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文档简介
2025届高考数学一轮复习专题训练一元函数的导数及其应用
一、选择题
1.已知函数/(力=/+。山(%—1)有极值点,则实数a的取值范围为()
A.(^0,0)0]C.^0,—D(—*a
2.若函数/(%)=三—3/+。有且仅有一个零点,则实数。的取值范围为().
A.(^x),0)l,(4,+co)B.(-oo,-8),(0,+oo)C.[0,4]D.(-8,0)
3.函数/(尤)=cosx+(x+l)sinx+l在区间[0,2兀]的最小值、最大值分别为()
兀兀3兀兀717137171c
A.——,—B.---,—C.——,—+2D.----,—+2
22222222
4.已知定义域为R的函数的导数为广(耳,且满足了'(x)<2x,/(2)=3,则不等式
/(%)>%2—1的解集是()
A.(^30,-1)B.(-l,+8)C.(2,+8)D.(_CO,2)
5.已知函数/(%)=1口%+3(〃£R)的最小值为1,贝!)〃=()
A.lB.lC.eD.-
2e
6.已知函数/5)=整土,若48是锐角△ABC的两个内角,则下列结论一定正确的是()
A./(sinA)>/(sinB)B./(cosA)>/(cosB)
C./(sinA)>/(cosB)D./(cosA)>/(sinB)
7.已知函数〃x)=d+加+区+c的部分图像如图所示,则以下可能成立的是()
A〃=2,b=l
C.Q=—2,b=1D.〃=2,Z?=-1
cosx,x<0
8.已知函数/(%)=Inx,则y=/(x)(%£R)的图象上关于y轴对称的点共有
,0<x<4兀
、x
()
A.1对B.2对C.3对D.4对
二、多项选择题
9.若函数/(尤)=b2—(a+3)x+2a+3]e、在x=l处取得极小值,则实数。的取值可以为()
A.2B.lC.OD.-1
10.下列命题正确的有()
A.已知函数/(%)在R上可导,若/'(1)=2,则典"1+2R—/⑴=2
(cosx\xsiwc+cosx
B・一=——2—
Vx7x
C.己知函数/(x)=ln(2x+l),若/=则
o
D.设函数〃尤)的导函数为了'(%),且/(力=犬+3靖(2)+lnx,则/⑵=一\
11.若函数f(x)=logfl(x-l)+log“+2(X+1)(0<a<1)在(1,HH»)上单调递减,则a的取值可以是()
A.0.39B.后C.0.42D.受
2
三、填空题
12.曲线y=2x—Inx在点(1,2)处的切线与抛物线y=a%2—ax+2相切,贝1Ja=.
13.已知函数/(x)=2siru—e、+ef,则关于尤的不等式/(%2_4)+/(3x)<0的解集为
14.已知定义在R上的函数"X)满足"2)=20,且/(光)的导函数/'(%)满足/'(%)>6必+2,
则不等式/(x)>2x3+2x的解集为.
四、解答题
15.函数y=/(x)的图象如图所示,试画出函数y=7'(x)在区间(0力)内图象的大致形状.
y
16.证明函数f(x)=2犬3—6/+7在区间(0,2)内单调递减.
17.求下列函数的极值:
(1)/(x)=6x2-x-2;
(2)/(x)=x3-Tlx;
(3)/(x)=6+12x-x3;
(4)f(x)=3x-x3.
1々
18.(例题)求函数/(%)二耳%3—4犬+4的极值.
19.证明不等式:x-l>lnx,xe(0,+oo).
参考答案
1.答案:B
解析:由题意得/•'(x)=2x+q=2・2x+“(x〉l),
x-1x-1
因为函数/(X)有极值点,
所以方程2尤2一2x+a=0在(1,y)上有根,且不是重根,
令g(x)=2x2-2x+a,
.A=4-8«>0
则解得a<Q,
g(X)=-2+a<0
所以实数a的取值范围为(-8,0),
故选B.
2.答案:A
解析:由题意知:f'(x)=3x2-6x,
;./'(%)>0时3x?-6》>0,得x<0或x>2;/'(x)<0时3d-6x<0,得0<x<2.
二/(x)在(-co,0)上递增,(0,2)上递减,(2,+8)上递增,
当x=0时,有极大值/(0)=a,当尤=2时,有极小值/(2)=a—4,
二只有当/(0)=a<0或/(2)=a—4>0时,函数/(x)有且仅有一个零点,
二。<0或。>4,
故选:A.
3.答案:D
解析:/(x)=cosx+(x+l)sinx+l,xe[0,2n],则
..713兀
ff(x)=-sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+l)cosx,xe[0,2兀].令ff(x)=0,得了二万或%二万.
因为/[■E[=cosf'+1]+l[sin]+l=2+5,/[m]=cosm+[g+l]sing+l=-g,且
/(0)=cos0+(0+1)sin0+1=2,/(2兀)=cos27i+(2兀+I)sin2兀+1=2,所以
+?/⑴2/用=卡.故选D
4.答案:D
解析:令g(x)=/(%)—则g<x)=O-2x<0,即函数g(x)在R上单调递减.
又不等式〃%)>为2_1可化为〃力_%2>一1,而g(2)=/(2)—22=3—4=—1,
所以不等式可化为g(x)>g(2),故不等式的解集为(-*2).
故选:D.
5.答案:A
解析:函数/(x)的定义域为(0,+00),广(乃=!-乌=占第,
XXX
当aW0时,尸(%)>0在(0,+8)内恒成立,
所以函数/(%)在(0,+00)内为增函数,此时/(x)无最小值,
当a〉0时,由尸(x)>0,得x>a,由尸(幻<0,得0<%<a,
所以函数/⑴在(0,a)内为减函数,在(a,+oo)内为增函数,
故当x=a时,/(x)取最小值,即/(幻皿=/(a)=Ina+1=1,故a=1.
故选:A.
6.答案:D
解析:因为/(,=吗,所以r(x)=—xsinxjcosx,
XX
当时,sinx>0,cosx>0,所以一xsin'-cosx<。,即/<0,
所以/(%)在上单调递减.
因为4,8是锐角△AB。的两个内角,所以A+3〉巴,则二>4>二—3>0,
222
因为y=cosx在上单调递减,
所以0<cosA<cos=
故/(cosA)>/(sinB),故D正确.
同理可得/(cosB)>/(sinA),C错误;
而A.B的大小不确定,故sinA与sin5,cosA与cosB的大小关系均不确定,
所以/(sinA)与/(sing)"(cosA)与/(cos3)的大小关系也均不确定,AB不能判断.
故选:D.
7.答案:C
解析:因为/(x)=I3+ax2+Z?x+c,则f'^x)=3x2+2ax+b^
由图象可知:/(%)在(0,+oo)内有两个极值点,即/<x)=0有两个不同的正根,
^=4a2-12b>0
a八a<-<36
则——>0,可得1
3b>0
r(o)=^>o
对比选项可知:ABD错误,C正确.
故选:c.
8.答案:D
解析:y=cosx是偶函数,其图象关于y轴对称,
由题意只要求出8(%)=85道%20)与/5)=皿(0<尤<4兀)的图象的交点个数即可得.
X
f(%)=-一,因止匕0vxve时,/(x)>0,/(x)递增,e<x<4兀时,
/'(%)<0,/(x)递减,/(%)max=/(e)=』,e<x<4兀时,/⑴>。,
e
又Ovxv兀时,g(%)=cosX递减,
兀<x<2兀时,g(x)递增,在(2兀,3兀)上递减,在(3兀,4兀)上递增,
且g(2兀)=g(4兀)=1=g(x)max,g(兀)=g(3兀)=—1=g(x)min,
作出/(x)与g(x)的草图,如下图,
结合图像可知/(幻与g(x)在(0,4兀)上有4个交点
故选:D
9.答案:CD
解析:已知/(无)=[/一(<7+3)尤+2。+3]6",函数定义域为R,
可得f\x)=-(a+l)x+a]e*=(x-l)(x-a)er,
因为函数/(x)在x=1处取得极小值,
所以函数/(%)在%=1的左侧单调递减,右侧单调递增,可得a<l,
则选项A和选项B错误,选项C和选项D正确.
故选:CD.
10.答案:CD
解析:对于A,lim"1+29―/⑴-21im*"2')一了⑴=2/⑴=4,故A错误.
——oAx盘一。2Ax'7
4十(cosx>l-%sinx-lxcosx-xsiwc-cosx3、口
对于B,——=--------------------=---------z-------,故B错误.
V%Jxx
对于C,y'(x)=^^(2x+l)'=?—,若/'(%)=1,则二一=1即/=1,故C正确.
2%+12%+12尤0+12
11a
对于D,/,(x)=2x+3/,(2)+-故/'(2)=4+3/'(2)+—,^/(2)=--,故D正确.
x;24
故选:CD.
11.答案:BCD
3匚/,/、11x[lna+ln(^+2)]+ln(tz+2)-In
用牛斫:/(x)=-------------1-------------------=-----------z------------------------------
(x-l)ln«(x+l)ln(tz+2)(x"-l)lna-ln(tz+2)
当0<a<l,x>l时,(X?-l)lna」n(a+2)<0,所以x[ln«+ln(«+2)]+ln(«+2)-lna>0对
XG(1,+8)恒成立,
设g(x)=x[lna+ln(fl+2)]+ln(fl+2)-In«,贝IIn«+ln(«+2)=ln(«2+2a)>0且
g(l)=21n(«+2)>0,
则矿+2a»l,解得g
故选:BCD.
12.答案:1
解析:y=2-士则所求切线的斜率为2-1=1,
X
故切线方程为y-2=x-1,
即y=x+l,当a=0时,y=2不是抛物线,
则亦0,联立,
y-ax-ax+2
ctx^—(Q+l)x+1=0,由A=(6Z+1)2—4tz—0,
得Q=1
故答案为:1
13.答案:{x|xvT或x>l}
解析:1eR,/(-x)=-2sinx-e-x+ex=-(2sinx+e-x-)=-f(x),
所以/(%)为奇函数,
/'(x)=-(e*+e-x—2cosx)<-2+2cosx<0,
当且仅当x=0等号成立,
所以/(x)在上单调递减,
由/(X2-4)+f(3x)<0得/(X2-4)<-/(3X)=/(—3龙),
可得%2—4>-3x,解得了v—4,或%>1,
所以不等式/(%2_4)+/(3x)v0的解集为卜|x<V■或%>1}.
故答案为:{x[Xv-4■或1>1卜
14.答案:(2,+co)
解析:4*g(x)=/(x)-2x3-2x»则g'(x)=7'(x)—6%2一2>0,
所以函数g(x)在R上单调递增,
因为g(2)=/(2)—2x23—2x2=20—16—4=0,
故原不等式等价于g(x)>g(2),所以x>2,
所以不等式y(x)>2/+2x的解集为(2,y0).
故答案为:(2,+8).
15.答案:见解析
解析:根据题意,在区间[0M]上,/(%)为常数,图象与x轴平行,其/'(x)=0,
在区间团,切上,/(x)递减,且减小的越来越快,则/'(x)<0且r(x)的值越来越小,故尸(x)的
图象大致如图:
y
ab
I
16.答案:证明见解析
解析:因为/(x)=2d—6f+7,所以/'(X)=6£—12x,
当xe(0,2)时,/'(%)=6f—12x<0,
所以函数/(x)=2X3-6X2+7在区间(0,2)上单调递减.
49
17.答案:(1)极小值为-一,无极大值
24
(2)极小值为/(3)=-54,极大值为/(—3)=54
(3)极小值为/(—2)=-10,极大值为/(2)=22
(4)极小值为/(—1)=—2,极大值为了⑴=2
解析:(1)/(x)=6x2一x一2的定义域为R,
令/'(x)=0,解得:x=—,列表得:
1
X
12
/'(X)-0+
_49
/(X)/
~24
所以函数/(x)=6f—x—2的极小值为一_无极大值.
24
(2)/(x)=/—27x的定义域为R,广(幻=3/一27.
令/(©=0,解得:x=±3,列表得:
X(-00,-3)-3(-3,3)3(3,+8)
f'M+0-0+
/(X)/54-54/
所以函数f(x)=X3-Tlx的极小值为/⑶=-54,极大值为/(—3)=54.
(3)/(x)=6+12x—三的定义域为R,r(x)=12—3/.
令尸(x)=0,解得:x=±2,列表得:
X(-8,-2)-2(-2,2)2(2,+8)
f'M-0+0-
/(X)-10/22
所以函数/(%)=6+12x—三的极小值为/(-2)=-10,极大值为/(2)=22.
(4)/(x)=3x-x3的定义域为R,/'(x)=3—3/.
令/(©=0,解得:x=±l,列表得:
X(-00,-1)-1(-1,1)1(1,+°0)
/'(X)-0+
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