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文档简介

2025届高考数学一轮复习专题训练一元函数的导数及其应用

一、选择题

1.已知函数/(力=/+。山(%—1)有极值点,则实数a的取值范围为()

A.(^0,0)0]C.^0,—D(—*a

2.若函数/(%)=三—3/+。有且仅有一个零点,则实数。的取值范围为().

A.(^x),0)l,(4,+co)B.(-oo,-8),(0,+oo)C.[0,4]D.(-8,0)

3.函数/(尤)=cosx+(x+l)sinx+l在区间[0,2兀]的最小值、最大值分别为()

兀兀3兀兀717137171c

A.——,—B.---,—C.——,—+2D.----,—+2

22222222

4.已知定义域为R的函数的导数为广(耳,且满足了'(x)<2x,/(2)=3,则不等式

/(%)>%2—1的解集是()

A.(^30,-1)B.(-l,+8)C.(2,+8)D.(_CO,2)

5.已知函数/(%)=1口%+3(〃£R)的最小值为1,贝!)〃=()

A.lB.lC.eD.-

2e

6.已知函数/5)=整土,若48是锐角△ABC的两个内角,则下列结论一定正确的是()

A./(sinA)>/(sinB)B./(cosA)>/(cosB)

C./(sinA)>/(cosB)D./(cosA)>/(sinB)

7.已知函数〃x)=d+加+区+c的部分图像如图所示,则以下可能成立的是()

A〃=2,b=l

C.Q=—2,b=1D.〃=2,Z?=-1

cosx,x<0

8.已知函数/(%)=Inx,则y=/(x)(%£R)的图象上关于y轴对称的点共有

,0<x<4兀

、x

()

A.1对B.2对C.3对D.4对

二、多项选择题

9.若函数/(尤)=b2—(a+3)x+2a+3]e、在x=l处取得极小值,则实数。的取值可以为()

A.2B.lC.OD.-1

10.下列命题正确的有()

A.已知函数/(%)在R上可导,若/'(1)=2,则典"1+2R—/⑴=2

(cosx\xsiwc+cosx

B・一=——2—

Vx7x

C.己知函数/(x)=ln(2x+l),若/=则

o

D.设函数〃尤)的导函数为了'(%),且/(力=犬+3靖(2)+lnx,则/⑵=一\

11.若函数f(x)=logfl(x-l)+log“+2(X+1)(0<a<1)在(1,HH»)上单调递减,则a的取值可以是()

A.0.39B.后C.0.42D.受

2

三、填空题

12.曲线y=2x—Inx在点(1,2)处的切线与抛物线y=a%2—ax+2相切,贝1Ja=.

13.已知函数/(x)=2siru—e、+ef,则关于尤的不等式/(%2_4)+/(3x)<0的解集为

14.已知定义在R上的函数"X)满足"2)=20,且/(光)的导函数/'(%)满足/'(%)>6必+2,

则不等式/(x)>2x3+2x的解集为.

四、解答题

15.函数y=/(x)的图象如图所示,试画出函数y=7'(x)在区间(0力)内图象的大致形状.

y

16.证明函数f(x)=2犬3—6/+7在区间(0,2)内单调递减.

17.求下列函数的极值:

(1)/(x)=6x2-x-2;

(2)/(x)=x3-Tlx;

(3)/(x)=6+12x-x3;

(4)f(x)=3x-x3.

1々

18.(例题)求函数/(%)二耳%3—4犬+4的极值.

19.证明不等式:x-l>lnx,xe(0,+oo).

参考答案

1.答案:B

解析:由题意得/•'(x)=2x+q=2・2x+“(x〉l),

x-1x-1

因为函数/(X)有极值点,

所以方程2尤2一2x+a=0在(1,y)上有根,且不是重根,

令g(x)=2x2-2x+a,

.A=4-8«>0

则解得a<Q,

g(X)=-2+a<0

所以实数a的取值范围为(-8,0),

故选B.

2.答案:A

解析:由题意知:f'(x)=3x2-6x,

;./'(%)>0时3x?-6》>0,得x<0或x>2;/'(x)<0时3d-6x<0,得0<x<2.

二/(x)在(-co,0)上递增,(0,2)上递减,(2,+8)上递增,

当x=0时,有极大值/(0)=a,当尤=2时,有极小值/(2)=a—4,

二只有当/(0)=a<0或/(2)=a—4>0时,函数/(x)有且仅有一个零点,

二。<0或。>4,

故选:A.

3.答案:D

解析:/(x)=cosx+(x+l)sinx+l,xe[0,2n],则

..713兀

ff(x)=-sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+l)cosx,xe[0,2兀].令ff(x)=0,得了二万或%二万.

因为/[■E[=cosf'+1]+l[sin]+l=2+5,/[m]=cosm+[g+l]sing+l=-g,且

/(0)=cos0+(0+1)sin0+1=2,/(2兀)=cos27i+(2兀+I)sin2兀+1=2,所以

+?/⑴2/用=卡.故选D

4.答案:D

解析:令g(x)=/(%)—则g<x)=O-2x<0,即函数g(x)在R上单调递减.

又不等式〃%)>为2_1可化为〃力_%2>一1,而g(2)=/(2)—22=3—4=—1,

所以不等式可化为g(x)>g(2),故不等式的解集为(-*2).

故选:D.

5.答案:A

解析:函数/(x)的定义域为(0,+00),广(乃=!-乌=占第,

XXX

当aW0时,尸(%)>0在(0,+8)内恒成立,

所以函数/(%)在(0,+00)内为增函数,此时/(x)无最小值,

当a〉0时,由尸(x)>0,得x>a,由尸(幻<0,得0<%<a,

所以函数/⑴在(0,a)内为减函数,在(a,+oo)内为增函数,

故当x=a时,/(x)取最小值,即/(幻皿=/(a)=Ina+1=1,故a=1.

故选:A.

6.答案:D

解析:因为/(,=吗,所以r(x)=—xsinxjcosx,

XX

当时,sinx>0,cosx>0,所以一xsin'-cosx<。,即/<0,

所以/(%)在上单调递减.

因为4,8是锐角△AB。的两个内角,所以A+3〉巴,则二>4>二—3>0,

222

因为y=cosx在上单调递减,

所以0<cosA<cos=

故/(cosA)>/(sinB),故D正确.

同理可得/(cosB)>/(sinA),C错误;

而A.B的大小不确定,故sinA与sin5,cosA与cosB的大小关系均不确定,

所以/(sinA)与/(sing)"(cosA)与/(cos3)的大小关系也均不确定,AB不能判断.

故选:D.

7.答案:C

解析:因为/(x)=I3+ax2+Z?x+c,则f'^x)=3x2+2ax+b^

由图象可知:/(%)在(0,+oo)内有两个极值点,即/<x)=0有两个不同的正根,

^=4a2-12b>0

a八a<-<36

则——>0,可得1

3b>0

r(o)=^>o

对比选项可知:ABD错误,C正确.

故选:c.

8.答案:D

解析:y=cosx是偶函数,其图象关于y轴对称,

由题意只要求出8(%)=85道%20)与/5)=皿(0<尤<4兀)的图象的交点个数即可得.

X

f(%)=-一,因止匕0vxve时,/(x)>0,/(x)递增,e<x<4兀时,

/'(%)<0,/(x)递减,/(%)max=/(e)=』,e<x<4兀时,/⑴>。,

e

又Ovxv兀时,g(%)=cosX递减,

兀<x<2兀时,g(x)递增,在(2兀,3兀)上递减,在(3兀,4兀)上递增,

且g(2兀)=g(4兀)=1=g(x)max,g(兀)=g(3兀)=—1=g(x)min,

作出/(x)与g(x)的草图,如下图,

结合图像可知/(幻与g(x)在(0,4兀)上有4个交点

故选:D

9.答案:CD

解析:已知/(无)=[/一(<7+3)尤+2。+3]6",函数定义域为R,

可得f\x)=-(a+l)x+a]e*=(x-l)(x-a)er,

因为函数/(x)在x=1处取得极小值,

所以函数/(%)在%=1的左侧单调递减,右侧单调递增,可得a<l,

则选项A和选项B错误,选项C和选项D正确.

故选:CD.

10.答案:CD

解析:对于A,lim"1+29―/⑴-21im*"2')一了⑴=2/⑴=4,故A错误.

——oAx盘一。2Ax'7

4十(cosx>l-%sinx-lxcosx-xsiwc-cosx3、口

对于B,——=--------------------=---------z-------,故B错误.

V%Jxx

对于C,y'(x)=^^(2x+l)'=?—,若/'(%)=1,则二一=1即/=1,故C正确.

2%+12%+12尤0+12

11a

对于D,/,(x)=2x+3/,(2)+-故/'(2)=4+3/'(2)+—,^/(2)=--,故D正确.

x;24

故选:CD.

11.答案:BCD

3匚/,/、11x[lna+ln(^+2)]+ln(tz+2)-In

用牛斫:/(x)=-------------1-------------------=-----------z------------------------------

(x-l)ln«(x+l)ln(tz+2)(x"-l)lna-ln(tz+2)

当0<a<l,x>l时,(X?-l)lna」n(a+2)<0,所以x[ln«+ln(«+2)]+ln(«+2)-lna>0对

XG(1,+8)恒成立,

设g(x)=x[lna+ln(fl+2)]+ln(fl+2)-In«,贝IIn«+ln(«+2)=ln(«2+2a)>0且

g(l)=21n(«+2)>0,

则矿+2a»l,解得g

故选:BCD.

12.答案:1

解析:y=2-士则所求切线的斜率为2-1=1,

X

故切线方程为y-2=x-1,

即y=x+l,当a=0时,y=2不是抛物线,

则亦0,联立,

y-ax-ax+2

ctx^—(Q+l)x+1=0,由A=(6Z+1)2—4tz—0,

得Q=1

故答案为:1

13.答案:{x|xvT或x>l}

解析:1eR,/(-x)=-2sinx-e-x+ex=-(2sinx+e-x-)=-f(x),

所以/(%)为奇函数,

/'(x)=-(e*+e-x—2cosx)<-2+2cosx<0,

当且仅当x=0等号成立,

所以/(x)在上单调递减,

由/(X2-4)+f(3x)<0得/(X2-4)<-/(3X)=/(—3龙),

可得%2—4>-3x,解得了v—4,或%>1,

所以不等式/(%2_4)+/(3x)v0的解集为卜|x<V■或%>1}.

故答案为:{x[Xv-4■或1>1卜

14.答案:(2,+co)

解析:4*g(x)=/(x)-2x3-2x»则g'(x)=7'(x)—6%2一2>0,

所以函数g(x)在R上单调递增,

因为g(2)=/(2)—2x23—2x2=20—16—4=0,

故原不等式等价于g(x)>g(2),所以x>2,

所以不等式y(x)>2/+2x的解集为(2,y0).

故答案为:(2,+8).

15.答案:见解析

解析:根据题意,在区间[0M]上,/(%)为常数,图象与x轴平行,其/'(x)=0,

在区间团,切上,/(x)递减,且减小的越来越快,则/'(x)<0且r(x)的值越来越小,故尸(x)的

图象大致如图:

y

ab

I

16.答案:证明见解析

解析:因为/(x)=2d—6f+7,所以/'(X)=6£—12x,

当xe(0,2)时,/'(%)=6f—12x<0,

所以函数/(x)=2X3-6X2+7在区间(0,2)上单调递减.

49

17.答案:(1)极小值为-一,无极大值

24

(2)极小值为/(3)=-54,极大值为/(—3)=54

(3)极小值为/(—2)=-10,极大值为/(2)=22

(4)极小值为/(—1)=—2,极大值为了⑴=2

解析:(1)/(x)=6x2一x一2的定义域为R,

令/'(x)=0,解得:x=—,列表得:

1

X

12

/'(X)-0+

_49

/(X)/

~24

所以函数/(x)=6f—x—2的极小值为一_无极大值.

24

(2)/(x)=/—27x的定义域为R,广(幻=3/一27.

令/(©=0,解得:x=±3,列表得:

X(-00,-3)-3(-3,3)3(3,+8)

f'M+0-0+

/(X)/54-54/

所以函数f(x)=X3-Tlx的极小值为/⑶=-54,极大值为/(—3)=54.

(3)/(x)=6+12x—三的定义域为R,r(x)=12—3/.

令尸(x)=0,解得:x=±2,列表得:

X(-8,-2)-2(-2,2)2(2,+8)

f'M-0+0-

/(X)-10/22

所以函数/(%)=6+12x—三的极小值为/(-2)=-10,极大值为/(2)=22.

(4)/(x)=3x-x3的定义域为R,/'(x)=3—3/.

令/(©=0,解得:x=±l,列表得:

X(-00,-1)-1(-1,1)1(1,+°0)

/'(X)-0+

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