专题07 与全等有关的压轴题-2021-2022学年八上期末（原卷版）VIP

试卷第=page44页，共=sectionpages1717页试卷第=page55页，共=sectionpages1717页与全等有关的压轴题1．（1）如图1，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．F是OC上的另一点，连接DF、EF．求证：OP垂直平分DE；（2）如图1，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．F是OC上的另一点，连接DF、EF．求证：DF=EF（3）如图2，若∠PDO+∠PEO=180°，PD=PE，求证：OP平分∠AOB．2．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D从点B出发沿射线BC移动，以AD为边在AB的右侧作△ADE，且∠DAE＝90°，AD＝AE．连接CE．（1）如图1，若点D在边BC上，求∠BCE的度数；（2）如图2，若点D在边BC的延长线上运动，∠BCE的度数是否发生变化？请说明理由．3．如图，等边三角形ABC中，D为BC边上一点，满足BD＜CD，连接AD，作∠DAE＝60°，AE与△ABC的外角平分线BM交于点E．（1）求证：AD＝AE；（2）若点B关于直线AD的对称点为F，连接CF．设∠BAD＝α．①求证：；②若BE+CF＝AB成立，求出α的值．4．如图1，在四边形中，边AD∥BC，，点为对角线上一点，且．（1）求证：；（2）连结交于点，为上一点，连结并延长交于点，且．①连结，如图2，试判断的形状，并说明理由；②连结，如图3，求证：平分．5．如图，AB=9cm，AC=3cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点B向点A运动，同时点Q在射线BD上以2cm/s的速度由点B沿射线BD的方向运动．它们运动的时间为t(s)．（1）如图①，若AC⊥AB，BD⊥AB，当t=3时，说明ACP≌BPQ，并求∠CPQ的度数；（2）如图②，∠CAB=∠DBA=，若ACP与BPQ全等，求出此时t的值，并直接写出∠CPQ的度数；（3）如图②，若将条件中“AB=9cm”改为“AB＝10cm”，其它条件不变，∠CAB=∠DBA=，是否存在t的值，使ACP与BPQ全等？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．6．如图，D为等腰直角斜边上的一个动点（D与B、C均不重合），连接，以为一边作等腰直角，为斜边，连接．（1）求证：；（2）以所在的直线为对称轴，画出的对称图形；（3）当D、E、F三点共线时，求度数．7．如图1，在中，，，直线经过点，且于，于．(1)由图1，证明：；(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，请猜想出，，的等量关系并说明理由；(3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问，，又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．8．在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=80°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=50°，DE交线段AC于点E（1）若DC=2，求证：△ABD≌△DCE．（2）在点D运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗?若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．9．已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC．（初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D，E分别在边AB，AC上，则DBEC．（填＞、＜或＝）（2）发现证明：如图②，将图①中△ADE的绕点A旋转，当点D在△ABC外部，点E在△ABC内部时，求证：DB＝EC．（深入研究）（3）如图③，△ABC和△ADE都是等边三角形，点C，E，D在同一条直线上，则∠CDB的度数为；线段CE，BD之间的数量关系为．（4）如图④，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C、D、E在同一直线上，AM为△ADE中DE边上的高，则∠CDB的度数为；线段AM，BD，CD之间的数量关系为．10．已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F是直线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD．①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，EF，AF间的等量关系：．②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系．（2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．11．已知在中，，，在平面内有一个点（点与点，不重合），以点为中心，把线段顺时针旋转，得到线段，连接，．（1）如图，若点在边上；①依题意补全图形；②设，则________．（2）如图，若点不在边上，猜想线段，之间的数量关系及位置关系，并证明．12．（1）如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且．求证：；（2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系；（3）如图3，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．13．如图，在等腰中，，点D为直线BC上一点，连接AD，以AD为腰在AD的右侧作等腰，，，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：；（2）当，①如图2，求证：；②探究线段CE、AB、CD之间的数量关系，请直接写出结论．14．如图，在中，，，分别过点B，C向过点A的直线作垂线，垂足分别为点E，F．（1）如图①，过点A的直线与斜边BC不相交时，求证：①；②．（2）如图②，其他条件不变，过点A的直线与斜边BC相交时，若，，试求EF的长．15．已知：如图①，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．（1）求证：；（2）当直线绕点C旋转到图②位置时，、、之间有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明，16．△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠EAD＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．（1）如图1，若∠EAD＝∠BAC＝60°，则△BEF是三角形；（2）若∠EAD＝∠BAC≠60°：①如图，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形，请直接写出结论并画出相应的图形．17．如图1，，，，、相交于点，连接．（1）求证：，并用含的式子表示的度数；（2）当时，取，的中点分别为点、，连接，，，如图2，判断的形状，并加以证明．18．问题：如图1，在等边三角形△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，ED＝EC，回答下列问题：（1）与AE相等的线段是．（2）请证明（1）中得到的结论，证明思路如下：①小聪思路：如图2，过E作EF//BC，交AC于点F，请你完成剩下解答过程；②小明思路：如图3，把△EBD沿BE翻折得到△EBF，连接CF，请你完成剩下解答过程．19．如图①，线段，过点B、C分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点D．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点C运动；同时动点Q从点C出发，以每秒a个单位的速度沿射线运动，当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为．（1）当，________，用含a的代数式表示的长为_______．（2）当时，①求证：．②求证：．（3）如图②，将“过点B、C分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的a、t的值．20．综合与实践：初步探究：（1）如图1，直线同侧有两定点D，E，点A，B，C是直线上的三个动点．在运动过程中，当∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝60°时，求∠D和∠E的数量关系．深入探究：（2）当点A，B，C三个动点运动到如图2所示的位置时，有∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝90°，求此时∠D和∠E的数量关系；若∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝时，∠D和∠E又有什么样的数量关系？（请直接写出这两个问题的答案）拓展应用：（3）在图2中，如果∠DAB＝∠DBE＝∠BCE＝90°仍然存在，再添加条件BD＝EB，求证：AC＝AD＋CE．21．关于等腰直角三角形两腰的运用：可以把两腰分散到两个三角形中用全等去思考，通常寻找或构造两腰为斜边的两个直角三角形全等，再由全等性质读出结论解决问题．（1）已知：如图（1），等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ADC＝∠E＝90°，则△ACD≌△CBE，全等的依据是．（2）已知：如图（2），梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，△EDC为等腰直角三角形，∠EDC＝90°，若AD＝2，BC＝5，求△AED的面积．这道题，我们可构造DE，DC为斜边的两个直角三角形；具体构造如下：作DM⊥BC于M，EN⊥AD于N，根据提示，通过思考运算，请直接写出S△AED＝．（3）已知：如图（3），等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BC，AD交于点E，若BD＝2，求AE的长．

22．在中，，点是射线上的一个动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．（1）如图1，当点在线段上，且时，那么______度．（2）设，．①如图2，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点在线段的延长线上，时，请直接写出此时与之间的量关系（不需证明）．23．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：①CF=EF；②AF+EF=DE（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角a，且0°＜a＜60°，其他条件不变，如图②．请你直接判断①中的两个结论是否成立；（3）若将图①中△DBE的绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③．请你写出此时AF、EF与DE之间的关系，并加以证明．24．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连结CE．（1）如图1，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE为多少度？（2）设，．①如图2，当点D在线段BC上移动时，，之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在线段CB的延长线上，时，请将备用图补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）．25．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若，则______．26．在△ABC中，AB=AC=10cm．（1）如图1，AM是△ABC的中线，MD⊥AB于D点，ME⊥AC于E点，MD=3cm，则ME=cm．（2）如图2，在（1）的条件下，连接DE交AM于点F，试猜想：①FDFE（填“>”、“=”或“＜”）；②AMDE（填位置关系）．（3）如图3，BC=8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上由B向C运动，同时点Q在线段CA上以每秒2cm的速度由C向A运动，设点P的运动时间为t秒．问：运动时间t为多少时，△BDP与△PQC全等?27．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；（2）猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．28．△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是边BC上的一点，BE⊥AD交AD的延长线于点E，联结CE．（1）如图，AD平分∠CAB，CF⊥CE交AD于点F，①求证：AF=BE；②直接写出∠BCE的度数，∠BCE=______°；（2）如图，CM//BE交