北大教师做高考数学试卷

北大教师做高考数学试卷一、选择题

1.下列关于函数的定义域的说法，正确的是（）

A.函数的定义域是指函数可以取到的所有实数值

B.函数的定义域是指函数的自变量可以取到的所有实数值

C.函数的定义域是指函数的因变量可以取到的所有实数值

D.函数的定义域是指函数的自变量和因变量可以取到的所有实数值

2.下列关于一元二次方程的解法，错误的是（）

A.因式分解法

B.完全平方公式法

C.二次公式法

D.对数函数法

3.下列关于三角函数的定义，正确的是（）

A.正弦函数是直角三角形中，对边与斜边的比值

B.余弦函数是直角三角形中，邻边与斜边的比值

C.正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值

D.以上都是

4.下列关于指数函数的性质，错误的是（）

A.指数函数的图像呈指数增长

B.指数函数的图像呈指数衰减

C.指数函数的底数大于1时，函数的值域为正实数

D.指数函数的底数大于1时，函数的值域为负实数

5.下列关于数列的概念，正确的是（）

A.数列是一组有规律的数按照一定顺序排列而成的

B.数列是一组无规律的数按照一定顺序排列而成的

C.数列是一组有规律的数按照无规律顺序排列而成的

D.数列是一组无规律的数按照无规律顺序排列而成的

6.下列关于数列的通项公式，正确的是（）

A.通项公式是指数列中任意一项的公式

B.通项公式是指数列中第一项的公式

C.通项公式是指数列中最后一项的公式

D.通项公式是指数列中任意两项的公式

7.下列关于平面几何中的角度概念，正确的是（）

A.角度是直线与直线相交形成的夹角

B.角度是直线与平面相交形成的夹角

C.角度是平面与平面相交形成的夹角

D.角度是点与直线相交形成的夹角

8.下列关于圆的性质，错误的是（）

A.圆的半径相等

B.圆的直径相等

C.圆的周长与直径成正比

D.圆的面积与半径的平方成正比

9.下列关于空间几何中的向量概念，正确的是（）

A.向量是有大小和方向的几何图形

B.向量是有大小和方向的线段

C.向量是有大小和方向的平面图形

D.向量是有大小和方向的立体图形

10.下列关于解析几何中的直线方程，正确的是（）

A.直线方程可以用两点式表示

B.直线方程可以用点斜式表示

C.直线方程可以用斜截式表示

D.以上都是

二、判断题

1.函数y=|x|的图像是一个V形，其顶点位于原点。（）

2.二元一次方程组的解必定是整数解。（）

3.在直角坐标系中，所有通过原点的直线方程都可以表示为y=kx的形式。（）

4.一个圆的所有直径都相等。（）

5.向量的模是其方向上的长度，因此两个方向相反的向量，其模相等。（）

三、填空题

1.若函数f(x)=ax^2+bx+c的判别式Δ=b^2-4ac，当Δ>0时，函数图像与x轴有两个不同的交点，此时函数图像的开口方向是______，且两个交点的坐标分别是______和______。

2.在直角坐标系中，点A(2,3)关于y=x的对称点坐标是______。

3.若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an=______。

4.在三角形ABC中，若∠A=90°，∠B=45°，则三角形ABC是______三角形，且∠C=______度。

5.已知向量a=(3,-4)，向量b=(2,5)，则向量a和向量b的点积为______。

四、简答题

1.简述一元二次方程ax^2+bx+c=0的解法，并说明何时方程有两个实根、一个实根和没有实根。

2.解释函数y=log_a(x)的单调性，并说明为什么当a>1时函数是增函数，而当0<a<1时函数是减函数。

3.描述如何通过图形方法判断一个二次函数y=ax^2+bx+c的图像与x轴的交点个数。

4.说明在解决实际问题中，如何使用指数函数和指数方程来描述和解决增长、衰减或复利问题。

5.分析为什么在解析几何中，斜率是描述直线倾斜程度的一个有效量，并举例说明如何通过斜率和两个点的坐标来确定一条直线的方程。

五、计算题

1.计算下列函数在x=3时的导数：f(x)=x^3-6x^2+9x-1。

2.解下列一元二次方程：2x^2-5x-3=0。

3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=50，a1=2，求公差d。

4.在直角坐标系中，给定两点A(-2,3)和B(4,1)，求经过这两点的直线方程。

5.已知向量a=(2,-3)和向量b=(4,5)，求向量a和向量b的叉积。

六、案例分析题

1.案例分析：某城市交通管理部门为了缓解交通拥堵问题，决定对部分路段实施单双号限行措施。假设限行措施实施后，该路段的车辆流量减少了50%，而该路段的平均车速提高了20%。请根据以下信息，计算限行措施实施前后该路段的平均行驶时间变化情况。

已知信息：

-限行措施实施前，该路段的平均车速为30公里/小时。

-限行措施实施前，该路段的车辆流量为每小时200辆。

-限行措施实施后，该路段的平均车速为36公里/小时。

要求：

-计算限行措施实施前后该路段的平均行驶时间。

-分析限行措施对减少交通拥堵和提高车辆通行效率的影响。

2.案例分析：某企业生产一种产品，其生产成本包括固定成本和变动成本。已知固定成本为每月5000元，变动成本为每单位产品100元。该企业的销售价格为每单位产品150元。

已知信息：

-企业每月生产该产品的数量为1000单位。

-企业希望通过定价策略提高利润。

要求：

-计算在当前定价策略下，企业的每月利润。

-假设企业希望通过提高销售价格来增加利润，但要求利润至少增加10%，请计算新的销售价格应该设定为多少，并说明理由。

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一批产品，已知该批产品的总成本为20000元，其中固定成本为5000元，每件产品的变动成本为10元。如果该工厂生产了1000件产品，请问每件产品的售价应为多少，才能保证工厂不亏本？

2.应用题：在直角坐标系中，有一个三角形ABC，其中A(0,0)，B(4,0)，C(0,3)。请计算三角形ABC的面积，并求出BC边的中点D的坐标。

3.应用题：某校计划组织一次远足活动，预计参加活动的学生人数为50人。学校提供了两种方案：方案一，每人收取报名费30元，另外每人提供午餐，午餐费用为10元；方案二，每人收取报名费20元，但午餐需要学生自备。请问学校应该选择哪个方案才能使总收入最高？请计算两种方案下的总收入。

4.应用题：某公司进行市场调研，收集到以下数据：在过去的12个月中，每月的销售额分别为：12000元、13000元、13500元、14000元、14500元、15000元、15500元、16000元、16500元、17000元、17500元、18000元。请计算这12个月的销售额的平均数、中位数和众数。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.B

2.D

3.D

4.D

5.A

6.A

7.A

8.B

9.A

10.D

二、判断题答案：

1.×

2.×

3.√

4.√

5.×

三、填空题答案：

1.向上，(-3,0)，(1,0)

2.(-3,2)

3.a1+(n-1)d

4.直角，45

5.-46

四、简答题答案：

1.一元二次方程的解法包括因式分解法、配方法、二次公式法等。当Δ>0时，方程有两个不同的实根；当Δ=0时，方程有一个实根；当Δ<0时，方程没有实根。

2.函数y=log_a(x)的单调性取决于底数a的值。当a>1时，函数是增函数；当0<a<1时，函数是减函数。

3.通过图形方法，可以通过观察二次函数y=ax^2+bx+c的图像与x轴的交点个数来判断解的个数。如果图像与x轴有两个交点，则方程有两个实根；如果图像与x轴相切，则方程有一个实根；如果图像在x轴上方或下方，则方程没有实根。

4.指数函数和指数方程可以描述和解决增长、衰减或复利问题。例如，指数增长函数可以描述人口增长或银行利息增长，而指数衰减函数可以描述放射性物质衰变或物品的磨损。

5.斜率是描述直线倾斜程度的一个有效量，因为它表示了直线上的两点在水平方向和垂直方向上的变化比例。通过斜率和两个点的坐标，可以使用点斜式或两点式来确定一条直线的方程。

五、计算题答案：

1.f'(x)=3x^2-12x+9

2.x=3或x=-1/2

3.d=4

4.y=-3/4x+3，D点坐标为(2,1)

5.6

六、案例分析题答案：

1.限行措施实施前的平均行驶时间=车辆流量/平均车速=200/30=6.67小时；限行措施实施后的平均行驶时间=车辆流量/平均车速=100/36=2.78小时。限行措施使得平均行驶时间减少了6.67-2.78=3.89小时。限行措施减少了交通拥堵，提高了车辆通行效率。

2.三角形ABC的面积=1/2*底*高=1/2*4*3=6平方单位，D点坐标为(2,1.5)。

3.方案一总收入=50*(30+10)=2000元；方案二总收入=50*(20)=1000元。学校应选择方案一，因为其总收入更高。

4.平均数=(12000+13000+...+18000)/12=16500元；中位数=15000元；众数=15000元。

知识点总结：

本试卷涵盖了高中数学的主要知识点，包括函数与导数、一元二次方程、数列、平面几何、解析几何、指数函数与指数方程、概率与统计等。各题型所考察的知识点详解如下：

一、选择题：考察学生对基础知识的掌握程度，包括函数、方程、数列、几何等概念的理解。

二、判断题