2024-2025学年新教材高中数学第9章解三角形章末综合提升教案新人教B版必修第四册

PAGE1-第9章[巩固层·学问整合][提升层·题型探究]利用正弦、余弦定理解三角形【例1】如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BD＝eq\r(5)，AB⊥BC，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2.(1)求AD的长；(2)求△CBD的面积．[思路探究](1)由面积公式求出sin∠ABD，进而得cos∠ABD的值，利用余弦定理可解；(2)由AB⊥BC可以求出sin∠CBD的大小，再由二倍角公式求出sin∠BCD，可推断△CBD为等腰三角形，利用正弦定理求出CD的大小，最终利用面积公式求解．[解](1)由S△ABD＝eq\f(1,2)AB·BD·sin∠ABD＝eq\f(1,2)×2×eq\r(5)×sin∠ABD＝2，可得sin∠ABD＝eq\f(2,5)eq\r(5)，又∠ABD∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cos∠ABD＝eq\f(\r(5),5).在△ABD中，由AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，可得AD2＝5，所以AD＝eq\r(5).(2)由AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝eq\f(π,2)，所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝eq\f(\r(5),5).又∠BCD＝2∠ABD，所以sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝eq\f(4,5)，∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－∠ABD))－2∠ABD＝eq\f(π,2)－∠ABD＝∠CBD，所以△CBD为等腰三角形，即CB＝CD.在△CBD中，由正弦定理知，eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，得CD＝eq\f(BD·sin∠CBD,sin∠BCD)＝eq\f(\r(5)×\f(\r(5),5),\f(4,5))＝eq\f(5,4)，所以S△CBD＝eq\f(1,2)×eq\f(5,4)×eq\f(5,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(5,8).利用正、余弦定理解三角形要留意以下几个方面(1)画图，把相关数据标注在三角形中，便于确定已知和所求．(2)明确解题过程中所运用的定理，有些题目两个定理都适用．(3)留意对三角形内角和定理、大边对大角的应用，避开出现增解或漏解的错误．(4)多边形中的边角计算问题通常化归到三角形中利用正、余弦定理求解．eq\o([跟进训练])1．如图所示，在△ABC中，B＝eq\f(π,3)，AB＝8，点D在BC边上，CD＝2，cos∠ADC＝eq\f(1,7).(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．[解](1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝eq\f(1,7)，所以sin∠ADC＝eq\f(4\r(3),7)，所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(1,2)－eq\f(1,7)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),14).(2)在△ABD中，由正弦定理，得BD＝eq\f(ABsin∠BAD,sin∠ADB)＝eq\f(8×\f(3\r(3),14),\f(4\r(3),7))＝3.在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cosB＝82＋52－2×8×5×eq\f(1,2)＝49，所以AC＝7.三角变换与解三角形的综合问题角度1三角形形态的推断【例2】在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试推断△ABC的形态．[解]∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2b2sinAcosB＝2a2cosAsinB即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.法一：由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinAsinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π∴2A＝2B或2A＝π－2∴A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．法二：由正弦定理、余弦定理，得a2b×eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝b2a×eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.即a＝b或a2＋b2＝c2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．判定三角形形态的三个留意点(1)“角化边”后要留意用因式分解、配方等方法得出边的关系．(2)“边化角”后要留意用三角恒等变换、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．(3)要特殊留意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区分．eq\o([跟进训练])2．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试推断△ABC的形态．[解]法一：∵2b＝a＋c，由正弦定理，得2sinB＝sinA＋sinC.∵B＝60°，∴A＋C＝120°.∴2sin60°＝sin(120°－C)＋sinC.绽开整理得eq\f(\r(3),2)sinC＋eq\f(1,2)cosC＝1.∴sin(C＋30°)＝1.∵0°<C<120°，∴C＋30°＝90°.∴C＝60°，则A＝60°.∴△ABC为等边三角形．法二：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB.∵B＝60°，b＝eq\f(a＋c,2)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2)))eq\s\UP12(2)＝a2＋c2－2accos60°，化简得(a－c)2＝0.∴a＝c.又B＝60°，∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形．角度2三角形边、角、面积的求解【例3】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．[解](1)由已知，依据正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB.又A＝π－(B＋C)，∴sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB，即sinBcosC＋cosBsinC＝sinBcosC＋sinCsinB，∴cosBsinC＝sinCsinB，∵sinC≠0，∴cosB＝sinB且B为三角形内角，∴B＝eq\f(π,4).(2)S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(2),4)ac，由正弦定理知a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(2,\f(\r(2),2))×sinA＝2eq\r(2)sinA，同理，c＝2eq\r(2)sinC，∴S△ABC＝eq\f(\r(2),4)×2eq\r(2)sinA×2eq\r(2)sinC＝2eq\r(2)sinAsinC＝2eq\r(2)sinAsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－A))＝2eq\r(2)sinAeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,4)cosA－cos\f(3π,4)sinA))＝2(sinAcosA＋sin2A＝sin2A＋1－cos＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,4)))＋1，∴当2A－eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即A＝eq\f(3π,8)时，S△ABC有最大值eq\r(2)＋1.求解三角形中的边、角、面积的解题策略该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，常常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等．eq\o([跟进训练])3．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝eq\f(π,4)，coseq\f(B,2)＝eq\f(2\r(5),5)，求△ABC的面积S.[解]因为cosB＝2cos2eq\f(B,2)－1＝eq\f(3,5)，故B为锐角，所以sinB＝eq\f(4,5)，所以sinA＝sin(π－B－C)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))＝sinBcoseq\f(π,4)＋cosBsineq\f(π,4)＝eq\f(7\r(2),10).由正弦定理，得c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(10,7)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×2×eq\f(10,7)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,7).正弦、余弦定理在实际中的应用【例4】如图，在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在A处发觉在北偏东45°方向，相距12海里的B处水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14海里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．[思路探究]假设经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，作出示意图，把实际数据转化到三角形中，利用正、余弦定理求解．[解]如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x海里，BC＝10x海里，∠ABC＝120°.依据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,4)舍去)).故AC＝28海里，BC＝20海里．依据正弦定理得eq\f(BC,sinα)＝eq\f(AC,sin120°)，解得sinα＝eq\f(20sin120°,28)＝eq\f(5\r(3),14).故红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为eq\f(5\r(3),14).应用解三角形学问解决实际问题四步曲(1)分析题意，精确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语．(2)依据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出．(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关学问正确求解．(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．eq\o([跟进训练])4．甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？[解]设甲、乙两船经t小时后相距最近且分别到达P，Q两处，因乙船到达A处需2小时．①当0≤t<2时，如图①，在△APQ中，AP＝8t，AQ＝20－10t，所以PQ＝eq\r(AQ2＋AP2－2AQ×AP×cos120°)＝eq\r(20－10t2＋8t2－2×20－10t×8t×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\r(84t2－240t＋400)＝2eq\r(21t2－60t＋100)；②当t＝2时，PQ＝8×2＝16；③当t>2时，如图②，在△APQ中，AP＝8t，AQ＝10t－20，∴PQ＝eq\r(AQ2＋AP2－2AQ×AP×cos60°)＝2eq\r(21t2－60t＋100).综合①②③知，PQ＝2eq\r(21t2－60t＋100)(t≥0)．当且仅当t＝eq\f(30,21)＝eq\f(10,7)时，PQ最小．所以甲、乙两船行驶eq\f(10,7)小时后，相距最近．[培优层·素养升华]【例题】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC(1)求A；(2)若eq\r(2)a＋b＝2c，求sinC.[思路探究](1)利用正弦定理结合余弦定理求解角A的大小；(2)依据(1)中的结论结合正弦定理化简题中的等量关系，利用两角差的正弦公式求解sinC.[解](1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsin故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2).因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝12