北师大版八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练第2章实数全章复习与测试(原卷版+解析)

第2章实数全章复习与测试【知识梳理】一、平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论二、实数有理数和无理数统称为实数．

1.实数的分类要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：

在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；

（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；

（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即().

非负数具有以下性质：

（1）非负数有最小值零；

（2）有限个非负数之和仍是非负数；

（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算：数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较：

有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.三、二次根式的相关概念和性质1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要点诠释：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.2.二次根式的性质（1）；

（2）；

（3）.要点诠释：（1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）与的异同不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；=，=（）.相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.3.最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.四、二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法积的算术平方根化简公式：二次根式的除法商的算术平方根化简公式：要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.【考点剖析】一．平方根（共2小题）1．（2023•常德三模）的平方根是（）A．4 B．±4 C．±2 D．22．（2023春•滨城区期中）已知：2m+1和m﹣4是正数a的两个平方根，则a﹣m的值是．二．算术平方根（共2小题）3．（2023春•汉阳区期末）若3a﹣22和2a﹣3是实数m的平方根，则的值为（）A． B． C． D．4．（2023•韩城市一模）9的算术平方根是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．三．非负数的性质：算术平方根（共3小题）5．（2023春•常州期末）已知，则a+b的值是（）A．1 B．3 C．5 D．66．（2023春•雷州市校级期中）若，则（x+y）2的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．17．（2022秋•成都期末）若x，y为实数，且（x﹣1）2与互为相反数，则x2+y2的平方根为（）A． B． C．±5 D．四．立方根（共2小题）8．（2023春•大兴区期末）如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（）A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.13339．（2023•榆阳区二模）﹣的立方根为（）A．﹣ B． C．﹣ D．五．计算器—数的开方（共1小题）10．（2021秋•杏花岭区校级期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表：n0.00160.16161600160000…0.040.4440400…（1）表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算术平方根的小数点就向移动位；（2）运用你发现的规律，探究下列问题：①若≈1.910，≈6.042，则≈；②已知x2≈0.000365，则x≈．六．无理数（共2小题）11．（2023春•梁平区期中）在下列各数：3.14，﹣π，，、、中无理数的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．512．（2022秋•衡山县期末）在实数，，，，3.14中，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个七．实数（共2小题）13．（2023春•东昌府区期中）在实数，，，0，中，有理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．（2023春•凯里市校级期中）把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：﹣2.4，π，2.022，，﹣0.15，0，﹣10，﹣1.1010010001…．整数集合：{}；负分数集合：{}；正实数集合：{}；无理数集合：{}．八．实数的性质（共2小题）15．（2021秋•莱西市期末）已知正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，与互为相反数．求a+2b的算术平方根．16．（2021秋•射阳县校级期末）已知实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为，求代数式（a+b+cd）x+﹣的值．九．实数与数轴（共1小题）17．（2022春•宁明县期末）如图所示，数轴的正半轴上有A、B、C三点，表示1和的对应点分别为A、B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x．（1）请你写出数x的值；（2）求（x﹣）2的立方根．一十．实数大小比较（共2小题）18．（2022秋•海口期末）比较2，3，的大小，正确的是（）A．＜3＜2 B．2＜＜3 C．＜2＜3 D．2＜3＜19．（2023春•龙子湖区期中）比较大小：（填“＞”“＜”“＝”）．一十一．估算无理数的大小（共2小题）20．（2023春•合江县期中）绝对值小于的所有正整数的和是．21．（2022秋•长安区校级期末）的小数部分为a，则a（a+4）＝．一十二．实数的运算（共3小题）22．（2023春•东莞市期中）计算：．23．（2022秋•泰兴市期末）（1）计算：；（2）求3（x﹣1）3＝81中的x的值．24．（2022秋•亭湖区期末）计算：．一十三．二次根式的定义（共1小题）25．（2023春•庐阳区校级期末）下列式子中，一定是二次根式的是（）A． B． C． D．一十四．二次根式有意义的条件（共1小题）26．（2022秋•岳麓区校级期末）要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A． B． C．x≥ D．x≤一十五．二次根式的性质与化简（共3小题）27．（2023春•合肥期末）化简的结果是（）A．3﹣π B．3+π C．﹣3﹣π D．﹣3+π28．（2022秋•开福区校级期末）在学习二次根式时，小明同学发现了两个非常有趣的式子，分别把它们定义为“L运算”和“X运算”．其中，．为了使二次根式有意义，我们规定a为实数，且满足a2≥2021．（1）求证：L（a）•X（a）＝2021；（2）若实数x满足L（x）＝43，求x的值；（3）已知实数x，y满足L（x）•L（y）＝2021，t为任意实数，求代数式的最小值．29．（2022秋•永定区期末）阅读下列例题．在学习二次根式性质时我们知道例题求的值．解：设x＝，两边平方得：，即，x2＝10∴x＝．∵＞0，∴＝．请利用上述方法，求的值．一十六．最简二次根式（共1小题）30．（2023春•路北区期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．一十七．二次根式的乘除法（共3小题）31．（2023春•兴县期中）若成立，则（）A．x＜6 B．0≤x≤6 C．x≥0 D．0≤x＜632．（2023春•密云区期末）计算：2．33．（2022秋•零陵区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2＝1+2+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b的值；（2）试着把7+4化成一个完全平方式．一十八．二次根式的加减法（共2小题）34．（2023春•吉林月考）计算：．35．（2023春•抚松县期中）计算：．一十九．二次根式的混合运算（共2小题）36．（2023春•宿城区期末）计算：．37．（2023春•海林市校级期中）（1）观察下列各式的特点：，，，，…根据以上规律可知：（填“＞”“＜”或“＝”）．（2）观察下列式子的化简过程：，，＝，…根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程．（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+•••+||．二十．二次根式的化简求值（共2小题）38．（2023春•泰安期中）（1）当时，求代数式的值．（2）当，，求代数式a2﹣3ab+b2的值．39．（2023春•梁山县期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即．∴的整数部分为2，小数部分为．请解答：（1）的整数部分是，小数部分是．（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．【过关检测】一、单选题1．下列各数中，是无理数的是（

）A． B． C． D．2．估计+4的值（

）A．在5和6之间 B．在6和7之间 C．在7和8之间 D．在8和9之间3．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（

）A．3 B．4 C．5 D．64．下列说法：①所有无理数都能用数轴上的点表示；②带根号的数都是无理数；③任何实数都有立方根；④的平方根是±4，其中正确的个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．△ABC的三边长a，b，c满足+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，则△ABC的面积是（

）A．65 B．60 C．30 D．266．若，则的平方根为（

）A．±2 B．4 C．2 D．±47．已知，则ab＝（）A．1 B． C．4 D．8．阅读下面的解题过程：∵①，②．∴③．以上推导过程中开始错误的一步是()A．① B．② C．③ D．没有错误9．下列运算正确的是（

）A． B．C． D．10．设n是任意正整数，代入式子n3－n中计算时，四名同学算出如下四个结果，其中正确的结果可能是（

）A．388947 B．388944 C．388953 D．388949二、填空题11．如图所示，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是_____．12．若|a|＝，则的相反数是____．13．观察：①＝﹣1，②＝﹣，③＝2﹣．……按此规律，第8个等式的是___．14．计算的结果是________．15．的整数部分是________，小数部分是________．16．若是正整数，则整数的最小值为__________________．17．一个正数的平方根分别是和，则__．18．计算________．三、解答题19．把下面个各数填入相应的大括号内﹣13.5，5，0，﹣10，3.14，+27，﹣，﹣15%，．负数集合：{…}，非负数集合：{…}，整数集合：{…}，负分数集合：{…}．20．计算题：（1）（2）.21．已知：与互为相反数，的算术平方根是3．（1）求、的值；（2）若，求的立方根．22．已知一个正数的两个不同的平方根是和的立方根为（1）求的值（2）求的平方根23．观察：∵，∴，∴的整数部分为2，小数部分为．(1)的整数部分是______，的小数部分是______；(2)小明将一个长为10cm，宽为8cm的长方形纸片按与边平行的方向进行裁剪，裁剪出两个大小不一的正方形，使它们的边长之比为，面积之和为，小明能否裁剪出这两个正方形？若能，请说明理由并求出这两个正方形的面积；若不能，也说明理由．24．如图，有一块正方形铁皮，从四个顶点处分别剪掉一个面积为的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的长方体容器，量得该容器的体积是，求原正方形铁皮的边长．25．如图在数轴上点表示数，点表示数，、满足．(1)点表示的数为________；点表示的数为________；(2)若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒）．①当时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=________；当时，甲小球到原点的距离=_________；乙小球到原点的距离=_________；②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．

第2章实数全章复习与测试【知识梳理】一、平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论二、实数有理数和无理数统称为实数．

1.实数的分类要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：

在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；

（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；

（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即().

非负数具有以下性质：

（1）非负数有最小值零；

（2）有限个非负数之和仍是非负数；

（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算：数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较：

有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.三、二次根式的相关概念和性质1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要点诠释：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.2.二次根式的性质（1）；

（2）；

（3）.要点诠释：（1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）与的异同不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；=，=（）.相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.3.最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.四、二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法积的算术平方根化简公式：二次根式的除法商的算术平方根化简公式：要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.【考点剖析】一．平方根（共2小题）1．（2023•常德三模）的平方根是（）A．4 B．±4 C．±2 D．2【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：＝4，4的平方根是±2．故选：C．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．（2023春•滨城区期中）已知：2m+1和m﹣4是正数a的两个平方根，则a﹣m的值是8．【分析】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，由此即可计算．【解答】解：∵2m+1和m﹣4是正数a的两个平方根，∴2m+1+m﹣4＝0，∴m＝1，∴2m+1＝2×1+1＝3，∴a＝9，∴a﹣m＝9﹣1＝8．故答案为：8．【点评】本题考查平方根的概念，关键是掌握平方根的定义．二．算术平方根（共2小题）3．（2023春•汉阳区期末）若3a﹣22和2a﹣3是实数m的平方根，则的值为（）A． B． C． D．【分析】根据平方根的性质可知，3a﹣22和2a﹣3互为相反数，即可求解．【解答】解：根据平方根的性质可知，3a﹣22+2a﹣3＝0，解得a＝5，∴3a﹣22＝﹣7，∴m＝（﹣7）2＝49，∴，故选：A．【点评】本题考查了平方根的性质，解题的关键是掌握平方根的性质．4．（2023•韩城市一模）9的算术平方根是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．【分析】根据算术平方根的定义求解即可．【解答】解：9的算术平方根是3，故选：A．【点评】本题考查算术平方根的求解，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．三．非负数的性质：算术平方根（共3小题）5．（2023春•常州期末）已知，则a+b的值是（）A．1 B．3 C．5 D．6【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵，∴a﹣3＝0，2﹣b＝0，解得：a＝3，b＝2，∴a+b＝5．故选：C．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．6．（2023春•雷州市校级期中）若，则（x+y）2的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1【分析】根据非负数的性质“两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0”解出x、y的值，再把x、y的值代入求解．【解答】解：根据题意得：，解得：，则（x+y）2＝（﹣1）2＝1．故选：D．【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．7．（2022秋•成都期末）若x，y为实数，且（x﹣1）2与互为相反数，则x2+y2的平方根为（）A． B． C．±5 D．【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案．【解答】解：∵（x﹣1）2与互为相反数，∴（x﹣1）2+＝0，∴x﹣1＝0，3y﹣6＝0，解得：x＝1，y＝2，则x2+y2＝12+22＝5，故x2+y2的平方根为：±．故选：D．【点评】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义，正确得出x，y的值是解题关键．四．立方根（共2小题）8．（2023春•大兴区期末）如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（）A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333【分析】根据立方根，即可解答．【解答】解：∵≈1.333，∴＝≈1.333×10＝13.33．故选：C．【点评】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．9．（2023•榆阳区二模）﹣的立方根为（）A．﹣ B． C．﹣ D．【分析】直接根据立方根的定义解答即可．【解答】解：∵（﹣）3＝﹣，∴﹣的立方根为﹣．故选：A．【点评】本题考查的是立方根，熟知立方根的定义是解题的关键．五．计算器—数的开方（共1小题）10．（2021秋•杏花岭区校级期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表：n0.00160.16161600160000…0.040.4440400…（1）表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算术平方根的小数点就向向左或向右移动1位；（2）运用你发现的规律，探究下列问题：①若≈1.910，≈6.042，则≈604.2；②已知x2≈0.000365，则x≈±0.0190．【分析】（1）从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答；（2）根据（1）中的规律解答即可．【解答】解：（1）由表格可以看出被开方数的小数点向左或向右移动2位，算术平方根的小数点就向左或向右移动1位，故答案为：向左或向右，1；（2）①由（1）可知，被开方数的小数点向右移动4位，算术平方根的小数点就向右移动2位，∵≈6.042，∴＝604.2；②由（1）可知，被开方数的小数点向左移动4位，算术平方根的小数点就向左移动2位，∵≈1.910，x2≈0.000365，又∵一个正数的平方根有两个，∴x＝±＝±0.0190．故答案为：①604.2；②±0.0190．【点评】本题考查了算术平方根，平方根以及规律型—数字的变化类，找出被开方数的小数点的移动规律是解题的关键．六．无理数（共2小题）11．（2023春•梁平区期中）在下列各数：3.14，﹣π，，、、中无理数的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数．【解答】解：无理数有﹣π，，共3个．故选：B．【点评】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，常见形式有：①开方开不尽的数，如等；②无限不循环小数，如0.101001000…等；③字母，如π等．12．（2022秋•衡山县期末）在实数，，，，3.14中，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：，是无理数，故选：B．【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，注意带根号的数不一定是无理数．七．实数（共2小题）13．（2023春•东昌府区期中）在实数，，，0，中，有理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据有理数的意义，即可解答．【解答】解：在实数，，，0，中，有理数有，，0，共有3个，故选：C．【点评】本题考查了实数，熟练掌握有理数的意义是解题的关键．14．（2023春•凯里市校级期中）把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：﹣2.4，π，2.022，，﹣0.15，0，﹣10，﹣1.1010010001…．整数集合：{0，﹣10}；负分数集合：{﹣2.4，﹣，﹣0.15}；正实数集合：{π，2.022}；无理数集合：{π，﹣1.1010010001…}．【分析】实数包括有理数和无理数；整数和分数统称为有理数；无理数即无限不循环小数，据此进行分类即可．【解答】解：整数集合：0，﹣10；负分数集合：﹣2.4，﹣，﹣0.15；正实数集合：π，2.022；无理数集合：π，﹣1.1010010001…；故答案为：0，﹣10；﹣2.4，﹣，﹣0.15；π，2.022；π，﹣1.1010010001…．【点评】本题考查实数的分类，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．八．实数的性质（共2小题）15．（2021秋•莱西市期末）已知正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，与互为相反数．求a+2b的算术平方根．【分析】由正数的两个平方根互为相反数，得2x﹣3+1﹣x＝0，由与互为相反数，得1﹣2b+（3b﹣5）＝0，即可求解．【解答】解∵：正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，∴2x﹣3+（1﹣x）＝0，∴x＝2，∴a＝（1﹣x）2＝（1﹣2）2＝1，∵与互为相反数，∴1﹣2b+（3b﹣5）＝0，∴b＝4，∴a+2b＝1+2×4＝9，∴a+2b的算术平方根是3．【点评】本题考查平方根，算术平方根，相反数的概念，关键是掌握这些概念的性质．16．（2021秋•射阳县校级期末）已知实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为，求代数式（a+b+cd）x+﹣的值．【分析】根据题意可得a+b＝0，cd＝1，x＝±7，然后代入代数式求值即可．【解答】解：＝7，∵a、b互为相反数，∴a+b＝0，∵c、d互为倒数，∴cd＝1，∵x的绝对值为．∴x＝±7，当x＝7时，原式＝（0+1）×7+﹣＝7﹣1＝6，当x＝﹣7时，原式＝（0+1）×（﹣7）+﹣＝﹣7﹣1＝﹣8，∴所求代数式的值为6或﹣8．【点评】此题主要考查了实数运算和求代数式的值，关键是掌握相反数和为0，倒数积为1．九．实数与数轴（共1小题）17．（2022春•宁明县期末）如图所示，数轴的正半轴上有A、B、C三点，表示1和的对应点分别为A、B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x．（1）请你写出数x的值；（2）求（x﹣）2的立方根．【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求出AB之间的距离即为x的值；（2）把x的值代入所求代数式进行计算即可．【解答】解：（1）∵点A、B分别表示1，，∴AB＝﹣1，即x＝﹣1；（2）∵x＝﹣1，∴原式＝＝，∴1的立方根为1．【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键．一十．实数大小比较（共2小题）18．（2022秋•海口期末）比较2，3，的大小，正确的是（）A．＜3＜2 B．2＜＜3 C．＜2＜3 D．2＜3＜【分析】分别算出2，3的平方，即可比较大小．【解答】解：，∵7＜8＜9，∴，故选：C．【点评】本题考查了实数大小比较，解决本题的关键是先算出3个数的平方，即可比较大小．19．（2023春•龙子湖区期中）比较大小：＞（填“＞”“＜”“＝”）．【分析】首先确定﹣1与1的大小，进行比较即可求解．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴1＜﹣1＜2，∴＞．故答案是：＞．【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，此题把它们的减数变成和被减数相同的形式，然后只需比较被减数的大小．分母相同时，分子大的大．一十一．估算无理数的大小（共2小题）20．（2023春•合江县期中）绝对值小于的所有正整数的和是10．【分析】根据无理数的估算方法得到，即的整数部分是4，由此得到正整数值，得到答案．【解答】解：∵16＜21＜25，∴，∴绝对值小于的所有正整数有1，2，3，4，∴和为10，故答案为：10．【点评】此题考查了无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键．21．（2022秋•长安区校级期末）的小数部分为a，则a（a+4）＝3．【分析】先根据的范围求出a的值，代入后进行计算即可．【解答】解；∵2＜＜3，∴a＝﹣2，∴a（a+4）＝（﹣2）（﹣2+2）＝（﹣2）（+2）＝7﹣4＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，平方差公式的应用，解此题的关键是求出a的值．一十二．实数的运算（共3小题）22．（2023春•东莞市期中）计算：．【分析】根据实数的混合运算法则计算即可．【解答】解：＝＝．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，以及算术平方根、实数的乘方运算等知识，解题的关键是掌握运算法则进行解题．23．（2022秋•泰兴市期末）（1）计算：；（2）求3（x﹣1）3＝81中的x的值．【分析】（1）先计算二次根式与绝对值，再计算加减；（2）通过变形后运用开立方进行求解．【解答】解：（1）＝3+π﹣3﹣3＝π﹣3；（2）两边都除以3，得（x﹣1）3＝27，开立方，得x﹣1＝3，解得x＝4．【点评】此题考查了实数混合运算的能力，关键是能准确确定运算方法和顺序，并能进行正确地计算．24．（2022秋•亭湖区期末）计算：．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：＝﹣3+4﹣2＝﹣1．【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．一十三．二次根式的定义（共1小题）25．（2023春•庐阳区校级期末）下列式子中，一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】形如（a≥0）的式子即为二次根式，据此进行判断即可．【解答】解：不符合二次根式定义，则A不符合题意；＝2，符合二次根式的定义，则B符合题意；不符合二次根式定义，则C不符合题意；当a＜0时，不符合二次根式定义，则D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查二次根式的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．一十四．二次根式有意义的条件（共1小题）26．（2022秋•岳麓区校级期末）要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A． B． C．x≥ D．x≤【分析】根据二次根式有意义的条件可得5x﹣2≥0，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：5x﹣2≥0，解得：x≥，故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．一十五．二次根式的性质与化简（共3小题）27．（2023春•合肥期末）化简的结果是（）A．3﹣π B．3+π C．﹣3﹣π D．﹣3+π【分析】先利用完全平方公式将原式变形，然后根据＝|a|＝进行化简即可．【解答】解：原式＝＝|3﹣π|＝﹣（3﹣π）＝﹣3+π，故选：D．【点评】本题考查二次根式的化简，先将原式化为是解题的关键．28．（2022秋•开福区校级期末）在学习二次根式时，小明同学发现了两个非常有趣的式子，分别把它们定义为“L运算”和“X运算”．其中，．为了使二次根式有意义，我们规定a为实数，且满足a2≥2021．（1）求证：L（a）•X（a）＝2021；（2）若实数x满足L（x）＝43，求x的值；（3）已知实数x，y满足L（x）•L（y）＝2021，t为任意实数，求代数式的最小值．【分析】（1）只需要证明即可；（2）根据题意可得方程，解方程即可得到答案；（3）由（1）得L（x）⋅X（x）＝2021，L（y）⋅X（y）＝2021，再由L（x）⋅L（y）＝2021，得到L（y）＝X（x），L（x）＝X（y），由此推出x﹣y＝0，x2＝y2＝2021，进而得到＝，由，得到，据此求解即可．【解答】解：（1）证明：∵，，∴＝＝a2﹣（a2﹣2021）＝a2﹣a2+2021＝2021；（2）∵，∴，∴（x﹣43）2＝x2﹣2021，∴x2﹣86x+1849＝x2﹣2021，解得x＝45；（3）由（1）知L（x）⋅X（x）＝2021，L（y）⋅X（y）＝2021，∵L（x）⋅L（y）＝2021，∴L（y）＝X（x），L（x）＝X（y），∴，，∴，，∴x﹣y＝0，∴，∵，∴，∴y2﹣2021＝0，x2﹣2021＝0，∴x2＝y2＝2021，∴＝＝＝＝＝＝，∵，∴，∴，∴的最小值为．【点评】本题考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合计算，解无理方程，非负数的性质，掌握相应的运算方法是关键．29．（2022秋•永定区期末）阅读下列例题．在学习二次根式性质时我们知道例题求的值．解：设x＝，两边平方得：，即，x2＝10∴x＝．∵＞0，∴＝．请利用上述方法，求的值．【分析】根据题意给出的解法即可求出答案．【解答】解：根据题意，设x＝+，两边平方得：x2＝（）2+（）2+，x2＝4++4﹣+2×，即x2＝4++4﹣+6，x2＝14，∴x＝±，∵+＞0，∴x＝．【点评】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是关键．一十六．最简二次根式（共1小题）30．（2023春•路北区期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：A、＝，故不是最简二次根式，不合题意；B、，是最简二次根式，符合题意；C、＝2，故不是最简二次根式，不合题意；D、＝5，故不是最简二次根式，不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键．一十七．二次根式的乘除法（共3小题）31．（2023春•兴县期中）若成立，则（）A．x＜6 B．0≤x≤6 C．x≥0 D．0≤x＜6【分析】根据分式和二次根式有意义的条件进行解答即可．【解答】解：要使成立，则，解得：0≤x＜6，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不等于0．32．（2023春•密云区期末）计算：2．【分析】根据二次根式的乘除法法则计算即可．【解答】解：原式＝2××＝××＝6．【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键．33．（2022秋•零陵区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2＝1+2+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b的值；（2）试着把7+4化成一个完全平方式．【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形，进而得出答案；（2）利用完全平方公式将原式变形得出答案．【解答】解：（1）∵a+b＝（m+n）2，∴a+b＝m2+2mn+3n2，∴a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）7+4＝4+4+3＝（2+）2．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除以及完全平方公式，正确运用完全平方公式是解题关键．一十八．二次根式的加减法（共2小题）34．（2023春•吉林月考）计算：．【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．【解答】解：+﹣＝＝．【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解题的关键．35．（2023春•抚松县期中）计算：．【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝5﹣3+4＝6．【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解题的关键．一十九．二次根式的混合运算（共2小题）36．（2023春•宿城区期末）计算：．【分析】先进行乘法的运算，化简运算，再进行加减运算即可．【解答】解：＝2+﹣4×＝4+﹣2＝4﹣．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．37．（2023春•海林市校级期中）（1）观察下列各式的特点：，，，，…根据以上规律可知：＞（填“＞”“＜”或“＝”）．（2）观察下列式子的化简过程：，，＝，…根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程．（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+•••+||．【分析】（1）利用题目中的几个不等式的大小的规律求解；（2）利用分母有理化进行化简；（3）先分母有理化，再去绝对值，然后合并即可．【解答】解：（1）∵﹣＞﹣；故答案为：＞；（2）＝＝﹣（n≥2，且n是正整数）；（3）原式＝|﹣1﹣（﹣）|+|﹣﹣（﹣）|+|﹣﹣（﹣）|+•••+|﹣﹣（﹣）|＝（﹣1）﹣（﹣）+（﹣）﹣（﹣）+（﹣）﹣（﹣）+•••+（﹣）﹣（﹣）＝﹣1﹣+10＝+9﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和分母有理化是解决问题的关键．二十．二次根式的化简求值（共2小题）38．（2023春•泰安期中）（1）当时，求代数式的值．（2）当，，求代数式a2﹣3ab+b2的值．【分析】（1）先判断出a﹣3的符号，再把二次根式进行化简即可；（2）把原式化为（a﹣b）2﹣ab的形式，再把a，b的值代入进行计算即可．【解答】解：（1）∵a＝3﹣2，∴a﹣3＝3﹣2﹣3＝﹣2＜0，∴＝a+2＝a+2（3﹣a）＝a+6﹣2a＝6﹣a，＝6﹣（3﹣2）＝6﹣3+2＝3+2；（2）∵，，∴a﹣b＝3+2﹣3+2＝4，ab＝（3+2）（3﹣2）＝1∴a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）2﹣ab＝（4）2﹣1＝32﹣1＝31．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．39．（2023春•梁山县期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即．∴的整数部分为2，小数部分为．请解答：（1）的整数部分是4，小数部分是．（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可；（2）估算无理数，的大小，确定a、b的值，再代入计算即可．【解答】解：（1）∵，即，∴的整数部分为4，小数部分为，故答案为：4，；（2）∵，，∴的小数部分，的整数部分b＝3，∴，答：的值为1．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确估算的前提，理解不等式的性质是得出答案的关键．【过关检测】一、单选题1．下列各数中，是无理数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【详解】解：A、是有理数，不是无理数，不符合题意；B、是有理数，不是无理数，不符合题意；C、是无理数，符合题意；D、是有理数，不是无理数，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①含类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．2．估计+4的值（

）A．在5和6之间 B．在6和7之间 C．在7和8之间 D．在8和9之间【答案】B【分析】利用逼近法先估算出位于哪两个整数之间，再利用不等式的性质确定+4位于哪两个整数之间即可．【详解】解：∵＜＜，∴2＜＜3，∴6＜+4＜7．故选：B．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，掌握逼近法是解题的关键．3．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得．【详解】解：大正方形的边长为，，，即，又，，，，，与最接近的整数是4，即大正方形的边长最接近的整数是4，故选：B．【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．4．下列说法：①所有无理数都能用数轴上的点表示；②带根号的数都是无理数；③任何实数都有立方根；④的平方根是±4，其中正确的个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】①根据无理数与数轴的关系即可判定；②根据无理数的定义即可判定；③根据立方根的定义即可判定；④根据平方根的定义即可判定．【详解】解：①所有无理数都能用数轴上的点表示是正确的；②带根号的数不一定是无理数，如＝2，原来的说法是错误的；③任何实数都有立方根是正确的；④＝4，4的平方根是±2，原来的说法是错误的．故选：C．【点睛】本题主要考查了实数中无理数的概念，平方根，立方根的概念．有一定的综合性．5．△ABC的三边长a，b，c满足+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，则△ABC的面积是（

）A．65 B．60 C．30 D．26【答案】C【分析】首先根据非负数的性质可得a-5=0，b-12=0，c-13=0，进而可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理证明△ABC是直角三角形，最后由直角三角形面积公式求解即可．【详解】解：∵+(b-12)2+|c-13|=0，∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，∴a=5，b=12，c=13，∵52+122=132，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC==30．故选：C．【点睛】此题主要考查了非负数的性质，以及勾股定理逆定理，熟练掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形，利用非负数性质求出a、b、c的值是解题的关键．6．若，则的平方根为（

）A．±2 B．4 C．2 D．±4【答案】D【分析】根据绝对值，平方，二次根式的非负性求出x，y，z，算出代数式的值计算即可；【详解】∵，∴，解得，∴，∴；故选：D．【点睛】本题主要考查了平方根的求解，结合绝对值、二次根式的非负性计算是解题的关键．7．已知，则ab＝（）A．1 B． C．4 D．【答案】B【分析】根据偶次方和绝对值的非负性求出a，b的值，代入代数式求值即可得出答案．【详解】解：原式变形为：，∴，∴，∴＝．故选：B．【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0是解题的关键．8．阅读下面的解题过程：∵①，②．∴③．以上推导过程中开始错误的一步是()A．① B．② C．③ D．没有错误【答案】A【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【详解】解：∵①，②，∴③，以上推导错误的一步是：①，应该为：∵，而，∴③，故选：A．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简是解题关键．9．下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的加减乘除相关运算法则逐项验证即可得到答案．【详解】解:A、与不是同类二次根式，无法在加减运算中合并同类二次根式，所以错误；B、根据二次根式乘法运算法则可知，该选项运算正确；C、根据二次根式加法运算法则，运算错误；D、根据二次根式除法运算法则可知，该选项错误；故选：B．【点睛】本题考查二次根式的加减乘除相关运算法则，熟练掌握二次根式相关运算公式是解决问题的关键．10．设n是任意正整数，代入式子n3－n中计算时，四名同学算出如下四个结果，其中正确的结果可能是（

）A．388947 B．388944 C．388953 D．388949【答案】B【分析】由n3-n=n（n-1）（n+1）≈n3，由答案四项的大小相差不大，且立方根约为自然数73，所以可得n的值为73，即可求出代数式的值．【详解】∵n3-n=n（n-1）（n+1）≈n3又∴n=73∴n3-n=72×73×74=388944故选B．【点睛】本题考查了代数式求值在实际问题中运用．二、填空题11．如图所示，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是_____．【答案】【分析】先利用勾股定理求出圆弧的半径长，再根据数轴的性质即可得．【详解】解：由题意，圆弧的半径长为，因为点在表示数2的点的左侧，所以点表示的数是，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题关键．12．若|a|＝，则的相反数是____．【答案】2【分析】先化简绝对值可得，从而可得，再根据算术平方根的定义、相反数的定义即可得．【详解】解：，，，，则的相反数是2，故答案为：2．【点睛】本题考查了化简绝对值、算术平方根、相反数，熟练掌握算术平方根的定义是解题关键．13．观察：①＝﹣1，②＝﹣，③＝2﹣．……按此规律，第8个等式的是___．【答案】【分析】根据已知等式得出第n个式子为，代入计算即可．【详解】解：观察等式①＝﹣1，②＝﹣，③＝2﹣．……可知，第n个式子为：，第8个等式的是，即．【点睛】本题考查了二次根式运算的规律，解题关键是根据已知等式得出数字规律，按照规律求出等式．14．计算的结果是________．【答案】【详解】原式=3﹣3×2=﹣3，故答案为﹣3.15．的整数部分是________，小数部分是________．【答案】4【分析】利用二次根式的估算，先找出离被开方数最近的两个完全平方数，得出二次根式所在的范围即可．【详解】解：∵，∴，∴的整数部分为4，小数部分：，故答案为：4；【点睛】本题主要考查的是二次根式的估算，掌握二次根式的估算方法是解题的关键．16．若是正整数，则整数的最小值为__________________．【答案】3.【分析】是正整数，则3n一定是一个完全平方数，即可求出n的最小值．【详解】解：∵是正整数，∴3n一定是一个完全平方数，∴整数n的最小值为3．故答案是：3．【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解是正整数的条件是解题的关键．17．一个正数的平方根分别是和，则__．【答案】2．【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可得关于x的方程，解方程即可得．【详解】根据题意可得：x+1+x﹣5=0，解得：x=2，故答案为2．【点睛】本题主要考查了平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．18．计算________．【答案】/【分析】先根据绝对值的性质、算术平方根和立方根的定义进行化简，然后再进行计算即可．【详解】解：．故答案为：【点睛】本题考查了实数的混合运算，解本题的关键在熟练掌握绝对值的性质、算术平方根和立方根的定义．算术平方根：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根；立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数就叫做的立方根．三、解答题19．把下面个各数填入相应的大括号内﹣13.5，5，0，﹣10，3.14，+27，﹣，﹣15%，．负数集合：{…}，非负数集合：{…}，整数集合：{…}，负分数集合：{…}．【答案