2025高考数学冲刺复习：概率与分布列归类（原卷版）

培优冲刺08概率与分布列归类

2

优题型大集合

目录

题型一:正态分布含参型................................................................1

题型二：二项分布型求参................................................................2

题型三：二项分布与正态分布综合........................................................3

题型四：图标型分布列基础..............................................................4

题型五：比赛模式......................................................................5

题型六：射击模型......................................................................5

题型七：双盒子换球模式................................................................6

题型八：取球模式......................................................................7

题型九：三人比赛模式..................................................................7

题型十：马尔科夫链基础型..............................................................8

题型十一：马尔科夫链综合..............................................................9

题型十二：马尔科夫链：机器人一维游走模型............................................10

题型十三：求导型分布列...............................................................12

题型十四：分布列第19题压轴型题......................................................13

题型一：正态分布含参型

正态分布概念与性质：

1(%—4)2

(1)若X是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为/(x)=^^e2拼,XGR(其中小。

，2乃a

是参数，且b>0,-8<〃<+8)。

其图像如图13-7所示，有以下性质：

①曲线在x轴上方，并且关于直线x=〃对称；

②曲线在x=〃处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；

③曲线的形状由b确定，b越大，曲线越“矮胖”，b越小，曲线越“高瘦”；

④/(x)图像与x轴之间的面积为1.

图13-7

(2)与=〃,4,记作J〜NJ,").

当〃=o,b=l时，4服从标准正态分布，记作4〜N(O,1).

(3)J~N(〃,O-2),则&在(〃一cr,〃+cr),(〃一2cr,〃+2cr),(〃一3b,〃+3cr)上取值的概率分

别为68.3%,95.4%,99.7%,这叫做正态分布的3cr原则。

1.(22-23高三上•江苏南京)已知随机变量且

P(|X-4<1)+尸(|X-2"N1)+P(〃+1VX<2〃+1)=1,则〃=()

A.-1B.0C.1D.2

2.(2022•江苏常州・模拟预测)已知随机变量J服从正态分布若函数f(x)=P(xV"x+2)是偶

函数，则实数〃=()

A.0B.；C.1D.2

3.(22-23高三下•重庆沙坪坝•阶段练习)随机变量J服从正态分布N(3,4),且尸(曲一3上0)，=2尸偌420),

则”=()

14

A.gB.1C.-D.3

23

4.(2024高三•全国专题练习)设*~儆1,办其正态分布密度曲线如图所示，且外心3)-0.0228,那么

向正方形0/16。中随机投掷20000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为()

[附随机变量4服从正态分布ML介贝UR〃-cvf<〃+o)R.6826,R〃-2cv<f<〃+2o)=0.9544]

C.14056D.7539

题型二：二项分布型求参

二项分布：

若在一次实验中事件发生的概率为P(0<;?<1),则在〃次独立重复实验中恰好发生4次概率0(4=氏)=

CpkQ—p)i(k=0,1,2,…,叫,称孑服从参数为〃,p的二项分布，记作4-B(n,p),E^=np

Dx-npq.

1.（陕西省延安市宝塔区第四中学2022-2023学年数学试题）在〃次独立重复试验（伯努利试验）中，若

每次试验中事件A发生的概率为〃则事件A发生的次数X服从二项分布3（”,p）,事实上，在伯努利试验

中，另一个随机变量的实际应用也很广泛,即事件A首次发生时试验进行的次数Y,显然尸（¥=%）=p（l-p）z,

k=l,2,3,我们称y服从“几何分布”，经计算得叮=5.据此，若随机变量X服从二项分布

时，且相应的“几何分布”的数学期望则〃的最小值为（）

A.6B.18C.36D.37

2.（福建省厦门外国语学校2022-2023学年模拟数学试题（1）已知随机变量X服从二项分布8（“,。），且

9

E（X）=9,D（X）=；,贝IJ"=（）

4

A.3B.6C.9D.12

3.（山西省吕梁市柳林县部分学校2022-2023学年数学试题）设随机变量4服从二项分布3（",°）,若

E©=L2,Dq）=0.96,则实数，，的值为.

题型三：二项分布与正态分布综合

离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质

（1）离散型随机变量J的分布列

40・・・

PPl2。3Pn

@3</?,.<l（l<z<n,ze^*）；

②。1+0+P”=l•

（2）纥表示自的期望：纭也+~+4以，反应随机变量的平均水平，若随机变量鼻〃满足

r）-a^+b,贝IJ纥=aE&+b.

（3）2表示j的方差：？=（。g）2口+值-EJ02++（£-EJP”，反映随机变量4取值的波动

性。？越小表明随机变量越稳定，反之越不稳定。若随机变量〃满足〃=aj+b,则与=。2与。

1.（2024天津南开,一模）已知随机变量X~N3b2）,y~8（6,p）,且尸（XN4）=；,E（X）=E（Y）,贝”=

2.（22-23高三广西河池•）已知随机变量X,y,X~d4,；］,Y~N（〃,b2）,且E（F）=8尸（X=2）,又

尸（琼0）=尸（y/+2）,则实数加的值为（）

A.0或2B.2C.-2或2D.-2

3.（22-23湖南常德•阶段练习）已知两个随机变量X,Y,其中X~B（8,；）,若〃=E（X）,

p（y<o）=o.2,则尸（4wy<8）=（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

4.（22-23山西吕梁模拟）已知随机变量X,y,X~«6,；1y~N（〃,b2）,且E（X）=E（Y）,又

P（Y<-3m）=P（Y>m2）,则实数加的值为（）

A.T或4B.-154或1D.5

题型四：图标型分布列基础

求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：

（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；

（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；

（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如

超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.

1.（辽宁省锦州市辽西育明高级中学2022-2023学年数学试题）为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生

的美育教育，某校开展了传统艺术书画知识趣味竞赛活动,一共3题，答题规则如下，每队2人，其中1人

先答题，若回答正确得10分，若回答错误，则另一人可补答，补答正确也得10分，得分后此队继续按同

样方式答下一题；若2人都回答错误，则得0分且不进入下一题，答题结束.已知第一队含有甲、乙两名队

员，其中甲答对每道题目的概率为:，乙答对每道题目的概率为:，每道题都是甲先回答，且两人每道题

目是否回答正确相互独立.甲乙两人回答正确与否也互相独立.

⑴求第一队答对第1题的概率；

⑵记X为第一队获得的总分，求随机变量X的分布列和数学期望.

2.（陕西省咸阳市武功县2022-2023学年数学试题）某电视台举行冲关直播活动，该活动共有三关，只有

一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关,已知第一

关的通过率为07第二关通过率为05第三关的通过率为0.3,三关全部通过可以获得一等奖（奖金为300

元），通过前两关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，则奖金可以累加

为500元,假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动.

⑴求甲最后没有得奖的概率；

⑵已知甲和乙都通过了第一关，求甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率.

3.（贵州省贵阳市五校2023届高三联合考试（五）理科数学试题）某学校组织“消防”知识竞赛，有A,8

两类题目.每位参加比赛的同学先在两类题目中选择一类并从中随机抽取一道题回答，若回答错误则该同

学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结

束.4类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；8类问题中的每个问题回答正确得60分，否则

得0分已知小明能正确回答A类问题的概率为0.7,能正确回答B类问题的概率为0.5,且能正确回答问题

的概率与回答次序无关

（D若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

⑵为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

题型五：比赛模式

比赛模式思维点：

1.比赛几局？

2.“谁赢了”；

3.有没有平局

4.赢了的必赢最后一局；

5.比赛为啥结束？

6.有没有“抽签

1.（广东省佛山市H7教育共同体2022-2023学年联考数学试题）甲、乙两队进行篮球冠军争夺赛，比赛采

取三局二胜制，甲队每局取胜的概率为!.甲队有一名核心球员，如果核心球员在比赛中受伤，将不能参

加后续比赛，甲队每局取胜的概率降为:，若核心球员在每局比赛受伤的概率为:.

42

⑴在核心球员一直未受伤的条件下，甲队以2:0取胜的概率；

⑵甲队以2:1取胜的概率.

2.（天津市河西区2022-2023学年数学试题）在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国

队.比赛实行5局3胜制.根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是1.

⑴求中国队以3:0的比分获胜的概率；

⑵求中国队在先失1局的前提下获胜的概率；

⑶假设全场比赛的局数为随机变量X,在韩国队先胜第一局的前提下，求X的分布列和数学期望E（X）.

3.（河北省邯郸市六校2022-2023学年数学试题）甲、乙两位围棋选手进行围棋比赛，比赛规则如下：比

赛实行三局两胜制（假定没有平局），任何一方率先赢下两局比赛时，比赛结束，围棋分为黑白两棋，第

一局双方选手通过抽签的方式等可能的选择棋色下棋，从第二局开始，上一局的败方拥有优先选棋权.已知

甲下黑棋获胜的概率为下白棋获胜的概率为|,每位选手按有利于自己的方式选棋.

⑴求甲选手以2:1获胜的概率；

⑵比赛结束时，记这两人下围棋的局数为X,求X的分布列与期望.

题型六：射击模型

1.打了几枪？

2.为啥结束？

3.是否有子弹限制？

4.最终结束，是因为子弹打完，还是因为“完成任务”

5.有没有限制：如是“连续两枪击中”（或脱靶）还是“累计两枪击中”（或脱靶）

1.某靶场有A,2两种型号的步枪可供选用，其中甲使用A3两种型号的步枪的命中率分别为g,；；,

⑴若出现连续两次子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，若击中标靶至少3次，则可以获得

一份精美礼品，若甲使用8型号的步枪，并装填5发子弹，求甲获得精美礼品的概率；

⑵现在A3两把步枪中各装填3发子弹，甲打算轮流使用43两种步枪进行射击，若击中标靶，则继续

使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲首先使用A种型号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶

或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，记X为射击的次数，求X的分布列与数学期

望.

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2.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是彳和;假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每

人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.

⑴求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；

⑵求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；

⑶若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率.

3.（上海市进才中学2022-2023学年数学试题）甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分

别为0.4,0.6,0.7.飞机恰被一人击中而击落的概率为0.2,恰被两人击中而击落的概率为0.8,若三人都

击中，飞机必定被击落.

⑴求飞机恰被一人击中的概率；

⑵求飞机被击落的概率；

⑶已知飞机被击落，求三人都击中飞机的概率.

题型七：双盒子换球模式

双盒子换球模式：

1.过去得是啥颜色球。

2.来的是啥颜色球

3.是同时换，还是A到B先放再从B到A取

4.换了几次，为啥结束

1.（2023.河南新乡.统考三模）现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个

球.

⑴求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率.

⑵已知甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出i[=L2,3）个球进行交换，记交

换后甲盒子中的红球个数为X,X的数学期望为耳（X）.证明：E1（X）+E3（X）=4.

2.（23-24高三上•广东湛江•阶段练习）已知有甲，乙两个不透明盒子，甲盒子装有两个红球和一个绿球，

乙盒子装有三个绿球，这些球的大小，形状，质地完全相同.在一次球交换的过程中，甲盒子与乙盒子中

各随机选择一个球进行交换，重复几次该过程，记甲盒中装有的红球个数为X”.

⑴求X2的概率分布列；

（2）求E（X.）.

3.（2023.广东茂名.二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈.马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，

即第〃+1次状态的概率分布只跟第"次的状态有关，与第〃-2,〃-3,…次状态是“没有任何关系的”.

现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个

球交换，重复进行“次操作后，记甲盒子中黑球个数为X",甲盒中恰有1个黑球的概率为。“，恰

有2个黑球的概率为a.

（1）求X]的分布列；

⑵求数列｛〃“｝的通项公式；

⑶求X”的期望.

题型八：取球模式

取球模式：

1.一次取几个。

2.两个以上球，是一次性取出还是一个一个取。

3.是否放回。

4.为啥停止取球，停止条件是什么

1.（23-24湖南长沙.阶段练习）某商城进行促销活动，购买某产品的顾客可以参加一次游戏：在一个不透明

箱子中放入红、蓝、黄三种颜色的小球各1个，顾客从中有放回地取出小球，直到取出的小球集齐了三种

颜色则停止取球.设顾客停止取球时，取过的小球次数为X,

（1）求P（X=3）；

（2）设“23,数列线=尸（X=〃）,求｛叫的通项公式;

⑶顾客停止取球时，取过的小球次数为X,顾客可以获得对应的y元奖金，其中y=1三1,求证：

3

2.（2024.辽宁大连.一模）一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的7个小球，其中4个白球，3个黑球，

现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球.

⑴求停止取球时盒中恰好剩3个白球的概率；

⑵停止取球时，记总的抽取次数为X,求X的分布列与数学期望：

⑶现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个盒子中，甲盒装3个小球，其中2个白球，1个黑球：

乙盒装4个小球，其中2个白球，2个黑球.采取不放回的方式先从甲盒中每次随机抽取一个小球，当盒中

只剩一种颜色时，用同样的方式从乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球颜色和甲盒剩余小球颜色相同，或者

乙盒小球全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为匕求丫的数学期望，并从实际意义解释X与丫的数

学期望的大小关系.

3.（22-23山东烟台•模拟）已知甲、乙两个袋子中各装有形状、大小、质地完全相同的3个红球和3个黑球，

现设计如下试验：从甲、乙两个袋子中各随机取出1个球，观察两球的颜色，若两球颜色不同，则将两球

交换后放回袋子中，并继续上述摸球过程；若两球颜色相同，则停止取球，试验结束.

⑴求第1次摸球取出的两球颜色不同的概率；

⑵我们知道，当事件A与8相互独立时，有P（AB）=P（A）P（3）.那么，当事件A与8不独立时，如何表示

积事件的概率呢？某数学小组通过研究性学习发现如下命题：P（AB）=P（A）P（B|A）,其中P（网A）表

示事件A发生的条件下事件3发生的概率，且对于古典概型中的事件A,B,有尸（叫力=个才.依据上

述发现，求“第2次摸球试验即结束”的概率.

题型九：三人比赛模式

1.（2020•全国高考真题（理））甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘

汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一

场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终

获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为

（1）求甲连胜四场的概率；

（2）求需要进行第五场比赛的概率；

（3）求丙最终获胜的概率.

2.（2022•黑龙江哈尔滨・高三开学考试）甲乙丙三人进行竞技类比赛，每局比赛三人同时参加，有且只有一

个人获胜，约定有人胜两局（不必连胜）则比赛结束，此人直接赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为

乙获胜的概率为9，丙获胜的概率为5，各局比赛结果相互独立.

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（1）求甲在3局以内（含3局）赢得比赛的概率；

（2）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）.

3.（2022•浙江省杭州学军中学开学考试）甲、乙、丙、丁四名选手进行羽毛球单打比赛.比赛采用单循环

赛制，即任意两位参赛选手之间均进行一场比赛.每场比赛实行三局两胜制，即最先获取两局的选手获得

胜利，本场比赛随即结束.假定每场比赛、每局比赛结果互不影响.

⑴若甲、乙比赛时，甲每局获胜的概率为g,求甲获得本场比赛胜利的概率；

⑵若甲与乙、丙、丁每场比赛获胜的概率分别为试确定甲第二场比赛的对手，使得甲在三场

比赛中恰好连胜两场的概率最大.

题型十：马尔科夫链基础型

马尔可夫链：

若P（X“+EIx“=i，x口）=P（X“+5Ixq=与，即未来状态x.只受当前状态x”的影响，

与之前的…,X°无关.

1.（23-24高三上•山东威海期末）甲、乙、丙3人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能

地传给其余2人之一，设匕表示经过"次传递后球传到乙手中的概率.

⑴求匕口；

⑵证明：优t是等比数列，并求尸一

⑶已知：若随机变量X,服从两点分布，且P（Xj=l）=l-P（X，=0）=%,1=1,2,则=.记前“次

Z=1Z=1

（即从第1次到第"次传球）中球传到乙手中的次数为y,求E（y）.

2.（23-24高三上•江苏南京•阶段练习）篮球是一项风靡世界的运动，是深受大众喜欢的一项运动.

喜爱篮球运动不喜爱篮球运动合计

男性6040100

女性2080100

合计80120200

⑴为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到如上2x2列

联表，判断是否有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关.

尸（八%）0.1000.0500.0250.0100.001

叫)2.7063.8415.0246.63510,828

2

2_n^ad-bc')

',(a+6)(c+d)(〃+c)(&+d),n=a+b+c+d.

⑵校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可

能的将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的

人为第1次触球者，第"次触球者是甲的概率记为只，即［=1.

①求4(直接写出结果即可)；

②证明：数列］勺为等比数列，并比较第9次与第10次触球者是甲的概率的大小

3.(2023•云南昆明,模拟预测)从甲、乙、丙、丁、戊5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确

定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将

球传出.

(1)记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望；

⑵若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记”次传球后球在甲手中的概

率为用(〃=L23,…).

①直接写出鸟，鸟的值；

②求尸向与匕的关系式(〃N)并求出爪〃N*).

题型十一：马尔科夫链综合

马尔科夫不等式

设X为一个非负随机变量，其数学期望为E(X),则对任意£>0,均有尸(X2£)〈C区,

马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的

关系.

证明：当X为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：

设X的分布列为P(X=%)=R,i=l,2,其中p”(0,+co),%e［0,+8)(i=l,2,则对任意

1=1

£>O,P(X*)=EAWE-A='2>加=2过，其中符号SA表示对所有满足士冷的

Xj>eXj>££Xj>££i=l£x(>£

指标，所对应的a求和.

1.甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若

骰子点数大于3,则甲将球传给乙，若点数不大于3,则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4,

则乙将球传给甲，若点数不大于4,则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3,则丙将球传给

甲，若骰子点数不大于3,则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中.

(1)设前三次投掷骰子后，球在甲手中的次数为X,求随机变量X的分布列和数学期望；

(2)投掷九次骰子后(〃eN*),记球在乙手中的概率为心，求数列｛，/的通项公式；

(3)设服=^---।-2,求证.4_工<&+玖++-^-<—(neN*)

⑶攻|3p〃-1|本此234d3<+12、>-

2.乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮.无论

之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为06乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮

的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

3.（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第i次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量X,服从两点分布,且P（X,=1）=1—P（X,.=0）=分i=l,2,则

=之l.记前〃次（即从第1次到第〃次投篮）中甲投篮的次数为F,求E（Y）.

\z=lyi=\

3.（2024届•武汉高三开学考）有编号为1,2,3，…，18,19,20的20个箱子，第一个箱子有2个黄球1

个绿球，其余箱子均为2个黄球2个绿球，现从第一个箱子中取出一个球放入第二个箱子，再从第二个箱

子中取出一个球放入第三个箱子，以此类推，最后从第19个箱子取出一个球放入第20个箱子，记化为从

第i个箱子中取出黄球的概率.

（1）求02,/（2）求，20.

题型十二：马尔科夫链：机器人一维游走模型

一维随机游走模型：

设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻£=0时，位于点x=i（ieN+）,下一个时刻，它将以

概率a或者夕（ae（0,l）,a+，=l）向左或者向右平移一个单位.若记状态表示：在时刻/该点位于

位置x=4eN+）,那么由全概率公式可得：

P（X,+l=i）=P（X,=i-l）P（X,+l=i|Xe）+P（X曰JP（X,+l=z

另一方面，由于方XM/XIT）=£,尸（X,+~|X,*i）=a,代入上式可得：

R=a-P、+[+万片.「

进一步，我们假设在x=0与x=7〃（根＞0,根eN+）处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游

走.于是，4=0,以=1•随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.

进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为。，原地不动，其概率为6,向右平

移一个单位，其概率为c,那么根据全概率公式可得：

R=aPi+\+bPi+cR[

1.（湖南省长沙市浏阳市第一中学2022-2023学年高三上学期第六次月考数学（理）试题）商品种类齐全、

性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数

据（其中表示2015年，“产2”表示2016年，依次类推；J/表示人数）：

X12345

乂万人）2050100150180

（1）试根据表中的数据，求出y关于X的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万

人；

（2）该公司为了吸弓I网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结

果，操控微型遥控车在方格图上行进.若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500

元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元,已知骰子出现奇数与偶数的概

率都是工，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一

2

次骰子，遥控车向前移动一次.若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从左到上+1）若掷出偶数遥控车向前移

动两格（从左到上+2）,直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。

设遥控车移到第〃（1</<19）格的概率为Pn,试证明｛匕-月-｝是等比数列，并求网购者参与游戏一次获

得免费购物券金额的期望值.

Zw”一位y

附：在线性回归方程$=%+6中，g=T----------,a=y-bx.

22

[xz-rix

Z=1

2.（江苏省苏州市2022-2023学年高三下学期2月学业质量调研数学试题）设数轴上有一只兔子，从坐标

x°=O开始，每秒以的概率向正方向跳一个单位，以（1-P）的概率向反方向跳一个单位，记兔子

第〃秒时的位置为马.

⑴证明:双玉）20；

⑵记/（"）是表达式占0（%=0,1,,〃）的最大值，证明：P（"O）>1-丁仆/⑺.

2Zp-i

3.（江西省景德镇一中2021-2022学年考数学试题）某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，

随机抽查了高一年级100位学生的某次数学成绩（单位：分），得到如下所示的频率分布直方图：

（1）估计这100位学生的数学成绩的平均值最；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）

⑵根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩X近似地服从正态分布N（〃，4）,经计算，（1）中

样本的标准差s的近似值为10,用样本平均数指作为〃的近似值，用样本标准差s作为。的估计值，现任抽

取一位学生，求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率；（若随机变量X~N（〃，/）,贝U

P（〃一bVXV〃+b）a0.6827,尸（〃-2b4XV〃+2b）a0.9545,尸（〃一3crVX4〃+3b）土0.9973）

⑶该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习,提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，

特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程序中”

玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品,小程序页面上有一

列方格，共15格，刚开始有只小兔子在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，每

次跳1格或跳2格，概率均为依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14格（奖励0分）或第

15格（奖励5分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第〃（14〃414）格的概率为匕，试证

明｛月+1-舄是等比数列,并求&（获胜的概率）的值.

题型十三：求导型分布列

1.（22-23高三全国,单元测试）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MEKS）

和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（ziCoV）是以前从

未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和

呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡,某医院为筛查冠

状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有〃（〃eN*）份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检

验，则需要检验〃次.方式二：混合检验，将其中k（左eN*且左22）份血液样本分别取样混合在一起检验.

若检验结果为阴性，这4份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为

阳性，为了明确这％份血液究竟哪几份为阳性，就要对这4份再逐份检验，此时这4份血液的检验次数总

共为Z+1.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是

阳性结果的概率为「（0<。<1）.现取其中々屋eN*且左i2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需

要检验的总次数为采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为多.

（1）若E（JJ=E催），试求夕关于々的函数关系式P=；

（2）若夕与干扰素计量%相关，其中士,々，，匕（〃22）是不同的正实数，满足玉=1且（〃22）

_1n-lr22_2

都有卷二上成立.

MXtXM尤2-玉

（/）求证：数列｛%｝等比数列；

,1

（//）当。=1-『时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的

期望值更少，求女的最大值

2.（2023•江西宜春模拟预测）超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀

的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，

更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而弓I起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷甚

至死亡某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有〃（〃eN*）份血液样本，每个

样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验〃次；（2）混合检验，将其

中左（左eN*且%>2）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，

因而这々份血液样本只要检验一次就够了，•如果检验结果为阳性，为了明确这4份血液究竟哪几份为阳性，

就要对这％份血液再逐份检验，此时这々份血液的检验次数总共为Z+1次.假设在接受检验的血液样本中，

每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为夕（0<P<D.现取其中

左屋eN*且份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为采用混合检验方式，

样本需要检验的总次数为曷.

（1）运用概率统计的知识，若E信）=£但），试求户关于左的函数关系式p=/（Z）；

（2）若Q与抗生素计量%相关，其中“演，无“（n>2）是不同的正实数，满足占=1,对任意的“eN*

1n—1

(n>2),都有一

i=lxtxMx；-X；

（/）证明：｛%｝为等比数列；

,1

（//）当。=1-『时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数期望值比逐份检验的总次数期望

值更少，求左的最大值.

参考数据：ln2a0.6931,In3®1.0986,In4«1.3863,ln5«1.6094,ln6«1.7918,

In7®1.9459,In8«2.0794,ln9=2.1972,In10«2.3026

3..（22-23高三上•河南•阶段练习）超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细

菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐

药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而弓I起可怕的炎症，高烧，痉挛，

昏迷，甚至死亡.

某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，每个样本取到

的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验”次；（2）混合检验，将其中左（左eN

且上22）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这左份的血液全为阴性，因而这％份

血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这4份血液究竟哪几份为阳性，就要对这左

份再逐份检验，此时这4份血液的检验次数总共为k+1次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验

结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为P（O</7<1）

现取其中％（keN*且左22）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为。，采用混合

检验方式，样本需要检验的总次数为^

（1）运用概率统计的知识，若E（4）=E值），试求关于上的函数关系式P=〃左）；

⑵若P与抗生素计量x“相关，其中4W，…，Z（〃22）是不同的正实数，满足占=1,对任意的〃eN*（府