《第十二章 全等三角形》单元核心考点归纳与单元检测试卷

《第十二章全等三角形》单元核心考点归纳1．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF.(1)求证：△ACE≌△BDF.(2)若AB＝8，AC＝2，求CD的长．1全等三角形的判定与性质∴△ACE≌△BDF(AAS)．(2)由(1)知△ACE≌△BDF，∴BD＝AC＝2.∵AB＝8，∴CD＝AB－AC－BD＝4.2．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E，F分别在AB，BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF.(1)求证：∠D＝∠2.(2)若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．∴△BEF≌△CDA(SAS)，∴∠D＝∠2.(2)∵∠D＝∠2，∠D＝78°，∴∠D＝∠2＝78°.∵EF∥AC，∴∠BAC＝∠2＝78°.3．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD＝CD，BE＝CF.(1)求证：AD平分∠BAC.(2)请猜想AB＋AC与AE之间的数量关系，并证明．2角平分线的性质与判定解：(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°.在Rt△DBE和Rt△DCF中，∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)，∴DE＝DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.(2)AB＋AC＝2AE.证明如下：∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，∴AE＝AF，∴AB＋AC＝AB＋AF＋CF＝AB＋AE＋BE＝2AE.4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，连接DE.(1)求证：点E到DA，DC的距离相等．(2)求∠DEB的度数．解：(1)证明：如图，过点E作EH⊥AB于点H，EF⊥BC于点F，EG⊥AD于点G.∵AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠CAD＝60°.∵∠CAH＝180°－120°＝60°，∴AE平分∠HAD，∴EH＝EG.∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，∴EH＝EF，∴EF＝EG，∴点E到DA，DC的距离相等．(2)由(1)知，DE平分∠ADC.∵∠EDC＝∠DEB＋∠DBE，核心方法技巧1作垂线法5．如图，BD是△ABC的一条角平分线，AB＝10，BC＝8，且S△ABD＝25，求△BCD的面积．3几种辅助线作法解：如图，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N.∵BD平分∠ABC，∴DM＝DN.核心方法技巧2截长补短法6．如图，AD∥BC，点E是边CD上一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AB＝AD＋BC.证明：如图，延长AD至点F，使AF＝AB，连接EF.先证△AEF≌△AEB(SAS)，再证△EDF≌△ECB(AAS)，DF＝BC即可．7．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，且AD，CE交于点O.(1)∠AOC的度数是____________.(2)求证：AC＝AE＋CD.120°解：(1)120°.(2)证明：在AC上截AF＝AE.证△AOE≌△AOF(SAS)，证∠AOE＝60°＝∠AOF＝∠COF＝∠COD，再证△COF≌△COD(ASA)即可．核心方法技巧3倍长线段法8．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点．求证：DE＝2AM.解：延长AM至点N，使MN＝AM，连接BN.∵点M为BC的中点，∴CM＝BM.在△AMC和△NMB中，∴△AMC≌△NMB(SAS)，∴AC＝BN，∠C＝∠NBM.∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°，∴∠EAD＋∠BAC＝180°，∴∠ABN＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD.在△EAD和△ABN中，∴△ABN≌△EAD(SAS)，∴DE＝AN＝2MN.《第十二章全等三角形》单元检测(一)(测试范围：12.1～12.2时间：45分钟满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，满分30分)1．下列说法中正确的是(

)A．两个面积相等的图形一定是全等图形

B．两个长方形是全等图形C．两个全等图形的形状一定相同D．两个正方形一定是全等图形2．若△ABC≌△DEF，∠A＝36°，∠E＝40°，则∠C的大小为(

)A．104° B．76°C．40° D．36°CA3．如图，AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是(

)A．SAS B．AASC．SSS D．ASAA4．小华家梳妆台上的一块三角形玻璃不小心碎成了如图所示的四块，需要去玻璃装饰品店再购买一块与原来大小和形状完全相同的玻璃，最省事的办法是携带哪两块玻璃去玻璃装饰品店让商家再裁出一块(

)A．(1)和(3) B．(3)和(4)C．(1)和(4) D．(1)和(2)D5．教材P45T12改编如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB.若AB＝4，CF＝3，则BD的长是(

)A．0.5 B．1C．1.5 D．2B6．如图，将等腰直三角形△AOB放在平面直角坐标系中，点O是原点，点A的坐标为(1,2)，则点B的坐标为(

)A．(－2,1) B．(－1,2)C．(2,1) D．(－2，－1)A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)7．如图，BC∥EF，∠C＝∠F，添加一个条件____________________________，使得△ABC≌△DEF.AB＝DE(答案不唯一)8．新情境如图，小明与小红玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O(跷跷板的中点)至地面的距离是50cm.当小红从水平位置CD下降30cm时，这时小明离地面的高度是________cm.809．如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°.若∠ABC＝35°，则∠CAO的度数是__________.20°10．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(2,1)，B(4,1)，C(1,3)，△ABC与△ABD全等，则点D的坐标为________________________________.(1，－1)或(5,3)或(5，－1)三、解答题(本大题共4小题，满分50分)11．(本题12分)如图，BD是∠ABC的平分线，在BC上截取BE＝BA.若∠A＝100°，∠C＝30°，求∠BDE的度数.解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC.又∵AB＝BE，BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠ADB＝∠BDE，∠A＝∠BED＝100°，∴∠DEC＝80°，∴∠ADE＝∠C＋∠DEC＝110°，∴∠BDE＝55°.12．核心素养·应用意识(本题12分)小明利用一根3m长的竿子来测量路灯的高度．他的方法是这样的：在路灯前选一点P，使BP＝3m，并测得∠APB＝70°，然后把竖直的竿子CD(CD＝3m)在BP的延长线上移动，使∠DPC＝20°，此时量得BD＝11.2m．根据这些数据，小明计算出了路灯的高度．你知道小明计算的路灯的高度是多少？为什么？解：∵∠CPD＝20°，∠APB＝70°，∠CDP＝∠ABP＝90°，∴∠DCP＝∠APB＝70°.在△CPD和△PAB中，∴△CPD≌△PAB(ASA)，∴DP＝AB.∵DB＝11.2m，PB＝3m，∴AB＝11.2－3＝8.2(m)．答：路灯的高度AB是8.2m.13．

(本题12分)如图，AC与BD相交于点O，AD＝CB，点E，F是BD上两点，且AE＝CF，DE＝BF.求证：(1)∠D＝∠B.(2)AE∥CF.证明：(1)在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF(SSS)，∴∠D＝∠B.(2)∵△ADE≌△CBF，∴∠AED＝∠CFB.∵∠AED＋∠AEO＝180°，∠CFB＋∠CFO＝180°，∴∠AEO＝∠CFO，∴AE∥CF.14．(本题14分)长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF.(1)如果∠DEF＝110°，求∠BAF的度数．(2)判断△ABF和△AGE是否全等？请说明理由．解：(1)∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠CFE＝180°－∠DEF＝70°，由折叠可得，∠AFE＝∠CFE＝70°，∴∠AFB＝180°－∠AFE－∠CFE＝40°.∵∠B＝90°，∴∠BAF＝90°－∠AFB＝50°.(2)△ABF≌△AGE.理由如下：由折叠可得，AG＝CD，∠G＝∠D＝90°.∵AB＝CD，∴AB＝AG.∵∠BAE＝90°，∠FAG＝90°，∴∠BAE＝∠GAF，∴∠BAE－∠FAE＝∠FAG－∠FAE，∴∠BAF＝∠GAE.∴△ABF≌△AGE(ASA)．《第十二章全等三角形》单元检测(二)(测试范围：12.3时间：45分钟满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，满分24分)1．观察图中尺规作图痕迹，下列说法中错误的是(

)A．OE是∠AOB的平分线B．OC＝ODC．点C，D到OE的距离不相等D．∠AOE＝∠BOEC2．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点D，PD＝5，则点P到OB的距离是(

)A．1 B．2.5C．4 D．5D3．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(

)A．点M B．点N

C．点P D．点QA4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于点E，测得BC＝9，BE＝3，则△BDE的周长是(

)A．15 B．12C．9 D．6BA．3∶4 B．4∶5C．3∶5 D．无法确定C6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点C作CG⊥AB于点G，交AD于点E，过点D作DF⊥AB于点F，下列结论中错误的是(

)A．∠CED＝∠CDE

B．S△AEC∶S△AEG＝AC∶AGC．∠ADF＝2∠FDB

D．CE＝DFC二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝7，DE＝3，则BD的长为______.48．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于点E，BF交AC于点F，过点O作OD⊥BC于点D，若AB＝8，OD＝1，则△AOB的面积为______.49．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，AB＝8，BC＝6，S△ABC＝14，则DE的长是______.210．如图，在△ACE中，∠AEC＝90°，点D，B分别在边CE，AE上，DF⊥AC于点F，BD＝CD，BE＝CF.(1)若∠C＝60°，则∠BAD＝__________.(2)已知AC＝10，BE＝2，则AB的长是______.15°6三、解答题(本大题共5小题，满分56分)11．(本题10分)如图，F是∠MON内一点，过点F作FA⊥OM于点A，FB⊥ON于点B，连接AB，若∠FAB＝∠FBA.求证：OF平分∠MON.证明：∵∠FAB＝∠FBA，∴FA＝FB.∵FA⊥OM，FB⊥ON，∴点F在∠MON的平分线上，∴OF平分∠MON.12．(本题10分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在边AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF.求证：CB＝CD.证明：如图，连接AC.在△AEC与△AFC中，∴△AEC≌△AFC(SSS)，∴∠CAE＝∠CAF，即CA平分∠BAD.又∵∠B＝∠D＝90°，即CB⊥AB，CD⊥AD，∴CB＝CD.13．(本题10分)如图，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB.将一直角三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E，F.求证：PE＝PF.证明：如图，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为点M，N，则∠PME＝∠PNF＝90°.∵OP平分∠AOB，∴PM＝PN.∵∠AOB＝∠PME＝∠PNF＝90°，∴∠MPN＝90°.∵∠EPF＝90°，∴∠MPE＝∠FPN.易证△PEM≌△PFN(ASA)，∴PE＝PF.14．(本题12分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，点F在边AC上，且BD＝FD.求证：AE－BE＝AF.证明：∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，∠C＝90°，∴DC＝DE.∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AC＝AE.同理可得Rt△FCD≌Rt△BED，∴FC＝BE，∴AE－BE＝AC－FC＝AF.15．(本题14分)如图，点A，B分别在y轴、x轴的正半轴上，AC平分∠OAB交x轴于点C，∠ADC＋∠ABO＝180°.(1)求证：CD＝CB.(2)若点D的坐标为(0,2)，求AB－AD的值．解：(1)证明：如图，过点C作CE⊥AB于点E.证△OCD≌△ECB(AAS)，∴CD＝CB.(2)∵△OCD≌△ECB，∴OD＝BE.∵AC是∠OAB的平分线，CE⊥AB，CO⊥AO，∴△AOC≌△AEC(AAS)，∴AO＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AO＋EB＝AD＋OD＋BE＝AD＋2OD，∴AB－AD＝2OD＝4.《第十二章全等三角形》综合检测一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1．下列各组中的两个图形属于全等形的是(

)C2．如图，△ABC≌△DEF，则∠F的度数是(

)A．75°

B．60°

C．45°

D．无法确定A3．如图，BC＝BE，CD＝ED，则△BCD≌△BED，其依据是(

)A．SSS B．AASC．SAS D．ASAA4．如图，点E在△ABC的外部，点D在边BC上，DE交边AC于点F.若∠BAD＝∠CAE，∠E＝∠C，AE＝AC，则(

)A．△ABC≌△AFE

B．△AFE≌△ADCC．△AFE≌△DFC

D．△ABC≌△ADED5．如图，已知DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF的度数是(

)A．130° B．150°C．100° D．140°B6．如图，AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F，且AE＝CF，则下列结论中错误的是(

)A．Rt△AEB≌Rt△CFD

B．BE＝DF

C．∠ABE＝∠CDF

D．BE＝CDD7．如图，直线EF经过AC的中点O，交AB于点E，交CD于点F.下列条件中不能使△AOE≌△COF的是(

)A．∠A＝∠C

B．AB∥CD

C．AE＝CF

D．OE＝OFC8．如图，在△ABC和△CDE中，点B，C，E在同一条直线上，∠B＝∠E＝∠ACD，AC＝CD，若AB＝2，BE＝6，则DE的长为(

)A．8 B．6C．4 D．2C9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，点D，F分别是边BC，AC上的点，DE⊥AB于点E，CF＝BE，DF＝DB，则∠ADE的度数是(

)A．40° B．50°C．70° D．71°C10．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直于

AD，垂足为点M，若BC＝7，则DE的长是(

)A．6 B．4C．2 D．5D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．如图，△ABC≌△ADE,AB＝5cm，BC＝7cm，AC＝6cm，则DE＝______cm.712．如图，已知∠ABC＝∠DEF，BE＝FC，要证明△ABC≌

△DEF，若以“ASA”为依据，还需要添加的条件是__________________.∠ACB＝∠F13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，CD⊥

AB于点D，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F.若EF＝5cm，则AE＝______cm.314．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为边AB上的高，点E在直线BC上．(1)若∠ECF＝40°，则∠CAB＝__________.(2)若点E从点B出发，在直线BC上以每秒2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动__________s时，CF＝AB.40°2或5三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．如图，△ABC≌△DFE，求∠FDB＋∠ABD的值．解：∵△ABC≌△DFE，∴∠ABC＝∠DFE，∴AB∥FD，∴∠FDB＋∠ABD＝180°.16．如图，AB∥CD，∠B＝∠D，求证：△ABC≌△CDA.证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.在△ABC和△CDA中，∴△ABC≌△CDA(AAS)．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．如图，AB＝AC，点E，F分别是AB，AC的中点．求证：△AFB≌△AEC.证明：∵点E，F分别是AB，AC的中点，∴△AFB≌△AEC(SAS)．18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠A＝130°.(1)尺规作图：作∠A的平分线，交BC于点D.(不写作法，保留作图痕迹)(2)求∠ADC的度数．解：(1)作图如图所示．(2)∵AD是∠BAC的平分线，由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ADC＝∠B＋∠BAD＝30°＋65°＝95°，∴∠ADC＝95°.五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，点P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE＝AF.求证：(1)PE＝PF.(2)点P在∠BAC的平分线上.证明：(1)如图，连接AP并延长．∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°.又∵AE＝AF，AP＝AP，∴Rt△AEP≌Rt△AFP(HL)，∴PE＝PF.(2)∵Rt△AEP≌Rt△AFP，∴∠EAP＝∠FAP，∴AP是∠BAC的平分线，即点P在∠BAC的平分线上．20．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF⊥DE.(1)求证：△ACD≌△BEC.(2)若∠DCE＝110°，求∠DCF的度数．解：(1)证明：∵AD∥EB，∴∠A＝∠B，∴△ACD≌△BEC(SAS)．(2)∵△ACD≌△BEC，∴DC＝CE.∵CF⊥DE，∵∠DCE＝110°，∴∠DCF＝55°.六、(本题满分12分)21．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E在边AB上，BD＝BE，要使△ADB≌

△CEB，还需添加一个条件．(1)给出下列四个条件：①AD＝CE；②AE＝CD；③∠BAD＝∠BCE；④∠ADB＝∠CEB.请你从中选出一个能使△ADB≌

△CEB的条件，并给出证明．(2)在(1)中所给出的条件中，能使△