13.4 尺规作图（重点练）解析版

13.4尺规作图（重点练）一、单选题1．（2021·全国八年级课时练习）利用作角平分线的方法，可以把一个已知角（）A．三等分 B．四等分 C．五等分 D．六等分【答案】B【分析】利用角平分线的性质进而分析得出答案．【详解】利用作角平分线的方法，可以把一个已知角二等分，进而可以将两角再次等分，故可以把一个已知角四等分．故选：B．【点睛】本题主要考查了基本作图，正确把握角平分线的性质是解题关键．2．（2019·浙江路桥·八年级期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积为（）．A．10 B．15 C．20 D．30【答案】B【分析】根据角平分线的性质,角平分线上的点到角两边的距离相等,过作于，则,再根据三角形的面积公式即可求得.【详解】根据题中所作，为的平分线，∵，∴，过作于，则，∵，∴．选B．【点睛】本题的关键是根据作图过程明确AP是角平分线，然后根据角平分线的性质得出三角形ABD的高.3．（2019·河北行唐·八年级期末）如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：（1）分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画弧，两弧相交于P、Q两点；（2）连接PQ分别交AB、CD于EF两点；（3）连接AE、BE，若DC=5，EF=3，则△AEB的面积为（）A．15 B． C．8 D．10【答案】B【分析】利用基本作图得到EF⊥AB，再根据平行四边形的性质得到AB=CD=5，然后利用三角形面积公式计算．【详解】解：由作图得EF垂直平分AB，即EF⊥AB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD=5，∴△AEB的面积=×5×3=．故选：B．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．4．（2019·全国八年级课时练习）下列作图属于尺规作图的是（）A．画线段MN=3cmB．用量角器画出∠AOB的平分线C．用三角尺作过点A垂直于直线L的直线D．作一条线段等于已知线段【答案】D【分析】根据尺规作图的定义可知．【详解】解：：A．画线段MN=3cm，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；B．用量角器画出∠AOB的平分线，量角器不在尺规作图的工具里，错误；C．用三角尺作过点A垂直于直线L的直线，三角尺也不在作图工具里，错误；D．正确．故选D．【点睛】此题考查作图-尺规作图的定义，掌握作图法则是解题关键5．（2021·全国八年级课时练习）尺规作图的画图工具是（）A．刻度尺、圆规 B．三角板和量角器C．直尺和量角器 D．没有刻度的直尺和圆规【答案】D【分析】根据尺规作图的概念即可判断.【详解】在几何里，把只用没有刻度的直尺和圆规画图的方法称为尺规作图.故选:D.【点睛】考查尺规作图的概念，尺规作图只允许使用两种工具：没有刻度的直尺和圆规是解题的关键.6．（2021·湖南宁远·八年级期末）一个角的平分线的尺规作法，其理论依据是全等三角形判定定理（）A．边角边 B．边边边 C．角角边 D．角边角【答案】B【分析】由作图的步骤可得两个三角形中，三边分别对应相等，从而可得两个三角形全等，再得到角平分线，从而可得答案．【详解】解：如图所示：作法：①以为圆心，任意长为半径画弧，交、于点、，②再分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，③画射线，射线即为所求．由作图过程可得用到的三角形全等的判定方法是．故选：．【点睛】本题考查的是角平分线的作图与原理，掌握利用公理证明三角形全等是解题的关键．7．（2021·全国八年级专题练习）通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】作线段的垂直平分线可得线段的中点．【详解】作线段的垂直平分线可得线段的中点．由此可知：选项A符合条件，故选A．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．8．（2020·河北桥东·金华中学八年级期中）已知两角及其夹边作三角形，所用的基本作图方法是（）A．平分已知角B．作已知直线的垂线C．作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段D．作已知直线的平行线【答案】C【分析】看利用ASA是怎么作三角形的.【详解】已知两角及其夹边作三角形，可先作一条线段等于已知线段，再在线段的两个端点分别作两个角等于已知角，故所用的基本作图方法是作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段.故选C．【点睛】考核知识点：利用全等三角形性质作图.二、填空题9．（2019·全国八年级课时练习）所谓尺规作图中的尺规是指：________．【答案】尺规作图中的尺规指的是没有刻度的直尺和圆规【分析】根据尺规作图的基本概念进行作答.【详解】由尺规作图的概念可知：尺规作图中的尺规指的是没有刻度的直尺和圆规【点睛】考核知识点：尺规作图的基本概念10．（2018·奉化市城北中学）如图，在4×4方格中，点A、B在格点上，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出________个.【答案】7【分析】为不漏情况，需分类讨论：当点B为顶角的顶点，即以点B为圆心AB长为半径画圆，与网格的交点为格点的就符合题意，注意三点不在一线上；当点A为顶角的顶点时，即以点B为圆心AB长为半径画圆，与网格的交点为格点的就符合题意，注意三点不在一线上；当AB为底边时，作AB的垂直平分线，该线与网格的交点为格点时就符合题意，注意三点不在一线上.【详解】如图，以B为顶角时，有4个符合题意的点；以A为顶角时，有3个符合题意的点；以AB为底时，没有符合题意的点.故总共有7个点符合题意.故答案为7【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了等腰三角形的定义.11．（2019·梁山县水泊街道初级中学）如图：作∠AOB的角平分线OP的依据是_____．（填全等三角形的一种判定方法）【答案】SSS【分析】根据作法可知OC=OD，PC=PD，OP=OP，故可得出△OPC≌△OPD，进而可得出结论．【详解】解：在△OPC与△OPD中，∵，∴△OPC≌△OPD（SSS），∴OP是∠AOB的平分线．故答案为SSS．【点睛】此题考查全等三角形的判定，作图—基本作图，解题关键在于掌握判定定理.12．（2021·全国八年级课时练习）用尺规作一个直角三角形，使其两直角边分别等于已知线段，则作图的依据是________．【答案】SAS【分析】隐含的条件是直角，是两直角边的夹角，即可得出作图的依据为SAS．【详解】解：：用尺规做直角三角形，已知两直角边．可以先画出两条已知线段和确定一个直角，作图的依据为SAS．【点睛】此题考查作图-复杂作图和直角三角形全等的判定，解题关键在于先画出两条已知线段确定一个直角13．（2019·兰州树人中学八年级期中）如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，若以B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则图中等腰三角形有______个.【答案】3【分析】根据AB=AC，可得为等腰三角形；BE=BC，可得为等腰三角形，由∠BAC=36°可得的度数，再计算的度数即可得到一个等腰三角形.【详解】根据已知可得为等腰三角形；以B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点EBE=BC为等腰三角形；在等腰三角形ABC中，∠BAC=36°在等腰三角形BEC中三角形ABE为等腰三角形；所以有3个等腰三角形.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，关键在于寻找两条相等的边长.14．（2018·河北定兴·八年级期末）如图，已知O为直线BC上一定点，点A在直线外一定点．在直线BC上取点P，使得以O、A、P为顶点的三角形为等腰三角形．(1)当∠AOC=30°时，如果我们通过分类讨论、画图尝试可以找到满足条件的点P共有______个．(2)若在直线BC上有且只有两个满足条件的点P，则∠AOC=______．【答案】（1）4；（2）60°、120°或90°.【分析】（1）分OA为腰或底分别讨论画出图形即可．（2）若在直线BC上有两个满足条件的点P，则∠AOC=60°或120°或90°．【详解】解：（1）如图所示，若OA为腰时，点P4、P1、P2即为所求；若OA为等腰三角形的底，点P3即为所求；故答案为4．（2）若在直线BC上有两个满足条件的点P，则∠AOC=60°或120°或90°故答案为60°、120°或90°．【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题15．（2018·五里镇建设中学八年级月考）在△ABC中，画出BC边上的高线，∠B的角平分线．【分析】利用尺规作图,过点A作AD⊥BC即可作出高AD;利用角平分线的作法,即可作出∠ABC的平分线BE.【详解】解：如图，AD、BE为所作．【点睛】本题考查了尺规作图的应用,主要考查了角平分线的作法、高线、中线作法,熟练掌握基本作图方法、作图的步骤是解题关键.本题难度不大.16．（2019·广西贵港·八年级期末）如图，已知和线段a，求作菱形ABCD，使，.（只保留作图痕迹，不要求写出作法）【分析】作∠DAB=∠，在射线AB，射线AD分别截取AB=AD=a，再分别以B，D为圆心a为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，四边形ABCD即为所求．【详解】如图所示.【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．17．（2021·全国八年级课时练习）如图，某市有两个粮食市场C、D，附近有两条交叉的公路．现计划修建一座大型粮仓P，为了运输方便，希望该粮仓到两条公路的距离相等，且到两个粮食市场C、D的距离也相等，请在图中设计出该粮仓的位置．（尺规作图，不写作法，写清结论．）

【分析】到OA和OB的距离相等，则点P在∠AOB的角平分线上；到点C、D的距离也相等，则点P还应该在CD的中垂线上，那么P点就是∠AOB的角平分线和CD中垂线的交点．【详解】

【点睛】本题考查角平分线和线段中垂线的实际应用，理解它们的概念才能正确解题．18．（2021·全国八年级课时练习）已知：，线段c．求作：，使．【分析】先作线段AB=2c，在以A为顶点，AB为角的一边作∠NAB=∠α，再以B为圆心以BC的长为半径画弧与AN交于点C，连接AC，BC，即为所求．【详解】解：如图，为所作．先作射线AM，然后在AM上作AB=2c，再以∠α的顶点为圆心，以任意长为半径画弧与∠α的两端分别交于E，F，再以A为圆心，以∠α顶点到F的距离为半径画弧，于AB交于G，再以G为圆心，以EF的长为半径画弧与圆A交于D，作射线AN经过点D，再以B为圆心以BC的长为半径画弧与AN交于点C，连接AC，BC，即为所求．【点睛】本题主要考查了尺规作图—作三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．19．（2020·山西）如图，已知是的一个外角．（1）求作边上的高及的角平分线；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹并标明字母)（2）在（1）的基础上，若，求证：．【分析】（1）直接利用高的作法作出BC边上的高，再根据角平分线的作法，作出∠DAC的角平分线即可．（2）利用垂直关系证明出AF//BC，得到∠B=∠DAF和∠C=∠FAC，又因为∠DAF=∠FAC从而得出答案．【详解】解:如图，线段即为边上的高，射线即为的角平分线.(尺规作图答案不唯一，正确即可)证明:由得，又，，，，由得是的角平分线，，，．【点睛】本题考查尺规作图以及平行线的判定和性质，特别要注意尺规作图的结论要写，这个是失分点，正确掌握基本作图的方法是解题的关键．20．（2020·山东沂水·八年级期末）已知．求作：，使（1）如图1，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；（2）如图2，画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点；（4）过点画射线，则．根据以上作图步骤，请你证明．【分析】由基本作图得到，，根据“SSS”可证明，然后根据全等三角形的性质得到．【详解】由题意得，，在和中，，∴，∴故．【点睛】本题考察了三角形全等的判定方法：SSS，根据同弧所在圆的半径相等得到两组对边相等，并且同弧所对弦相等得到另一种对边相等，熟练掌握不同三角形全等的判定条件是解决本题的关键．21．（2019·山东郓城·八年级月考）画一个等腰△ABC，使底边长BC=a，底边上的高为AD=h（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）．【分析】分别以B、C为圆心，大于BC为半径画弧，分别相交，作出BC的垂直平分线，再以D为圆心h长为半径画弧，交垂直平分线于点A，连接AB、AC即可．【详解】如图所示，【点睛】此题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，解题关键在于掌握作图法则.22．（2021·全国）如图，在中，（1）尺规作图：作的平分线；（2）尺规作图：作线段的垂直平分线；（不写作法，保留作图痕迹）（3）若与交于点，∠ACP=24°，求的度数.【答案】（1）见解析；（2）见解析（3）【分析】（1）利用基本作图作l1平分∠ABC；

（2）利用基本作图作l2垂直平分BC；

（3）设∠ABP的度数为x，利用角平分线的定义得∠ABP=∠CBP=x