2024年中考数学压轴题型几何综合六种模型

专题14几何综合六种模型

压轴题密押

通用的解题思路：

题型一：两垂一圆构造直角三角形模型

平面内有两点A,B,再找一点C,使得ABC为直角三角形

分类讨论：

若NA=90°,则点C在过点A且垂直于AB的直线上（除点A夕卜）;

若NB=90°,则点C在过点B且垂直于AB的直线上（除点B夕卜）；

若NC=90°,则点C在以AB为直径的圆上（除点A,B外）.

以上简称“两垂一圆”.

“两垂一圆”上的点能构成直角三角形，但要除去A,B两点.

题型二：两圆一中垂构造等腰三角形模型

if""/诃

分类讨论：

若AB=AC,则点C在以点A为圆心，线段AB的长为半径的圆上；

若BA=BC,则点C在以点B为圆心，线段AB的长为半径的圆上；

若CA=CB,则点C在线段AB的垂直平分线PQ上以上简称“两圆一中垂”

“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点A,B,还要除去因共线无法构成三角形的点MN

以及线段AB中点E（共除去5个点）需要注意细节

1

题型三：胡不归模型

【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为％,在直线MN上运动的速度为V2,且A、

B为定点，点C在直线/WN上，确定点C的位置使江+些的值最小.（注意与阿氏圆模型的区分）

匕匕

1）—+—=-fsC+-^^cl记k上,即求BC+kAC的最小值.

2）构造射线A。使得sinNCWN=k,—=k,CH=kAC,将问题转化为求BC+C”最小值.

4C

3）过B点作BH1AD交MN于点C,交/W于"点，止匕时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小.

【解题关键】在求形如"%+kPB"的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将"%+kPB"型问题转

化为"%+PC"型.（若k>l,则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。

题型四：阿氏圆模型

【模型解读】如图1所示，。。的半径为r,点A、B都在。。外，P为。。上一动点，已知r=k-OB,连

接图、PB,则当“PA+k-PB"的值最小时，P点的位置如何确定？

如图2,在线段0B上截取0C使OC=k-r,则可说明△BP。与/\PCO相似，即k-PB=PC。

故本题求“PA+kPB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，

其中与A与C为定点，P为动点，故当4P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示:

2

注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k-PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为

圆时，即通常我们所说的"阿氏圆”问题.

【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。

题型五：瓜豆原理模型（点在直线上）

【模型解读】

瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。

主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线一上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。

模型1、运动轨迹为直线

1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？

解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线.

理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中，因为4P=24Q,所以QN始

终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线.

2）如图，在△4PQ中AP=AQ,/PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？

解析：当AP与AQ夹角固定且ZIP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。

理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始

位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。

3

【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用"垂线段最短"求最值。

1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；

2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。

3）确定动点轨迹的方法（重点）

①当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线；

②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；

④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；

⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为

其他已知轨迹的线段求最值。

题型六：瓜豆原理模型（点在圆上）

【模型解读】

模型1、运动轨迹为圆弧

模型1-1.如图，P是圆。上一个动点，A为定点，连接AP,Q为AP中点.Q点轨迹是？

如图，连接40,取40中点M,任意时刻，均有△4WQs/V\0P,QM:P0=AQ:AP=l:2.

则动点2是以"为圆心，为半径的圆。

模型1-2.如图，△APQ是直角三角形，/%（2=90。且42=（4（2，当P在圆。运动时，Q点轨迹是？

如图，连结40,作4/WJ_A。，A0:AM=k:l；任意时刻均有△APOS/XAQM,且相似比为k。

则动点。是以M为圆心，为半径的圆。

模型1-3.定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）

如图，若P为动点，但AB=AC=AP,则B、C、P三点共圆，

4

则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。

模型1-4.定边对定角（或直角）模型

1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.

如图，若P为动点，AB为定值，/APB=90。，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。

2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧.

如图，若P为动点，AB为定值，NAPB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。

【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用："一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径

之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差"的性质求解。

压轴题预测

题型一：两垂一圆构造直角三角形模型

1.（2023•安溪县二模）如图，是半圆。的直径，BP1AB,与半圆。相切于点。，连接4D并延

长，交8P的延长线于点C.

（1）求证：PB=PC;

（2）若。。的半径为5,AD=8,求8尸的长.

【分析】（1）连接OD,OP,DB,根据相切等推出AOD尸三AO5P,PB=PD,进而证明尸8=PC,

5

(2)先证明zUgOsABC。，进而求出5c的长，根据第一问，求出8尸.

【解答】(1)证明：连接8,OP,DB,

尸。与半圆。相切于点。，

/.PDLOP,BPIAB

在RtAODP与RtAOBP中,

{OD=OB

\OP=OP'

RtAODP=RtAOBP(HL),

PB=PD,

/ADB=90°,

ZCDP=90°,

在RtACDB中，

BP=PD,

点尸为BC的中点，

PB=PC；

(2)BPLAB,

ZABD+ZCBD=90°,

Z.DAB+/ABD=90°,

/DAB=ZCBD

MBDSABCD,

AD_AB

访一旅’

BC=—,

2

BP=£=2

24

故BP的长为”.

4

6

【点评】本题考查圆相切，相似三角形的判定等知识，解题的关键是三角形相似推出线段成比例.

2.（2023•平房区二模）如图1,A48C内接于。。中，48为直径，点。在弧8c上，连接CD.

Cl）求证：NCAB+ND=9。°;

（2）如图2,连接0c交4D于点尸，/.DAB+2ACAD=90°,求证：AC=CD；

（3）在（2）的条件下，如图3,点E在线段C尸上，连接/£，BE交4D于点、H,若NEHA=2NEAH,AE=6,

OF=y/2,求线段的长.

【分析】（1）利直径所对的圆周角是直角求得N/CB==90。，再利用同弧所对的圆周角相等即可证明；

（2）根据圆周角定理及直角三角形的性质可证明NC4D=ND,进而得出/C=CD；

（3）连接DE,BD,证出NHED=/HDE,由圆周角定理得出N/O3=90。，设4HED=NHDE=/3,则

ADHB=2p,NDBE=90。-2/3,过点8作3G_L8E交ED的延长线于点G,求出AD=2收，过点8作

3Z_LDG于点上，证出sinZLBG=sinZLEB，得出生=些，则（2也了=x（6+2x）,解方程求出乙D=ZG=1,

BGEG

由勾股定理可得出答案.

【解答】（1）证明：・・・A45C内接于。。中，45为直径，

ZACB==90°,

.../CAB+/B=90°,

•・•AC=AC,

/B==/D,

:.NCAB+ND=90。.

(2)证明：vZDAB-^-2ZCAD=90°f

ZDAB=90°-2ZCAD,

在中，vZACB=90°,

...ZDAB=90°-ACAD-AB,

7

90°-2/CAD==90°-/CAD-/B,

/CAD=/B,

・.•NB=/D,

/CAD=ZD,

AC=CD.

(3)解：连接DE,BD,

C

■：oc垂直平分/o,

/.AE=DE=6，

NEDA=NEAH,

•・•ZEHA=2ZEAH,

ZEHA=2/EDA,

ZEHA=ZEDH+NHED,

ZHED=ZHDE,

♦.,AB为直径，

/.ZADB=90°,

设ZHED=/HDE=B,

:./DHB=2/3,ZDBE=90°-2/3,

过点5作交助的延长线于点G,

:.ZGDB=90°-a,ADBG=2/3,

/.AG=2/3,

BD=BG,

•/AF=DF,AO=BO,

BD=BG=2OF=2V2,

8

过点8作_LDG于点L，

DL=GL,

设DL=GL=x,

/LBG+/G=ZLEB+ZG=90°,

/.ZLBG=/LEB,

sinZLBG=sinZLEB,

.LGBG

'~BG~~EG"

(2向2=式6+2防，

解得西=-4(舍去)，x2=1,

:.LD=LG=\,

/.EL-7,LB=Vv,

BE=y/EI}+LB2=J72+(V7)2=2V14.

【点评】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的

定义，勾股定理，正确添加辅助线是解决该问题的关键.

3.（2022•蔡甸区校级模拟）如图，点E是正方形/BCD边8c上一点（点E不与3、C重合），连接DE交

对角线ZC于点尸，AADF的外接圆。交边于点G,连接G。、GE.

（1）求NEDG的度数；

RF5

（2）若---=—，求tanNDEG.

CE2

【分析】（1）由正方形的性质得出NA4c=45。，由圆周角定理可得出答案；

（2）延长BA至点P,使/尸=CE,连接。尸，证明NDCE=ADAP（SAS）,由全等三角形的性质得出DE=DP,

NCDE=ZADP,ZP=ZDEC,证明NEDG=APDG（SAS）,由全等三角形的性质得出NDEG=NP,则可

得出答案.

【解答】解：（1）•.•四边形Z3C。是正方形，

9

...ABAC=45°，

•・•GF=GF,

ZEDG=ZFAG=45°；

(2)延长84至点P,使4P=CE,连接。P,

.CE~2'

.CE_2

..=—，

BC7

•・•四边形ABCD是正方形，

AD=DC,ABAD=NDCE=90°,

/PAD=NDCE,

又＜AP=CE,

...\DCE=ATM尸(S4S),

/.DE=DP,ZCDE=NADP,ZP=ZDEC,

NADC=ZPDE=90°,

ZEDG=ZPDG=45°,

又DG=DG,

\EDG=\PDG(SAS),

/./DEG=ZP,

/./DEC=/DEG,

rpCF1

tanNDEG=tanZDCE=——=——=-.

CDCB7

【点评】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练

掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

4.(2023•怀化)如图，43是。。的直径，点尸是。。外一点，P4与。。相切于点/,点C为。。上的一

点.连接尸C、AC、OC,^.PC=PA.

10

(1)求证：尸C为OO的切线；

(2)延长PC与48的延长线交于点。，求证：PD-OC=PA-OD；

(3)若NC4B=30。，OD=8,求阴影部分的面积.

P

【分析】(1)先由切线的性质得/尸/。=90。，然后依据“SSS”判定APOC和APQ4全等，从而得

ZPCO=ZPAO=90°,据此即可得出结论；

(2)由NDCO=ZCU尸=90。，NOOC=NPD4可判定AOOC和A/V%相似，进而根据相似三角形的性质可

得出结论；

(3)连接BC,过点C作CE_LOB于点£,先证△。。打为等边三角形，再设OE=〃，则CM=08=OC=2.,

CE=/a,在RtACDE和在RtADOC中，由勾股定理得CO?=C£2+DE?=O》2一。。2,由此可求出°的值,

进而得。。的半径为4,然后根据编影=%℃-S扇形BOC即可得出答案.

【解答】(1)证明：・•,48为。。的直径，尸/为。。的切线，

PALOA,

即：ZPAO=90°,

•点。在OO上，

OC=OA,

在△尸0c和APCU中，

OC=OA

<PC=PA,

PO=PO

NPOC=APOA(SSS),

ZPCO=NPAO=90°,

即：尸C_LOC,

又。C为0。的半径，

PC为。。的切线.

(2)证明：由(1)可知：OCLPD,

11

...ADCO=ZDAP=90°,

又ZODC=/.PDA,

/.AODCSAPDA,

.PCOP

-7?一访‘

即：PDOC=PAOD.

(3)解：连接BC,过点。作CE_LOB于点E,

:.ZCOB=60°,

又OC=OB,

/.A0C5为等边三角形，

CE1OB,

OE=BE,

设。£=a,显然aw0,

则OA=OB=OC=2a,

在RtAOCE中，OE=a,OC=2a,

由勾股定理得：CEZOC?-OE。=届,

•••OD=8,

:.DE=OD-OE=S-a,

在RtACDE中，CE=®,DE=8-a,

由勾股定理得：CD2=CE2+DE2=(V3«)2+(8-a)2,

在RtADOC中，OC=2a,OD=8,

由勾股定理得：CD2=OD2-OC-=82-(2a)2,

(V3a)2+(8-a)2-82-(2a)2,

12

整理得：a2—2a=0)

;a片0,

a=2,

OC=2a=4,CE=V3a=2^/3，

S.nf)r=—OD-CE=—x8x2A/3=8A/3)

22

„_60%x42_8%

乂1s扇形=

S阴影=SAD"—S扇形80C=8#—■

【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，扇形

面积的计算，勾股定理的应用等知识点，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定方法,

理解切线垂直于过且点的半径；过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线；难点是在解答(3)时，设置

适当的未知数，利用勾股定理构造方程求出圆的半径.

5.(2023•广陵区二模)如图，顶点为/(-4,4)的二次函数图象经过原点(0,0),点P在该图象上，O尸交其

对称轴/于点M,点W、N关于点A对称，连接PN,ON.

(1)求该二次函数的表达式；

(2)若点尸的坐标是(-6,3),求AOPN的面积；

(3)当点P在对称轴/左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：

①求证：ZPNM=ZONM；

②若AOPN为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标.

【分析】(1)根据二次函数图象的顶点设出二次函数的关系式，再根据二次函数图象经过原点，求出。的值,

即可得出二次函数的关系式；

(2)设直线。尸的解析式为了=日，将/点代入，求出直线。尸的解析式，再把x=-4代入y=求出

”的坐标，根据点州、N关于点尸对称，求出N的坐标，从而得出的长，再根据三角形的面积公式

13

即可得出答案.

(3)①设对称轴/交x轴于点3,作尸C_L/于点C,由P在二次函数图象上，设PC-工产-2/),再由。的

4

坐标，表示出直线。尸的解析式，进而表示出N及8的坐标，设对称轴/交x轴于点3,作尸C，/于

点C,构建相似三角形：ANCPsANBO.由相似三角形的对应角相等证得结论；

②AOPN能为直角三角形，理由为：分三种情况考虑：若NONP为直角，由①得到NRW=NOMl/=45。，

可得出三角形ZCN为等腰直角三角形，得到尸C=CN,将表示出的尸C及CN代入，得到关于机的方程，

求出方程的解得到机的值为0或4土行，进而得到此时/与P重合，不合题意，故NONP不能为直角；若

ZPON为直角，利用勾股定理得到OP2+ON2=川2,由尸的坐标，利用勾股定理表示出。产，由OB及BN,

利用勾股定理表示出ONZ,由尸。及CN,利用勾股定理表示出尸以2,代入OP〜0叱=P2,得到关于加

的方程，求出方程的解得到机的值为4±4也或0,然后判断NPON是否为直角；若NNPO为直角,则有

\PMN^\BMO^\BON,由相似得比例，将各自的值代入得到关于小的方程，求出方程的解得到小的值为

4,此时/与P重合，故NNPO不能为直角，综上，点尸在对称轴/左侧的二次函数图象上运动时，AOPN

不能为直角三角形.

【解答】(1)解：设二次函数的表达式为了=a(x+4『+4,

把点(0,0)代入表达式，解得〃=-；.

二次函数的表达式为y=-1(x+4)2+4,

即y=―2无；

(2)解：设直线。尸为＞=履(左w0),

将尸(一6,3)代入y=区，解得左二一；，

1

y——x•

2

当x=—4时，y=2.

・・•点M、N关于点4对称，

/.N(—4,6).

MN=4.

14

…S"ON=SbOMN+S"MN=12；

(3)①证明：设点尸的坐标为-2,),

其中f<-4，

设直线。尸为y=〃x(MHO),

将P(t,~t2-2。代入y=k'x,解得k'=一雪.

Z+8

y=-------x•

4

当x=—4时，y=t+8.

M(―4,%+8).

/.4N=4M=4—«+8)=T—4.

设对称轴/交X轴于点8,作PC，/于点C,

则5(-4,0),C(-4,-；〃-27).

OB=4,A®=4+(-Z-4)=-f,PC=-4-1,

1,1,

NC=-t-(--t2-2t)=-t2+t.

J2

NC4Z+ttNB-tt

则mil=------=，=——=.

PC-4-t4OB44

.NCNB

,~PC~~OB'

又...ZNCP=ZNBO=90°，

NNCPsNNBO.

ZPNM=ZONM.

②AOPN能为直角三角形，理由如下：

解：分三种情况考虑：

⑺若NONP为直角，由①得：ZPNM=ZONM=45°,

APCN为等腰直角三角形，

/.CP=NC,BPm-4=—m2-m,

4

整理得：m2-8m+16=0,BP(m—4)2=0,

15

解得：加=4,

此时点4与点尸重合，故不存在尸点使AOPN为直角三角形；

⑻若/PCW为直角，根据勾股定理得：OPrON?=PN?,

'：OP2=m2+(-—m2-2m)2,ON2=42+m2,AN2=(m—4)2+(——m2—2m+m)2,

44

/.m2+(--m2-2m)2+42+m2=(zw-4)2+m2-2m+m)2,

44

整理得：m[m-8m-16)=0,

角毕得：加=0或加=—4—4后或一4+4后（舍去）,

当加=0时，P点与原点重合，故/PON不能为直角,

当初=—4-4后，即尸(-4-4亚，4)时，N为第四象限点，成立，故/PON能为直角;

(位)若/7VP。为直角，可得NNPM=NOBM=90。,且/PMN=/BMO,

NPMNSNBMO,

X­/ZMPN=ZOBN=90°,<ZPNM=ZOND,

,\PMNSABON,

/.\PMNs\BMOs\BON,

MBOBnn8-m4

OBNB4m

整理得：(〃L4)2=0,

解得：m=4,

此时/与P重合，故NN尸O不能为直角，

综上，点尸在对称轴/左侧的二次函数图象上运动时，A。尸N能为直角三角形，当机=4+4也，即

尸（-4-4啦,-4）时，N为第四象限的点成立.

16

【点评】此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，两点坐标确定一次函数解析式，相似三角形的判

定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，本题（3）中的第②

小问利用的是反证法，先假设结论成立，利用逻辑推理的方法得出与已知条件，定理，公理矛盾，可得出

假设错误，原结论不成立.

6.（2024•宝安区二模）“海之跃”摩天轮是某地区的城市名片.滨城学校九年级（3）班的项目式学习团队

计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度.

【素材一】如图1，“海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上.拟测算的写字楼与摩天轮在同一

平面内.

【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图2）.

,如图3,摩天轮的最高高度为128米，半径为60米，该团队

分成三组分别乘坐1号、4号和10号轿厢，当1号轿厢运动到摩天轮最高点时，三组队员同时使用测角仪

17

【任务一】初步探究，获取基础数据

（1）如图3,请连接N。、BO,则NAOB=45。：

（2）求出1号轿厢运动到最高点时，4号轿厢所在位置3点的高度.（结果保留根号）

【任务二】推理分析，估算实际高度

（3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度DN.（结果用四舍五入法取整数，血。1.41）

【分析】（1）由题可知，“海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，其中N/O8包含了3个桥

3

厢，因止匕N/O8=——x360°=45°；

24

（2）过点3作于点£,由题可知，点/此时的高度为最高为128米，半径为60米，因此。点高

度为68米，根据ZAOB=45°,可得。£=。2-0$45。=30后，即可；

（3）连接08,OC,BC,由素材1,素材3可得NC08=90。，ZOBC=ZAOB=45°,则8。=60后，

2

过点。作_L5C于点/，令BF=n,由素材2,3得：DF=5BF=5n,CF=-DF=2n,可得

5

BC=60V2=3n,即〃=20后，因此尸点的高度为：68+3072-2072=68+10A/5'«82（米），即可.

【解答】解：任务一：（1）连接/。、BO,如下图所不：

“海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，其中乙4。8包含了3个桥厢,

18

3

..ZOB=—x360°=45°,

24

故答案为：45.

(2)过点8作于点E,

•.•点/此时的高度为最高为128米，半径为60米,

点高度为68米，

•••BELAO,NAOB=45。，

.-.O£=05-cos45°=3072,

B点的高度为（68+30匹）米，

答：8点的高度为（68+30匹）米.

任务二：（3）连接。8,OC,BC,

由素材1,素材3可得NCO8=90°，NOBC=NAOB=45°,

贝！|2C=60直，过点。作。尸_L8C于点尸，

19

7

令AF=〃，由素材2,素材3的4号轿厢测量情况和10号轿厢测量情况得：DF=5BF=5«,CF=-DF=2n,

5

BC=60V2=3〃，即〃=2072,

尸点的高度为：68+300一20五=68+10后“82(米),

答：写字楼的实际高度。N约为82米.

【点评】本题考查的是三角形的综合体，熟练掌握勾股定理和余弦定理的运用是解题的关键.

7.(2022•江北区一模)如图1,四边形Z8CD是。。的内接四边形，其中=对角线/C、8。相交

于点£,在/C上取一点尸，使得N尸=/8,过点尸作交0。于点G、H.

(1)证明：\AED~AADC.

(2)如图2,若/£=1,且G//恰好经过圆心O,求8c-CD的值.

(3)若/E=l,EF=2,设BE的长为x.

①如图3,用含有x的代数式表示△BCD的周长.

图1图2图3图4

【分析】(1)利用等腰三角形的性质与圆周角定理解得即可；

(2)利用垂径定理和(1)的结论求得/C,CE的长，通过证明,利用相似三角形的性质

即可得出结论；

(3)①利用垂径定理和(1)的结论求得/C,CE的长，再通过证明AAEDSABEC和A4E3SA£)EC,利

用相似三角形的性质求得5C,DE,。的关系式，利用三角形周长的意义解答即可；

②利用勾股定理求得8c,则ABC。的外接圆半径可得，设ABC。内切圆半径为r,利用①中的结论求得2。，

8和ABC。的周长，利用三角形的面积公式列出方程，解方程即可求得A3。内切圆半径.

【解答】(1)证明：=，

AB=AD.

...ZADB=ZACD.

20

•・•ZDAE=ZCAD,

\AED^\ADC.

(2)解：v\AED^/^ADC,

.AE_AD

-AD~AC'

•.•GH为。。的直径，GHLAC,

/.AF=FC=-AC.

2

•/AB=AD,AF=AB,

AB=AD=AF,

:.AC=2AD.

•AD

,•茄一就一鼠

•・•AE=\,

二.AD=2.

AB=2,AC=4.

/.EC=AC-AE=3.

•.­AB=AD,

AB=AD.

/.ZACB=ZACD.

•・•ZBDC=ABAC,

ADECs.BC.

.CDEC

:.BC-CD=ACEC=4x3=n.

(3)角轧®vAE=\,EF=2,

AB=AD=AF=AE+EF=3.

•:\AEDS\ADC,

.AEAD

…而一就一3・

:.AC=3AD=9.

:.CE=AC—AE=8.

21

•・,NCAD=/CBD,/CEB=/DEA,

AAED^ABEC.

.BEEC_BC

一~AE~^D~^4D'

x_8_BC

…厂法一亍•

Q

DE=—,BC=3x.

x

♦;/ABD=NACD,/AEB=/DEC,

\AEB^\DEC.

.AE_AB

'~DE~~CD'

.1_3

''8-DC'

X

24

/.DC=——.

x

74Q32

\BCD的周长=BC+CQ+BE+OE=3x+——+x+—=4x+——.

XXX

②BC为OO的直径，

ZBAC=90°.

BC=y1AB-+AC2=^32+92=3丽.

外接圆半径为亚.

2

在RtAABE中,

BE=\IAE2+AB?=A/12+32=VW.

由①的结论可得：DE=~=-y/\0,

105

_24_12

CrnD——,——V1U,

VIo5

A8CD的周长=4而+半史丽，

5

：.BD=BE+DE=-41O.

5

设AB。内切圆半径为厂，

-xABCD的周长xr=LxAD.C。.

22

22

—Vior=-Vwx—Vio.

555

r=—VTo.

|加2

，ABC。内切圆半径与外接圆半径的比值=1—=4.

3加5

2

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，三角形

的外接圆半径和内切圆半径，熟练掌握圆的有关性质和相似三角形的性质是解题的关键

题型二：两圆一中垂构造等腰三角形模型

1.(2022•开州区模拟)如图，在等腰RtAABC中，AB=BC,。是8c的中点，E为/C边上任意一点，

连接。E,将线段DE绕点。逆时针旋转90。得到线段。尸，连接£尸，交4S于点G.

(1)如图1,若=6,AE=母,求ED的长；

(2)如图2,点G恰好是历的中点，连接8尸，求证：CD=41BF；

(3)如图3,若AB=4C,连接CF,当CF+与BF取得最小值时.请直接写出SACEF的值.

【分析】(1)过点£作于点〃，得/。/汨=90。，在等腰直角三角形/8C中，求出3c=6,AC=642,

再证明AC77E也是等腰直角三角形，最后在RtADHE中，求出DE即可；

(2)过点E作EM//BF于4B交点M,过点。作DN_L8。交NC于N,得出ACDN为等腰直角三角形，

再证明ASFD=N£7)(S/S),\EMG=\FBG{AAS),最后在等腰RtACDN中，求出CO与8尸关系；

(3)如图3-1中，取/C的中点7,连接。T,BT,则A5DT是等腰直角三角形.首先证明点尸在直线BT

上运动，如图3-2中，取的中点。，连接3Q,作"于点X,CJLBQ于点、J,交37于点R.再

证明当点歹与R重合时，C尸+好8月的值最小，即可解决问题.

5

23

【解答】解：（1）如图，过点E作E〃_L8C于点77,

ACHE=90°,

在等腰直角二角形/3C中，

,/AB=6,

BC=6,AC=642,

:D为BC中点，

:.CD=-BC,

2

•.・/£=行，

:.CE=AC-CE=542,

•••ZC=45°,

ACHE也是等腰直角三角形，

CH=EH=5,

HD=CH-CD=2,

：.在RtADHE中，DE=NEH?+HD。=729.

(2)如图，过点、E作EM//B尸于交点M,过点。作。N_L8C交/C于N,

.•.△CZW为等腰直角三角形,

24

...CD=ND,

•・•BD=CD,

BD=DN,

•••Z5+ZBDE=/6+ZBDE,

/.N5—N6，

在A5阳和A7VEZ)中，

BD=DN

<N5=N6，

DF=DE

:.\BFD=NED(SAS),

:.BF=EN,Z3=Z4,

在.AWG和AF5G中，

Z1=Z2

<ZMGE=ZBGF,

GF=GE

:.\EMG=\FBG{AAS),

ME=BF,

/.ME=EN,

Z2+Z3=45°,

Zl+Z4=45°,

/./MEN=Z1+Z4+/FED=90°,

ZAEM=90°,

/.是等腰直角三角形，

AE=ME=BF=EN,

:.BF=-AN，

2

•/DN/IBC,。是5C的中点，

/.CN=AN,

:.BF=-CN,

2

5

又•・・在等腰RtACDN中，CD=—CN,

2

25

/.CD=42BF.

(3)如图3-1中，取4c的中点T,连接。T,BT,则A5QT是等腰直角三角形.

/.ZBDF=ZTDE,

•・•DB=DT,DF=DE,

NBDF=ATDE(SAS),

/DBF=/DTE=135。，

•「ZDBT=135°，

:.F,B,T共线,

/.点F在直线BT上运动，

如图3-2中，取4T的中点Q,连接BQ,作于点H,C/L5。于点J,交BT于点、R.

图3-2

FHQT1

•••tan/FBH=——==-，

BHBT2

V5

:.FH=—BF,

5

V?

CF+—BF=CF+FH„CJ,

5

.•.当点b与H重合时，。尸+好5月的值最小,

5

26

ABTQ=ZCTR=90°,BT=CT,NQBT=NRCT,

:.NBTQ=\CTR(ASA),

TR=QT,

---AB=BC=472,AABC=90°,

AC=y/2AB=8,

：.AT=CT=BT=4,QT=RT=2,

BF=TE=2,

S.CFF=--CE-FT=-x2x2=2.

ACEF22

【点评】本题考查了几何变换的综合应用，解题关键是正确作出辅助线，能判定出全等三角形，解直角等

腰三角形.

2.(2023春•璧山区校级期中)如图，直线＞=依+6经过点/(8,0)和2(0,4)两点，将A4O8沿直线/对折使

点力和点3重合，直线/与x轴交于点。与交于点。，点。的纵坐标为2,连接8C.

(1)求直线N3的解析式；

(2)若点E在x轴的负半轴上，且ASED的面积为10,求A8OE的周长；

(3)已知y轴上有一点P,若以点8,C,尸为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点

【分析】(1)根据给出的/、B两点坐标，代入表达式，即可求出的解析式；

(2)根据AD=3。可以得出AADE的面积和NBDE的面积相等，然后过。作。尸_Lx轴，可以求出AE的长,

然后得到OE的长，通过勾股定理，可以得到的长，即可得到A8OE的周长；

(3)根据题意，当8尸=8C时，可得到两个尸点，通过3点的纵坐标±8。长可以得到对应的尸点坐标，当

BC=CP,可以得到一个。点坐标，通过等腰三角形，可以得到尸点坐标，当PB=PC,可知P点在3c的

垂直平分线上，通过等腰三角形，导边可以得出尸点的坐标.

27

【解答】解：(1)将点4(8,0)和5(0,4)代入0=履+:中,得：

[0=8左+6

[4=b'

k=--

解得：2，

6=4

故48的解析式为：y=--x+4；

2

(2)

V将AAOB沿直线I对折使点/和点8重合，

AC=BC，

设OC=x,贝|J8c=4C=8-x,

在RtAOBC中，

x2+42=(8-x)2,

..x—3,

。。=3,

/.AD=BD,

…S^ADE=^\BDE=

•・•点。的纵坐标为2,

过。作ZM/_Lx轴交X轴于点M,

DM=2,

,：S^ADE=AE.DM,

4E=10,

/.0E=2,

0B=4,

BE=^OE2+OB2=2A/5,

:'C20E=2+4+2V5=6+2V5；

(3)以B点为圆心，BC长为半径作圆，交y轴于耳、鸟两点，以。点为圆心，长为半径作圆，交y轴

于点鸟，在y轴上找一点与，使尸45=尸