2或b+cN6,进而可求得

△力BC的周长L=a+b+c=7b2+c2_2bccos4+b+c,设△4BC与圆内切于点。，瓦尸,

b+c=AC+AB>AD+AF=3,进而分析可得△ABC的周长的取值范围.

【解答过程】(1),•・acosC+V3csiny4=b+c

由正弦定理得：sin/lcosC+V3sinCsini4=sinB+sinC,

・•・sin4cosc+V3sinCsin?l=sinB+sinC,：•sin4cosc+VSsinCsin^=sin(4+C)+sinC,

・••V3sinCsin?l=cosAsinC+sinC.

sinCHO,•••V3sini4=cos/+1,•••sin(X—3=1.

(2)vS=^bcsinA=9bc,S=|(a+b+c)-r='(a+b+c),

・,・a+b+c=be,即a=—b—c+be,

由余弦定理得:a2=b2+c2—be.

222

・•.(he)—2bc(b+c)+(b+c)=(b+c)—3bcf

/.be=2(h+c)—3.(bc)2—2bc=2(b+c)—3,

vbe<(^)2(当且仅当b=c时取等号)，

••・2(b+c)—3<(",)2,b+c<2或b+c>6.

4

■2

设△48c与圆内切于点，用F,则ID=AF=r-tan60°=

••・b+c=AC+AB>AD+AF=3

Ah+c>6(当且仅当b=c=3时取等号).

△/BC的周长L=a+b+c=Vb2+c2—2bccosA+b+c,

,--------------------b+c2

=J(b+c)2—3bc++c>(b+c)2—3(---)+b+c

N幺

=|(b+c)29(当且仅当6=c=3时两处都取等号).

Lmin=9,

--c=AB>DB=^=品(<B<y),

B->0时，c7+8,LT+8,

・•.△ABC的周长的取值范围是[9,+oo).

【变式3-3](2024•湖南常德•一模)已知△ABC的内角4B,C的对边分别是a力,c,且龈=26.

⑴判断△4BC的形状；

(2)若的外接圆半径为或，求△ABC周长的最大值.

【解题思路】(1)使用正弦定理对条件进行边化角，再用三角恒等变换证明8=C；

(2)先用基本不等式证明sin力+sinB+sinC<孚，然后利用正弦定理与外接圆半径的关系可得到

a+6+c<3V6,最后说明等号可以取到，即得结果.

【解答过程】(1)由正弦定理并结合已知有sinBcosC+sinCcosB=sin(8+C)=sin/=竺詈=之A。：—_?

sinBcosf.

故sinBcosC=sinCcosB,从而sin(B—C)=sinBcosC—sinCcosB=0.

由于e(0,TI),从而B—CE(—TTJT),故由sin(B—C)=0可知B=C,所以△ZBC一定是等腰三角形.

(2)设△/BC的外接圆半径为R.

一方面，我们有sin4+sinB+sinC=sin(B+C)+sinB+sinC

=sinBcosC+sinCcosB+sinB+sinC

2sinB•V3cosC2sinC-V3cosB

=--------------------1----------------------1-sinB+sinC

2V32V3

sin2^+3cos2csin2c+3cos2B

<---------------------1----------------------1-sinB+sinC

2V32V3

sin2B+3—3sin2Csin2c+3—3sin2B

=-------------------------1---------------------------1-sinB+sinC

2V32V3

=——sin2^+sinB——sin2C+sinC+V3

=-氧sinB-f)Z-氨sinC—日『+竽w竽，

故a+b+c=2R(sin/+sinB4-sinC)<2R•苧=242-苧=3V6；

另一方面，当是边长为遍的等边三角形时，有a=b=c=返,A=B=C=^.

此时97=率=2乃=2b,R==V2,且。+力+。=3伤.

cosc—zsin/i^'~2~

所以△力BC周长的最大值是3乃.

【题型4三角形的角(角的三角函数值)的最值或范围问题】

【例4】(2024•内蒙古呼和浩特•一模)记△力BC的内角4B,C的对边分别为a,6,c.若a=®b=2,则B+C

的取值范围是()

A•俘，制B.怦,n)

C•悟再)D-(PT]

【解题思路】先根据边的关系求出c的范围，然后表示出cos4求出其范围进而可得4的范围，则B+C的取

值范围可求.

【解答过程】根据三角形三边关系可得2―旧<c<2+V3,

即cosa=Z*=处浮

由对勾函数y=久+：单调性可知，其在（2—低1）上单调递减，在（1,2+遮）单调递增;

即cosa="（C+9e卜，1），可得ae（0方,所以B+Ce停刀）.

故选：B.

1C

【变式4-1]（2024•内蒙古呼和浩特•二模）在△力BC中，角4、B、C的对边分别为a、b、c,若应+方=

黄京，贝（JtanA-的最小值为（）

1

A.~BD.

-1C19

【解题思路】由题意化简可得。2—小=第2,根据余弦定理可得COS/=卷、cosC=一卷进而tanC=-9tan

A<0,贝Utan力一1焉=tan4+高i，结合基本不等式计算即可求解.

Laiiuvuan/i

【解答过程】由2+2=忌，得。2+步=02,所以©2—a2=评,

4aza，44

9b。2+炉”2b

由余弦定理得COS/="+：丁2="+/2

~8cfcosC=

2ab2ab8a'

9b

-,cosi49a9sin/弗丁巾,口sinC八sin/-

所rr以］:=第=——=--r,整理得力=一9-「，o即ntanC—9tan>l,

cost—csinCcostcosA

8a

由cosC=—^-<0,知C为钝角，所以tanC=—9tanA<0,则tan/>0.

8c

所以tan/—7^7=tan422/tan4•」一=1,

tanC9tanZ79tan43

当且仅当tan4=—BPtan>l=，时等号成立,

LaliyiD

所以当tanA=2时,tanA—焉的最小值为之

JLallCJ

故选：B.

【变式4-2]（2024•陕西宝鸡•二模）△4BC中，。为BC边的中点，AD=1.

（1）若△ABC的面积为2VI，且N2DC=半求sinC的值：

（2）若BC=4,求cosNBAC的取值范围.

1____

【解题思路】（1）由S4wc=ROBC，利用面积公式求出。C，在△4DC中由余弦定理求出2C,再由正弦

定理求出sinC；

3

(2)设乙40C=e,06(0,71),分别利用余弦定理表示出/炉、AC2,从而得到cos/BZC=—

V25-16cos20，

再由余弦函数的性质计算可得.

【解答过程】(1)因为。为边的中点，所以SA4DC=TSA4BC=B，

又SAAOC=夕。♦DCsinNADC=遍，即3x1xDCxsing=遍，解得DC=4,

在△力DC中由余弦定理4c2=AD2+DC2_2AD.DCcos^ADC,

即4t72=12+42_2x1X4X(-1)=21,所以4C=V21,

在△可中由正弦定理金=煞，即詈=熹，解得sinC得

(2)设N/OC=/3G(0,71),

在△408中由余弦定理/B2=AD2+BD2-2AD-BDcus^ADB,

即ZB2=I2+22-2x1X2cos(it-6)=5+4cos仇

在△ZDC中由余弦定理=AD2+。。2_2AD.DCcos^ADCf

2

即=12+2-2x1x2cos。=5-4COS0,

AB2+AC2-BC25+4cos0+5—4cos0—163

在△中由余弦定理cosNb4c，

-2ABAC-2A/5+4COS0-V5-4COS0V25-16cos26>

因为ee(o,ii),所以cos2ee[o,i),贝U25—I6cos2。e(9,25],

所以425—16cos2Je(3,5],

1

所以

V25-16cos26»需，a

V25-16cos20G(~1>~1](即COS的。C(—1,—

【变式4-3](2024•北京石景山一模)在锐角中，角4B,C的对边分别为a,hc,且2bsin4—8

CL—0.

(1)求角B的大小；

(2)求cosA+cosC的取值范围.

【解题思路】(1)由正弦定理边化角求解即可；

(2)由⑴可知8=与所以4+C=与，所以将cosA+cosC转化为同一个角的三角函数，最后求其值域

即可.

【解答过程】(1)因为2bsin4—遮a=0,由正弦定理边化角得:

2sinBsinX—V3sinX=0,所以（2sinB—g）sinZ=0,

由于在中，sirh4H0,所以2sinB—仃=0,

即sinB=孚，又OVBV、，所以3=].

（2）由（1）可知8=三，所以/+。=亨，

所以cos44-cosC=C0Si4+cos停一4）=cosX+cos亨cos4+sin竽sin4

1V31V3/IT\

=cosA——cosA+--sinA=—cosA+--sin4=sinI＞1+­I

2222'6，

（0V空_4V21

由于在锐角△ZBC中，014Vp2,所以与V4V（

所以三＜4+方〈与，所以siWVsin（4Ws吗

所以苧＜sin（力+》＜1,所以cosA+cosC的取值范围为停,1].

【题型5利用基本不等式求最值（范围）】

【例5】（2024•山西太原•三模）已知△ABC中，A=120°,D是BC的中点，且AD=1,则△ABC面积

的最大值（）

A.V3B.2V3C.1D.2

【解题思路】利用中线得到4=/+c2—儿，结合不等式得出beW4,进而得到面积的最大值.

【解答过程】因为4=120。，所以同•通=|荏||就|3120。=一为以

因为4。是中线，所以而=*而+尼），AD2=i（AB2+AC2+2AB-AC）,

所以4=扶+c2—be2be,当且仅当b=c时，等号成立；

△ABC面积为S=jbesinX＜|x4x^=V3.

故选：A.

【变式5-1]（2024•黑龙江哈尔滨•三模）已知△4BC的内角4,B,C的对边分别为a,6,c,且a=边上中

线2D长为1,则比最大值为（）

A.7B;C.V3D.2V3

4Z

【解题思路】根据两角互补余弦值之和等于0,然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方

程求出〃+c2=?,然后利用基本不等式求出最值即可.

【解答过程】由题意得NADB+乙40c=m

所以COSZJWB+cosZ-ADC=0,

又。=收且。是的中点，所以08=0。=浮

4。2+8。2一文2_E

在△4B0中，cosZ.ADB=

2AD-BDV3，

222

在△4DC中，cosZ-ADC=AD+CD-b_

2ADCDV3，

\-b2

所以cos/ZOC+cosZ-ADB=4____4-4_____=o,

V3V3

即扶+c2=|,得2bc<b2+c2=g=bc<p当且仅当力=c=字取等号,

故选：A.

111

【变式5-2](2024•安徽合肥・二模)记△力8c的内角4,B,C的对边分别为a,6,c,已知c=2,—+—+嬴通西

=1.则△ABC面积的最大值为()

A.1+V2B.1+V3C.2V2D.2G

【解题思路】由题意及正切与正弦与余弦的关系，两角和的正弦公式及余弦公式可得角C的大小，再由余弦

定理及基本不等式可得ab的最大值，进而求出该三角形的面积的最大值.

11-1

【解答过程】因为言+赢+商研=L可得tan4+tanB+l=tan4tanB，

口口sin/,sinB,.sinAsinB

即=+百+1=台前,

整理可得sinZcosB+cosXsinF+cosAcosB=sin^sinB,

即sin(4+8)=—cos(X+B),

在三角形中sin(/+8)=sinC,COS(T4+B)=—cosC,

即sinC=cosC,C6(0,n),可得C=p

由余弦定理可得c?=炉+小—2abcos74->2ab-42ab,当且仅当a=b时取等号,

而c=2,

4

所以ab<—~7==2(2+V2),

Z—VN

所以S△力BC=gabsinC<|-x2(2+V2)x乎=1+V2.

即该三角形的面积的最大值为1+V2.

故选：A.

【变式5-3]（2024・浙江台州•二模）在aABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若acosC=2ccos

A,则写的最大值为（）

A.V3B.|C.YD.3

【解题思路】根据题意，由余弦定理代入化简，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.

22222

【解答过程】由余弦定理可知，cost=«+&-c=b+c^-a^

2ab2bc

由acosC=2ccosA可得Q•它庄h_2c•"苦二叱,

2ab2bc

化简可得"2+b2—c2=2b2+2c2—2a2,

2

所以3a2=b+3/,即Q2=3c2,

当且仅当？=年时，即6=声。时，等号成立,

所以占的最大值为李

故选：C.

【题型6转化为三角函数求最值（范围）】

【例6】（2024•辽宁沈阳•模拟预测）在△ABC中，内角/,B,C所对的边分别为a,b,c,且

sin^C-sinCsinB=1

cos2B—cos2A

（1）求角N的大小；

（2）若△4BC为锐角三角形，点尸为△ABC的垂心，AF=6,求CF+BF的取值范围.

【解题思路】（1）由正弦定理及余弦定理可得cosA的值，再由角4的范围，可得角4的大小；

（2）设NF4B=a,分别在两个三角形中，由正弦定理可得BF,CF的表达式，由辅助角公式可得BF+CF

的取值范围.

【解答过程】（）因为sin2C-sinCsinB

1cos2B—cos2A=1,

所以sin2c—sinCsinB=cos2B—cos2A=1—sin2B—1+sin2/,

所以sir^B+sin2c—si/Z=sinCsinB,

由正弦定理可得拉+c2—a2=be,

由余弦定理可得cos/=更端正=JAe（O,n）,

2bcz

可得力

(2)延长2尸交BC于。，延长BF交AC于E,延长CF交48于P,4尸=6,

根据题意可得BC14。BELAC,因为皿8=或所以NEBA="CP=也

设"■力B=a,a6(。》在△回/中，由正弦定理可得占=缶，

6RF.

即丁=--,可得=12sina,

2sina

同理在△CF4中，可得CF=12sin(1-a),

所以BF+CF=12[sina+sin(^—a)]=12(sina+^cosa—|sina)

=12(|sina+亨cosa)=12sin(a+^),

因为ae(0»所以a+(e(翳),

所以sin(a+§G/1],

所以BF+CFe(6点12].

B

【变式6-1](2024•辽宁•模拟预测)已知443。的内角48,。的对边分别为£1力£,(£：一7^?¥也。=(a-/?)

(sin/+sinB).

⑴求a；

(2)若△ABC为锐角三角形，且b=6,求△ABC的周长/的取值范围.

【解题思路】(1)根据正弦定理角化边，结合余弦定理，即可求得答案；

(2)利用正弦定理求出a,c的表达式，根据△4BC为锐角三角形确定2的范围，求出三角形周长的表达式

并化简，结合正切函数性质，即可求得答案.

【解答过程】(1)由题意知△4BC中,(c-V36)sinC=(a-fo)(sin4+sinB),

即(c—Wb)c=(a—b)(a+b),BP^2+c2-a2=#bc,

故cosA==浮而0<2<it,二4=?；

(2)由(1)知B+C=K，而b=6,

o

故由正弦定理得卷=熹=肃，则口=鬻=亮

6sinC_6sinQ4+B)_6sin(fi+^)_o/o'_i_3cosB

sinBsinBsinBsinB

由△力BC为锐角三角形，则c=£—Be(o,p,Be(oW),则Be信,)

故△力BC的周长1=。+6+。=熹+6+3疗+需

3(1+cosB)6cos2y

6+3V3+=6+3V3d--------5----n

sinB.DD

2nsmicos2

-3

=6+3旧+域,

而tang£(字1)，故tan?€(3,3V3)，

故△ABC的周长的取值范围为(94-3V3,6+673).

【变式6-2](2024•河北衡水•一模)在△4BC中，内角4BC所对的边分别是a,6,c,三角形面积为S,若。为

4C边上一点，满足4B1BD.BD=2,且a?=-竽S+abcosC.

⑴求角B；

.71—.

(2)求而+而的取值范围.

【解题思路】(1)结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得tanB=—g,进而求解即可;

1271

(2)在△BCD中由正弦定理可得DC=y，在RtaABD中，可得AD==，进而得到k+为7=sinA+sin

C,结合三角恒等变化公式化简可得2+2=sin(c+?,进而结合正弦函数的图象及性质求解即可.

r\LfGLJ\3，

【解答过程】(1)・.・层=—竽s+ab