2025初中数学竞赛专项复习：整数 讲义（学生版+解析版）

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专题01整数（学生版）

点!真题重现

（2024七年级•全国・竞赛）上海世博会将于2010年5月1日至10月31日举行，截至2009年9月23日，

已有242个国家和国际组织确认参加上海世博会.其中非洲|a个国家，美洲山个国家，欧洲c个国家，亚洲Id个

国家，大洋洲e个国家，国际组织/个.

己知：（1）10<e<b<d<c<f<a；

（2）a-c、b+1.e、/■是完全平方数；

（3）d与242的最大公约数是22.

求a、b、c、d、e>/的值.

考点突破

一、奇数与偶数

【学霸笔记】

一个大于1的正整数，若除了1与它自身，再没有其他的约数，这样的正整数叫作质数；一个大于1

的正整数，除了1与它自身，若还有其他的约数，这样的正整数称为合数.这样，我们可以按约数个数将正

整数分为三类：

正整数《质数

［合数

质数、合数有下面常用的性质：

1.1不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数.

2.若质数则必01a或

3.若正整数a,6的积是质数p,则必有。=0或6=。.

【典例】一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9,这样的两位数中，质数

有（）

A.1个B.3个C.5个D.6个

【分析】设个位数为x,十位数为》则这个两位数为10y+x,个位十位交换后两位数表示为10x+y,根

据所得的数比原来的数大9列出方程，再根据未知数的取值确定符合质数的个数即可.

【解答】解：设原两位数的个位数为X,十位数为y(x,y为自然数)，原两伴数为lOy+无，新两位数为

10x+y,根据题意得：

10x+y-(10y+x)=9,

化简得：x-y—l,

因为尤，y为1-9内的自然数，两位数为质数且个位与十位上的数大1时，符合条件的数有23、67、89,

所以这样的两位数中，质数有3个.

故选：B.

【点评】本题考查了二元一次方程的应用，涉及到质数的性质.解题关键是要读懂题目的意思，根据题

目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解.注意不要漏解.

【巩固】已知三个不同的质数a,b,c满足a/A?+a=2000,那么a+6+c=.

二、奇数与偶数

【学霸笔记】

整数按能否被2整除分为两大类:奇数和偶数，奇数与偶数有下列基本性质:

1.奇数W偶数.

2.两个整数相加(减)或相乘，结果的奇偶性如下所示：

±奇偶奇偶

奇偶奇奇奇偶

偶奇偶偶偶偶

3.若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数；偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和为偶

数.

4.设机、〃是整数，则以士九，|加土九|的奇偶性相同.

5.设m是整数，则m与|巾机"的奇偶性相同.

【典例】已知a、b、c中有两个奇数、一个偶数，”是整数，如果S=(a+2〃+l)+(b+2w+2)+(c+2〃+3),

那么()

A.S是偶数

B.S是奇数

C.S的奇偶性与”的奇偶性相同

D.S的奇偶性不能确定

【分析】弄清。+2〃+1,b+2n+2,c+2w+3的奇偶性即可.可将3数相加，可知和为偶数，再根据三数和

为偶数必有一数为偶数的性质可得积也为偶数.

【解答】解：(a+2/i+l)+(b+2n+2)+(c+2n+3)=a+b+c+6(n+1).

•；a+b+c为偶数，6(n+1)为偶数，

a+b+c+6(w+1)为偶数

.,.a+2n+l,b+2n+2,c+2n+3中至少有一个为偶数，

；.S是偶数.故选：A.

【点评】三个数的和为偶数，则至少有一个为偶数；三个数中有一个为偶数，则三数之和为偶数.三个

数中有一个为偶数，则三数之积也为偶数

【巩固】已知三个质数a、b、c满足a+b+c+abc=99,那么-6|+|6-c|+|c-的值等于.

三、数的十进制

【典例】用十进制计数法表示正整数，如365=300+60+5=3X102+6X101+5,用二进制计数法来表示正整

数，如：5=4+1=1X22+0X2'+1X2°,记作：5=(101)2,14=8+4+2=1X23+1X22+1X2x+0X2°,记

作：14=(1110)2,则(101011)2表示数()

A.24B.42C.43D.61

5432

【分析】根据二进制记数法可以得到(101011)2=1X2+0X2+1X2+0X2+1X2^1X2°,然后计算即

可求得.

【解答】解：(101011)2=1X25+0X24+1X23+0X22+1X2^1X2°=32+8+2+1=43,

故选：C.

【点评】本题考查了数的十进制，有理数的混合运算，正确理解题目中介绍的二进制是关键，主要考查

了学生的自学能力.

【巩固】(1)【归纳与发现】

①填空：12=3X4,1+2=3X1；69=3X,6+9=3X；

②填空：312=3X104,3+l+2=3X2；504=3X,5+0+4=3义.

(2)【验证与说理】

①试说明2325及其各个数位上的数字之和都可以被3整除(是3的整数倍)；

②设砺是一个四位数(a,b,c,d分别为其千位，百位，十位，个位上的数字)，若q+6+c+d可以被

3整除，试说明而可以被3整除.

四、数的整除性

【学霸笔记】

对于整数。和不为零的整数6,总存在整数机、〃使得a=6m+zi(0&n<b),其中，"称为商，〃称

为余数，特别地，当"=0时，即环加;，便称a被b整除(也称。是6的倍数或6是a的约数)，记为61a.

整除有以下基本性质：

1.若a也a\c,则a|(b±c)；

2.若a|A〃c则a|c；

3.若a|6c且(a,c)=l,则a|6,特别地,若质数0|bc,则必有0历或p|c；

4.若"a,c|a且(6,c)=l,则6c|a.

解整除有关问题常用到数的整除性常见特征：

1.被2整除的数:个位数字是偶数；

2.被5整除的数:个位数字是0或5；

3.被4整除的数:末两位组成的数被4整除；被25整除的数，末两位组成的数被25整除；

4.被8整除的数:末三位组成的数被8整除；被125整除的数，末三位组成的数被125整除：

5.被3整除的数:数字和被3整除；

6.被9整除的数:数字和被9整除；

7.被11整除的数:奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除

【典例】若x，y为整数，且2x+3y,9x+5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除.

【分析】先设〃=2x+3y,v=9x+5y,假设17|a,把两式相减即可得到17|3v,即17|9x+5y,同理把两式相

减消去x即可得到17|2x+3y.

【解答】证明：设a=2x+3y,v=9x+5y.若17|a,从上面两式中消去y,得

3v-5w=17x.①

所以17|3v.

因为(17,3)=1,所以17M即17|9x+5y.

若17|v,同样从①式可知17|5M.

因为(17,5)=1,

所以17|»,即1712r+3y.

【点评】本题考查的是数的整除性问题，属较简单题目.

【巩固】已知7位数1287孙6是72的倍数,求出所有的符合条件的7位数.

五、带余除法

【学霸笔记】

用一个正整数6去除另一个正整数a,若商为公余数为厂，则有a=6q+,(0<r<b),

余数有以下基本性质：

1.b\(a—r)；

2.一个正整数。被另一个正整数”伽>1)除时，余数只可能是0,1,2,…，("-1)中的一个，这样我们可

以把整数按余数来分类；

3.若两个正整数a,b被根除所得的余数相同，则称。与b对模相同余，记作a=b(modm),即(a-b)被加

整除.

【典例】一个自然数N被10除余9,被9除余8,被8除余7,被7除余6,被6除余5,被5除余4,被

4除余3,被3除余2,被2除余1,求N的最小值.

【分析】这个数加1可以被9,8,7,6,5,4,3,2整除，只需要求出9、8、7、6,5、4、3、2的最

小公倍数减一即可.

【解答】解：设这个自然数是N.根据题意，可知，

这个自然数加1就可以被9,8,7,6,5,4,3,2整除，

就是9,8,7,6,5,4,3,2的最小公倍数减去1,

Z.^=3X3X2X2X2X7X5-1=2519.

【点评】本题主要考查了整除的性质和求最小公倍数的方法.由每组的余数均比除数小1,可得原数+1

可被2〜10整除，故欲求N的最小值，只需求出2〜10的最小公倍数，即N+1的最小值即可.

【巩固】若1059,1417,2312分别被自然数x除时，所得的余数都是》求x-y的值.

“模拟演练

a+bb+cc+a

1.如a、b、c是三个任意整数，那么一厂、一、一()

22

A.都不是整数B.至少有两个整数

C.至少有一个整数D.都是整数

2.正整数a,b,c是等腰三角形三边的长，并且。+6c+6+ca=24,则这样的三角形有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.在1〜2005的所有正整数中，共有个整数无，使33Al和f被5除的余数相同.

4.设四位数abed满足a3+/+c3+d3+]=]0c+d,则这样的四位数的个数为

5.有若干个苹果，2个一堆多一个，3个一堆多一个，4个一堆多一个，5个一堆多一个，6个一堆多一个,

则这堆苹果最少有个.

6.我们用记号表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12,那么满足x|(y+1)与y|(x+1)

的正整数组(尤，y)共有组.

111111

7.a,b,c都是质数，且满足a+b+c+“Z?c=99,贝”I石—万I+I—I+I~~—I=

8.从古至今，密码的使用在很多方面都发挥着极其重要的作用.有一种密码的明文（真实文），其中的字

母按计算机键盘顺序（自左至右、自上而下）与26个自然数1,2,3,…，25,26对应（见下表）.

QWERTYUI0PASD

12345678910111213

FGHJKLZXCVBNM

14151617181920212223242526

设明文的任一字母对应的自然数为x,译为密文字母后对应的自然数为X：例如，有一种译码方法按照以

下变换实现：无一尤'，其中V是（3x+2）被26除所得的余数与1之和（14W26）.

则x=l时，x'=6,即明文。译为密文匕x=10时，x'=7,即明文P译为密文U.

现有某变换，将明文字母对应的自然数x变换为密文字母相应的自然数£：无一无，，尤，为（3x+6）被26除

所得余数与1之和（1WXW26,1W6W26）.

已知运用此变换，明文〃译为密文T,则明文D4F译成密文为.

9.求证：

(1)8|(551999+17)；

(2)8(32,i+7)；

(3)17|(191000-1).

10.在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数abc（a、b.c依次是这个数的百位、十位、个位数

字），并请这个人算出5个数acb、bac、bca、方6与cba的和N,把N告诉魔术师，于是魔术师就可以说

出这个人所想的数abc.现在设N=3194,请你当魔术师，求出数abc.

11.某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分.证明：不论有

多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数.

12.设m6是两个不相等的正整数，P为质数，满足d+a=p2,且磬是整数.

b2+a

(1)求证：a>b\

(2)求p的值；

(3)求a,b的值.

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专题01整数（解析版）

点!真题重现

1.（2024七年级•全国•竞赛）上海世博会将于2010年5月1日至10月31日举行，截至2009年9月23日，

已有242个国家和国际组织确认参加上海世博会.其中非洲|a个国家，美洲山个国家，欧洲c个国家，亚洲Id个

国家，大洋洲e个国家，国际组织/个.

己知：（1）10<e<b<d<c<f<a；

（2）a-c、b+1.e、/■是完全平方数；

（3）d与242的最大公约数是22.

求a、b、c、d、e>/的值.

【答案】a—51,b—35,c=47,d=44,e=16,/=49

【分析】本题考查完全平方数，公约数，解二元一次方程等，先由（1）（2）得出e最小是42=16,b最小

是52-1=24,进而结合（3）以及6个数之和为242确定d的值；再根据/>d=44>36=62,确定f=

72=49；进而推出a+b+c=133,由16<6+1<44知b=52-1=24或b=62-1=35,分情况讨论

得出。和c的值，即可求解.

【详解】解：a+b+c+d+e+f=242,

由（3）知d=22k,k是整数.

由⑴、（2）知e最小是42=16,b最小是52—1=24,则d最小是24+1=2是fc>1.

若k>2,贝!Id最小是22x3=66,242>a+f+c+d>66x4=264,矛盾.

所以k=2,d=22X2=44.

由（1）、（2）知/>d=44>36=62,

若/i282=64,贝吃42=a+b+c+d+e+f>2f+2d+2e>2x64+2x44+2x16=248,矛盾.

所以f<82,则f=72=49.

a+b+c=242—44—16—49=133,

由16<b+l<44知b=52-1=24或b=62-1=35.

若b=24,则a+c=109①，

c>d=44,a—c<109—44x2=21,

a一c与a+c奇偶性相同,

由（2）知a-c是完全平方数，且a—c>l,则a-c=32=9②，

①一②得c=50>/,矛盾；

则6=35,a+c=98③，c>d=44,a—c<98—44x2=10,

a-c与a+c奇偶性相同，

由(2)知Q—C是完全平方数，

则a—c=22=4(4),

③+④得a=51,c=98-51=47.

综上：a=5Lb=35,c=47,d=44,e=16,f=49.

\考点突破

一、奇数与偶数

【学霸笔记】

一个大于1的正整数，若除了1与它自身，再没有其他的约数，这样的正整数叫作质数；一个大于1

的正整数，除了1与它自身，若还有其他的约数，这样的正整数称为合数.这样，我们可以按约数个数将正

整数分为三类：

正整数《质数

［合数

质数、合数有下面常用的性质：

1.1不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数.

2.若质数01a6则必01a或

3.若正整数a,6的积是质数p,则必有。=「或》=「.

【典例】一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9,这样的两位数中，质数

有（）

A.1个B.3个C.5个D.6个

【分析】设个位数为x,十位数为y,则这个两位数为IQy+x,个位十位交换后两位数表示为10x+y,根

据所得的数比原来的数大9列出方程，再根据未知数的取值确定符合质数的个数即可.

【解答】解：设原两位数的个位数为x,十位数为y（x,y为自然数），原两伴数为10y+x,新两位数为

10x+y,根据题意得：

10x+y-（10y+x）=9,

化简得：x-y—1,

因为尤，y为1-9内的自然数，两位数为质数且个位与十位上的数大1时，符合条件的数有23、67、89,

所以这样的两位数中，质数有3个.

故选：B.

【点评】本题考查了二元一次方程的应用，涉及到质数的性质.解题关键是要读懂题目的意思，根据题

目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解.注意不要漏解.

【巩固】已知三个不同的质数a,b,c满足aZA:+a=2000,那么a+6+c=.

【分析】由题设条件abbc+a=2Q00得）=2000,注意到2000能够被8整除，由此推断a、（/A?+l）

的奇偶性.以此为突破口，问题就迎刃而解了.

【解答】解：（6%+1）=2000,；.a能被2000整除且a,b,c为不同的质数

.,.a=2或5

当a=2,6%+1=1000

A^c=999.,.33X37=999

:.b=3,c=37

当a=5,bbc+l=400

.'.bbc—399（不合题意）

/.a+b+c—2+3+37=42.

【点评】本题用到了：任何一个整数都能分解成质因数的连乘积，这种分解式是唯一的.

二、奇数与偶数

【学霸笔记】

整数按能否被2整除分为两大类:奇数和偶数，奇数与偶数有下列基本性质：

1.奇数力偶数.

2.两个整数相加（减）或相乘，结果的奇偶性如下所示：

±奇偶X奇偶

奇偶奇奇奇偶

偶奇偶偶偶偶

3.若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数；偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和为偶

数.

4.设小〃是整数，则7n土九，|6士九|的奇偶性相同.

5.设m是整数，则机与|机|,加”的奇偶性相同.

【典例】已知。、6、c中有两个奇数、一个偶数，〃是整数，如果S=Ca+2n+l）+（b+2n+2）+（c+2n+3）,

那么（）

A.S是偶数

B.S是奇数

C.S的奇偶性与”的奇偶性相同

D.S的奇偶性不能确定

【分析】弄清a+2〃+l,b+2〃+2,c+2〃+3的奇偶性即可.可将3数相加，可知和为偶数，再根据三数和

为偶数必有一数为偶数的性质可得积也为偶数.

【解答】解：(。+2"+1)+(b+2n+2)+(c+2〃+3)=ct+b+c+6(/?+1).

•；a+b+c为偶数，6(n+1)为偶数，

a+b+c+6(〃+1)为偶数

.,.a+2n+l,b+2n+2,c+2w+3中至少有一个为偶数，

是偶数.故选：A.

【点评】三个数的和为偶数，则至少有一个为偶数；三个数中有一个为偶数，则三数之和为偶数.三个

数中有一个为偶数，则三数之积也为偶数

【巩固】已知三个质数a、b、c满足a+6+c+次?c=99,那么-6|+|6-c|+|c-的值等于.

【分析】通过讨论判断出。、b、c中只有一个数为奇数，又知偶数质数仅有2—个，可推出a=b=2,c

=19.

【解答】解：a+6+c+"c这个式子，在。、b、c都是整数时有如下特性，

a、b、。三个数全为奇数时值为偶数；

只有两个数为奇数时值为偶数；

只有一个数为奇数时值为奇数；

全为偶数时值为偶数；

a+b+c+abc=99,因此只有一个数为奇数，

而偶数质数仅有2—个，

因此不妨设a=b=2,

则c=19,\a-b\+\b-c|+|c-a|=34.

故答案为：34.

【点评】此题考查了质数与合数的概念，2在解题中起着重要作用.解题时要侧重于逻辑推理，这也是

竞赛题的精彩之处.

三、数的十进制

【典例】用十进制计数法表示正整数，如365=300+60+5=3X102+6X101+5,用二进制计数法来表示正整

数，如：5=4+l=lX22+0X21+lX2°,记作：5=(101)2,14=8+4+2=1X23+1X22+1X21+OX2°,记

作：14=(1110)2,贝I(101011)2表示数()

A.24B.42C.43D.61

5432L

【分析】根据二进制记数法可以得到(101011)2=1X2+0X2+1X2+0X2+1X2+1X2°,然后计算即

可求得.

5432r

【解答】解：(101011)2=1X2+0X2+1X2+0X2+1X2+1X2°=32+8+2+1=43,

故选：C.

【点评】本题考查了数的十进制，有理数的混合运算，正确理解题目中介绍的二进制是关键，主要考查

了学生的自学能力.

【巩固】(1)【归纳与发现】

①填空：12=3X4,1+2=3X1；69=3X,6+9=3X；

②填空：312=3X104,3+l+2=3X2；504=3X,5+0+4=3X.

(2)【验证与说理】

①试说明2325及其各个数位上的数字之和都可以被3整除(是3的整数倍)；

②设温是一个四位数(a,b,c,1分别为其千位，百位，十位，个位上的数字)，若a+6+c+d可以被

3整除，试说明示H可以被3整除.

【分析】(1)①②根据有理数的加法法则、乘法法则计算；

(2)利用数的十进制表示出2325,根据数的整除解答；

②利用数的十进制表示出砺，再根据数的整除解答.

【解答】解(1)①12=3X4,1+2=3X1；69=3X23,6+9=3X5；

②312=3X104,3+l+2=3X2；504=3X168,5+0+4=3*3,

故答案为：①23,5；②168,3；

(2)02325=2X1000+3X100+2X10+5X1

=2X(999+1)+3X(99+1)+2X(9+1)+5

=2X999+2+3X99+3+2X9+2+5

=(2X999+3X99+2X9)+C2+3+2+5)

=3(2X333+3X33+2X3)+3X4,

,.•2X333+3X33+2X3为整数,4为整数，

.♦.2325可以被3整除，

2+3+2+5=12=3X4,3义4能被3整除，

.*.2325及其各个数位上的数字之和都可以被3整除；

②abcd=1000<7+1000+1Oc+d

=a(999+1)+b(99+1)+c(9+1)+d

=999a+a+99b+b+9c+c+d

=(999a+996+9c)+Ca+b+c+d)

—3(333a+336+3c)+(a+b+c+d),

".'a,b,c,d为整数,

；.333a+336+3c是整数，

A3X(333a+33b+3c)能被3整除,

.•.若a+b+c+d能被3整除，则Hcd可以被3整除.

【点评】本题考查的是数的十进制、数的整除，正确利用数的十进制表示数是解题的关键.

四、数的整除性

【学霸笔记】

对于整数。和不为零的整数6,总存在整数相、"使得a=匕6+九(00n<b),其中相称为商，”称

为余数，特别地，当〃=0时，即便称。被b整除(也称。是6的倍数或6是a的约数)，记为b|a.

整除有以下基本性质：

1.若a也a\c,则a|(b±c)；

2.若a也"c则a|c；

3.若a|6c且(a,c)=l,则a|6,特别地,若质数0|bc,则必有p历或p|c；

4,若b|a,c|a且(6,c)=l,则6c|a.

解整除有关问题常用到数的整除性常见特征：

1.被2整除的数:个位数字是偶数；

2.被5整除的数:个位数字是。或5；

3.被4整除的数:末两位组成的数被4整除；被25整除的数，末两位组成的数被25整除；

4.被8整除的数:末三位组成的数被8整除；被125整除的数，末三位组成的数被125整除：

5.被3整除的数:数字和被3整除；

6.被9整除的数:数字和被9整除；

7.被11整除的数:奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除

【典例】若x,y为整数，且2x+3y,9x+5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除.

【分析】先设"=2x+3y,v=9x+5y,假设17|",把两式相减即可得到17|3v,即17|9x+5y,同理把两式相

减消去x即可得到17|2x+3y.

【解答】证明：设”=2x+3y,v=9x+5y.若17|M,从上面两式中消去》得

3v-5"=17元.①

所以1713V.

因为(17,3)=1,所以17|v,即17|9无+5y.

若17|v)同样从①式可知1715M.

因为(17,5)=1,

所以17|«,即17|2x+3y.

【点评】本题考查的是数的整除性问题，属较简单题目.

【巩固】已知7位数1287孙6是72的倍数，求出所有的符合条件的7位数.

【分析】7位数1287町/6能被8,9整除，运用整数能被8、9整除的性质讨论x和y的取值组合，从而得

出答案.

【解答】解：：7211287久y6,

；.8|1287孙6,9|1287xy6,

由此得：l+2+8+7+x+y+6=24+x+y是9的倍数，而0<xW9,0<yW9,

则x+y=3或12,又盯6必是8的倍数，y6必是4的倍数，

则y=l,3,5,7或9,

当y=l时，x=2,8|216；

当y=3时，x=0或9,8不能整除36（不符合题意），8|936（符合题意）；

当y=5时，x=7,8不能整除756（不符合题意）；

当y=7时，x=5,8|576；

当y=9时，x=3,8不能整除396（不符合题意）；

综上可得：当尸1,尤=2；y=3,x=9,y=7,x=5时所得的7位数满足条件.

符合条件的7位数为：1287216,1287936,1287576.

【点评】本题考查了数的整除性的知识，难度较大，关键是根据整除的知识得到x+y的可能值及y的可

能值，然后分类讨论可能性.

五、带余除法

【学霸笔记】

用一个正整数b去除另一个正整数a,若商为g,余数为r,则有a=的+/（0<「<6）,

余数有以下基本性质：

1.b\（a—r）；

2.一个正整数。被另一个正整数"（">1）除时，余数只可能是0,1,2,…，（"一1）中的一个，这样我们可

以把整数按余数来分类；

3.若两个正整数a,b被根除所得的余数相同，则称。与6对模同余，记作。三伙即（。-6）被加

整除.

【典例】一个自然数N被10除余9,被9除余8,被8除余7,被7除余6,被6除余5,被5除余4,被

4除余3,被3除余2,被2除余1,求N的最小值.

【分析】这个数加1可以被9,8,7,6,5,4,3,2整除，只需要求出9、8、7、6、5、4、3、2的最

小公倍数减一即可.

【解答】解：设这个自然数是M根据题意，可知，

这个自然数加1就可以被9,8,7,6,5,4,3,2整除，

就是9,8,7,6,5,4,3,2的最小公倍数减去1,

：.N=3X3X2X2X2X7X5-1=2519.

【点评】本题主要考查了整除的性质和求最小公倍数的方法.由每组的余数均比除数小1,可得原数+1

可被2〜10整除，故欲求N的最小值，只需求出2〜10的最小公倍数，即N+1的最小值即可.

【巩固】若1059,1417,2312分别被自然数x除时，所得的余数都是y,求尤-y的值.

【分析】设已知三数除以x的商分别为自然数a、b、c,根据题干条件1059、1417和2312分别被自然

数尤除时，所得余数都是自然数y,于是可列式。x+y=1059,①6x+y=1417,②cx+y=2312,③根据这

三个式子求出尤和y的值.

【解答】解：设已知三数除以x的商分别为自然数a、b、c,则可得

ax+y=1059①，

6x+y=1417②，

cx+y=2312③，

②-①得，Qb-a)x=358=2X179④，

③-②得，(c-b)x=895=5X179⑤，

⑤-①得，(c-a)x=1253=7X179⑥，

从④、⑤、⑥三式可知，x=179,

.♦.1059=179X5+164,

；.y=164,

.*.x-y=179-164=15.

【点评】本题主要考查数的整除性，解答本题的关键是设已知三数除以x的商分别为自然数a、b、c,

根据题干条件列出方程，此题难度不大

.模拟演练

,LA,——,,a+bb+cc+a

1.如a、b、侬三个任思整数'那么三、—，—)

A.都不是整数B.至少有两个整数

C.至少有一个整数D.都是整数

【分析】分三种情况讨论：①假设a,b,c都是偶数或都是奇数，②假设其中有两个是偶数，一个是奇

数，③假设有两个奇数,一个偶数，即可得出答案.

a+bb+cc+a

【解答】解:假设a,b,c都是偶数或都是奇数，则a+b,b+c,"C都是偶数，那么三、—>〒都

是整数,

一个是奇数，那么等、等、詈有一个是整数,

假设其中有两个是偶数,

假设有两个奇数，-个偶数，那么等、等、詈有一个是整数,

综上所述:等、等、等至少有一个是整数,

故选：C.

【点评】本题考查了整数的奇偶性问题，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题.

2.正整数a,b,c是等腰三角形三边的长，并且a+6c+b+ca=24,则这样的三角形有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】先将a+6c+6+ca=24可以化为（a+6）（c+1）=24,然后根据24分解为大于等于2的两个正

整数的乘积有几种组合讨论是否符合题意即可得出答案.

【解答】解：a+bc+b+ca=24可以化为（a+6）（c+1）=24,其中a,b,c都是正整数，并且其中两个

数相等，

令a+6=A,°+1=（7则4C为大于2的正整数，

那么24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合2X12,3X8,4X6,6X4,3X8,2X12,

①、A=2,C=12时，c=ll,a+b=2,无法得到满足等腰三角形的整数解；

②、A=3,C=8时，c=7,a+b=3,无法得到满足等腰三角形的整数解；

③、A=4,C=6时，c=5,a+b=4,无法得到满足等腰三角形的整数解；

④、A=6,C=4时，c=3,a+b=6,可以得到a=6=c=3,可以组成等腰三角形；

⑤、A=8,C=3时，c=2,a+b=S,可得a=6=4,c=2,可以组成等腰三角形，a=6=4是两个腰；

⑥、A=12,C=2时，可得a=b=6,c=l,可以组成等腰三角形，a=6=6是两个腰.

一共有3个这样的三角形.

故选：C.

【点评】本题考查数的整除性及等腰三角形的知识，难度一般，在解答本题时将原式化为因式相乘的形

式及将24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合是关键.

3.在1〜2005的所有正整数中，共有332个整数x,使33Kl和/被5除的余数相同.

【分析】首先求出33/1除以5的余数和x3除以5的余数，分别求出余数的循环节，然后比较相等个数

的余数中，有几个数让33户1和丁被5除的余数相同，根据规律，求出总数.

【解答】解：33Al除以5的余数，

依次为1、2、4、3、1、2、4、3-

4个数为一个循环，

/除以5的余数，

依次为1、3、2、4、0、1、3、2、4、0、1、3、2、4、0、3、3、2、4、0-

显然5个数为一个循环，

依次为1、3、2、4、0,

这样，我们考虑20个数的循环，

33户1除以5的余数：1、2、4、3；1、2、4、3；1、2、4、3；1、2、4、3；1、2、4、3；

/除以5的余数：1、3、2、4、0；1、3、2、4、0；1、3、2、4、0；1、3、2、4、0；1、3、2、4、0；

对比可以看出第1、12、18、19这几个数，使33/1和丁被5除的余数相同，

即20个数的一个循环中，有4个数符合要求，

即2005=20X100+5,

前5个数中有1个符合要求,

故满足要求的总数为100X4+1=401（个），

故答案为401.

【点评】本题主要考查同余问题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握带余除法的知识，此题比较简单.

4.设四位数abed满足1+户+°3+43+]=]0°+力则这样的四位数的个数为5.

【分析】首先根据题意确定a,b,c,d的取值范围，再分类讨论求解即可.

【解答】解：根据题意可得：a,b,c,d是小于10的自然数，

a3+Z?3+c3+i/3+l=10c+d,

可得/+/+°3+/+1是两位数，

：.a,b,c,d均为小于5的自然数，

如果c=l,d=0,则a=2,b=0,此时这个四位数为2010,

如果c=l,d=l,则a=2,b=0,此时这个四位数为2011,

如果c=l,d=2,则a=l,b=l,此时这个四位数为1112,

如果c=2,找不到符合要求的数，

如果c=3,d=0,则a=l,b=l,此时这个四位数为1130,

如果c=3,<7=1,则。=1,b=l,此时这个四位数为1131,

如果c=4,则,3=64,不符合题意，

故此四位数可能为：2010或2011或1112或1130或1131.

故答案为：5.

【点评】此题考查了数字的表示方法与有关性质.解此题的关键是依据已知，求得a,b,c,d的取值范

围，利用分类讨论思想求解.

5.有若干个苹果，2个一堆多一个，3个一堆多一个，4个一堆多一个，5个一堆多一个，6个一堆多一个，

则这堆苹果最少有61个.

【分析】设这堆苹果最少有x个，2个一堆是小堆，3个一堆是小堆，4个一堆是“3堆，5个一堆是烈

堆，6个一堆是小堆，根据题意列出方程组，把x-1与q转化为最小公倍数关系，即可求出x的最小值.

【解答】解：设这堆苹果最少有x个，依题意得

fx=2的+1rx—1=2q1

x=3q2+1x—1=3q2

<x=4q3+1,所以（%-1=4q3

x=5q4+1%—1=5Q4

<x=6Q5+1lx—1=6q5

由此可见，x-l是2,3,4,5,6的最小公倍数

因为2、3、4、5、6的最小公倍数是60,所以x-1=60,即％=61

故答案为：61个.

【点评】本题考查的是带余数的除法，根据题意列出方程组是解答此题的关键.

6.我们用记号表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12,那么满足x|(y+1)与y|(x+1)

的正整数组(x,y)共有5组.

【分析】根据满足x|(y+1)与y|(x+1),因而x与y的差一定是1或相等，据此即可进行讨论即可.

【解答】解：根据满足R(y+1)与y|(无+1),因而尤与y的差一定是1或相等.

可以验证(1,1)(L2)(2,1)(2,3)(3,2)满足条件，

当尤＞3以后(x,x+1)以及(尤，x)(无，x-1)都不满足条件.

故共有5组，分别是(1,1)(1,2)(2,1)(2,3)(3,2).

故答案为:5.

【点评】本题主要考查了数的整除性，根据x|(y+1)与(x+1),得到x与y的差一定是1或相等，是

解题的关键.

11111117

7.a,b,c都是质数，且¥两足〃+Z?+c+H?c=99,则1工一五1+।万一引+'F—a'~"[g

【分析】先根据假设a,b,c都是奇数，判断出与已知相矛盾，可得出a,b,c中必有两个偶数是2,

再求出另一个数的值，代入所求代数式进行计算即可.

【解答】解：若。，b,c都是奇数，那么abc也为奇数，则a+6+c+a〃c为偶数，与a+6+c+abc=99矛盾，

.'.a,b,c中必有一个偶数，

又Va,b,c都是质数，

b,c中必有一个偶数是2,

令a=2,则b+c+2bc=97,

同理，若b,c都是奇数，则历为奇数，则b+c+26c为偶数，与b+c+26c=97矛盾，

:.b,c中也必有一个偶数，则偶数必是2,

令b=2,可得c=19,

故答案为：

19

【点评】本题考查的是质数与合数，熟知''在所有质数中只有2是偶数”是解答此题的关键.

8.从古至今，密码的使用在很多方面都发挥着极其重要的作用.有一种密码的明文(真实文)，其中的字

母按计算机键盘顺序(自左至右、自上而下)与26个自然数1,2,3,…，25,26对应(见下表).

QWERTYUI0PASD

12345678910111213

FGHJKLZXCVBNM

14151617181920212223242526

设明文的任一字母对应的自然数为x,译为密文字母后对应的自然数为尤'.例如，有一种译码方法按照以

下变换实现：其中尤是(3x+2)被26除所得的余数与1之和(1WXW26).

则x=l时，x，=6,即明文。译为密文匕x=10时，》=7,即明文尸译为密文U.

现有某变换，将明文字母对应的自然数无变换为密文字母相应的自然数也无一£,X，为(3x+b)被26除

所得余数与1之和(1WXW26,1W6W26).

已知运用此变换，明文”译为密文T,则明文D4y译成密文为CH。.

【分析】根据明文字母对应的自然数x变换为密文字母相应的自然数达x-E£为(3尤+6)被26除所

得余数与1之和(1WXW26,1W6W26)推知［(3X13+6)-4］是26的倍数即可得出b的值，易得结果.

【解答】解：•••明文X译为密文T,

即H为16,T为5,

(16X3+6)+26=〃…4,

；.6=8,

根据题意，D为13,则(3X13+8)4-26=1-21,

21+1=22,

，£»译文为C,

同理：A译文为H,y译文为Q,

故答案为CHQ.

【点评】此题以密码知识为载体，考查了同学们的逻辑推理能力，要明确带余除法的意义，可为解题指

明方向.

9.求证：

(1)8|(551999+17)；

(2)8(32B+7)；

(3)17|(191000-1).

【分析】(1)根据55+1能被8整除可得出551999+1也能被8整除，进而可得出答案；

(2)先根据32-1=9-1=8能被8整除可得出32n-1能被8整除，故32"-1+8能被8整除，即3加+7

能被8整除；

(3)根据19-2=17能被17整除，可知194-(24+1)能被17整除，进而可得出(194)250+1250-2

能被17整除，故可得出结论.

【解答】证明：(1)；55+1能被8整除,

.,.551999+1也能被8整除，

,.T6能被8整除,

.,.551999+1+16=551999+17能被8整除；

(2)=32-1=9-1=8能被8整除,

••A?"-1能被8整除,

...32"-1+8能被8整除,

即32n+7能被8整除；

(3)V19-2=17能被17整除，

/.194-(24+1)能被17整除，

...191000=(194)25。+]250-2能被17整除,

(191000-1).

【点评】本题考查的是同余问题，熟知同余问题的等价关系式解答此题的关键.

10.在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数abc(a、6、c依次是这个数的百位