2024年中考物理解题方法复习讲义-巧用数学运算解决物理难题

巧用数学运算解决物理难题

解题方法

1.方法介绍

(1)比例法：它是在题设描述的物理现象由初始状态变到终极状态的过程中，存在一个或几个“恒量”，利用“恒

量”作桥梁，确定未知量和已知量之间的比例关系，进而求解物理问题的方法。

运用比例法解题时，要先依据物理定律、公式或某些相等量(或成比例量)，利用比例法建立未知量和已知量

的关系，然后利用比例性质求解。利用比例法解题可以避免反复套用公式而带来的计算上的麻烦，省去很多中间

环节，对物理量的单位也不要求全部统一，只要相比的同类物理量的单位相同就可以了。

运用比例法的一般步骤：

①了解题意，选择相应的物理公式；

②依据题目描述的物理现象找出保持不变的或者相等的物理量；

③以“不变(或相等)的量”为纽带，将公式联立成比例式。

⑵代数法：它是对于一些综合性很强的问题，采用其他方法均不能将已知条件和所求量建立起直接或间接联

系，这时可设所求的物理量为已知量，依据物理公式或关系式，用这个已知量和已知条件建立起一个或数个数学

关系式，用数学工具求解的方法。

常用到的数学工具有一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、一元二次三项式配方求极值、不等式

等。

⑶几何法：它是利用数学几何知识来巧妙解决物理中较为复杂的问题的方法。例如，在光学中经常会用到三

角形相似的原理，平行线的各个角度的关系等。用几何法时一般都是先根据题意画出符合要求的图形，然后利用

几何知识研究图形中的点、角、线、面的关系，然后对应物理知识进行解题。

2.实例分析

⑴立方体甲和乙的边长之比是2:3,将它们分别放置在水平桌面上时，它们对桌面的压强均为p。将甲如图

3-1所示放置在乙上面，乙对桌面的压强为p'。则p'：p等于()。_

甲

A.9:13B.13:9r-1-----L-i

C.9:4D.13:4乙

分析j

图3-1

甲、乙为立方体，单独平放在水平桌面上时，对桌面的压强可用推导公式p=T得出，由题干的边长之比求

C甲+C乙

S甲h甲/2\24G甲P6甲4G乙。用+G,0，s乙G甲+G乙13

出甲、乙的面积之比，即/=/=(1)=：所以「=k=3，P=7，P=--------,t—=----------=---------=—

乙乙乙P乙乙乙s3P包C乙9°

S乙

答案

B

(2)两灯Li、L2分别标有“3V0.9W”和“？V0.2W”字样,其中G的额定电压已经看不清，将两灯并联在IV的电

源下，发现Lz比较亮一些；将两灯串联在电源电压为3V的电路中，发现L2恰好正常发光，则此时J消耗的实

际电功率为W。

分析

根据“3V0.9W”的字样可知,J的电阻％=10优两灯并联时心较亮，由公式P=9可知L的电阻R2小于L

K2

R

i的电阻Ri,即R2<RI,当两灯串联在3V的电源上时,因为1G正常发光，由公式P=WK可知（就正1-2=

\1UJ2+/\2Z

0.2W,解得R2=50或者R2=200（舍去），此时通过电路的电流/=三=壬=0,24。所以此时Lx消耗的电功率P1

忘

2

=IR1=0.4忆

发U室木

0.4

（3）如图3-2所示，100米宽的河对岸边有一棵大树EF,现有刻度尺（足够长）一把，试问不用渡过河到对岸，

能否测出大树的高度?如何测量？

分析

如图3-3所示，河面MN相当于平面镜，画出EF在水中的成像.再连接AE',加一条辅助线FC,可以很

明显地看出△FCE'-^ABCA相似，则根据平面镜成像特点及数学中相似三角形的知识可以得出萼=霁,只要用刻

FCBC

度尺测出人高AB、河面到河岸高度CN和人到河岸距离BC,再代入河宽FC=100米，则可求出.E，F,最后测出

水面距岸边高度MF,MF=CN,即可求出大树高EF=E'F-2MF=空.FC-2CN0

BC

答案

可以测量。画出EF在水中的成像E'F',再连接AE'.C为河岸的边沿,加一条辅助线FC,如图3-3所示,。为2

与水面的交点，M、N为水面在左右两边的端点。用刻度尺测量出人高AB、河面到河岸高度CN以及人到河岸

距离BC,利用三角形相似原理,△尸”与A8C4相似，可以得出器=券，则大树高EF=E'F-2MF=*FC

图3-3

典例精讲

Q例题1_______________________________________

甲、乙两人多次进行百米赛跑，但每次甲都比乙提前10m到达终点，若两人的速度不变，现让甲从起跑线后

退10m,乙仍在原起点开始赛跑，贝!I（）,

A.甲、乙同时到达终点B.甲先到达终点

C.乙先到达终点D.无法判断谁先到达

思路提小

甲、乙两人两次赛跑都是保持各自的速度不变，所以可以利用速度不变这一条件列出方程，然后求解方程即

可。

。例题2_______________________________________

配制盐水,要求盐水的密度为p=1.2X103kg/m\现在已配制成体积V=（Mdn?的盐水，称得其质量为m

=0.52kg,问这样的盐水是否符合要求?如不符合要求，应如何配制？

思路提不

本题是一个混和密度的问题，所以可以利用总质量除以总体积进而求解平均密度。

。例题3

某物体在空气中用弹簧秤称得其重力为5.4N,将该物体浸没在水中称，重力为3.4N,若将它浸没在另一种未

知液体中，弹簧秤读数为3.8N,求这种液体密度。

思路提ZF

按照一般解题思路，应该根据物体在水中的浮力计算出该物体的体积，再利用阿基米德原理计算出液体的密

度，这种解法比较麻烦，因为物体在两种液体中都是浸没，因此乙相等，根据阿基米德原理，采用比例法就简单

多了。

C例题4_______________________________________

把标有“220V25W”和“220V60W”的灯Lx、L2串联接在220V的电源上,则小与L2的功率之比为（）。

A.12:5B.5：12C.l:lD.2:5

思路提小

因为两灯的电阻保持不变，所以可以先求出电阻比，然后利用串联电路电功率之比等于电阻比的关系求解。

6列题5_______________________________________

在如图3-4所示的电路中，电源电压U=6V,定值电阻，R1=102滑动变阻器最大阻值为20。。求在滑片移

动过程中，滑动变阻器功率的最大值Pmax是多少?

思路提ZF

本题可以利用数学的配方法求解最值问题。（课堂上老师一般会直接告诉当滑动变阻器的阻值等于定值电阻

时，滑动变阻器的功率最大。）

©例题6_______________________________________

在如图3-5所示的电路中，试分析：当滑片P位于何位置时电流表的读数最小。

思路提ZF

本题的关键是分析滑动变阻器的阻值变化，根据并联电路的总电阻公式表示出总电阻，然后对总电阻表达式

进行分析，求解电流表读数的最小值。

。例题7_______________________________________

用一直径为20cm的凸透镜正对着太阳光，在凸透镜的另一侧15cm处，有一垂直透镜主光轴的光屏，光屏上

显现出一个直径是10cm的光斑，则凸透镜的焦距可能是多少？

思路提ZF

本题需要根据不同情况分别画出光路图，然后利用三角形相似的知识列出比例方程，然后求解。

针对训练

1.一旗杆在阳光的照射下，影长为5.6m,旗杆高为7m,同时某人直立时影长为1.4m,则此人高为（）。

A.1.7mB.1.75mC.1.80mD.1.85m

2.阿基米德采用排水法解决了王冠掺假问题，现有一个用金和银做成的王冠，用排水法测量出具体积为56.

9c一,若与王冠质量相同的纯金块和纯银块的体积分别为52.5^3和96.5cm则王冠中银的质量和金的质量之比为

（）。（（P全=19.3g/cm3,p和=10.5g/cm3

A.l：8B.l：9C.l：10D.l：11

3.（多选）甲、乙两个实心物块，它们的质量相同，其密度分别是0.8X题//和

块均用弹簧拉住，使它们静止在水中，如图3-6所示，此时（）。

A.甲、乙物块所受浮力之比为1:2

B.甲、乙物块所受浮力之比为2：1

C.甲、乙物块所受弹簧拉力之比为2:3

D.甲、乙物块所受弹簧拉力之比为1：6

4.如图3-7所示，电源电压不变，定值电阻R的阻值为18Q有四只白炽灯泡J,L2xL3,L4,它们的规

格分别为“3V2W”、“6V2W”、“12V2W"、“24V2W”。当把它们分别接在电路中的M、N两端时，实际功率最大

的是（）.

A.L]B.L/2IL

C.L3D.L4

图3-7

5.如图3-8所示电路，把一根粗细均匀的电阻丝弯成圆环，A、B、C、D是将圆四等分的点，电流表的一端固

定在A点，当开关闭合后，滑片P由B点经过C点滑到D点的过程中，电流表的示数将（

A.由小变大B.由大变小

C.先变大后变小D.先变小后变大

图3-8

6.阻值为12Q的电阻L与电阻R2并联在电路中，R2消耗的功率为12W.干路电流为2A,则R2的阻值为—

_Q,电源电压为V.

7.在图3-9(a)所示的电路中，电源电压保持不变。将滑动变阻器R的滑片P由a端移到b端，电压表V-V

2的示数与电流表A示数的变化关系图线如图3-9(b)所示。根据图线可以知道，滑动变阻器R的最大阻值为一

Q,定值电阻的阻值为Qo

3-9

8.小李想测量食用油的密度p油，他手边的测量工具只有刻度尺。小李利用身边的器材设计出一个实验方案。

找来一根均匀轻质直硬棒，用细线系在0点吊起，硬棒在水平位置平衡，将一密度未知的金属块B挂在硬棒左端

C处，另外找一个重物A挂在硬棒右端，调节重物A的位置，使硬棒在水平位置平衡，此时重物挂在硬棒上的位

置为D,如图3-10所示。下面是小李测出p油的部分实验步骤，请你按照小李的实验思路，将实验步骤补充完

整。

(1)用刻度尺测出OD的长度Lo;

(2)将适量水倒入烧杯(水的密度p水为已知),金属块B没入水中且不碰烧杯，把重物A从D处移动到E处时

(E点未标出),硬棒再次在水平位置平衡^_____________，将金属块B取出；

(3)将适量油倒入另一烧杯，金属块B没入油中且不碰烧杯，将重物A从E处移动到F处时，硬棒再次在水平

位置平衡将金属块B取出，用抹布擦干：“y

(4)利用上述测量出的物理量和题中的已知量计算p沸的表达式为o'[O

CD

图3-10

9.如图3-11所示，电工要从房A点接导线到河岸。点安装一盏路灯后再到房B点，路灯0点选在岸上何处用

导线最短?

10.如图3-12所示，某人站在距公路。点40m的A处，发现公路上有一汽车从B处以v0=10m/s的速度沿公

路匀速行驶，已知AB相距100m,此人最少要以多大的速度沿什么方向奔跑才能与汽车相遇。

11.有两个实心圆柱体A和B叠放在一起,并完全接触，放在水平地面上，如图3-13所示，已知A、B两圆柱

体的高分别为8cm、10cm,A与B的底面积之比为1：4,A对B的压强是2000Pa,B的密度是3X9的/向求圆

柱体A的密度及B对地面的压强。（g取10N/kg）

图3-13

12.某工地在冬季水利建设中设计了一个提起重物的机械，其中的一部分结构如图3-14所示。OA是一个均

匀钢管，每米长所受重力为30N,O是转动轴，重物的质量m为150kg,挂在B处,（OB=1科拉力F作用在A点，

竖直向上。为维持平衡，钢管OA为多长时所用的拉力最小？这个最小拉力是多少？（g取10N/kg）

图3-14

例题1

【答案】B

【解析】设甲、乙两人的速度分别为vi,V2,根据题意有等=等，即£=?

1/-£1/21/2>

110m

再设甲跑完110m所用的时间为tl,乙跑完100m所用的时间为tz,则有也需=饕，由此解得?=黑<1,

V2-----1UC11UU

「2

所以^1V，2。

例题2

【答案】现在盐水的密度为P1=2=n黑学3=13X1。3即/爪3,可见盐水不符合要求，太浓了，需要加

VU.4X_LUnr

m+mm+pvK

水，设所加水的体积为V水，根据题意得P=记#=。

底水

化简可得pV+pV^=m+P次%解得Y水=0.2dm\

例题3

【答案】由于物体是浸没在液体中，所以?住》=G-F水=5.4N-3.4N=2N,

底可

33

而百=三=±故?放=0.SX10kg/moFmif=G-F.x=5.4N-3.8N=1.6N,

放,艰「浓

例题4

【答案】A

【解析】因两灯的额定电压相等，由R=上/P可得两灯电阻与其额定功率成反比；当两灯串联时，因为两灯

电流相等，由P=FR可得它们此时的功率与其电阻成正比，因此两灯串联的功率与它们的额定功率成反比,即为6

0:25,也就是12：5O

例题5

2

【答案】将变阻器功率表达式配方：P2=IR=可见(备丫R2=*窜口=两需一，只有当Ri=Rz

R2

时,P2有最大值，所以%ax=$==口9/。

例题6

【答案】滑动变阻器Rp被截成两部分后并联接入电路，再和Ri串联，设Rp的最大阻值为R,被截的两部

分电阻分别为Rn和(R-Rn),这两部分并联后的总电阻为R5=高+/=恚*+—

夕卜R外Ra"RaRa(R-Ra)Ra(R-Ra)

_Rgr-p1p-a)_-膨+-%_一(RLI)FR2

一Ra(R-Ra)'尸"以外_R_R_R'

当Ra=》R时,即滑片P位于R的中间位置时R并最大=此时R总最大，电路中的电流最小。

例题7

【答案】焦距可能为30cm,也可能为10cm。

【解析】⑴当太阳光未过焦点时会聚成光斑，如图7所示,.AB=20cm,CD=10cm,OE=15cm,OF=fo因为△AF

BsMFD,所以冷条即黑=售嬴解得.f=3。皿

°D>f

B

图7

⑵当太阳光过焦点后会聚成光斑，如图8所示，AB=20cm,CD=10cm,OE=15cm,OF=fo因为△AFB-ADF

C,所以普=笫即鬻=六万解得f=10cmo

A

B

图8

针对训练

1.【答案】B

【解析】在相同情况下，物体的高度和物体影子长度的比值是相同的。所以旗杆高度和旗杆影子长度的比值

等于人的高度和人影长度的比值。设人高度为H，则7m56m=H:1.4m,解得H=1.75m。

2.【答案】B

【解析】与王冠质量相同的纯金块的体积V=52.5cm3,所以王冠的质量m=p金V=19.3g/cm3x52.5cm3=1013.

25g。

设王冠中含金和银的体积为V金、V银，则王冠的质量为P*%+AA匕n=1。13.25g,

即19.35/cm3x1/+10.5g/cm3xV=1013.25g…….circle1,王冠的体积为了企+%=56.9cm，……②，

全和

由①②两式可得6=9.65cn?,则m..=101.325go

黄金的质量爪4=小一小工=1013.25g-101.325^=911.925g。

全和

所以王冠中银的质量和金的质量之比m银:m金=101.325g:911.925g=l:9o故选B。

3.【答案】AD

【解析】(D首先根据质量相同，密度不同，求出体积之比为1：2,然后根据阿基米德原理求浮力之比为1:

2。

(2)甲、乙两物体都在水中静止，处于平衡状态，所以合力为零，对甲物体受力分析可得

G甲+F甲=F甲锥产以F甲=F甲-G甲=p严甲—p炉甲=短衣—P)9丫甲

同理：F乙浮二F乙浮一G乙二p翅乙-p和乙=9水e匹所N卷上三;4

4.【答案】B

2

【解析】本题考查“功率的最值问题二要使MN两端的功率P=IRMN=(三一y•RMN=-~达到最

\R+RUN/(R-RMN)I4.

RMN

大，必须使RMN=R=182合乎这一条件的电阻只有灯L2的电阻/?2=誓=等=182

而灯Li、L3、L4的电阻分别为Ri=4.5。,R3=72Q,R4=288。,,均偏离这一值较多。

5.【答案】D

【解析】圆环被截成两段后并联接入电路，当等分的截成两段并联时，总电阻最大，电流最小，所以滑片P

在C点时，电流最小，则从B点经过C点倒达D点的过程中，电流先变小后变大。

6.【答案】12;12

【解析】设电源电压为U,由并联电路中干路电流等于各支路电流之和列等式言+答=24求出U后即可

求出R2的阻值。

7.【答案】9;2

【解析】由欧姆定律定律可判断出正比例函数图像、一次函数图像分别对应Ri、滑动变