备战2023年高考数学一轮复习-第3讲-全称量词与存在量词

第3讲全称量词与存在量词1．全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的、任意一个、任给一个，用符号“eq\x(\s\up1(01))∀”表示；存在量词有：存在一个、至少有一个、有些，用符号“eq\x(\s\up1(02))∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为eq\x(\s\up1(03))∀x∈M，p(x).(3)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x，使p(x)成立”用符号简记为eq\x(\s\up1(04))∃x∈M，p(x).2．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)eq\x(\s\up1(05))∃x∈M，綈p(x)∃x∈M，p(x)eq\x(\s\up1(06))∀x∈M，綈p(x)1．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．2．常用的正面叙述词语和它的否定词语正面词语等于(＝)大于(>)小于(<)是否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是正面词语都是任意的所有的至多有一个至少有一个否定词语不都是某个某些至少有两个一个也没有1．设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为()A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n答案C解析命题p是存在量词命题，故綈p是全称量词命题，又“>”的否定是“≤”，因此綈p为“∀n∈N，n2≤2n”．2．(2021·山东日照模拟)设命题p：所有正方形都是平行四边形，则綈p为()A．所有正方形都不是平行四边形B．有的平行四边形不是正方形C．有的正方形不是平行四边形D．不是正方形的四边形不是平行四边形答案C解析全称量词命题的否定为存在量词命题，即綈p为“有的正方形不是平行四边形”．3．下列四个命题中是真命题的是()A．∃x∈Z,1<4x<3B．∃x∈Z,5x＋1＝0C．∀x∈R，x2－1＝0D．∀x∈R，x2＋x＋2>0答案D解析A中，eq\f(1,4)<x<eq\f(3,4)，与x∈Z矛盾，不成立；B中，x＝－eq\f(1,5)，与x∈Z矛盾；C中，x≠±1时，x2－1≠0；D是真命题．4．(2022·福建宁德质检)若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是()A．[－1,3]B．(－1,3)C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案D解析因为命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”等价于“x2＋(a－1)x＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.5．“等边三角形都是等腰三角形”的否定是________.答案存在一个等边三角形，它不是等腰三角形解析全称量词命题的否定是存在量词命题．故命题的否定是存在一个等边三角形，它不是等腰三角形．6．(2021·合肥调研)能说明命题“∀x∈R且x≠0，x＋eq\f(1,x)≥2”是假命题的x的值可以是________(写出一个即可)．答案－1解析由于当x>0时，x＋eq\f(1,x)≥2，当且仅当x＝1时等号成立，当x<0时，x＋eq\f(1,x)≤－2，当且仅当x＝－1时等号成立，所以x取负数，即可满足题意．例如x＝－1时，x＋eq\f(1,x)＝－2.考向一全称量词命题、存在量词命题真假的判断例1(1)(2021·贵阳调研)下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，x2≥0B．∀x∈R,2x－1>0C．∃x∈R，lgx<1D．∃x∈R，sinx＋cosx＝2答案D解析A显然是真命题；由指数函数的性质知2x－1>0恒成立，所以B是真命题；当0<x<10时，lgx<1，所以C是真命题；因为sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，所以－eq\r(2)≤sinx＋cosx≤eq\r(2)，所以D是假命题．故选D.(2)(多选)(2022·江西师大附中月考)下列命题为假命题的是()A．∃x∈R，ln(x2＋1)<0B．∀x>2,2x>x2C．∃α，β∈R，sin(α－β)＝sinα－sinβD．∀x∈(0，π)，sinx>cosx答案ABD解析∵x2＋1≥1，∴ln(x2＋1)≥0，故A是假命题；当x＝3时，23<32，故B是假命题；当α＝β＝0时，sin(α－β)＝sinα－sinβ，故C是真命题；当x＝eq\f(π,6)∈(0，π)时，sinx＝eq\f(1,2)，cosx＝eq\f(\r(3),2)，sinx<cosx，故D是假命题．故选ABD.判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路1.(多选)下列命题中是真命题的有()A．∀x∈R,3x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lgx<1D．∃x∈R，tanx＝2答案ACD解析由指数函数的性质知，A是真命题；当x＝1∈N*时，(x－1)2＝0，故B是假命题；当x＝eq\f(1,10)时，lgx＝－1<1，故C是真命题；正切函数y＝tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))的值域为R，故∃x∈R，tanx＝2，D是真命题．2．(多选)(2021·厦门外国语学校期中)有如下命题，其中真命题是()A．∃x∈(0，＋∞)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))xB．∃x∈(0,1)，logeq\s\do7(\f(1,2))x＞logeq\s\do7(\f(1,3))xC．∀x∈(0，＋∞)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＞logeq\s\do7(\f(1,2))xD．∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＜llogeq\s\do7(\f(1,3))x答案BD解析当x＞0时，y＝eq\f(1,2x)的图象永远在y＝eq\f(1,3x)的图象上方，因此A错误；当0＜x＜1时，y＝logeq\s\do7(\f(1,2))x的图象永远在y＝logeq\s\do7(\f(1,3))x的图象上方，因此B正确；当x＝eq\f(1,2)时，eq\r(\f(1,2))＜1＝logeq\s\do7(\f(1,2))eq\f(1,2)，因此C错误；当0＜x＜eq\f(1,3)时，logeq\f(1,3)x＞1＞eq\f(1,2x)，因此D正确．故选BD.考向二含有量词的命题的否定例2(1)(2021·常州一模)设命题p：任意常数数列都是等比数列，则綈p是()A．所有常数数列都不是等比数列B．有的常数数列不是等比数列C．有的等比数列不是常数数列D．不是常数数列的数列不是等比数列答案B解析全称量词命题的否定是存在量词命题．故綈p是有的常数数列不是等比数列．(2)(2022·山东德州调研)命题“∃x∈R,1<f(x)≤2”的否定形式是()A．∀x∈R,1<f(x)≤2B．∃x∈R,1<f(x)≤2C．∃x∈R，f(x)≤1或f(x)>2D．∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2答案D解析存在量词命题的否定是全称量词命题，原命题的否定形式为“∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”．故选D.写出全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤(1)准确审题：明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论．(2)改写量词：确定命题所含量词的类型，若命题中无量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(3)否定结论：对原命题的结论进行否定．3.(2022·衡水月考)设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则()A．∀x∈Q，有x∈PB．∀x∉Q，有x∉PC．∃x∉Q，使得x∈PD．∃x∈P，使得x∉Q答案B解析因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以∀x∉Q，有x∉P.故选B.4．(2022·商丘月考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案B解析根据存在量词命题的否定为全称量词命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．考向三由命题的真假求参数的取值范围例3(1)(2021·郑州第一次质量预测)若命题“∃x∈R，使得3x2＋2ax＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是________.答案[－eq\r(3)，eq\r(3)]解析命题“∃x∈R，使得3x2＋2ax＋1<0”是假命题，即“∀x∈R,3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得－eq\r(3)≤a≤eq\r(3).(2)(2021·济南质检)已知函数f(x)＝eq\f(x2－x＋1,x－1)(x≥2)，g(x)＝ax(a>1，x≥2)．①若∃x∈[2，＋∞)，使f(x)＝m成立，则实数m的取值范围为________；②若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为________.答案①[3，＋∞)②(1，eq\r(3)]解析①因为f(x)＝eq\f(x2－x＋1,x－1)＝x＋eq\f(1,x－1)＝x－1＋eq\f(1,x－1)＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立．所以若∃x∈[2，＋∞)，使f(x)＝m成立，则实数m的取值范围为[3，＋∞)．②因为当x≥2时，f(x)≥3，g(x)≥a2，若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则a2≤3且a>1，解得a∈(1，eq\r(3)]．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称量词命题可转化为恒成立问题，存在量词命题可转化为存在性问题．(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，转化为函数的最值解决．5.已知命题p：∃x∈(0,1)，ex－a≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是()A．a>1 B．a≥eC．a≥1 D．a>e答案B解析由已知，得綈p：∀x∈(0,1)，ex－a<0是真命题，所以a>ex对∀x∈(0,1)恒成立，因为当x∈(0,1)时，ex∈(1，e)，所以a≥e.6．(2022·广西钦州质检)已知命题p：“∃x∈R,4x－2x＋1＋m＝0”．若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________.答案(－∞，1]解析因为命题綈p是假命题，所以p是真命题，即∃x∈R,4x－2x＋1＋m＝0，所以m＝－4x＋2x＋1，x∈R有解即可．令y＝－4x＋2x＋1＝－(2x)2＋2×2x,2x>0，利用二次函数的性质可知y≤1，故m≤1.一、单项选择题1．(2021·枣庄二模)命题“∀n∈N，n2－1∈Q”的否定为()A．∀n∈N，n2－1∉Q B．∀n∉N，n2－1∈QC．∃n∈N，n2－1∉Q D．∃n∈N，n2－1∈Q答案C解析“∀n∈N，n2－1∈Q”的否定为“∃n∈N，n2－1∉Q”．2．(2022·惠州摸底)已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则綈p为()A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数答案D解析由存在量词命题的否定可得綈p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．3．(2021·辽宁沈阳模拟)费马大定理又被称为“费马最后的定理”，即当整数n>2时，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn没有正整数解．用n＝3来验证，命题“∀x，y，z∈N*，x3＋y3≠z3”的否定为()A．∀x，y，z∉N*，x3＋y3＝z3B．∃x，y，z∈N*，x3＋y3≠z3C．∀x，y，z∈N*，x3＋y3＝z3D．∃x，y，z∈N*，x3＋y3＝z3答案D解析全称量词命题的否定是存在量词命题，其否定的步骤是：第一步，改变量词；第二步，否定结论．故选D.4．(2022·江西师大附中月考)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A．∀x∈R，f(－x)≠f(x)B．∀x∈R，f(－x)≠－f(x)C．∃x∈R，f(－x)≠f(x)D．∃x∈R，f(－x)≠－f(x)答案C解析设命题p：∀x∈R，f(－x)＝f(x)，∵f(x)不是偶函数，∴p是假命题，则綈p是真命题，又綈p：∃x∈R，f(－x)≠f(x)，故选C.5．(2022·广东湛江月考)已知f(x)＝sinx－tanx，命题p：∃x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)<0，则()A．p是假命题，綈p：∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0B．p是假命题，綈p：∃x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0C．p是真命题，綈p：∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0D．p是真命题，綈p：∃x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0答案C解析当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，sinx<1，tanx>1.此时sinx－tanx<0，故命题p为真命题．由于命题p为存在量词命题，所以命题p的否定为全称量词命题，则綈p为∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0.6．(2022·云南玉溪二调)已知函数f(x)＝xeq\s\up7(\f(1,2))，则()A．∃x∈R，f(x)<0B．∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥0C．∃x1，x2∈[0，＋∞)，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0D．∀x1∈[0，＋∞)，∃x2∈[0，＋∞)，f(x1)>f(x2)答案B解析幂函数f(x)＝xeq\s\up7(\f(1,2))的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A，C错误，B正确；D中当x1＝0时，结论不成立．7．(2022·河南信阳调研)已知命题p1：存在a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数；p2：∃x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)；p3：对任意x∈R，x4<x5；p4：任意x∈R，x2－x＋1>0.其中真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析p1是真命题．因为当a＝1时，y＝2x＋2－x在R上为偶函数；p2是假命题．因为∀x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝1；p3是假命题．因为x＝eq\f(1,2)时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5，x4<x5不成立；p4是真命题．因为x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0对任意x∈R都成立．综上，真命题的个数为2.8．(2022·济南质检)已知命题“∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)≤0”是假命题，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0) B．[0,4]C．[4，＋∞) D．(0,4)答案D解析因为命题“∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)≤0”是假命题，所以“∀x∈R,4x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)>0”是真命题．则Δ＝(a－2)2－4×4×eq\f(1,4)＝a2－4a<0，解得0<a<4.9．(2022·正定摸底)已知命题p：a∈D，命题q：∃x∈R，x2－ax－a≤－3，若p是q成立的必要不充分条件，则区间D可以为()A．(－∞，－6]∪[2，＋∞)B．(－∞，－4)∪(0，＋∞)C．(－6,2)D．[－4,0]答案B解析命题q：∃x∈R，x2－ax－a≤－3，则x2－ax－a＋3≤0，所以Δ＝a2－4(－a＋3)≥0，解得a≤－6或a≥2，又p是q成立的必要不充分条件，所以(－∞，－6]∪[2，＋∞)D，所以区间D可以为(－∞，－4)∪(0，＋∞)，故选B.10．(2022·大庆月考)下列命题中的真命题是()A．∀x∈R，sinx<2xB．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1C．∃x∈(－∞，0)，2x<3xD．∀x∈(0，π)，sinx>cosx答案B解析由知，A是假命题；设f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，∵当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，又f(0)＝0，∴∀x∈(0，＋∞)，f(x)>0，即ex>x＋1，故B是真命题；当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C是假命题；∵当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))时，sinx<cosx，故D是假命题．故选B.二、多项选择题11．(2021·济南调研)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有()A．∃x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)<0B．所有的正方形都是矩形C．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0答案AC解析对于A，∃x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)<0的否定是∀x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)≥0，是全称量词命题，由x2－x＋eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2≥0知，此命题是真命题；对于B，所有的正方形都是矩形的否定是存在一个正方形，它不是矩形，是存在量词命题；对于C，∃x∈R，x2＋2x＋2＝0的否定是∀x∈R，x2＋2x＋2≠0，是全称量词命题．由Δ＝22－4×1×2<0知，x2＋2x＋2＝0无实根，此命题是真命题；对于D，至少有一个实数x，使x3＋1＝0的否定是∀x∈R，x3＋1≠0，是全称量词命题，此命题是假命题．12．(2021·烟台适应性练习)若非空集合G和G上的二元运算“”满足：①∀a，b∈G，ab∈G；②∃I∈G，∀a∈G，aI＝I⊕a＝a；③∃I∈G，使∀a∈G，∃b∈G，有ab＝I＝ba；④∀a，b，c∈G，(ab)c＝a(bc)，则称(G，)构成一个群．下列选项对应的(G，)构成一个群的是()A．集合G为自然数集，“”为整数的加法运算B．集合G为正有理数集，“”为有理数的乘法运算C．集合G＝{－1,1，－i，i}(i为虚数单位)，“”为复数的乘法运算D．集合G＝{0,1,2,3,4,5,6}，“”为求两整数之和被7除的余数答案BCD解析由题意可知，条件①表述了“”的封闭性，条件②表述了“⊕”对于G有单位元I，条件③表述了“”对于G有逆元，条件④表述了“⊕”的结合律，对于A，自然数据中的加法是封闭的，有单位元0，但无逆元，不满足条件③，故A错误；对于B，正有理数集中的乘法是封闭的，有单位元1，逆元1，满足结合律，故B正确；对于C，集合G＝{－1,1，－i，i}中乘法是封闭的，有单位元1，逆元－1，满足结合律，故C正确；对于D，集合G＝{0,1,2,3,4,5,6}中对于“求两整数之和被7除的余数”是封闭的，有单位元0，任一元素都为逆元，满足结合律，故D正确．故选BCD.三、填空题13．(2021·河南八市联考)若“∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.答案1解析∵函数y＝tanx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上是增函数，∴ymax＝taneq\f(π,4)＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1.∴实数m的最小值为1.14．(2022·陕西安康月考)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________.答案0解析“∃x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”的否定是∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0，依题意，命题“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”为真命题，故函数y＝f(x)，x∈(a，b)为奇函数，∴a＋b＝0，∴f(a＋b)＝f(0)＝0.15．(2022·甘肃兰州一诊)若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x2∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x2)，则实数a的取值范围是________.答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析设f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)在[－1,2]上的值域分别为A，B，则A＝[－1，3]，B＝[－a＋2,2a＋2]，由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋2≥－1，,2a＋2≤3，))∴a≤eq\f(1,2)，又a>0，∴0<a≤eq\f(1,2).16．(2022·北京海淀摸底)已知命题p：∀x∈R，log2(x2＋x＋a)>0恒成立，命题q：∃x∈[－2，2]，2a≤2x，若命题p和q都成立，则实数a的取值范围为________.答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\