2024年中考数学一轮复习提高讲义：有理数的运算

有理数的运算

知识梳理

1.有理数的四则运算

进行有理数的运算的时候，主要有如下步骤：①观察；②定号；③求值.

(1)力口法

定号求值

同号:取与加数相同的符号绝对值相加

加法

异号:取绝对值较大数的符号较大的绝对值减去较小的绝对值

⑵减法

全部转化为加法运算.减去一个数等于加上这个数的相反数.

⑶乘法

定号求值

同号:取正

乘法绝对值相乘

异号:取负

倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数.

(4)除法

部分转化为乘法运算.除以一个数等于乘以这个数的倒数.

部分简单可以直接进行除法运算，具体如下：

定号求值

同号:取正

除法绝对值相除

异号:取负

2.有理数的运算律

(1)加法交换律：(a+b=6+a

(2)加法结合律:((a+b)+c=a+(b+c)

(3)乘法交换律:ab=ba

(4)乘法结合律:((ab)c=a(bc)

(5)乘法分配律:a(b+c)=ab+ac

3.有理数的乘方运算

负数的奇次幕为负，偶次幕为正；正数的任何次幕都为正；注意负数及分数的幕所添加的括号.

4.有理数的混合运算

注意运算顺序：

⑴先算平方，再算乘除，最后算加减；

(2)同一级运算，从左到右运算；

(3)如果有括号，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行.

5.常用方法与技巧

⑴凑整法；

⑵公式法；

⑶换元法；

(4)裂项法；

(5)改变运算顺序.

典型例题

例1

211212

29—1—15—F3—2—14—F0.25

534335

分析在计算有理数的加减法时，先观察有没有相加后为。的数，若有，先将它们结合起来相加，然后可以把

相同分母的数结合相加；若是带分数，可以将整数部分和分数部分分别相加；若既有分数又有小数，通常先把小

数化为分数再计算.

解

原式=(—W+3|—2目+(29|-14|)+(—15[+£)

=0+(29-14-15)+-^)+(-[+

1

=0+-+0

_1

-5

例2

计算：—2.5+0.75x(-：)x(-+(-1-4)x(一§x|

分析在进行有理数的乘除运算时，要注意确定结果的符号：奇数个负数相乘，其结果为负，偶数个负数相

乘，其结果为正.

解

2

原式=_鸿乂X-

Z43

'5417532、

-X-X-X-X-X-X-

、2354753,

1

3

例3

1111

有+而+公+…+1998X2000

分析利用贵=去11人高一嬴)，一般地，当n>n1时，急=

1998X2000

解

+-+1

11+--

2V21999

5993001

7996000,

例4

阅读下列式子的计算过程：

3——2?+-(-3+0.75)X5

解：

原式=3?-22+日一3+引义5…步骤①

3L44J

=31+4+2x5........步骤②

=3|+|.......步骤③

=3—

15

回答下列问题：

(1)步骤①错在—；

⑵步骤①到步骤②错在一；

(3)步骤②到步骤③错在—；

(4)此题的正确结果是.

分析根据去括号法则、有理数的乘方法则和有理数的运算顺序进行解题.

解⑴去括号错误；

⑵乘方计算错误；

⑶运算顺序错误；

(4)—4|,

例5

小王上周五在股市以收盘价(收市时的价格)每股25元买进某公司股票1000股,在接下来的一周交易日内，小

王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况如下表(单位：元)：

星期——四五

每股涨跌/元+2-0.5+1.5-1.8+0.8

根据上表回答问题：

⑴星期二收盘时，该股票每股多少元？

(2)本周内该股票收盘时的最高价和最低价分别是多少？

(3)已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费.若小王在本周五以收盘价将全部股票卖

出，他的收益情况如何？

分析(1)由题意可知：星期一比上周的星期五涨了2元，星期二比星期一跌了0.5元，则星期二收盘价表示为

25+2-0.5,然后计算；

(2)星期一的股价为25+2=27;星期二为27-0.5=26.5;星期三为26.5+1.5=28:星期四为28-1.8=26.2;星期五为26.2+

0.8=27;则星期三的收盘价为最高价，星期四的收盘价为最低价；

⑶计算上周五以25元买进时的价钱，再计算本周五卖出时的价钱，用卖出时的价钱一买进时的价钱即为小王

的收益.

解⑴星期二收盘价为25+2-0.5=26.5(元/股).

(2)收盘最高价为25+2-0.5+1.5=28(元/股),收盘最低价为25+2-0.5+1.5-1.8=262(元/股).

(3)小王的收益为:27x1OOO(l-5%o)-25x1000(1+5%o)=27000-135-25000-125=1740(元).

所以小王的本次收益为1740元.

双基训练

1.负实数a的倒数是().

11

A.-aB.-C,--D.a

2.下列说法错误的是().

A.互为相反数之和等于0B.互为倒数之积等于1

C.倒数等于本身的数有0,±1D.相反数是它本身的数只有0

3.下列结果运算为负值的是().

C.0x(-2)-J

4.式子Q-^+|)X4X25=(|-^+|)X1OO=50-30+4(中用的运算律是().

A.乘法交换律及乘法结合律B.乘法交换律及分配律

C.加法结合律及分配律D.乘法结合律及分配律

5.下列说法正确的是().

⑴一个数与它的倒数之积是1；

⑵一个数与它的相反数之商是-1；

(3)两个数的商为-1,这两个数互为相反数；

(4)两个数的积为1,这两个数互为倒数.

A.⑴⑵(3)(4)B.⑴⑵⑶

COX3X4)D.⑵⑶⑷

6.下列各组数中，数值相等的是().

A.-+8I与-(-8)B.+(+5)与+(-5)

C.-42与(-4)2D.-23与(-2)3

7.国家统计局新闻发言人盛来运于2010年7月15日在国新办的新闻发布会上宣布，据初步测算，上半年国内

生产总值是172840亿元，比上年同期增长了3.7个百分点.数据172840亿元用科学计数法表示为一亿元.

8如图3-1所示，请按图中的程序运算：当输入的数据为4时，则输出的数据是.

输入

9.如图3-2所示，是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个根据此规律可得：

(1)这样的一个细胞经过第四个30分钟后可分裂成一个细胞；

(2)这样的一个细胞经过3小时后可分裂成一个细胞；

(3)这样的一个细胞经过n(n为正整数)小时后可分裂成一个细胞.

10.观察下列各式：31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729…你能从中发现底数为3的幕的个位

数有什么规律吗?根据你发现的规律回答：32。8的个位数字是—.

11.有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1~13之间的自然数，将这四个数(每个数用且

只用一次)进行加减乘除四则运算，使其结果等于24,例如1,2,3,4,可作如下运算：((1+2+3)X4=24..

(注意上述运算与4x(2+3+1)应视作相同方法的运算)现有四个有理数3,4,-6,10,请运用上述规则写出三

种不同方法的运算式，使其结果等于24,运算式如下:(1)______;(2)_______;(3)_____.

另有四个数3,-5,7,-13,,可通过运算式⑷使其结果等于24.

12.计算：

⑴17：-6.25+叼―0.75

⑵针十日一㈠尸―一

F)

⑶G-那-gx(-60)

-ix(

⑸(吟-W+(V)+(-A

(6)-4---xf-1-)—0.75

13把几个数用大括号围起来中间用逗号断开，如:{1,2,3},{2,7,8,19},我们称之为集合，其中的数称其为集合的元

素.如果一个集合满足：当实数a是集合的元素时，实数8—a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集

合.

⑴请你判断集合{1,2},{1,4,7}是不是好的集合；

(2)请你写出满足条件的两个好的集合的例子.

14.结合具体的数，通过特例进行归纳后判断下列说法是否正确.(每题要求举2个例子).

⑴若a是小于1的正数，则a大于它的平方；

(2)若a是小于-1的负数，则a大于它的倒数.

15.数轴上到原点的距离小于3的整数的个数为x,不大于3的正整数的个数为y,绝对值等于3的整数的个数

为z,求x+y+z的值.

16.一名足球守门员练习折返跑,从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的折返跑记录如下：+5,3+

10,-8,-6,+12,-10(单位:米).

⑴守门员最后是否回到了球门线的位置？

(2)在练习过程中，守门员离开球门线最远距离是多少米？

(3)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？

17.某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆.由于各种原因，实际上每天的生产量与计

划量相比略有出入.其中某周的生产情况见表3-1(增产为正，减产为负):

表3-1

星期——四五7\日

增减+5-2-4+13-10+16-9

(1)根据表中记录可知，前三天共生产了一辆自行车；

(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产了一辆自行车；

(3)该厂实行计件工资制，每生产一辆得60元，超额完成则每辆奖15元，少生产一辆则扣15元，那么该厂工

人这一周的工资总额是多少？

18.下面是在博物馆里的一段对话.

管理员：先生，这个化石有800002年了.

参观者：你怎么知道得这么精确？

管理员：两年前有个考古学家参观过这里，他说此化石有80万年了，现在两年过去了，所以是800002年.

管理员的推断对吗?请你说说理由.

19.阅读下列材料,解答问题.

饮水问题是关系到学生身心健康的重要生活环节，东城中学共有教学班24个，平均每班有学生50人，经估

算，学生一年在校时间约为240天（除去各种节假日），春、夏、秋、冬季各60天.原来，学生饮水一般都是购纯净

水（其他碳酸饮料或果汁价格更高），纯净水零售价为L5元/瓶，每个学生春、秋、冬季平均每天买1瓶纯净水，夏

季平均每天要买2瓶纯净水，学校为了减轻学生消费负担，要求每个班自行购买1台冷热饮水机，经调查，购买

一台功率为500W的冷热饮水机约为150元，纯净水每桶6元，每班春、秋两季，平均每1.5天购买4桶，夏季平

均每天购买5桶，冬季平均每天购买1桶，饮水机每天开10小时，当地民用电价为0.50元/度.

问题：

（1）在未购买饮水机之前，全年平均每个学生要花费一元钱来购买纯净水饮用；

（2）请计算：在购买饮水机解决学生饮水问题后，每班全年共要花费多少元？

⑶这项便利学生的措施实施后，东城中学一年要为全体学生共节约多少元？

20.阅读下列材料：

为了求1+2+22+23+…+22。11的值，可令

S=1+2+22+23+…+22。11..........①，

贝!12s=2+22+23+…+22。12............②,

式②-①得2S-S=22012-1,即S=22012-1,

所以1+2+22+23+…+22°11=22012,1

仿照以上推理，请计算：1+4+42+43+…+4201】

能力提升

21.如图3-3所示，是利用短除法求出8,12,18这三个数的最大公因子的过程利用短除法，还可求出这三个

数的最小公倍数为（）,2[8-2-18-9-

A.12B.72

C.216D.432图3-3

22.已知a,b都是非零数，则回+丹+怨的值为（）.

abab

A.-1或3B.1C.-1D.±l或±3

23.如果|a+b|=|a|+|b|,那么（）.

A.a,b同号B.a,b为一切有理数

C.a,b异号D.a,b同号或a,b中至少有一^个为0

24,图形■/A'c\应£\表示运算a-b+c,图形表示运算x+n-y-m,则=_（直接写出答案）.

25.开学初，小明到某商场购物，发现商场正在进行购物返券活动，活动规则如下：购物每满100元，返购物

券50元，此购物券在本商场通用，且用购物券购买商品不再返券.小明购买了单价分别为60元、80元和120元的

书包、T恤、运动鞋，在使用购物券参与购买的情况下，他的实际花费为一元.

26.计算:

⑴{W+1-9x(+；1)-0.8-5|

9.

(2)(—2>x5+(告xTH(Y)xf|+(T)2°°°

⑶(一£)+(X+1T

⑷1+(+全+3

27.今年长江某一周内的水位变化情况见表3-2,已知这一周前的上周末的水位已达到警戒水位33米(正号表示

水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降).

表3-2

星期——四五六

水位变化/米+0.2+0.8-0.4+0.2+0.3-0.2

(1)本周哪一天长江的水位最高?位于警戒水位之上还是之下？

⑵与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了还是下降了?并通过计算说明理由.

28.杭州市出租车收费标准如下：3千米以内(含3千米)收费10元，超过3千米的部分每千米收费2元.超过起

步里程10千米以上的部分加收50%,即每千米3元(不足1千米以1千米计算).

(1)小明有一次乘坐出租车行驶了4.1千米，他应付车费多少元？

(2)若小明乘坐出租车行驶14.9千米，问应付车费多少元？

(3)小明家距离学校13.1千米，小明身边带了31元钱，则小明从学校坐出租车到家的钱够吗?如果够，还剩多

少钱?如果不够，他至少要先走多少千米路?

29.某单位需以“挂号信”或“特快专递”方式向五所学校各寄一封信.这五封信的质量分别是72g,90g,215g,34

0g,400g根据这五所学校的地址及信件的质量范围，在邮局查得相关邮费标准见表3-3：

表3-3

业务种类计费单位资费标准/元挂号费/（元/封）特制信封/（元/个）

首重100g,每重20g0.8

挂号信30.5

续重101~2000g,每重100g2.00

特快专递首重1000g内5.0031.0

⑴质量为90g的信若以“挂号信”方式寄出，邮寄费为多少元?若以“特快专递”方式寄出呢?

⑵这五封信分别以怎样的方式寄出最合算?请说明理由.

（3）通过解答上述问题，你有何启示？

信函资费常识

•挂号信：

首重、续垂计费方法：

如：信的质盘为260g,则其中100g

为“首重”，每20g按0.8元计费（不足

20g按20g计费）;其余160g为“续重”.

每100g按2元计费.160g超过100g,但不足

200g.按200g计费.

邮寄费（每封）=首重资费+续重

资费+挂号费+特制信封费

•特快专递：

如：首垂不超过1000g,则

邮寄费（每封）=首重资费（5元）

+挂号费（3元）+特制信封费（1元）/

30.商场为了促销，推出两种促销方式：

方式①：所有商品打7.5折销售；

方式②：一次购物满200元送60元现金.

（1）杨老师要购买标价为628元和788元的商品各一件，现有四种购买方案：

方案一：628元和788元的商品均按促销方式①购买；

方案二：628元的商品按促销方式①购买，788元的商品按促销方式②购买；

方案三：628元的商品按促销方式②购买，788元的商品按促销方式①购买；

方案四：628元和788元的商品均按促销方式②购买.

你给杨老师提出的最合理购买方案是.

⑵通过计算表3-4中标价在600~800元之间商品的付款金额，你总结出商品的购买规律是.

表3-4

商品标价/元

628638648768778788

付款金额/元

方式①

方式②

拓展资源

31.计算:

(1)(-+i+-+—)(1+^+­•-+—)-(1+-+P+i+•­-+—')

'/12319997\21998/\219997\231998/

________24690________

I'123462-12345x12347

32.先阅读下列材料，然后解答问题：

从A,B,C三张卡片中选两张，有三种不同选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素组合，记

作废=詈=3.一般地，从m个元素中选取n个元素组合，记作：编=邛喑M翳・例如，从7个元素中选5

个元素，共有。=篝筹|=21种不同的选法•

问题：从某学习小组10人中选取3人参加活动，不同的选法共有一种.

33.问题你能比较:20022°03与20032。。2这两个数的大小吗？

为了解决这个问题，我们先把它抽象成这样的问题：写成它的一般形式，即比较胪+1和(n+1)”的大小(n是自然

数).然后，我们从分析n=l,n=2,n=3,…这些简单情形入手，从而发现规律，经过归纳，才想出结论.

(1)通过计算，比较下列各组中两个数的大小(在空格中填

①口_21;②23_32;③34_43;@4s_54;⑤56_6567_76.

(2)从第(1)题的结果经过归纳，可以猜想出M+i和(n+1)”的大小关系.

⑶根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：2OO22003>2OO32002.

34.已知:

2|x—3|3+F|20072007oos—21_|_】+

|x—11+(x2—2)+3(x4—4)H-----X—2007|+(x22008)QQ8=Q

'%1%2X2X3

—+_--的值.

%3%4X2007X2008

35.若a,b互为相反数,b,c互为倒数，并且m的立方等于它本身.

(1)试求空手+ac值；

m+2

(2)若a>l,且m<OfS=\2a-3b\-2\b-m\-\b+试求4(2a-S)+2(2a-S)-(2a-S)的值

⑶若m9，试讨论:x为有理数时,|x+mHx-m|是否存在最大值,若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

第三讲

1.B2.C3.D4.D5.C6.D7.1.7284X1058.2.5

9.(1)16;(2)64;(3)2270.1

11.(1)10-4-3x(-6)=24;

(2)4-10x(-6)^3=24;

(3)3x[10+4+(-6)]=24;

(4)[(-5)X(-13)+7]4-3=24.

12.⑴1吟⑵9；⑶-7;(4)一亮;⑸一⑹一

13.⑴集合｛1,2｝不是好的集合，因为8-1=7,而7不是集合｛1,2｝中的数；

｛L4,7｝是好的集合，因为8-1=7,7是集合｛1,4,7｝中的数,8-4=4,4是集合｛1,4,7｝中的数,8-7=1』是集合｛1,4,7｝中的

数.

(2)答案不唯一.集合｛4｝,｛3,4,5｝,｛2,6｝等都是好的集合.

14.(1)正确.假设a为0.5,则它的平方是0.25,0.5>0.25假设a为0.6,则它的平方是0.36,0.6>0.36.所以⑴是正确

的.

(2)错误.假设a是2则它的倒数为-。.5,-0.5>-2假设2是-10,则它的倒数为-0.1,-0.1>-10.所以出的是错误的.

15.因为到原点的距离小于3的整数为0,±1,±2,所以x=5,

因为不大于3的正整数为1,2,3,所以y=3,

因为绝对值等于3的整数为3,-3,所以z=2,

所以x+y+z=10.

16.(1)守门员最后回到了球门线的位置;⑵12米;⑶54米.

17.(1)599;(2)26;(3)84675元.

18.管理员的推断不对，两年前考古学家所说的80万年是近似数，因此不能直接加2.

19.(1)450;(2)4830元;(3)424080元.

20.设S=1+4+42+43++42011circZel„!Jll]4S=4+42+43+...+42°设②，②-①得,3s=42012-1,所以S=

42012_I

3,

21.B22.A23.D24.025.210或200

26.(1)-1;(2)-41.4;(3)-^g;(4).

27.⑴本周水位最高的为周五，周一:+0.2米周二:+0.2+0.8=+1米，

周三:+1-0.4=+0.6米，周四+0.6+0.2=+0.8米，周五:+0.8+0.3=1.1米,故本周五水位高于警戒水位1.1米；

(2)上升了.+0.2+0.8-0.4+0.2+0.3-0.2=0.9米，与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了0.9米.

28.(1)14元;⑵39元;⑶不够，至少要走1.1千米路.

29.(1)以“挂号信”方式寄出，邮寄费为7.5元；

以“特快专递”方式寄出，邮寄费为9元.

(2)因为这五封信的质量均小于1000克，

所以若以“特快专递”方式寄出,邮寄费为5+3+1=9元.

由(1)得知，质量为90克的信以“挂号信”方式寄出，费用为7.5元小于9元；

因为72克＜90克，所以质量为72克的信以挂号信”方式寄出小于9元；

若质量为215克的信以挂号信方式寄出，则邮寄费为5x0.8+2x2+3+0.5=11.5元＞9元.

因为400克＞340克＞215克，

所以质量为400克，340克的信以“挂号信”方式寄出，费用均超过9元.

因此，将这五封信的前两封以“挂号信”方式寄出，后三封以“特快专递”方式寄出最合算.

(3)略，言之有理即可.

30.(1)方案三；

(2)计算结果见答表3-1.购买规律：商品标价接近600元的按促销方式②购买,商品标价接近800元的按促销

方式①购买.或商品标价大于600元且小于720元按促销方式②购买，商品标价大于720元且小于800元按促