四川省成都市蒲江县蒲江中学2022-2023学年八上期中数学试卷（解析版）

八年级上期半期考试数学试题一、选择题（每小题3分，共计30分）1.在实数，－，，，－，，，中，无理数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：、、、－、是有理数；－，，是无理数；故选：C【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2.在中，分别是的对边，不能组成直角三角形的是()A.三边之比 B.C.三角之比 D.【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理判断即可．【详解】解：A、，故可以构成直角三角形，不符合题意；B、由，则，故不能构成直角三角形，符合题意；C、由可得，即，故可以构成直角三角形，不符合题意；D、由可得，即，故构成直角三角形，不符合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键．3.若一正数a的两个平方根分别为2m﹣3和5﹣m，则a的值是（）A.﹣7 B.7 C.49 D.25【答案】C【解析】【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数建立方程，解方程求出的值，由此即可得．【详解】解：一正数的两个平方根分别为和，，解得，则，所以，故选：C．【点睛】本题考查了平方根的性质和一元一次方程的应用，熟练掌握平方根的性质（一个正数的两个平方根互为相反数）是解题关键．4.如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形的面积为25，正方形的面积为1，若用分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：．其中正确的是()A.①②③ B.①② C.①③ D.②③【答案】A【解析】【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．【详解】解：∵为直角三角形，∴根据勾股定理得：，故①正确；由图可知，，即为小正方形的边长，∵正方形的面积为∴，∴，故②正确；由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，即，∴，故③正确．∵，∴，故④不正确，∴正确结论有①②③．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．5.如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为（）A.8 B.9 C.10 D.12【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理的几何意义，可知，，然后代入数值求解即可．【详解】解：如下图，由题意：，，∴，∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，∴，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的几何意义，理解直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．6.已知实数a，b满足：（a﹣b+3）2+＝0，则等于（）A.65 B.64 C.63 D.62【答案】C【解析】【分析】根据平方和算术平方根的非负性得出方程组，求出方程组的解，再代入求出即可．【详解】解：∵实数a，b满足：（a﹣b+3）2+＝0，∴a﹣b+3＝0且a+b﹣1＝0，即，解方程组得：，∴，故选：C．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，平方和算术平方根的非负性和求代数式的值等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．7.如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别1km和3km，且相距3km，则铺水管的最短长度是（）kmA.5 B.4 C.3 D.6【答案】A【解析】【分析】作A关于河的对称点E，连接，连接，则就是所求的最短距离，利用勾股定理求出的长即可．【详解】解：作A关于河的对称点E，连接，连接，则就是所求的最短距离．过A作于G，过E作于F，∵，∴，，在中，，∴铺水管最短长度是，故选A．【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．8.我国古代《孙子算经》中有道题，原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有一些人坐车，如果每车坐三个人，则还剩余二辆车没有人坐；如果每车坐二人，则有9人需要步行，问共有多少人？几辆车？设共有x人，y辆车，则下列符合题意的方程组是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据“如果每车坐三个人，则还剩余二辆车没有人坐；如果每车坐二人，则有9人需要步行”可列出关于x、y的二元一次方程组即可．【详解】解：根据题意，可得．故选：A．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．9.如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度==12，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是12+5=17（米）．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．10.设，则可以表示为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的乘法计算法则求解即可．【详解】解：∵，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键．二、填空题（每小题2分，共计20分）11.比较下列实数的大小______．【答案】【解析】【分析】计算，然后即可求解．【详解】解：∵，∵∴，即，∴，故答案为：【点睛】本题考查了实数大小比较，作差比较是解题的关键．12.已知是的整数部分，是的小数部分，则_____．【答案】【解析】【分析】根据有理数的估算可知的整数部分是，小数部分是，进而得出的值，代入计算即可．【详解】解：，，，的整数部分是，的整数部分是，是的整数部分，是的小数部分，，，故答案为：．【点睛】本题考查了无理数的估算，实数的运算，根据题意得出相应式子的整数部分和小数部分是解本题的关键．13.已知与互为相反数，求的值．【答案】【解析】【分析】根据立方根以及相反数的定义，得出一元一次方程，求得的值，进而求得代数式的值，即可求解．【详解】解：∵与互为相反数，∴，解得：，∴．【点睛】本题考查了立方根与算术平方根的应用，相反数的应用，求得的值是解题的关键．14.实数在数轴上的位置如图，化简_____．【答案】##【解析】【分析】根据数轴上的点的位置，求得，，，进而化简二次根式即可求解．【详解】解：根据数轴可得，，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了根据数轴判断式子的符号，二次根式的性质，数形结合是解题的关键．15.化简后是正整数，则整数m的最小值为_____．【答案】2【解析】【分析】把18分解质因数，然后根据二次根式的性质解答．【详解】解：∵且化简后是正整数，∴是正整数，∴是一个非0完全平方数，且m是整数，∴的最小值为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了二次根式的化简，把18分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键．16.我县某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，米，米，米，米．求出空地的面积为_____平方米．【答案】24【解析】【分析】如图所示，连接，利用勾股定理求出，进而利用勾股定理的逆定理证明，再根据进行求解即可．【详解】解：如图所示，连接，在，∴，∵，∴是直角三角形，即，∴平方米，故答案为：24．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，证明是解题的关键．17.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a＋b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积等于_________cm2．【答案】24【解析】【分析】利用勾股定理，可得：a2+b2＝c2＝100，即（a+b）2﹣2ab＝100，可得ab＝48，即可得出面积．【详解】解：∵∠C＝90°，∴a2+b2＝c2＝100，∴（a+b）2﹣2ab＝100，∴196﹣2ab＝100，∴ab＝48，∴S△ABC＝＝24cm2；故答案为：24．【点睛】本题考查勾股定理、完全平方公式的变形求值、三角形面积计算的运用，熟知勾股定理是解题的关键．18.如图，长方体的长、宽、高分别是6cm，3cm，3cm，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路径长为______cm．【答案】【解析】【分析】将长方体按不同方式展开，构造直角三角形，利用勾股定理求出AB长即可得到答案．【详解】解：如图1所示将长方体展开，则；如图2所示将长方体展开，则；如图3所示将长方体展开，则；∵，∴蚂蚁爬行的最短路径长为，故答案为：．【点睛】本题考查了平面展开−−−最短路径问题，解题关键是将图形展开，转化为直角三角形利用勾股定理解答．19.一个两位数的十位数字与个位数字的和为8，若把这个两位数加上18，正好等于将这个两位数的十位数字与个位数字对调后所组成的新两位数，则原来的两位数为_______．【答案】35【解析】【详解】设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，

由题意得，，

解得：，

则这个两位数为：35，故答案为：3520.若关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于a，b的二元一次方程组的解为_______．【答案】【解析】【分析】把看作一个整体，由关于x，y的二元一次方程组的解为，可得据此求解即可．【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为，且方程组和方程组形式相同，∴，∴，故答案为．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．三、计算题21.计算：（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式求解即可；（2）先化简二次根式，分母有理数，计算零指数幂，然后根据实数的混合计算法则求解即可；（3）根据二次根式的混合计算法则求解即可．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：原式；【小问3详解】解：原式．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，分母有理化，实数的混合计算，零指数幂，乘法公式，熟知相关计算法则是解题的关键．四、解方程（组）22.解方程：（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）先整理原方程，然后利用加减消元法求解即可；（2）利用加减消元法求解即可；（3）根据求平方根方法解方程即可．【小问1详解】解：整理得：得：，解得，把代入①得：，解得，∴方程组的解为；【小问2详解】解：得，即④，得，即⑤，得，解得，把代入④得，解得，把，代入①得，解得，∴方程组的解为；【小问3详解】解：∵，∴，∴，∴或．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，求平方根的方法解方程，熟知相关解法是解题的关键．五、解答题23.已知的平方根为，4是的立方根．（1）求a，b的值；（2）求的算术平方根．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据平方根和立方根的定义即可求解；（2）先将（1）中的，代入中，再求它的算术平方根．【小问1详解】解：的平方根为，4是的立方根，，，解得：，；【小问2详解】解：将，代入中得：，的算术平方根，的算术平方根．【点睛】本题主要考查了算术平方根，平方根和立方根，掌握算术平方根，平方根和立方根的定义是解题的关键．24.一架梯子长米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了米吗？【答案】（1）梯子的顶端距地面有2.4米；（2）梯子的底部在水平方向不是滑动了米【解析】【分析】（1）根据Rt△ABC的勾股定理求出AB的长度，从而得出答案；（2）根据题意得出A′C′和A′B的长度，然后根据勾股定理求出BC`的长度，从而得出答案．【详解】解：（1）根据题意可得：AC=2.5米，BC=0.7米，∠ABC=90°，∴AB=米，答：梯子的顶端距地面有2.4米；（2）梯子的底部在水平方向不是滑动了米，理由如下根据题意可得：A′C′=2.5米，A′B=2.4-0.4=2米，∴BC′=米，则CC′=1.5-0.7=0.8米，即梯子的底端在水平方向滑动0.8米，不是0.4米．【点睛】本题主要考查的就是直角三角形勾股定理的应用问题，属于简单题型．在解决这个问题的时候首先要明白直角三角形中有哪些线段，然后找出已知的线段和未知的线段，从而利用勾股定理得出线段的长度．25.已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，求（1）Rt△ABC的面积．（2）斜边AB的长．（3）求AB边上的高．【答案】（1）4；（2）2；（3）【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式可以解答本题；

（2）根据勾股定理可以解答本题；

（3）根据等积法可以解答本题．【详解】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，∴Rt△ABC的面积===4，即Rt△ABC的面积是4；（2）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，∴AB===2，即AB的长是2；（3）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，AB=2，∴AB边上的高是：=，即AB边上的高是．【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用解直角三角形的相关知识解答．26.如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若，（1）试说明（2）求的长【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据折叠的性质可得出可得出；（2）根据全等三角形的性质可得出，设，则，中，根据勾股定理，可得到x值．【小问1详解】解：根据折叠可知：，∴．在和中，，∴；【小问2详解】解：∵，∴，∴，设，则，∵，∴中，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，设要求的线段长为x，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解决问题的关键．B卷一、填空题（每题4分共20分）27.如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则_______．【答案】4【解析】【分析】如图（见解析），先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质可得，再根据勾股定理、等量代换可得，同理可得其他正方形的对应等式，然后代入求和即可得．【详解】解：设正放置的四个正方形的边长分别为，，，，则如图，由正方形的性质得：，，，即在和中，，，在中，，即同理可得：故答案为：4．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是根据三角形全等的判定方法找出全等三角形．28.已知，则______．【答案】【解析】【分析】根据，可以求得题目中所求式子的值．【详解】解：，，，故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．29.如图，数轴上点A表示的实数是_____．【答案】﹣1．【解析】【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出A点对应的实数．【详解】解：由图形可得：﹣1到A的距离为＝，则数轴上点A表示的实数是：﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】此题主要考查了实数与数轴，勾股定理，正确得出﹣1到A的距离是解题关键．30.在中，为边上的高，且的周长为______．【答案】44或54【解析】【分析】根据题意作出图形，利用勾股定理列式求出、，再分在内部和外部两种情况求出，然后根据三角形的周长的定义解答即可．【详解】解：，，边上的高，，，如图1，在内部时，，此时，的周长，如图2，在外部时，，此时，的周长，综上所述，的周长为44或54．故答案为：44或54．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是分情况讨论求出的长，作出图形更形象直观．31.如果，那么下列各式，①；②；③，④，正确的有______．【答案】②③##③②【解析】【分析】根据已知条件，二次根式的性质，二次根式的乘除法进行计算即可求解．【详解】解：∵，则，∴①，故①错误；②，故②正确；③，故③正确，④，故④错误，故答案为：②③．【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘除法，掌握二次根式的性质是解题的关键．二、解答题32.若直角三角形的边长分别是3，m，5．（1）求m；（2）求的值．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）分边长为m的边是直角边和斜边两种情况求解即可；（2）先化简二次根式，然后根据（1）所示，讨论求解即可得到答案．【小问1详解】解：当边长为m的边是直角边时，则；当边长为m的边是斜边时，则；∴的值为或；【小问2详解】解：当时，原式；当时，原式；综上所述，的值为或．【点睛】本题主要考查了勾股定理，化简二次根式，正确求出m的值是解题的关键．33.如图所示，是等腰直角三角形，是斜边的中线，分别是边上的动点，且，（1）求证：（2）若．求线段的长．（3）若的面积为，写出与的关系．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由是等腰直角三角形，是斜边的中点，可得：即，又，可得：，故，从而可证：；根据全等三角形的性质得到，进而得出；（2）在中，运用勾股定理可将的值求出；（3）根据（2）的结论，求得，根据是等腰直角三角形，求得边长，从而求得函数关系即可求解．【小问1详解】证明∵是等腰直角三角形，是斜边的中点，