13.4 尺规作图（难点练）解析版

13.4尺规作图（难点练）一、填空题1．（2020·北京八年级期中）在中给定下面几组条件：①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°；②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°；③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°；④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°．若根据每组条件画图，则能够唯一确定的是___________（填序号）.【答案】①③④【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【详解】解：①符合全等三角形的判定定理SAS，即能画出唯一三角形，正确；

②根据BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°不能画出唯一三角形，如图所示△ABC和△BCD，

错误；

③符合全等三角形的判定定理HL，即能画出唯一三角形，正确；

④∵∠ABC为钝角，结合②可知，只能画出唯一三角形，正确.

故答案为：①③④．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定方法；解答此题的关键是要掌握三角形全等判定的几种方法即可，结合已知逐个验证，要找准对应关系．2．（2021·河南省淮滨县第一中学八年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3.其中正确的是__________________．(填所有正确说法的序号)【答案】4【分析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°，根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．【详解】①连接NP，MP．在△ANP与△AMP中，∵，∴△ANP≌△AMP，则∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确；②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∴∠ADC=60°，故此选项正确；③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上，故此选项正确；④∵在Rt△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD，∴BC=BD+CD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD，∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD，∴S△DAC：S△ABC=1：3，故此选项正确．故答案为①②③④．【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．二、解答题3．（2020·阳泉市第三中学校八年级期中）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．尺规作图是起源于古希腊的数学课题．只使用圆规和直尺，并且只准使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（1）如图，下列操作中，作∠ABC的平分线的正确顺序是____（将序号按正确的顺序写在横线上）①分别以M、N为圆心，大于MN为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P．②以点B为圆心，适当长为半径画弧．交AB于点M，交BC于点N．③画射线BP，交AC于点D．④线段BD即为△ABC的一条角平分线．（2）上述作法，其运用的数学知识是全等三角形判定方法中的______（判定方法）；（3）如图，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC的平分线AD与∠BCA平分线CE交于点F，图中与∠B相等的角是______；请你猜想EF与FD的数量关系，并说明理由．【答案】（1）②①③④；（2）SSS;（3）∠EFA、∠CFD，，理由见解析．【分析】（I）利用尺规作图作角平分线的步骤解答即可；（2）连接MP、NP，然后根据全等三角形的判定定理解答即可；（3）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可找到与∠B相等的角；在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答．【详解】解：（1）作∠ABC的平分线的正确顺序是②①③④；故答案为：②①③④；（2）如图：连接MP、NP，在△MBP和△NBP中，|BM=BN，PM=PN，BP=BP∴△MBP≌△NBP（SSS），故答案为SSS;（3）∵∠B=60°∴∠BAC+∠ACB=180°-∠B=120°∵∠BAC的平分线AD与∠BCA平分线CE交于点F，∴∠DAC+∠ECA=180°-（∠BAC+∠ACB）=60°，即∠AFC=120°∴∠EFA=∠CFD=60°，理由如下：在上截取，连接，则，∴，，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了角平分线的作法、性质定理以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．4．（2019·西安交通大学附属中学雁塔校区八年级月考）已知：，求作一个，使，且．【分析】首先过点A作BC的平行线AE，再在AE上截取，连接BD，CD即可得到△BCD．【详解】解：如图过点A作BC的平行线AE，再在AE上截取，交AE于点D，连接BD，CD即可得到△BCD．【点睛】本题考查了同底，等高的三角形面积相等以及作一条线段等于已知线段的基本作图，熟练掌握基本尺规作图是解本题的关键．5．（2020·江西定南·八年级期末）如图，请用无刻度的直尺按下列要求画图；（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是边AB，AC上的两点，且BM＝CN，请画出线段BC的垂直平分线；（2）如图②，等边△ABC和等边△ACD，点E是AB边的中点，请画出线段BC的垂直平分线．【答案】（1）如图①，直线AD即为所求；（2）如图②，直线AF即为所求．【分析】（1）连接BN和CM，交点为O，连接AO，即可得到BC的垂直平分线；（2）连接BD和CE交于点P，连接AP，即可得到BC的垂直平分线；【详解】(1)如图①，直线AD即为所求；(2)如图②，直线AF即为所求．【点睛】本题考查轴对称作图，根据全等关系可以确定点与点的对称关系，从而确定对称轴，即可画出垂直平分线．6．（2020·北京人大附中八年级期末）尺规作图之旅下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．（作图原理）在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的画×．（1）过一点作一条直线．()（2）过两点作一条直线．()（3）画一条长为3㎝的线段．()（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．()（回顾思考）还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程．已知：∠AOB．求作：使作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线，以点为圆心，OC长为半径画弧，交于点；（3）以点为圆心，____________________；（4）过点画射线，则．说理：由作法得已知：求证：证明：()所以()（小试牛刀）请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线与直线外一点A．求作：过点A的直线，使得．（创新应用）现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．【答案】【作图原理】（1）√；（2）√；（3）×；（4）√；【回顾思考】作法：以点为圆心，以CD为半径画弧，与第二步中所画的弧相交于；说理：SSS，全等三角形对应角相等；【小试牛刀】答案见解析；【创新应用】答案见解析．【分析】[作图原理]根据五种基本作图判断即可；[回顾思考]利用全等三角形的判定解决问题即可；[小试牛刀]利用同位角相等两直线平行解决问题即可；[创新应用]答案不唯一，画出图形，说明设计意图即可．【详解】解：[作图原理]：（1）过一点作一条直线．可以求作；（2）过两点作一条直线．可以求作；（3）画一条长为3cm的线段．不可以求作；（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．可以求作；故答案为：√，√，×，√；[回顾思考]：作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线OA，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点C；（3）以点C为圆心，以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′；（4）过点D画射线OB，则∠AOB＝∠AOB．说理：由作法得已知：OC＝OC，OD＝OD，CD＝CD，求证：∠AOB＝∠AOB．证明：在△OCD和△OCD中，∴△OCD≌△OCD（SSS），∴∠AOB＝∠AOB（全等三角形的对应角相等），故答案为：以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′，SSS，全等三角形的对应角相等；[小试牛刀]：如图，直线l′即为所求（方法不唯一），；[创新应用]：如图所示（答案不唯一），设计意图：书架中隐藏着无限宝藏，．【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（2020·江苏江阴·八年级期中）在边长为1的正方形网格图中，点B的坐标为(2，0)，点A的坐标为(0，－3)．（1）在图1中，请建立合适的坐标系，把线段AB绕原点旋转180°得线段DE（其中A与D是对应点），则四边形ABDE是形，面积等于．（2）在图2中，仅使用无刻度的直尺，作出以AB为边的矩形ABFG，使其面积为11（保留作图痕迹，不写做法）【答案】（1）菱形，12；（2）见解析【分析】（1）如图1，建立直角坐标系，四边形是菱形，根据的坐标为，点的坐标为，可求得菱形的面积．（2）如图2，连接，，交于点，得的两条垂线，则得到矩形，由的值，可得的值，可得的值和的值，又，则矩形的面积为：，既得矩形即为所求．【详解】（1）如图1所示，建立直角坐标系，按照线段绕原点旋转得线段，画出四边形，图1根据图形可得，四边形是菱形，∵的坐标为，点的坐标为，∴四边形的面积为：．故四边形是菱形，面积等于12．（2）如图2，连接，，交于点，图2由，可得，∴，同理可得，，又，此时，矩形的面积为：，故矩形即为所求．【点睛】本题考查了图形旋转的相关综合应用．解答图形旋转相关题型时关键是熟练掌握旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等．8．（2020·江苏无锡·）如图，已知，请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：（1）在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合，请在图①中作出点；（2）在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且，请在图②中作出点.【分析】（1）作线段BC的垂直平分线，交BC于点M，即可；（2）过点B作BO⊥BC，交CA的延长线于点O，作∠BOC的平分线交BC于点N，即可．【详解】（1）作线段BC的垂直平分线，交BC于点M，即为所求．点M如图①所示：（2）过点B作BO⊥BC，交CA的延长线于点O，作∠BOC的平分线交BC于点N，即为所求．点N如图②所示：【点睛】本题主要考查尺规作图，掌握尺规作线段的中垂线和角平分线，是解题的关键．9．（2020·海南海口·）如图,在.(1)用尺规作图方法，按要求作图:①作的高;②作的平分线，分别交于点;(要求:保留作图痕迹，不写作法和证明)(2)求证:点在的垂直平分线.上;.(3)在(1)所作的图中，探究线段AE与BF的数量关系，并证明你的结论.【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）证明见解析；（3）AE=2BF，证明见解析.【分析】（1）根据过已知直线外一点垂线的步骤作图；（2）根据作角平分线的步骤作图；（3）根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，证明DA=DB即可；（4）通过证△ADE≌△BDC得出AE=BC,再根据等腰三角形三线合一的性质得出BC=2BF即可得出结论.【详解】（1）①如图1，以B为圆心，BC为半径画弧，交AC于M;以C、M分别为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点P；作射线BP交AC于D,线段BD就是要求作的△ABC的高；②如图1，以A为圆心，以任意长为半径画弧，交AB,AC于G,H；以G,H分别为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于N点；作射线AN，交BC于F点，射线AF就是所要求作的∠BAC的平分线；（2）∵∠BAC=45°，∠ADB=90°，∴∠ABD=∠BAC=45°.∴DA=DB，∴点D在AB的垂直平分线上.…（3）∵AB=AC，AF是∠BAC的角平分线，∴BC=2BF，AF⊥BC.∴∠DAF+∠C=90°．∵∠DBC+∠C=90°，∴∠DAE=∠DBC.又∵DA=DB，∠ADE=∠BDC=90°，∴△ADE≌△BDC（ASA）.∴AE=BC，∴AE=2BF.【点睛】本题考查了尺规作图的基本作图，主要培养学生的动手操作能力；同时考查了等腰三角形的判定和性质及全等三角形的判断和性质等，具有推理能力是解答此题的关键.10．（2019·全国八年级课时练习）（1）已知和线段、，用直尺和圆规作，使，，和之间的距离为（作出图形，不写作法，保留痕迹）（2）在（1）中，若比大2，且与的和小于10，求的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）．【分析】（1）先作∠MAN=α，再在AM上截取AB=m，过点B作BP⊥AB，接着在BP上截取BE=h，过点E作DE⊥BE交AD于D，然后在DE上截取DC=m，则四边形ABCD满足条件；

（2）根据题意得到m=n+2，m+n＜10，然后消去m得到n的不等式，再解不等式即可．【详解】解：（1）如图，平行四边形为所作．（2）根据题意得到m=n+2，m+n＜10，则2n+2＜10，解得n＜4，而n＞0，所以0＜n＜4．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，利用几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．11．（2019·全国八年级课时练习）如图，已知用尺规将一个任意角三等分是不可能的，但对于一些特殊角则可以利用作等边三角形的方法三等分，请用直尺和圆规把平角和这两个角三等分（尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法）【分析】根据平角的三分之一等于60°，所以以点D为顶点，分别以CD、DE为边在同一侧作等边三角形和，则射线DM、DN即为所求作的平角CDE的三等分线；

根据45°角的三分之一等于15°，以点O为圆心，以任意长为半径画弧与OB相交于点F，再作FH=OF，然后以点F、H为圆心，以FH长为半径画弧相交于点P，连接OP，根据一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形可判定是直角三角形，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠POH=30°，从而得到∠AOP=15°，再作出∠POH的角平分线即可把∠AOB=45°三等分．【详解】解：如图所示，射线、为平角的三等分线；如图所示，射线、为的三等分线．【点睛】本题考查了复杂作图，根据角度的三分之一的度数，利用等边三角形作出60°的角，利用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质作出30°的角是解题的关键．12．（2019·湖北武汉·八年级月考）读句画图：⑴画钝角△ABC（900<∠A<1800），且AB>AC．⑵BC上的中线AD．⑶画AC上的高BE.⑷画△ABC角平分线CF.【分析】（1）首先画一钝角∠A，角的两边，长为AB，短边为AC.连接BC；（2）作BC的垂直平分线与BC的交点就是中点D，连接AD；（3）延长CA，从点B处作延长线的垂线，交点为E.连接BE；（4）以点C圆心，任意长为半径画弧，交AC，BC于点K，L，再以K，L为中心，大于KL的一半为半径画弧，两弧的交点为F，连接CF.【详解】解(1)：（2）（3）（4）【点睛】本题主要考查了中线，垂线，角平分线的一些基本画法.掌握尺规作图是解答本题的关键.13．（2018·江苏滨湖·八年级期中）（定义）数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．（理解）如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．（应用）(1)在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值______；(2)在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．【答案】【定义】见解析；【应用】(1)103.5°或126°；(2)画图见解析；∠B＝42°或18°.【定义】如图①，如图②所示，根据题意画出图形即可；

【应用】（1）①如图③当∠B=42°，AD为“好线”，②如图④当∠B=42°，AD为“好线”，③如图⑤当∠ABC=42°时，BD为“好线”，④如图⑥，当∠B=42°时，CD为“好线”，⑤如图⑦，当∠B=42°时，CD为“好线”，根据等腰三角形的性质即可得到结论；

（2）设∠B=x°，①当AD=DE时，如图1（a），②当AD=AE时，如图1（b），③当EA=DE时，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论．【详解】解：(定义)如图①，如图②所示，（应用）(1)①如图当∠B＝42°，AD为“好线”，则AB＝AD，AD＝CD，这个三角形最大内角是∠BAC＝103.5°；②如图⑦，当∠B＝42°时，CD为“好线”，

则AD＝AC，CD＝BD，故这个三角形最大内角是∠ACB＝126°，综上所述，这个三角形最大内角的所有可能值是103.5°或126°，故答案为103.5°或126°；(2)设∠B＝x°，①当AD＝DE时，如图1(a)，∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝27°，∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x°∴∠AED＝∠DAE＝2x°，∴27×2+2x+x＝180，∴x＝42，∴∠B＝42°；②当AD＝AE时，如图1(b)，∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝27°，∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x°∴∠AED＝∠ADE＝2x°，∴2x+x＝27+27，∴x＝18，∴∠B＝18°．③当EA＝DE时，∵90﹣x+27+27+x＝180，∴x不存在，应舍去．综合上述：满足条件的x＝42°或18°．【点睛】本题考查设计与作图、等腰三角形的定义、正确的理解题意是解决问题的关键，并注意第二问的分类讨论的思想，不要丢解．14．（2019·陕西西安市远东一中八年级月考）请下图的数轴上用尺规作出对应的点.【分析】如图：设数轴上2表示的点字母为D，分别以1、3为圆心，大于1为半径画圆，两圆交于A点，连接AD，以D为圆心2为半径画圆，交直线AD于B，以0为圆心，0B为半径画圆，交数轴负半轴于C，则点C即为所求.【详解】作图如下：【点睛】本题考查勾股定理及尺规作图，利用勾股定理作出的长度是解题关键.15．（2018·全国南京·101中学八年级月考）已知直线及位于其两侧的两点，，如图：（）在图①中的直线上求一点，是直线平分．（）能否在直线上找一点，使该点到点，的距离之差的绝对值最大？若能，直接在图②作出该点的位置，若不能，请说明理由．分析：（1）作B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l与点Q，连接BQ，由三角形全等的判定定理求出△BDQ≌△B′DQ，再由三角形全等的性质可得出；（2）根据两点之间线段最短，连接AB，线段AB交直线l于点O，则点O为所求.详解：（）如图，作点关于直线的对称点，连接并延长交直线于点，点即为所求．（）如图：作点关于直线的对称点，连结并延长交直线于点，点即为所求．点睛：此题主要考查了两点之间线段最短、线段的垂直平分线的性质及角平分线的性质，熟知各题的知识点是解题关键.16．（2018·全国南京·101中学八年级月考）如图，方格纸上画有、两条线段，按下列要求作图．（保留作图痕迹）（）请你在图（）中画出线段关于所在直线成轴对称的图形．（）请你在图（）中添上一条线段，使图中条线段组成一个轴对称图形，画出所有情形．（）如图（），已知和、两点，求作一点，使，且到两边的距离相等．分析：（1）做BO⊥CD于点O，并延长到B′，使B′O=BO，连接AB即可；

（2）轴对称图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合．

（3）作出∠AOB的平分线；作出CD的中垂线；找到交点P即为所求．详解：（）（）如图所示：（）如图所示：作的中垂线和的平分线，两线交点即为点．点睛：1）（2）两个小题考查对称轴作图，掌握画图的方法和图形的特点是解题的关键；

（3）本题考查了角平分线的作法以及垂直平分线的作法，解答此题要明确两点：（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等；（2）中垂线上的点到两个端点的距离相等．17．（2018·江阴市敔山湾实验学校八年级期中）如图，在等腰△ABC内找一点P，向两腰AB、AC作垂线，垂足分别为D、E，向底边BC作垂线，垂足为F，若PD＋PE＝PF．用直尺和圆规作出所有适合条件的点P．（保留作图痕迹）分析：作∠ABC的平分线交AC于点P2，∠ACB的平分线交AB于点P1，连接P1P2，则在线段P1P2上的所有点（不含端点）为所求作的满足条件的点P．详解：如图所示，答：在线段P1P2上的所有点（不含端点）为所求作的满足条件的点P．点睛：本题考查了轨迹和等腰三角形的性质．解题的关键是找到点P1和点P2．18．（2018·江苏工业园区·八年级期末）如图，已知,.(1)用直尺和圆规作出一条过点的直线，使得点关于直线的对称点落在边上(不写作法，保留作图痕迹).(2)设直线与边的交点为，且，请你通过观察或测量，猜想线段之间的数量关系，并说明理由.【答案】(1)作图见解析.(2),理由见解析.试题分析：（1）先作∠BAC的平分线l，再过点C作CF⊥l交AB于F，则可得到点C和F点关于l对称，所以l为所作；（2）连结DF，如图，利用等腰三角形的判定方法得到AF=AC，则AD垂直平分CF，所以DF=DC，则∠DCF=∠DFC，再利用三角形外角性质得∠BDF=2∠DCF，接着证明∠B=2∠BCF，于是得到∠B=∠BDF，则FB=FD=CD，则易得AB=AF+FB=AC+CD．试题解析：（1）如图，直线l为所作；（2）AB=AC+CD．理由如下：连结DF，如图，∵AD平分∠BAC，AD⊥CF，∴AF=AC，∴AD垂直平分CF，∴DF=DC，∴∠DCF=∠DFC，∴∠BDF=∠DCF+∠DFC=2∠DCF，∵∠AFC=∠ACF，∵∠AFC=∠B+∠BCF，∴∠ACF=∠B+∠BCF，∵∠ACB=2∠B，∴2∠B-∠BCF=∠B+∠BCF，∴∠B=2∠BCF，∴∠B=∠BDF，∴FB=FD，∴FB=CD，∴AB=AF+FB=AC+CD．19．（2017·江苏建湖·八年级期中）如图，已知线段m、n．用直尺与圆规作一个Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB等于m、直角边BC等于n．(保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法)试题分析：根据基本作图，先作两直线互相垂直，垂足为C，然后以n的长为半径，以C为半径作弧交于点A，再以A为圆心，以m为半径作弧，交于B，得到△ABC.试题解析：如图所示，三角形ABC既是所求的Rt△ABC.20．（2017·江阴初级中学八年级期中）在如图所示的网格中，线段AB和直线l如图所示：（1）借助图中的网格，在图1中作锐角△ABC，满足以下要求：①C为格点（网格线交点）；②AB=AC．（2）在（1）的基础上，请只用直尺（不含刻度）在图（1）中找一点P，使得P到AB、AC的距离相等，且PA＝PB．（友情提醒：请别忘了标注字母！）（3）在图2中的直线l上找一点Q，使得△QAB的周长最小，并求出周长的最小值是．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）.试题分析：以为圆心，以为半径画圆弧，找出格点，即点的位置.注意是锐角三角形.找出的中点,连接,过的中点作的垂线，与交于点,点即为所求.作点关于直线的对称点,连接与直线交于点,点即为所求.试题解析：如图所示：如图所示：作点关于直线的对称点,连接与直线交于点,点即为所求.△QAB的周长故答案为点睛：线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.21．（2017·江苏灌南·八年级期中）问题情境学习完本册第二章“轴对称图形”后，张老师在课堂上提出这样的问题：“如图①，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，如何画一条线段把△ABC分割成两个等腰三角形？”请在图中画出这条线段，并标出相关的度数.问题探究探究一：课后，小华经过探究发现：如图②，在△ABC中，∠A=26°，∠B=52°，也可以画一条线段把△ABC分割成两个等腰三角形.请在图中画出这条线段，并标出相关的度数.探究二：如图③，在△ABC中，当，∠B=2∠A时，是否一定存在一条线段把△ABC分割成两个等腰三角形？若能，请在图中画出这条线段，若不能，直接写出∠A的取值范围.试题分析:本题考查等腰三角形的构造方法,根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等,则以线段AC为底,作线段AC的垂直平分线交线段AB于一点D,连接DC,则△ADC是等腰三角形,再根据三角形的外角性质可知∠CDB＝2∠A,然后再根据等角对等边来判定是否为等腰三角形.以线段AC为底,作线段AC的垂直平分线交线段AB于一点D,连接DC,则△ADC是等腰三角形,再根据三角形的外角性质可知∠CDB＝2∠A=60°,因为∠B＝60°,所以∠CDB＝∠B,所以△BDC是等腰三角形.以线段AC为底,作线段AC的垂直平分线交线段AB于一点D,连接DC,则△ADC是等腰三角形,再根据三角形的外角性质可知∠CDB＝2∠A=52°,因为∠B＝52°,所以∠CD