2024-2025学年高中数学第3章不等式3.4基本不等式第1课时基本不等式练习新人教A版必修5

PAGEPAGE1§3.4基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)第1课时基本不等式1.下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是A.lg(x2＋1)≥lg(2x) B.x2＋1＞2xC.eq\f(1,x2＋1)≤1 D.x＋eq\f(1,x)≥2解析对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x＜0时，不成立.对于C，x2＋1≥1，∴eq\f(1,x2＋1)≤1成立.故选C.答案C2.设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是A.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＜1 B.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥1C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＜2 D.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2解析因为ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))eq\s\up12(2)＝4，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,ab))≥2eq\r(\f(1,4))＝1.答案B3.四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则A.eq\f(a＋d,2)＞eq\r(bc) B.eq\f(a＋d,2)＜eq\r(bc)C.eq\f(a＋d,2)＝eq\r(bc) D.eq\f(a＋d,2)≤eq\r(bc)解析因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又因为a，b，c，d＞0且不相等，所以b＋c＞2eq\r(bc)，故eq\f(a＋d,2)＞eq\r(bc).答案A4.a2＋b2＋c2＋3________2(a＋b＋c)(填“＞”“≥”“＜”或“≤”).解析因为a2＋b2＋c2＋3＝(a2＋1)＋(b2＋1)＋(c2＋1)≥2a＋2b＋2c＝2(a＋b＋c).所以a2＋b2＋c2＋3≥2(a＋b＋c).(当且仅当a＝1，b＝1，c＝1时等号成立)答案≥5.已知a，b是正数，求证eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab).解析∵a>0，b>0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,ab))>0，∴eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\f(2,2\r(\f(1,ab)))＝eq\r(ab)，即eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)(当a＝b时取“＝”).[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.有下列式子：①a2＋1＞2a；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))≥2；③eq\f(a＋b,\r(ab))≥2；④x2＋eq\f(1,x2＋1)≥1，其中正确的个数是A.0 B.1 C.2 D解析∵a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，∴a2＋1≥2a，故①不正确；对于②，当x＞0时，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x＋eq\f(1,x)≥2(当且仅当x＝1时取“＝”)；当x＜0时，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝－x－eq\f(1,x)≥2(当且仅当x＝－1时取“＝”)，∴②正确；对于③，若a＝b＝－1，则eq\f(a＋b,\r(ab))＝－2＜2，故③不正确；对于④，x2＋eq\f(1,x2＋1)＝x2＋1＋eq\f(1,x2＋1)－1≥1(当且仅当x＝0时取“＝”)，故④正确.答案C2.下列不等式中正确的是A.a＋eq\f(4,a)≥4 B.a2＋b2≥4abC.eq\r(ab)≥eq\f(a＋b,2) D.x2＋eq\f(3,x2)≥2eq\r(3)解析a<0，则a＋eq\f(4,a)≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，a＝4，b＝16，则eq\r(ab)＜eq\f(a＋b,2)，故C错；由基本不等式可知D项正确.答案D3.若a>b>0，则下列不等式成立的是A.a>b>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab) B.a>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)>bC.a>eq\f(a＋b,2)>b>eq\r(ab) D.a>eq\r(ab)>eq\f(a＋b,2)>b解析a＝eq\f(a＋a,2)>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)>eq\r(b·b)＝b，因此只有B项正确.答案B4.a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是A.a2＋b2≥2|ab| B.a2＋b2＝2|ab|C.a2＋b2≤2|ab| D.a2＋b2＞2|ab|解析∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立.)答案A5.小王从甲地到乙地来回的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则A.a＜v＜eq\r(ab) B.v＝eq\r(ab)C.eq\r(ab)＜v＜eq\f(a＋b,2) D.v＝eq\f(a＋b,2)解析v＝eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))＝eq\f(2ab,a＋b)＜eq\f(2ab,2\r(ab))＝eq\r(ab).因为eq\f(2ab,a＋b)－a＝eq\f(2ab－a2－ab,a＋b)＝eq\f(ab－a2,a＋b)＞eq\f(a2－a2,a＋b)＝0，所以eq\f(2ab,a＋b)＞a，即v＞a.故选A.答案A6.(实力提升)若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是A.eq\f(2ab,a＋b)＜eq\f(a＋b,2)＜eq\r(ab) B.eq\f(a＋b,2)≥eq\f(2ab,a＋b)≥eq\r(ab)C.eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)＞eq\f(2ab,a＋b) D.eq\r(ab)＜eq\f(2ab,a＋b)＜eq\f(a＋b,2)解析a＞b＞0，eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)，eq\f(2ab,a＋b)＜eq\f(2ab,2\r(ab))＝eq\r(ab)，从而eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)＞eq\f(2ab,a＋b).答案C二、填空题(每小题5分，共15分)7.设正数a，使a2＋a－2＞0成立，若t＞0，则eq\f(1,2)logat________logaeq\f(t＋1,2)(填“＞”“≥”“≤”或“＜”).解析因为a2＋a－2＞0，所以a＜－2或a＞1，又a＞0，所以a＞1，因为t＞0，所以eq\f(t＋1,2)≥eq\r(t)，所以logaeq\f(t＋1,2)≥logaeq\r(t)＝eq\f(1,2)logat.答案≤8.某市一外贸公司，第一年产值增长率为a，其次年产值增长率为b，这两年的平均增长率为x，那么x与eq\f(a＋b,2)的大小关系是________.解析依题意，可得(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋a＋1＋b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)，所以1＋x≤1＋eq\f(a＋b,2)，即x≤eq\f(a＋b,2).答案x≤eq\f(a＋b,2)9.(实力提升)若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式①ab≤1；②eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)；③a2＋b2≥2；④eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2，对满意条件的a，b恒成立的是________.(填序号)解析因为ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝1，所以①正确；因为(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)＝2＋2eq\r(ab)≤2＋a＋b＝4，故②不正确；a2＋b2≥eq\f(（a＋b）2,2)＝2，所以③正确；eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(2,ab)≥2，所以④正确.答案①③④三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1.求证：eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)＜eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).证明因为a，b，c都是正实数，且abc＝1.所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,ab))＝2eq\r(c)，eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(\f(1,bc))＝2eq\r(a)，eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(\f(1,ac))＝2eq\r(b)，以上三个不等式相加，得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))≥2(eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c))，即eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c).因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不都成立，所以eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)＜eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).11.(12分)已知0＜x＜1，试比较2＋log2x＋eq\f(5,log2x)与2－2eq\r(5)的大小.解析因为0＜x＜1，所以log2x＜0，eq\f(5,log2x)＜0.所以－log2x＞0，－eq\f(5,log2x)＞0.所以(－log2x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,log2x)))≥2eq\r(（－log2x）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,log2x))))＝2eq\r(5)，即－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2x＋\f(5,log2x)))≥2eq\r(5)，当且仅当－log2x＝－eq\f(5,log2x)，即log2x＝－eq\r(5)时等号成立，所以log2x＋eq\f(5,log2x)≤－2eq\r(5)，可得2＋log2x＋eq\f(5,log2x)≤2－2eq\r(5).12.(12分)(实力提升)已知a＞0，b＞0，c＞0且不全相等，求证：lgeq\f(a＋b,2)＋lgeq\f(a＋c,2)＋lgeq\f(b＋c,2)＞lga＋lgb＋lgc.证明因为a，b，c＞0且不全相等，