北师大版八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练第07讲实数(4种题型)(原卷版+解析)

第07讲实数（4种题型）【知识梳理】一．实数（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．（2）实数的分类：按定义分：实数按与0的大小关系分：实数二．实数的性质（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．实数的倒数乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．三.实数与数轴上的点的关系（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．我们尝试用数轴上的一个点来表示．由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1．这样，就在数轴上确定一个点来表示．要点：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。四．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．【考点剖析】一．实数（共7小题）1．（2022秋•大田县期中）把下列各数填入相应的括号内：，，0.，﹣3.14，，（﹣）2，1.010010001⋯（1）无理数：{…}；（2）负实数：{…}；（3）整数：{…}；（4）分数：{…}．2．（2022秋•城阳区期中）把下列各数填入相应的集合内：0，，﹣，，﹣，，，3.1011，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1）．（1）整数集合{…}；（2）分数集合{…}；（3）无理数集合{…}．3．（2023春•凯里市校级期中）把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：﹣2.4，π，2.022，，﹣0.15，0，﹣10，﹣1.1010010001…．整数集合：{}；负分数集合：{}；正实数集合：{}；无理数集合：{}．4．（2022秋•黑山县期中）把下列各数分别填入相应的集合内：，﹣，，，﹣，0，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1）5．（2022秋•浑南区月考）将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内：1，﹣0.25，2.3，，0，﹣，﹣2，，；负实数集合{…}；有理数集合{…}；无理数集合{…}．6．（2022秋•浚县期中）把下列各实数填在相应的大括号内；，﹣|﹣3|，，，1.1010010001…整数：{}；分数：{}；无理数：{}；负数：{}．7．（2023春•东莞市月考）把下列各数填到相应的集合内（只填序号）：①2；②﹣；③；④0.54：⑤0.1；⑥；⑦0；⑧﹣23；⑨（）2；⑩0.3020020002…（相邻两个2之间0的个数逐次加一）有理数集合：{…}．无理数集合：{…}．正实数集合：{…}．负实数集合：{…}．二．实数的性质（共6小题）8．（2023春•仙游县校级期中）的相反数是（）A．﹣0.236 B．+2 C．2﹣ D．﹣2+9．（2023•泗县校级模拟）的倒数是（）A． B． C． D．10．（2023春•晋安区期中）在下列各组数中，互为相反数的是（）A．﹣3与 B．|﹣3|与﹣ C．|﹣|与﹣ D．3与11．（2023春•景县期中）﹣的绝对值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．212．（2022春•海淀区校级期中）已知正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，与互为相反数，求a+2b的值．13．（2022秋•苏州期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出﹣50653的立方根？他进行了如下步骤：①首先进行了估算：因为103＝1000，1003＝1000000，所以是两位数；②其次观察了立方数：13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；猜想的个位数字是7；③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为33＝27，43＝64，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37；④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：（1）＝；（2）若，则x＝；已知，且与互为相反数，求x，y的值．三．实数与数轴（共7小题）14．（2023春•上思县期中）如图，点A表示的实数是（）A． B． C． D．15．（2023春•长沙期中）如图，3，在数轴上的对应点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（）A．﹣ B．3﹣ C．﹣3 D．6﹣16．（2023春•东莞市校级期中）如图，点E表示的数为（）A．1 B． C． D．17．（2023春•郯城县期中）如图，实数a在数轴上的位置如图所示，化简：＝（）A． B． C． D．18．（2022秋•济南期末）已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为﹣2，B表示的数为2，AB表示A，B两点之间的距离．若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝n，则称点C为点A，B的“n节点”．例如图1所示，若点C表示的数为0，有AC+BC＝2+2＝4，则称点C为点A，B的“4节点”（1）若点C为点A，B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为﹣3，则n＝；（2）若点D为点A，B的“节点”，请直接写出点D在数轴上表示的数为；（3）若点E在数轴上（不与A，B重合），满足A，E两点之间的距离是B，E两点之间的距离的倍，且点E为点A，B的“n节点”，求n的值．19．（2021秋•绥宁县期末）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．（1）求出这个魔方的棱长．（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得A与﹣1重合，那么D在数轴上表示的数为．20．（2023春•雷州市校级期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．（1）实数m的值是；（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根．四．实数的运算（共7小题）21．（2023•大安市四模）计算：＝．22．（2022秋•沧州期末）对于任意的实数m，n，定义一种词“*”，m*n＝mn+n+m，则＝（）A．﹣4 B．4 C． D．23．（2023春•长垣市期末）计算：＝．24．（2023•鼓楼区校级一模）计算：．25．（2023春•东莞市期中）计算：．26．（2023•金安区校级三模）计算：．27．（2023春•利川市期中）计算：．【过关检测】一、单选题1．（2023·江苏·八年级假期作业）在实数，0，，，，，（每两个1之间依次多1个0），这8个实数中，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2022秋·八年级单元测试）的立方根与81的平方根的和是（

）A．6 B．0 C．6或 D．0或63．（2023·江苏·八年级假期作业）已知，则a、b、c的大小关系是(

)A． B． C． D．4．（2022秋·甘肃兰州·八年级统考期末）在实数中，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2023春·广东汕头·八年级统考期末）如图，矩形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心以对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为(

)

A． B． C． D．6．（2022春·八年级单元测试）在数轴上，下列各数所表示的点在表示2的点右侧的数是（

）A． B． C． D．7．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期末）关于的叙述错误的是（

）A．是无理数 B．在数轴上存在表示的点C． D．8．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，在数轴上标有O，A，B，C，D五个点，根据图中各点所表示的数，判断应该在下列线段的（

）

A．上 B．上 C．上 D．上9．（2023春·江西南昌·八年级统考期末）在下列四个数中，最大的数是（

）A． B． C． D．10．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图，输入，则输出的数为（

）A．8 B．16 C．32 D．64二、填空题11．（2023·江苏·八年级假期作业）在下列数中：，，，，，（为正整数），．有理数是____________；无理数是________．12．（2023·江苏·八年级假期作业）把下列各数的标号填在相应的大括号内：①2，②，③，④，⑤，⑥（每两个4多一个0）．（1）有理数集合：{________}；（2）无理数集合：{_______}．13．（2023·全国·八年级假期作业）小华编写了一个程序：输入x→立方根→算术平方根→2，则x为___．14．（2023春·辽宁·八年级期末）计算：______．15．（2023春·广西南宁·八年级统考期中）若，为实数，且，则的值是________．16．（2022秋·八年级单元测试）的相反数是_______．的绝对值是________．17．（2022秋·广东清远·八年级校联考期中）若，则

______．18．（2022秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）观察下列依次排列的一列数，，2，，，，…，按这个规律写出第n个数：______（第n个数）．19．（2023春·安徽·八年级统考期末）如图，A、B、C分别为数轴上的三点，且，若点B对应的实数为1，点对应的实数为，则点A对应的实数为___________．

三、解答题20．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）计算：．21．（2023春·云南昭通·八年级校考期末）计算：．22．（2022秋·山东青岛·八年级校考阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里：，0，，，，，，有理数集合：{______}；无理数集合：{______}；负实数集合：{______}．23．（2023·全国·八年级假期作业）如图，是张大爷的一块小菜地，已知CD是中AB边上的高，，求BD的长．（结果保留根号）24．（2022春·八年级单元测试）观察下列各式：；；；请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：(1)猜想：．(2)归纳：根据猜想写出一个用（表示正整数）表示的等式；(3)应用计算：．25．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到）26．（2023春·辽宁大连·八年级校考阶段练习）仔细观察下列等式：①②③(1)请你根据以上规律，写出第7个和第10个等式．(2)直接写出第n个等式（n为正整数）．27．（2022秋·全国·八年级专题练习）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．(1)到底有多大？下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整：我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图．由面积公式，可得______．因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____．(2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程．现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．

第07讲实数（4种题型）【知识梳理】一．实数（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．（2）实数的分类：按定义分：实数按与0的大小关系分：实数二．实数的性质（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．实数的倒数乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．三.实数与数轴上的点的关系（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．我们尝试用数轴上的一个点来表示．由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1．这样，就在数轴上确定一个点来表示．要点：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。四．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．【考点剖析】一．实数（共7小题）1．（2022秋•大田县期中）把下列各数填入相应的括号内：，，0.，﹣3.14，，（﹣）2，1.010010001⋯（1）无理数：{1.010010001⋯，…}；（2）负实数：{，﹣3.14…}；（3）整数：{，（﹣）2…}；（4）分数：{，0.，﹣3.14，…}．【分析】先求出与（﹣）2的值，再由实数的分类即可解答．【解答】解：＝6，（﹣）2＝2，（1）无理数{1.010010001⋯，⋯}；（2）负实数{，﹣3.14⋯}；（3）整数{，（﹣）2⋯}；（4）分数{，0.，﹣3.14⋯}．故答案为：1.010010001⋯，⋯；，﹣3.14；，（﹣）2；，0.，﹣3.14．【点评】本题考查的是实数，熟知实数的分类是解题的关键．2．（2022秋•城阳区期中）把下列各数填入相应的集合内：0，，﹣，，﹣，，，3.1011，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1）．（1）整数集合{0，，…}；（2）分数集合{，﹣，3.1011…}；（3）无理数集合{﹣，，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1）…}．【分析】先把各数化简，再根据实数的分类进行解答即可．【解答】解：﹣＝﹣是分数，＝﹣2是整数，＝7是整数．（1）整数集合{0，，…}；（2）分数集合{，﹣，3.1011，…}；（3）无理数集合{﹣，，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1）…}．故答案为：0，，；，﹣，3.1011；﹣，，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1）…．【点评】本题考查的是实数，熟知实数的分类是解题关键．3．（2023春•凯里市校级期中）把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：﹣2.4，π，2.022，，﹣0.15，0，﹣10，﹣1.1010010001…．整数集合：{0，﹣10}；负分数集合：{﹣2.4，﹣，﹣0.15}；正实数集合：{π，2.022}；无理数集合：{π，﹣1.1010010001…}．【分析】实数包括有理数和无理数；整数和分数统称为有理数；无理数即无限不循环小数，据此进行分类即可．【解答】解：整数集合：0，﹣10；负分数集合：﹣2.4，﹣，﹣0.15；正实数集合：π，2.022；无理数集合：π，﹣1.1010010001…；故答案为：0，﹣10；﹣2.4，﹣，﹣0.15；π，2.022；π，﹣1.1010010001…．【点评】本题考查实数的分类，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．4．（2022秋•黑山县期中）把下列各数分别填入相应的集合内：，﹣，，，﹣，0，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1）【分析】根据无理数以及正实数的定义，在给定实数中分别挑出无理数以及正实数，此题得解．【解答】解：如图所示：【点评】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．5．（2022秋•浑南区月考）将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内：1，﹣0.25，2.3，，0，﹣，﹣2，，；负实数集合{﹣0.25，﹣，﹣2…}；有理数集合{1，﹣0.25，2.3，0，…}；无理数集合{，﹣，﹣2，…}．【分析】运用实数的概念进行逐一辨别、分类．【解答】解：﹣0.25，﹣，﹣2是负实数，1，﹣0.25，2.3，0，是有理数，，﹣，﹣2，是无理数，故答案为：﹣0.25，﹣，﹣2；1，﹣0.25，2.3，0，；，﹣，﹣2，．【点评】此题考查了运用实数的概念进行分类的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．6．（2022秋•浚县期中）把下列各实数填在相应的大括号内；，﹣|﹣3|，，，1.1010010001…整数：{﹣|﹣3|，0}；分数：{，，﹣3.1}；无理数：{，，1.1010010001…}；负数：{﹣|﹣3|，﹣3.1}．【分析】直接利用整数以及分数、无理数和负数的定义得出答案．【解答】解：整数{﹣|﹣3|，0}；分数{，，﹣3.1}；无理数{，，1.1010010001……}；负数{﹣|﹣3|，﹣3.1，}．故答案为：﹣|﹣3|，0；，﹣3.1，；，，1.1010010001…；﹣|﹣3|，﹣3.1．【点评】本题考查了实数的有关定义，掌握实数的定义是关键．7．（2023春•东莞市月考）把下列各数填到相应的集合内（只填序号）：①2；②﹣；③；④0.54：⑤0.1；⑥；⑦0；⑧﹣23；⑨（）2；⑩0.3020020002…（相邻两个2之间0的个数逐次加一）有理数集合：{②③④⑤⑦⑧⑨…}．无理数集合：{①⑥⑩…}．正实数集合：{①④⑤⑥⑨⑩…}．负实数集合：{②③⑧…}．【分析】运用实数的概念进行逐一分类、辨别．【解答】解：∵﹣；；0.54：0.1；⑦0；⑧﹣23；⑨（）2是有理数，2；；0.3020020002…是无理数，2；0.54：0.1；；（）2；0.3020020002…是正实数，﹣；；﹣23是负实数，故答案为：②③④⑤⑦⑧⑨，①⑥⑩，①④⑤⑥⑨⑩，②③⑧．【点评】此题考查了对实数进行正确地分类，关键是能准确理解并运用以上知识．二．实数的性质（共6小题）8．（2023春•仙游县校级期中）的相反数是（）A．﹣0.236 B．+2 C．2﹣ D．﹣2+【分析】根据相反数的定义即可得出结论．【解答】解：﹣2的相反数是2﹣．故选C．【点评】本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫互为相反数是解题的关键．9．（2023•泗县校级模拟）的倒数是（）A． B． C． D．【分析】根据倒数的定义即可得出答案．【解答】解：﹣的倒数是﹣；故选：D．【点评】此题主要考查了倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．10．（2023春•晋安区期中）在下列各组数中，互为相反数的是（）A．﹣3与 B．|﹣3|与﹣ C．|﹣|与﹣ D．3与【分析】根据数值相同符号相反的两个数互为相反数得出结论即可．【解答】解：∵|﹣|＝，∴|﹣|与﹣互为相反数，故选：C．【点评】本题主要考查实数的相关概念，熟练掌握绝对值和相反数的概念是解题的关键．11．（2023春•景县期中）﹣的绝对值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【分析】根据算术平方根，绝对值的意义，进行计算即可解答．【解答】解：|﹣|＝|﹣2|＝2，故选：D．【点评】本题考查了实数的性质，算术平方根，绝对值，熟练掌握算术平方根，绝对值的意义是解题的关键．12．（2022春•海淀区校级期中）已知正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，与互为相反数，求a+2b的值．【分析】利用平方根的意义求出a值，利用相反数的意义求出b值，将a，b值代入代数式计算即可．【解答】解：∵正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，∴2x﹣3+1﹣x＝0，解得：x＝2．∴2x﹣3＝1，1﹣x＝﹣1，∴a＝1；∵与互为相反数，∴1﹣2b+3b﹣5＝0，解得：b＝4．当a＝1，b＝4时，a+2b＝1+2×4＝1+8＝9．【点评】本题主要考查了实数的性质，平方根，立方根，相反数的意义，利用平方根的意义求出a值，利用相反数的意义求出b值是解题的关键．13．（2022秋•苏州期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出﹣50653的立方根？他进行了如下步骤：①首先进行了估算：因为103＝1000，1003＝1000000，所以是两位数；②其次观察了立方数：13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；猜想的个位数字是7；③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为33＝27，43＝64，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37；④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：（1）＝﹣49；（2）若，则x＝3；已知，且与互为相反数，求x，y的值．【分析】（1）根据题中的猜想得出的个位数与十位数，再取其相反数即可；（2）根据两数相加等于0列出关于x的方程，求出x的值；由+2＝x求出x的值，再根据相反数的定义列出关于y的方程，求出y的值即可．【解答】解：（1）∵103＝1000，1003＝1000000，∴是两位数．∵13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；的个位数字是9．∵将117649往前移动3位小数点后约为117，因为33＝27，43＝64，53＝125，所以的十位数字应为4，∴117649的立方根是49，．∵两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，∴＝﹣49．故答案为：﹣49；（2）∵+＝0，∴1﹣2x＝﹣5，解得x＝3．∵+2＝x，∵＝x﹣2，∴x﹣2＝0，x﹣2＝﹣1或x﹣2＝1，解得x＝2，1或3；∵与互为相反数，∴3y﹣1＝2x﹣1，即当x＝2时，3y﹣1＝3，解得y＝；当x＝1时，3y﹣1＝1，解得y＝；当x＝3时，3y﹣1＝5，解得y＝2．故答案为：3；x＝2时，y＝；x＝1时，y＝；x＝3时，y＝2．【点评】本题考查的是实数的性质，熟知若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数是解题关键．三．实数与数轴（共7小题）14．（2023春•上思县期中）如图，点A表示的实数是（）A． B． C． D．【分析】根据勾股定理可求得OA的长为，再根据点A在原点的左侧，从而得出点A所表示的数．【解答】解：如图，OB＝＝，∵OA＝OB，∴OA＝，∴点A在数轴上表示的实数是﹣．故选：D．【点评】本题考查了实数和数轴，以及勾股定理，注意原点左边的数是负数．15．（2023春•长沙期中）如图，3，在数轴上的对应点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（）A．﹣ B．3﹣ C．﹣3 D．6﹣【分析】设点A表示的数是x，再根据中点坐标公式即可得出x的值．【解答】解：设点A表示的数是x，∵数轴上表示3、的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，∴，解得x＝6﹣．故选：D．【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上的点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．16．（2023春•东莞市校级期中）如图，点E表示的数为（）A．1 B． C． D．【分析】首先根据勾股定理可得AC＝，再根据AE＝AC可得AE，然后用﹣1+AE的长可得答案．【解答】解：由题意得，AC＝＝，∴AE＝AC＝，∴点E表示的数是﹣1+＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查勾股定理的运用，根据勾股定理得出AC的长是解题关键．17．（2023春•郯城县期中）如图，实数a在数轴上的位置如图所示，化简：＝（）A． B． C． D．【分析】由数轴可知0＜a＜1，进而得到，再根据绝对值的性质进行化简即可得到答案．【解答】解：由数轴可知，0＜a＜1，∴，∴．故选：C．【点评】本题考查了数轴，绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．18．（2022秋•济南期末）已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为﹣2，B表示的数为2，AB表示A，B两点之间的距离．若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝n，则称点C为点A，B的“n节点”．例如图1所示，若点C表示的数为0，有AC+BC＝2+2＝4，则称点C为点A，B的“4节点”（1）若点C为点A，B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为﹣3，则n＝6；（2）若点D为点A，B的“节点”，请直接写出点D在数轴上表示的数为±2；（3）若点E在数轴上（不与A，B重合），满足A，E两点之间的距离是B，E两点之间的距离的倍，且点E为点A，B的“n节点”，求n的值．【分析】（1）根据新定义求解；（2）设未知数，根据新定义列方程求解；（3）先求点E表示的数，再计算n的值．【解答】解：（1）AC+BC＝（﹣2+3）+（2+3）＝6，故答案为：6；（2）设D表示的数为x，则|x+2|+|x﹣2|＝4，解得：x＝±2，故答案为：±2；（3）设E点表示的数是y，则：|﹣2﹣y|＝|2﹣y|，解得：y＝6，当y＝6+4时，n＝AE+BE＝8+4+4+4＝12+8，当y＝6﹣4时，n＝AE+BE＝8﹣4+4﹣4＝4．【点评】本题考查了数轴和实数，方程思想是解题的关键．19．（2021秋•绥宁县期末）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．（1）求出这个魔方的棱长．（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得A与﹣1重合，那么D在数轴上表示的数为﹣1﹣2．【分析】（1）根据正方体的体积公式可求这个魔方的棱长．（2）根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长．（3）根据两点间的距离公式可得D在数轴上表示的数．【解答】解：（1）．答：这个魔方的棱长为4．（2）∵魔方的棱长为4，∴小立方体的棱长为2，∴阴影部分面积为：×2×2×4＝8，边长为：＝2．答：阴影部分的面积是8，边长是2．（3）D在数轴上表示的数为﹣1﹣2．故答案为：﹣1﹣2．【点评】本题考查的是立方根在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长．20．（2023春•雷州市校级期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．（1）实数m的值是2﹣；（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根．【分析】（1）点A表示﹣，沿着x轴向右移动2个单位到达点B，B所表示的数为，﹣+2，即：2﹣，故答案为：2﹣．（2）m＝2﹣，则m+1＞0，m﹣1＜0，进而化简|m+1|+|m﹣1|，并求出代数式的值；（3）根据非负数的意义，列方程求出c、d的值，进而求出2c﹣3d的值，再求出2c﹣3d的平方根．【解答】解：（1）m＝﹣+2＝2﹣；（2）∵m＝2﹣，则m+1＞0，m﹣1＜0，∴|m+1|+|m﹣1|＝m+1+1﹣m＝2；答：|m+1|+|m﹣1|的值为2．（3）∵|2c+d|与互为相反数，∴|2c+d|+＝0，∴|2c+d|＝0，且＝0，解得：c＝﹣2，d＝4，或c＝2，d＝﹣4，①当c＝﹣2，d＝4时，所以2c﹣3d＝﹣16，无平方根．②当c＝2，d＝﹣4时，∴2c﹣3d＝16，∴2c﹣3d的平方根为±4，答：2c﹣3d的平方根为±4．【点评】考查数轴、非负数的性质、绝对值的意义，分类讨论是常用的方法．四．实数的运算（共7小题）21．（2023•大安市四模）计算：＝4．【分析】利用负整数指数幂及零指数幂进行计算即可．【解答】解：原式＝3+1＝4，故答案为：4．【点评】本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．22．（2022秋•沧州期末）对于任意的实数m，n，定义一种词“*”，m*n＝mn+n+m，则＝（）A．﹣4 B．4 C． D．【分析】根据m*n＝mn+n+m，代入计算可以求得所求式子的值．【解答】解：∵m*n＝mn+n+m，∴＝＝＝4．故选：B．【点评】本题考查了实数的运算，二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题．23．（2023春•长垣市期末）计算：＝2．【分析】先计算开平方和开立方，再计算减法．【解答】解：﹣＝2+＝2，故答案为：2．【点评】此题考查了实数的开平方和开立方的综合运算能力，关键是能准确理解以上运算法则，并能进行正确的计算．24．（2023•鼓楼区校级一模）计算：．【分析】依据题意，根据实数的运算性质进行计算即可得解．【解答】解：原式＝3+1﹣2＝4﹣2＝2．【点评】本题主要考查了实数的性质，解题时要熟练掌握并准确计算．25．（2023春•东莞市期中）计算：．【分析】根据实数的混合运算法则计算即可．【解答】解：＝＝．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，以及算术平方根、实数的乘方运算等知识，解题的关键是掌握运算法则进行解题．26．（2023•金安区校级三模）计算：．【分析】先计算算术平方根．化简绝对值，求解立方根，再合并即可．【解答】解：+|﹣1|+＝4+﹣1﹣3＝．【点评】本题考查是算术平方根的含义，化简绝对值，求解立方根，实数的混合运算，掌握“算术平方根与立方根的含义”是解本题的关键．27．（2023春•利川市期中）计算：．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：＝4+（﹣4）+2+﹣1＝0+2+﹣1＝+1．【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023·江苏·八年级假期作业）在实数，0，，，，，（每两个1之间依次多1个0），这8个实数中，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据无理数的概念：无限不循环小数是无理数即可解答．【详解】解：，在实数，0，，，，，（每两个1之间依次多1个0），这8个实数中，无理数有：，，（每两个1之间依次多1个0），共3个．故选：C．【点睛】本题考查无理数的概念，掌握实数的分类与概念是解题的关键．2．（2022秋·八年级单元测试）的立方根与81的平方根的和是（

）A．6 B．0 C．6或 D．0或6【答案】C【分析】先列式，再根据立方根、平方根的定义进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】由题意得，结果为6或故选：C．【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握平方根、立方根的求法，是基础知识比较简单．3．（2023·江苏·八年级假期作业）已知，则a、b、c的大小关系是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】由，，进行判断即可．【详解】解：∵，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握．4．（2022秋·甘肃兰州·八年级统考期末）在实数中，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据实数的分类：有理数和无理数，结合无理数的概念逐项进行辨别即可得到答案．【详解】解：∵是有理数；是无理数；∴在所有数字中无理数有2个，故选：B．【点睛】本题考查实数的分类、对无理数的辨别能力，关键是能准确理解并运用相关知识．5．（2023春·广东汕头·八年级统考期末）如图，矩形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心以对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为(

)

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理计算出，进而求得该点与点A的距离，再根据点A表示的数为，可得该点表示的数．【详解】解：在长方形中，，，∴，则点A到该交点的距离为，∵点A表示的数为，∴该点表示的数为：故选：C．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方．6．（2022春·八年级单元测试）在数轴上，下列各数所表示的点在表示2的点右侧的数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先比较出各数的大小，找出符合条件的数即可．【详解】解：∵，∴，即，∴，∴所表示的点在表示2的点右侧．故选：D．【点睛】本题考查的是实数与数轴及实数的大小比较，熟知实数比较大小的法则是解答此题的关键．7．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期末）关于的叙述错误的是（

）A．是无理数 B．在数轴上存在表示的点C． D．【答案】C【分析】根据无理数的定义、在数轴上的点与实数是一一对应关系、无理数的估算逐项判断即可解答．【详解】解：A、不能开的尽方，是无理数，正确，不符合题意；B、在数轴上存在表示的点，正确，不符合题意；C、，错误，符合题意；D、，正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了无理数的定义、在数轴上的点与实数是一一对应关系、无理数的估算，熟练掌握相关知识是解答的关键．8．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，在数轴上标有O，A，B，C，D五个点，根据图中各点所表示的数，判断应该在下列线段的（

）

A．上 B．上 C．上 D．上【答案】B【分析】计算已知点的平方，再进行判断即可．【详解】解：，，，在数轴上的位置会在线段上，故选：B．【点睛】本题考查无理数的估算，数轴表示数的意义和方法，正确的估算无理数的大小是正确判断的前提．9．（2023春·江西南昌·八年级统考期末）在下列四个数中，最大的数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据实数的大小比较方法即可得出答案．【详解】解：根据正数大于负数可得大数为或，又∵，∴，∴最大数为，故选：C．【点睛】本题考查实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题关键.10．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图，输入，则输出的数为（

）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】B【分析】按照程序运算的规则输入，逐步运算即可．【详解】解：输入，可得，∴，再输入得：，∴此时输出，故选B．【点睛】本题考查的是程序框图与实数的运算，理解程序框图的含义是解本题的关键．二、填空题11．（2023·江苏·八年级假期作业）在下列数中：，，，，，（为正整数），．有理数是____________；无理数是________．【答案】，，（为正整数），，，【详解】解：；（为正整数）；．有理数有：，，（为正整数），无理数有：，，，故答案为：，，（为正整数），；，，【点睛】本题考查实数的分类，解题的关键是掌握有理数和无理数的定义．12．（2023·江苏·八年级假期作业）把下列各数的标号填在相应的大括号内：①2，②，③，④，⑤，⑥（每两个4多一个0）．（1）有理数集合：{________}；（2）无理数集合：{_______}．【答案】①④⑤②③⑥【分析】（1）整数与分数统称有理数，再根据有理数的含义填空即可；（2）无限不循环的小数为无理数，再根据无理数的定义填空即可；【详解】解：（1）有理数集合：{①，④，⑤}；故答案为：①④⑤；（2）无理数集合：{②，③，⑥}；故答案为：②③⑥．【点睛】本题考查的是有理数与无理数的含义，实数的分类，熟记概念是解本题的关键．13．（2023·全国·八年级假期作业）小华编写了一个程序：输入x→立方根→算术平方根→2，则x为___．【答案】64【分析】反向递推法．算术平方根是2，则这个数是4，立方根为4，则这个数是64．【详解】∵2是4的算术平方根，64的立方根为4，∴输入的数为64．故答案为：64．【点睛】本题考查了算术平方根、立方根的含义和反向求解的知识点，用反向递推法是解题的关键．14．（2023春·辽宁·八年级期末）计算：______．【答案】【分析】首先利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．【详解】解：．故答案为：．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．（2023春·广西南宁·八年级统考期中）若，为实数，且，则的值是________．【答案】【分析】首先根据题意，可得：，，据此分别求出、的值，然后把、的值代入计算即可．【详解】解：，为实数，且，，，，，．故答案为：．【点睛】此题考查了实数的运算、绝对值与算术平方根非负性的应用，解题关键是利用非负性求出、的值．16．（2022秋·八年级单元测试）的相反数是_______．的绝对值是________．【答案】2【分析】先求出立方根，再求相反数，再利用绝对值的性质计算可得．【详解】解：，∴的相反数是2，的绝对值是，故答案为：2，．【点睛】本题考查了实数的性质，立方根，相反数，绝对值，解题的关键是掌握相应的概念和求法．17．（2022秋·广东清远·八年级校联考期中）若，则

______．【答案】2【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可．【详解】解：解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题关键．18．（2022秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）观察下列依次排列的一列数，，2，，，，…，按这个规律写出第n个数：______（第n个数）．【答案】【分析】观察不难发现，被开方数是偶数，然后解答即可．【详解】解∶∵，，．，，，∴第n个数是．故答案为∶．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，从被开方数是2的倍数考虑求解是解题的关键．19．（2023春·安徽·八年级统考期末）如图，A、B、C分别为数轴上的三点，且，若点B对应的实数为1，点对应的实数为，则点A对应的实数为___________．

【答案】/【分析】设出点A所表示的数为x，根据列出方程，即可求出A的值．【详解】设点A所表示的数为x，即，解得：故答案为：．【点睛】本题主要考查了实数与数轴的知识，根据列出方程是解题的关键．三、解答题20．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）计算：．【答案】【分析】分别计算零次幂，算术平方根，负整数指数幂，再合并即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查的实数的混合运算，零次幂，负整数指数幂的含义，熟记运算法则是解本题的关键．21．（2023春·云南昭通·八年级校考期末）计算：．【答案】2023【分析】分别计算零指数幂、立方根、负整数指数幂即可．【详解】原式=．【点睛】本题考查了实数的运算，涉及零指数幂、立方根、负整数指