专题09 三角形中位线定理 带解析

2022-2023学年苏科版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题09三角形中位线定理一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•雨花区校级月考）如图，四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CB上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小 C．线段EF的长不变 D．线段EF的长与点P的位置有关解：如图，连接AR，∵E、F分别是AP、RP的中点，∴EF是△APR的中位线，∴EF＝AR，∵点R不动，∴AR大小不变，∴线段EF的长不变，故选：C．2．（2分）（2022秋•二道区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝13，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝5，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6解：∵BC＝13，BF＝5，∴FC＝BC﹣BF＝13﹣5＝8，∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴AD＝DC，∵AE＝EF，∴DE是△AFC的中位线，∴DE＝FC＝×8＝4．故选：B．3．（2分）（2022春•横县期中）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AC＝9，DM＝2，则AB等于（）A．4 B．5 C．6 D．8解：如图，延长BD与AC相交于点F，∵M为BC中点，∴DM是△BCF的中位线，∴DM＝CF＝2．∴CF＝4．∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴AF＝AB，BD＝DF，∵AC＝9，∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝9﹣AB＝4，∴AB＝5．故选：B．4．（2分）（2022春•新城区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，若DE是△ABC的中位线，延长DE，交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．4 B． C． D．5解：在Rt△ABC中，AC＝＝＝5，∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝1.5，DE∥BC，EC＝AC＝2.5，∴∠EFC＝∠FCM，∵CF是∠ACM的平分线，∴∠ECF＝∠FCM，∴∠EFC＝∠ECF，∴EF＝EC＝2.5，∴DF＝DE+EF＝1.5+2.5＝4，故选：A．5．（2分）（2022春•乐陵市期末）数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明，小丽和小亮在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（）图1为小丽的辅助线作法：延长DE到F，使EF＝DE，连接DC、AF、FC．图2为小亮的辅助线作法：过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F．A．小丽和小亮的辅助线作法都可以 B．小丽和小亮的辅助线作法都不可以 C．小丽的辅助线作法可以，小亮的不可以 D．小亮的辅助线作法可以，小丽的不可以解：小丽的作法：∵AE＝EC，DE＝EF，∴四边形ADCF为平行四边形，∴CF＝AD，CF∥AD，∵AD＝DB，∴DB＝CF，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DE＝BC，DE∥BC，能够用来证明三角形中位线定理；小亮的作法：∵GE∥AB，AF∥BC，∴四边形ABGF为平行四边形，∴AB＝FG，AF＝BG，∵DB＝AB，EG＝FG，∴BD＝EG，∴四边形DBGE为平行四边形，∴DE＝BG，DE∥BG，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠CGE，在△AEF和△CEG中，，∴△AEF≌△CEG（AAS），∴AF＝GC，∴BG＝GC，∴DE＝BC，能够用来证明三角形中位线定理，故选：A．6．（2分）（2022春•通川区期末）如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．14解：如图，延长BN交AC于点D，∵AN平分∠BAC，∴∠BAN＝∠DAN，∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND＝90°，在△ANB与△AND中，，∴△ANB≌△AND（ASA），∴AB＝AD＝8，BN＝DN，又∵M是BC边的中点，∴MN是△BCD的中位线，∴MN＝CD，∵MN＝2，∴CD＝4，∴AC＝AD+CD＝8+4＝12，故选：C．7．（2分）（2022春•禅城区期末）已知：△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，则四边形AFDE的周长等于（）A．AB+AC B．BA+BC C．CA+CB D．△ABC的周长解：如图1，∵D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，∴DF＝AC，DE＝AB，AF＝AB，AE＝AC，∴四边形AFDE的周长为AF+DF+CE+AE＝AB+AC+AB+AC＝AB+AC，故选：A．8．（2分）（2022春•青山区期中）如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC，若EF＝4，则DE的长为（）A．4 B． C．2 D．解：如图，连接DC，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是边AB的中点，∴DC＝AB，BC＝AB，∴BC＝DC，∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE∥CF，DE＝BC，∵CF＝BC，∴DE＝CF，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF＝4，∴BC＝4，∴DE＝×4＝2．故选：C．9．（2分）（2021春•金坛区期中）如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，BD＝8，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是（）A． B．5 C． D．10解：如图，取AB的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别是边AD、CB的中点，∴EG∥BD且EG＝BD＝×8＝4，FG∥AC且FG＝AC＝×6＝3，∵AC⊥BD，∴EG⊥FG，∴EF＝＝＝5．故选：B．10．（2分）（2022春•高唐县期末）如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（）A．6 B． C．7 D．8解：如图，延长BD，交AC于F，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，在△ABD和△AFD中，，∴△ABD≌△AFD（ASA），∴BD＝DF，AF＝AB＝4，∵BE＝CE，∴CF＝2DE＝3，∴AC＝AF+CF＝4+3＝7，故答案为：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2020春•凯里市期末）如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，若，则AB＝6．解：∵点E、F分别是AC、DC的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴AD＝2EF＝3，∵CD是△ABC的中线，∴AB＝2AD＝6，故答案为：6．12．（2分）（2022春•南岗区校级期中）如图，△ABE中，∠B＝60°，D为AB上一点，C为BE延长线上一点，连接CD、AE，取AE中点F，取CD中点G，连接FG，若AD＝8，CE＝10，则FG＝．解：连接AC，取AC中点M，连接MF、MG，作GN⊥MF于N．∵G为CD的中点，∴MG∥AD，MF∥BC，MF＝，MG＝＝＝4，∵∠B＝60°，∴∠FMG＝60°，∴∠MGN＝30°，∴MN＝＝＝2，NG＝＝2，∴NF＝MF﹣MN＝5﹣2＝3，∴FG＝＝＝．13．（2分）（2022春•兴城市期末）如图，△ABC中，D、F分别是AC、BC的中点，E在DF上，且BE⊥CE，若AB＝8，BC＝6，则DE＝1．解：∵D、F分别是AC、BC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF＝AB＝×8＝4，∵BE⊥CE，∴∠BEC＝90°，在Rt△BEC中，∠BEC＝90°，F是BC的中点，∴EF＝BC＝3，∴DE＝DF﹣EF＝4﹣3＝1，故答案为：1．14．（2分）（2022•华蓥市模拟）如图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得△A2B2C2；这样依次下去…，经过第2022次操作后得△A2022B2022C2022，则△A2022B2022C2022的面积为a2．解：∵点A1、B1分别是CA、CB的中点，∴点A1B1是△ABC的中位线，∴A1B1＝AB＝a，同理可得：A2B2＝A1B1＝a，……则A2022B2022＝a，∴S＝（a）2＝a2，故答案为：a2．15．（2分）（2022春•府谷县期末）如图，在▱ABCD中，点E、F分别为AD、DC的中点，过点C作CM⊥AB交AB延长线于M，连接EF，若CD＝4，BM＝2，CM＝6，则EF的长为3．解：连接AC，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD＝4，∴AM＝AB+BM＝4+2＝6，∴AC＝＝＝6，∵点E、F分别为AD、DC的中点，∴EF是△ADC的中位线，∴EF＝AC＝3，故答案为：3．16．（2分）（2022春•宝应县期末）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝6，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是0＜S≤4.5．解：作ME⊥PN，如图所示，∵P，M，N分别是AD，BD，AC中点，∴PM＝AB＝3，PN＝CD＝3，∴S△PMN＝PN•ME＝1.5ME，∵AB与CD不平行，∴M，N不能重合，∴ME＞0．∵ME≤MP＝3．∴0＜S△≤4.5．故答案是：0＜S≤4.5．17．（2分）（2022春•黄陵县期末）如图，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是△ABC的高，如果HF＝5，则ED的长为5．解：∵AH是△ABC的高，∴∠AHC＝90°，∵∠AHC＝90°，F是边AC的中点，∴AC＝2HF＝10，∵D、E分别是△ABC各边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC＝5．故答案为：5．18．（2分）（2022春•涟水县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是．解：如图，连接CM，∵点D、E分别为CN，MN的中点，∴DE＝CM．当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小．由勾股定理得：AB＝＝＝13．∵S△ABC＝•AB•CM＝•AC•BC，∴CM＝．∴DE＝CM＝．故答案是：．19．（2分）（2021秋•北碚区校级期末）已知在△ABC中，AC＝6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，EF＝1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB＝8cm．解：在Rt△AFC中，点D是AC的中点，AC＝6cm，∴DF＝AC＝×6＝3（cm），∵EF＝1cm，∴DE＝DF+EF＝3+1＝4（cm），∵点D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE＝2×4＝8（cm），故答案为：8cm．20．（2分）（2022•上蔡县模拟）若将三个如图1所示的直角三角形拼成如图2所示的图形，在图2中标记字母，并连接AE，CD，G，H分别为AE，CD的中点，连接GH，如图3所示．若AC＝2，则GH的长为．解：根据题意可知：Rt△ABC≌Rt△DEB≌Rt△FCE，∴BC＝BC＝CE，∴△BCE是等边三角形，∴∠BCE＝60°，如图，取CE的中点Q，连接GQ，HQ，过点G作GN⊥HQ于点N，∵G，H分别为AE，CD的中点，∴GQ∥AC，GQ＝AC＝2＝1，∴∠GQC+∠ACQ＝180°，∴∠GQC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵△ADF是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴AB＝DE＝2AC＝4，∵H是CD中点，Q是CE中点，∴HQ∥DE，HQ＝DE＝4＝2，∴∠HQC＝∠CEF＝90°，∴∠GQH＝90°﹣30°＝60°，∵GN⊥HQ，GQ＝1，∴NQ＝GQ＝，∴GN＝，∴NH＝HQ﹣NQ＝2﹣＝，∴GH＝＝＝．故答案为：．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022春•宁都县期末）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，E、F分别为AD、BC的中点，G、H分别为BD、AC的中点．请你判断EF与GH的关系，并证明你的结论．解：EF与GH互相平分，理由如下：连接EG、GF、FH、EH，∵E、F分别为AD、BC的中点，G、H分别为BD、AC的中点，∴EG是△ADB的中位线，FH是△ACB的中位线，∴EG＝AB，EG∥AB，FH＝AB，FH∥AB，∴EG＝FH，EG∥FH，∴四边形EGFH为平行四边形，∴EF与GH互相平分．22．（6分）（2022春•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，在边AC上截取AD＝AB，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，F是边BC的中点，连接EF．若AB＝5，BC＝12，求EF的长度．解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，则AC＝＝＝13，∵AD＝AB＝5，∴DC＝AC﹣AD＝13﹣5＝8，∵AD＝AB，AE⊥BD，∴BE＝ED，∵BF＝FC，∴EF＝DC＝4．23．（7分）（2021秋•桓台县期末）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，∴PE∥AB，且PE＝AB＝3，PF∥CD且PF＝CD＝4．又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝60°，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，在直角△EPF中，由勾股定理得到：EF＝＝＝5，即EF＝5；（2）证明：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．∵E，F分别是AD、BC的中点，∴PE∥AB，且PE＝AB，PF∥CD且PF＝CD．∴∠EPD＝∠ABD，∠BPF＝∠BDC，∴∠DPF＝180°﹣∠BPF＝180°﹣∠BDC，∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，∴∠BDC＝90°+∠ABD，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，∴PE2+PF2＝（AB）2+（CD）2＝EF2，∴AB2+CD2＝4EF2．24．（8分）（2022春•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；（2）如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论．（1）证明：如图1中，∵AE⊥BE，∴∠AED＝∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠ABE＝∠ADE，∴AB＝AD，∵AE⊥BE，∴BE＝DE，∵BF＝FC，∴EF＝DC＝＝（AC﹣AB）．（2）结论：EF＝（AB﹣AC），理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于点P．∵AE⊥BP，∴∠AEP＝∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°，∵∠BAE＝∠PAE，∴∠ABE＝∠APE，∴AB＝AP，∵AE⊥BD，∴BE＝PE，∵BF＝FC，∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC）．25．（8分）（2022春•抚远市期末）如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长．解：如图，延长BD与AC相交于点F，∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴∠DAB＝∠DAF，AD＝AD，∠ADB＝∠ADF，∴△ADB≌△ADF，∴AF＝AB，BD＝DF，∵AB＝6，AC＝10，∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝10﹣6＝4，∵E为BC中点，∴DE是△BCF的中位线，∴DE＝CF＝×4＝2．26．（8分）（2022春•西峰区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF＝DC；（2）若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE．在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS），∴AF＝DB．∵AD是BC边上的中线，∴DC＝DB，∴AF＝DC；（2）解：四边形ADCF是矩形．证明：连接DF，由（1）得AF＝DB，AF∥DB，∴四边形ABDF是平行四边形，∴AB＝DF，∵AB＝AC，∴AC＝DF，由（1）得AF＝DC，AF∥DC，∴四边形ADCF是平行四边形，∴四边形ADCF是矩