《14.1.2 直角三角形的判定》刷提升

《14.1.2直角三角形的判定》刷提升1.[中]五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是().A.B.C.D.2.[2023河北石家庄质检，中]如图，某海域有相距10海里的两个小岛A和C，甲船先由A岛沿北偏东70°方向走了8海里到达B岛，然后再从B岛走了6海里到达C岛，此时甲船位于B岛的().A.北偏东20°方向上B.北偏西20°方向上C.北偏西30°方向上D.北偏西40°方向上3.[2023江苏南京调研，中]已知等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，平面内有一点D，连结CD，AD，若CD=2，AD=6，则∠BCD=________.4.[2023福建漳州期中，中]如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为________m2.5.[2023山东济南槐荫区期末，较难]在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均是网格线的交点，则∠ACB−∠DCE=________°.6.[2023山西长治期中，较难]如图，在△ABC中，AB：CB：CA=3：4：5，且周长为72cm，点M以每秒2cm的速度从A向B运动，点N以每秒3cm的速度从B向C运动，如果两点同时出发，经过4秒时，△BMN的面积为_____cm2.7.[2023辽宁大连期中，中]如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ.(1)证明：AP=CQ；(2)若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，证明：△PQC是直角三角形刷素养8.[2023河南开封调研，较难]在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形：当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类).(1)当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为________三角形：当△ABC的三边长分别为6，8，11时，△ABC为________三角形.(2)猜想，当a2+b2________c2时，△ABC为锐角三角形：当a2+b2________c2时，△ABC为钝角三角形.(3)判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围.

参考答案1.C解析：A选项，72+202≠242，152+202=252，故A不正确；B选项，72+242=252，152+202≠242，故B不正确；C选项，72+242=252，152+202=252，故C正确；D选项，72+202≠252，242+152≠252，故D不正确，故选C.2.B解析：如图，由题意，得AB=8海里，BC=6海里，AC=10海里.∵AB2+BC2=82+62=100，AC2=102=100，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC=90°.∵AD//BE，∴∠ABE=180°−∠DAB=110°，∴∠CBE=∠ABE−∠ABC=20°，∴此时甲船位于B岛的北偏西20°方向上.故选B.3.135°或45°解析：分两种情况讨论，如图(1)和图(2).∵∠ABC=90°，AB=BC=4，∴AC2=42+42=32.又∵CD2=4，AD2=62=36，∴AD2=AC2+CD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACB=45°.故①∠BCD=90°+45°=135°；②∠BCD=90°−45°=45°.综上，∠BCD=135°或45°.4.96解析：不规则图形的面积→连接AC→规则图形的面积→S△ABC不规则图形的面积→连接AC→规则图形的面积→S△ACD如图，连结AC.∵AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，∴AC==15(m).又∵AB=25m，BC=20m，∴AC2+BC2=152+202=625=252=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∴这块地的面积=△ABC的面积−△ACD的面积=×15×20−×9×12=96(m2).故答案为96.5.45解析：如图，标出点F，G，连接CG，AG.由勾股定理得AG2=CG2=12+22=5，AC2=12+32=10，则AG2+CG2=AC2，所以∠CGA=90°，即△CAG是等腰直角三角形，所以∠CAG=45°.因为AF//BC，所以∠CAF=∠BCA.在△AFG和△CDE中，，所以△AFG≌△CDE(SAS)，所以∠FAG=∠DCE，所以∠ACB−∠DCE=∠CAF−∠FAG=∠CAG=45°.故答案为45.6.60解析：设AB=3xcm，CB=4xcm，CA=5xcm，∴3x+4x+5x=72，∴x=6，∴AB=18cm，CB=24cm，CA=30cm.∵AB2+CB2=182+242=900，CA2=302=900，∴AB2+CB2=CA2，∴△ABC是直角三角形，∠B=90°.当运动时间为4秒时，BM=AB−AM=18−2×4=10(cm)，BN=3×4=12(cm)，∴S△BMN=BM⋅BN=60cm2，故答案为60.7.证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∴∠ABP+∠PBC=60°.∵∠PBQ=60°，∴∠QBC+∠PBC=60°，∴∠ABP=∠QBC.又∵AB=BC，BP=BQ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ.(2)如图，由PA：PB：PC=3：4：5，可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，∴CQ=AP=3a.在△PBQ中，∵PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，∴△PBQ为等边三角形，∴PQ=4a.在△PQC中.∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2，∴△PQC是直角三角形.刷素养8.解：(1)两直角边长分别为6，8时，斜边长为10，∴当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC的三边长分别为6，8，11时，△ABC为钝角三角形.故答案为锐角，钝角.(2)当a2+b2>c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2<c2时，△ABC为钝角三角形，故答案为>，<(3)∵c为最长边，2+4=6，∴4⩽c<6，a2+b