高等数学第一章函数、极限与连续教学教案

二、极限一、函数三、连续与间断机动目录上页下页返回结束函数、极限与连续第一章一、函数

1、函数的概念

2、函数的特性

3、反函数

4、隐函数

5、复合函数

6、初等函数与基本初等函数一、函数1.函数的概念定义:定义域值域图形:(一般为曲线)设函数为特殊（数域上）的映射:其中机动目录上页下页返回结束(3)奇偶性且有若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.

说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有机动目录上页下页返回结束(4)周期性且则称为周期函数,若称l为周期(一般指最小正周期).周期为

注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x为有理数x为无理数机动目录上页下页返回结束3.反函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射称此映射为f的反函数.机动目录上页下页返回结束其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.机动目录上页下页返回结束指数函数4、隐函数若由方程可确定y是x

的函数,函数为隐函数.则称此5、复合函数

则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①机动目录上页下页返回结束—复合映射的特例②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件不可少.例如,函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合6.初等函数(1)基本初等函数（定义域、性质、图形、导数、积分）幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.机动目录上页下页返回结束例1.设函数求解:机动目录上页下页返回结束常考题型：四大特性判断；复合函数例2.设求及其定义域.由得解:机动目录上页下页返回结束第一步：根据具体的外函数将抽象的内函数作为自变量表示出来。第二步：题1——外函数的定义域=内函数的值域题2——利用反函数，解出内函数表达式二、极限

1、极限的概念

2、极限的性质

3、极限存在准则

4、两个重要极限

5、无穷小量与无穷大量

无穷小量的概念、性质、比较、等价无穷小

无穷大量的概念1、极限的概念机动目录上页下页返回结束数列当时,有极限定义的等价形式(以为例)(即为无穷小)有机动目录上页下页返回结束当时,有2)保号性:

若且A>0,则存在(A<0)(P37定理3)机动目录上页下页返回结束3)不等式性质:

若在的某去心邻域内,且则2.极限的性质1)有界性:

若则存在(P37定理3)其中

为时的无穷小量.4)函数值与函数极限的关系则有5)四则运算法则

若（B≠0）1）夹逼准则(准则1)

(P49)机动目录上页下页返回结束2）单调有界数列必有极限

(准则2

)

(P52)

3、极限存在准则4.两个重要极限

5.无穷小量与无穷大量1）无穷小的概念：机动目录上页下页返回结束时,函数(或)2）无穷大的概念：若若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则定理2.

在自变量的同一变化过程中,2)无穷小的性质：有限个无穷小的和是无穷小（无限否）有限个无穷小的积是无穷小（无限立）有界量乘无穷小是无穷小机动目录上页下页返回结束3)无穷小的比较设

,

对同一自变量的变化过程为无穷小,且

是

的高阶无穷小

是

的低阶无穷小

是

的同阶无穷小

是

的等价无穷小

是

的k阶无穷小4)等价无穷小:

～～～～～～～～～机动目录上页下页返回结束5.求极限的基本方法：整理、四则运算法则、变量代换（复合函数求极限）、无穷小性质、两个重要极限、等价无穷小代换、极限存在两个重要准则、常考题型：求极限；无穷小量阶的比较提示:无穷小有界机动目录上页下页返回结束整理函数通用手段：三角函数和差化积，无理式有理化，分式通分，取对数（幂指函数）～则有复习:若机动目录上页下页返回结束令机动目录上页下页返回结束变量代换原则:简化函数；简化变化过程；机动目录上页下页返回结束3.求解:

令则利用夹逼准则可知例4.当时,是的几阶无穷小?解:设其为的阶无穷小,则因故机动目录上页下页返回结束三、连续与间断

1、连续的概念（含左连续与右连续）

2、间断点（2个）

3、连续函数的性质（6个）三、连续与间断1.函数连续的概念有2.函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点机动目录上页下页返回结束3、连续函数的性质基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在