2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价三十三对数函数y=logax的图象和性质含解析北师大版必修1

PAGE7-课时素养评价三十三对数函数y=logax的图象和性质(15分钟35分)1.若a=log67,b=log76,c=log67π,A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.b<c<a【解析】选C.log67>log66=1,0=log71<log76<log77=1,log67π<lo2.已知x=lnπ,y=log512,z=e-1A.x<y<z B.z<x<yC.z<y<x D.y<z<x【解析】选D.因为lnπ>lne=1,log512<log51=0,0<e-13.若函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为 ()A.14 B.12 C.2【解析】选B.当a>1时,a+loga2+1=a,loga2=-1,a=12(舍去).当0<a<1时,1+a+loga2=a,所以loga2=-1,a=14.(2024·北京高考)函数f(x)=1x+1+lnx的定义域是【解析】由x+1答案:(0,+∞)5.已知函数f(x)=lg(2+x2),则满意不等式f(2x-1)<f(3)的x的取值范围为.

【解析】因为函数f(x)=lg(2+x2),且满意不等式f(2x-1)<f(3),所以(2x-1)2<9,即-3<2x-1<3,解得-1<x<2.答案:(-1,2)6.已知函数f(x)=loga(x+2)+loga(3-x),其中0<a<1.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若函数f(x)的最小值为-4,求a的值.【解析】(1)要使函数有意义,则x解得-2<x<3.所以函数的定义域为(-2,3).(2)函数f(x)=loga[(x+2)(3-x)]=loga(-x2+x+6)=loga-x因为-2<x<3,所以0<-x-122+因为0<a<1,所以loga-x-122即f(x)min=loga254,由loga254=-4,得a-4=所以a=105(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=ln(x+1),则函数f(x)的图象为 ()【解析】选D.由f(x)是R上的奇函数,即函数图象关于原点对称,解除A,B.又x>0时,f(x)=ln(x+1),所以D项正确.2.(2024·天津高考)设a=30.7,b=13-0.8,c=log0.7A.a<b<c B.b<a<cC.b<c<a D.c<a<b【解题指南】利用指数函数与对数函数的性质,即可得出a,b,c的大小关系.【解析】选D.因为a=30.7>1,b=13-0.8c=log0.70.8<log0.70.7=1,所以c<1<a<b.3.已知函数f(x)=2log12x的值域为[-1,1],则函数f(x)A.22,2 C.12,2 D.【解析】选A.因为已知函数的值域为[-1,1],所以-12≤log12x≤12,化简解得22故函数f(x)的定义域为224.函数y=f(x)=lgx+xA.偶函数B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数【解题指南】利用函数奇偶性的定义,结合对数的运算推断.【解析】选B.已知函数的定义域是R,因为f-x=lgx2=-lgx2+1+【误区警示】本题简单出现未能变形得出fx与f-x的关系,从而错选二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知A={x|2≤x≤π},定义在A上的函数y=logax(a>0,且a≠1)的最大值比最小值大1,则底数a的值为 ()A.2πB.π2C.π-2【解析】选AB.当0<a<1时,函数f(x)在[2,π]上单调递减,故loga2-logaπ=1,故a=2π当a>1时,函数f(x)在[2,π]上单调递增,故logaπ-loga2=1,故a=π26.若实数a,b满意loga2<logb2,则下列关系中成立的是 ()A.0<b<a<1 B.0<a<1<bC.a>b>1 D.0<b<1<a【解析】选ABC.依据题意,实数a,b满意loga2<logb2,对于A,若a,b均大于0小于1,依题意,必有0<b<a<1,故A有可能成立;对于B,若logb2>0>loga2,则有0<a<1<b,故B有可能成立;对于C,若a,b均大于1,由loga2<logb2,知必有a>b>1,故C有可能成立;对于D,当0<b<1<a时,loga2>0,logb2<0,loga2<logb2不能成立.【光速解题】选ABC.可以分别取符合答案条件的a,b,验证loga2<logb2是否成立.三、填空题(每小题5分,共10分)7.函数y=loga(2x-3)+4(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,则点A的坐标为,若点A在幂函数f(x)的图象上,则f(3)=.

【解析】因为loga1=0,所以当2x-3=1,即x=2时,y=4,所以点A的坐标是(2,4).设幂函数f(x)=xα,因为幂函数f(x)=xα的图象过点A(2,4),所以4=2α,解得α=2,所以幂函数为f(x)=x2,则f(3)=9.答案:(2,4)98.已知函数f(x)=loga(x+2)+3的图象恒过定点(m,n),且函数g(x)=mx2-2bx+n在[1,+∞)上单调递减,则实数b的取值范围是.

【解析】因为函数f(x)的图象恒过定点(m,n),令x+2=1,求得x=-1,f(-1)=3,可得它的图象恒过定点(-1,3),所以m=-1,n=3.因为函数g(x)=mx2-2bx+n=-x2-2bx+3在[1,+∞)上单调递减,所以-b≤1,所以b≥-1.答案:[-1,+∞)四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=loga(1-ax)(a>0且a≠1),(1)若a>1,解不等式f(x)<0;(2)若函数f(x)在区间(0,2]上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为a>1,loga(1-ax)<0,所以loga(1-ax)<0=loga1,所以0<1-ax<1,所以-1<-ax<0,解得0<x<1a所以a>1时,不等式的解集为x|0<(2)因为关于x的函数f(x)在区间(0,2]上单调递增,而t=1-ax在区间(0,2]上单调递减,所以0<a<1,且t>0.再由0<a<1,1则实数a的取值范围为0,【补偿训练】设f(x)=loga(3+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(0)=2.(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域;(2)求函数f(x)在区间[0,6]上的最小值.【解析】(1)f(0)=loga3+loga3=2loga3=2,所以a=3.所以f(x)=log3(3+x)+log3(3-x),所以3+x(2)因为f(x)=log3(3+x)+log3(3-x)=log3[(3+x)(3-x)]=log3(9-x2),且x∈(-3,3);所以当x=6时,f(x)在区间[0,6]上取得最小值,最小值为log33=1.10.已知函数f(x)=3+log2x,x∈[1,16],若函数g(x)=[f(x)]2+2f(x2).(1)求函数g(x)的定义域;(2)求函数g(x)的最值.【解析】(1)要使函数g(x)的解析式有意义,则x∈[1,故函数g(x)的定义域为[1,4].(2)令t=log2x,x∈[1,4],则t∈[0,2],y=g(x)=[f(x)]2+2f(x2)=(3+log2x)2+2(3+log2x2)=(log2x+5)2-10=(t+5)2-10,由函数y=(t+5)2-10的图象是开口朝上且以直线t=-5为对称轴的抛物线,故函数y=(t+5)2-10在[0,2]上单调递增,故当t=0时,y=g(x)取最小值15,当t=2时,y=g(x)取最大值39.1.已知函数f(x)=|lnx|满意f(a)>f(2-a),则实数a的取值范围是 ()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(1,3)【解析】选A.依据题意可得f(x)=ln所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;依据题意可知,a>0,①当0<a<1,2-a>1时,因为f(a)>f(2-a),所以-lna>ln(2-a)⇒a(2-a)<1,解得a≠1;⇒0<a<1;②当a=1时,f(a)=f(2-a)不符合题意(舍);③当1<a<2,0<2-a<1时,因为f(a)>f(2-a),所以lna>-ln(2-a)⇒a(2-a)>1,解得a∈∅;综上,a的取值范围为(0,1).2.若定义运算f(a⊗b)=a,a≥b,b,a<bA.(-1,1) B.[0,1)C.[0,+∞) D.[0,1]【解析】选B.由题意得f(ab)=a