2024年中考数学一轮复习提高讲义：三角形综合

三角形综合

知识梳理

1.三角形

两边之差〈第三条边〈两边之和；三角形内角和等于180°.

2.全等三角形的判定

全等三角形的判定方法列表如表5-1所示.

表5-1

一般三角形直角三角形

边角边(SAS)、角边角(ASA)、角角边(AAS)、具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对

判定

边边边(SSS)应相等(HL)

对应边相等.对应角相等；

对应中线、对应高、对应角平分线相等；

对应周长、面积相等

3.等腰三角形的性质

(1)在同一个三角形中，等边对等角，等角对等边.

(2)等腰三角形三线合一.

4.等边三角形的性质

(1)每个角等于60°.

(2)三条边相等.

5.直角三角形的性质

⑴直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(斜中线定理)

(2)如果用字母a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么a?+/=,2.(勾股定理)

典型例题

例1

已知:a,b,c为AABC三边,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,试判断△ABC的形状.

分析由三角形三边的数量关系来判断三角形是不是直角三角形，或用来构造直角三角形，还可用来证明两直

线垂直，一般与勾股定理和代数式、方程相结合，综合运用.特别是由一个等式求三角形的三边长时，往往把等式

化为A2+B2+C2=0的形式，再由.4=0,B=0,C=0,求得三角形三边的长.

解因为a?+b?+/+50=6a+8b+10c,

月斤以ci2-6a+9+b?—86+16+c2-10c+25=0,

所以(a-3)2+(b-4)2+(c-5¥=0,

所以a-3=0,b-4=0,c-5=0,

所以a=3,b=4,c=5,所以a2+b2=c2,

所以△ABC为直角三角形.

例2

如图5-1所示,已知:AB=CD,AC=BD,试证明/A=ND分析若把/A、ZD放在△AOB与△COD中，不能直接证

明全等，若连接BC,这样已知的两边与公共边BC构成△ABC和4DCB根据条件两个三角形全等.

解连接BC

在4ABC与ADBC中ZK/A

因为AB=CD/

AC=BD[/

BC=BCBc

所以△ABCgADCB(SSS),所以/A=/D(全等三角形对应角相等).图5-1

例3k

如图5-2所示，在△ABE中,AB=AE,AD=AC,/BAD=/EAC,BC,DE交于点O.//\\

求证：/2\

(1)AABC^AAED;

(2)OB=OE.B

图5-2

分析在证明两条边相等时，除了“全等三角形对应边相等”这一方法，“在同一个三角形中，等角对等边”也是

常用的方法.

解(1)因为/BAD=/EAC

所以NBAC=/EAD

在小ABC和4AED中

-AB=AE

ABAC=LEAD

、AC=AD

所以△ABC丝△AED(SAS)

(2)由(1)知/ABC=NAED

因为AB=AE

所以/ABE=NAEB

所以/OBE=NOEB

所以OB=OE

例4

如图5-3所示,△ABC中,NBAC=9(T,AB=AC,BD是/ABC的平分线，BD的延长线垂直于过点C的直线于

E,直线CE交BA的延长线于F.求证:BD=2CE.

分析由已知条件，根据等腰三角形三线合一这一性质，CE：二FE,再证明△ABD之AACF,证得BD=CF,从而证

得

BD=2CE.F

解因为BE平分/FBC,BE_LCF,A

所以BF=BC,

所以CE=EF,

BC

图5-3

所以CF=2CE,

因为/.BAC=90。,且AB=AC,

所以."AC=乙BAC=90°,^ABC=乙4cB=45°,

所以NFBE=/CBE=22.5。，

所以ZF=乙ADB=67.5°,

在4ABD和4ACF中，

因为NF=/ADB

AFAC=ADAB=90°

AB=AC

所以△ABD之△ACF(AAS),

所以BD=CF,

所以BD=2CE.

双基训练

1.一个三角形的三条角平分线的交点在（）.

A.三角形内B.三角形外

C.三角形的某边上D.以上三种情形都有可能

2.若一个三角形的两边长是9和4,且周长是偶数，则第三边长是（）.

A.5B.7C.8D.13

3.如图5-4所示,△ABC中,AB=AC,点D在AC边上且BD=BC=AD,则NA的度数为（

A.30°B.36°

C.45°D.70°

4.下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（）.

A.线段B.角C.等腰三角形D.等边三角形

5.下列判断正确的是（）.

A.顶角相等的两个等腰三角形全等

B.腰相等的两个等腰三角形全等

C.有一边及一锐角相等的两个直角三角形全等

D.顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等

6.如图5-5所示，在△ABD中,ND=9（T,C为AD上一点厕x可能是（）.

A.10°B.20°C.30°D.40°

7.如图5-6所示,有两个长度相同的滑梯（即BC=EF）,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相

等，则/ABC+NDFE的度数为().

A.60°B.90°C.120°D不确定

图5-5图5-6

8.等腰三角形的两边长分别为2厘米和5厘米，则它的周长为一厘米.

9.已知,RtAABC中,CD是斜边AB上的高若/ACD=35。,那么NDBC=.

10.等腰三角形的腰长为2V3,,底角等于30°,那么底边长为—.

11.如图5-7所示，某地有两所大学M,N和两条交叉的公路AO,BO,现计划建一个体育馆，希望体育馆到

两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，则体育馆应建在何处？

12.如图5-8所示，等腰三角形ABC的顶角为1120。,腰长为10，则底边上的高AD=

13.如图5-9所示,△ABC中,NC=90°,AB的垂直平分线交AB于E,交AC于D,AD=8,/A=30。,求CD的长

14.如图5-10所示，已知DO_LAB,OA=OD,OB=OC,求乙OCE+NB的度数.

15.如图5-11所示,B,E,F,C四点在同一条直线上"AB=DC,BE=CF,ZB=NC.求证:OA=OD.

图5-11

16.如图5-12所示,AE,BC交于点M,点F在AM上,BE\\CF,BE=CF..求证:AM是△ABC的中线.

18.如图5-14所示，在△ABC中,AB=AC,Z.BAC=40°,,分别以AB,AC为边作两个等腰直角三角形ABD和

ACE，使/.BAD=/.CAE=90°.

(1)求/DBC的度数；

(2)求证:BD=CE.

图5-14

能力提升

19.如图5-15所示,D,E分别是△ABC的边BC,AC上的点，若乙B="，乙4DE=NAEDj^().

A.当/B为定值时,/CDE为定值B.当/a为定值时,NCDE为定值

C.当NB为定值时,NCDE为定值D.当/丫为定值时,/CDE为定值

图5-15图5-16

20.如图5-16所示，已知△ABD和小ACE都是等边三角形，那么△ADC=△4BE的依据是().

A.边边边B.边角边C角边角D角角边

21.如图5-17所示,四边形ABCD是正方形,△ADE旋转后能与△力BF重合，那么

△AEF是____二角形.

图5-17图5-18

22.如图5-18所示，一块等边三角形木板ABC的边长为1,现将木板沿水平线翻转(绕一个点旋转),那么点A

从开始到结束所走的路径长度为.

23.等腰三角形的两外角之比为5：2,则该等腰三角形的底角为一.

24.如图5-19所示,已知:在等边三角形ABC中.D,E分别在AB和AC上,且AD=CE,BE和CD相交于点P.

(1)证明△ACD^ACEB.

(2)求NBPC的度数.

图5-19

25.如图5-20所示,D是等边△ABC内一点,AD=BD"BP=ADBC,MBP=BA,求NP的度数.

图5-20

26.如图5-21所示，在△4BC中,CD14B,,垂足为点D,S(CD2=AD♦BD,求证：△ABC为直角三角形.

ADB

图5-21

27.如图5-22所示,D是等边△ABC的边AB上的一动点以CD为一边向上作等边△EDC,连接AE，找出图中

的一组全等三角形，并说明理由.

图5-22

拓展资源

28.如图5-23所示，点Ai是面积为3的等边△ABC的两条中线的交点，以BAX为一边，构造等边△B&Ci,称

为第一次构造；点A2是4BA】Ci的两条中线的交点，再以B&为一边，构造等边△BA2C2,称为第二次构

造；依此类推，当第n次构造出的等边4BA,C,的边BC,与等边.ACB4的边AB第一次在同一直线上时，构

造停止.则构造出的最后一个三角形的面积是.

29.如图5-24所示,一根长2a的木棍(AB),斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为P,若木棍A端

沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行.

⑴请判断木棍滑动的过程中，点P到点0的距离是否变化，并简述理由.

(2)在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△力。B的面积最大?简述理由，并求出面积的最大值.

30.如图5-25所示，在△ABC和^DCB中,AB=DC,AC=DB,AC与DB交于点M.

(1)求证:AABC=ADCB;

⑵过点C作过点B作BN〃AC,CN与BN交于点N,试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的

结论.

图5-25

31.如图5-26所示，4B=AC,4。1BC于点D,AD=AE,,AB平分NZME交DE于点F,请你写出图中三对全等

三角形，并选取其中一对加以证明.

32.已知:如图5-27所示,DC〃AB,且DC=AE,E为AB的中点.

(1)求证:△AED=AEBC.

(2)观察图形，在不添加辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出几个与的面积相等的三角形.(直接写

出结果，不要求证明)

A

图5-27

1.A2.B3.B4.D5.D6.B

7.B8.129.35°10.6

H.如答图5-1所示，作/AOB的平分线和线段MN的垂直平分线，交于点Q,体育馆应建在Q点处.

12.513.414.180°

15.因为AB=DC,BE=CF,/B=/C

所以△ABF^ADCE(SAS)

所以/AFB=ZDEC,AF=DE

所以OE=OF

所以OA=OD

16.因为BE/7CF

所以NE=NCFM,NEBM=NFCM

因为BE=CF

所以△BEM^ACFM

所以BM=CM

所以AM是4ABC的中线.

17.证明:⑴在丁ABF和ACDE中.图=馀

所以△ABF^ACDE(HL).

所以AF=CE.

(2)由(1)知/ACD=NCAB,

所以AB〃CD.

18.(1)因为△ABC中,AB=AC,NBAC=40。,所以NABC=NACB=70SBAD为等腰RtA，/BAD=90。,所以/A

BD=45。,所以/DBC=/ABD+/ABC=450+70°=115°

(2)在RtAABD和RtAACE中,AB=AD=AC=AE,又/BAD=/CAE=90。,所以RtAABD^RtAACE,

所以BD=CE

19.B20.B21.等腰直角22.y23.30°

24.(1)提示:因为△ABC为等边三角形，所以AB=BC=AC,ZA=ZABC=ZACB=60°(2)120°

25.ZP=30°

26.因为CDXAB,

所以AD2+DC2=AC2,DB2+DC2=BC2

所以.AC2+BC2=AD2+DB2+ZDC?,因为DC2=AD-DB,

所以AC2+BC2=AD2+DB2+2AD-DB=(AD+DB)2=AB2.

所以△ABC为直角三角形.

27.△BDC经△AEC.理由如下：

因为△ABC,AEDC均为等边三角形，

所以BC=AC,DC=EC,ZBCA=ZECD=60°.

从而/BCD=/ACE.

所以△BDC^AAEC(SAS)

28.-

27

29.(1)不变.理由：在直角三角形中，因为斜边AB的长不变，由性质有斜边中线OP长不变.

(2)当4AOB的斜边AB上的