2024年中考数学压轴题型分类讨论思想在五种题型中的应用（学生版）

专题15分类讨论甩想在五种题型中的应用

压轴题密押

通用的解题思路：

题型一、等腰三角形的存在问题分类讨论

i.假设结论成立；

2.找点：当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：

①当定长为腰时，找已知条件上满足直线的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧,

若所画弧与坐标轴或抛物有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与坐

标轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；

②当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线

有交点时，那交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点时，满足条件的点

不存在；以上方法即可找出所有符合条件的点.

3.计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添

加辅线构造相似三角形，有时也可利用其角三角形的性质进行求解

题型二、直角三角形的存在问题分类讨论

1.设出所求点的坐标，用变量表示出所求三角形三边的长的平方的代数式，如本题，设点F（l,f）,

△BCF三边长为：B户=4+干,<7^=/+6^10,BC=18；

2.找点：根据直角顶点的不确定性，分情况讨论：

①当定长（己知的两个点连线所成的线段）为直角三角形的直边时（如本题（4）中的边BC）,分

别过定长的某一端点（B和C）做其垂线，与所求点满足的直线或抛物线（本题是抛物线对称轴）有

交点时，此交点即为符合条件的点；

②当定长为直角角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所有点满足条件的直线或抛物线有交

点时，此交点即为符合条件的点.

3.计算：把图形中的点的坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形各边（表示线段

时，注意代数式的符号），再利用相似三角形得比例线段关系或利用勾股定理进行计算.

题型三、不等式（组）中的分类讨论思想

分类讨论思想在不等式（组）中主要体现在含有字母系数的一元一次不等式（组）的解法问题，在

求其解集时要对字母进行分类讨论。

对含字母系数的不等式或不等式组，在求解时一定要注意字母系数的取值范围，要进行分类讨论。

题型四、方程（组）和函数中的分类讨论思想

在函数问题中，分类有两种情况：一种是对概念进行分类，一种是分情况讨论问题，对概念进行分

类，是明确概念的一种逻辑方法，有助于对概念的理解与掌握；分情况讨论问题，可以帮助我们全

面考察一个对象，得出可能的结论，也可以使问题更容易人手，分类思想方法对于中学生来是比较

难掌握的一种数学思想方法，在对概念进行分类时，往往把握不住标准，不能坚持用同一个标准进

行分类，出现“重”或"漏"的现象，从而容易导致错误的发生

题型五、圆中的分类讨论思想

由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且具有旋转不变性，因此有不少题目会出现多解问

题。这类题目重在考查同学们对基础知识的掌握与运用情况，它有利于培养同学们严谨周密的逻辑

思维能力。如果解题时考虑不严密，理解不透切，形成思维定势，就会漏解，从而造成错误。在圆

中解这类问题时，需要利用分类讨论思想，在解题时可以多考虑将圆进行折叠或旋转。

压轴题预测

题型一、等腰三角形的存在问题分类讨论

1.（2023•广安）如图，一次函数y=fcc+2（人为常数，左20）的图象与反比例函数y=为常数，m^O）

"4x

的图象在第一象限交于点，与无轴交于点8（-3,0）.

（1）求一次函数和反比例函数的解析式.

（2）点尸在x轴上，AABP是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标.

2.（2023•澄城县一模）如图，抛物线>=--+如+<:与x轴交于点A（-l,0）、B,与y轴交于点C（0,3）,直

线/是抛物线的对称轴.

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）在对称轴/上是否存在点使AM4c为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标;

若不存在，请说明理由.

3.（2023•婺城区模拟）在矩形ABCD中，AB=4,4）=10,E是AD上的一点，且AE=2,M是直线A5

上一点，射线ME交直线CD于点P,EG_LME交直线3C于点G,连结MG、FG,直线FG交直线45

于点N.

（1）①当点〃为AB中点时，求正与EG的长;

②求贬的值.

FG

（2）若AEGN为等腰三角形时，求满足条件的AM的长.

D

4.(2023•濮阳县模拟)在等腰直角三角形ABC中，Z4CB=9O。，AC=,点P为直线AB上一个动点,

绕点C将射线CP逆时针旋转45。，交直线AB于点Q.

图1图2

在图1中，将AAPC绕点C逆时针旋转90°得到NBMC，连接MQ,

NACP+NBCQ=45°,ZACP=NBCM,

:.ZMCQ=45°=ZPCQ,

又・CP=CM,CQ=CQ,

:.APCQ=/\MCQ.

请阅读上述过程，并完成以下问题:

(1)得出APCQMAMCQ的依据是(填序号).

①)SSS

②SAS

③A4s

®HL

(2)在以上条件下，如图2,当点尸在线段84的延长线上时，求证：PQ2=AP-+BQ2.

(3)在等边三角形ABC中，3C=2,点P为射线上一个动点，将射线CP绕点C逆时针旋转30。交直

线54于点。，将AAPC绕点C逆时针旋转60。得到ABMC,连接MQ,当ABM0为直角三角形时，请直接

写出AP的长.

5.(2023•武侯区校级模拟)如图，在矩形45CD中，AB=kBC(fl<k<l),将线段AB绕点A逆时针旋转

c度(0<a<90)得到线段AE,过点E作AE的垂线交射线CD于点〃，交射线上)于点

备用图

［尝试初探］

(1)当点M在？1D延长线上运动时，44E与44ME始终相等，且与始终相似，请说明理

由；

［深入探究］

1Q

(2)若％=—,随着线段的旋转，点H的位置也随之发生变化，当C8=±C£>时，求tana的值；

24

［拓展延伸］

(3)连接£D,当AEDM为等腰三角形时，求tana的值(用含％的代数式表示).

3

6.(2023•虹口区一模)如图，在AABC中，AB=AC=W,sinB=-,点。、E分别在边A3、3c上,

5

满足NCDE=N3.点/是小延长线上一点，且NECF=NACD.

(1)当点。是A5的中点时，求tanNBCD的值;

(2)如果A£>=3,求的值；

DE

(3)如果AfiDE是等腰三角形，求CF的长.

7.(2023•文成县一模)如图，点£,尸分别为矩形ABCD边4),CD上的点，以3E为直径作O交BF

于点G,且所与O相切，连结EG.

(1)若AE=EG,求证：AABE=AGBE.

(2)若AB=2,tanZEBF=-

2

①求DE的长.

②连结AG,若AABG是以AG为腰的等腰三角形，求所有满足条件的3。的长.

(3)连结CG,若CG的延长线经过点A,且ED=EG,求生的值.

EF

AE

BC

8.(2023•涪城区模拟)如图，已知：在AABC中，NC=90。，点P是BC边上的动点，PD工BC交AB于

D,以PD为直径的O分别交A3,AP于点E,F.

(1)求证：ZEFP=ZEPB.

3

(2)若AB=20,sinB=—.

5

①当ZAPB=4ZAPD,求PC的长.

②当APEF为等腰三角形时，请求出所有满足条件的APEF的腰长.

(3)若sin5=正，且O,尸，C在一条直线上，则。P与AC的比值为

2

9.(2023•河南模拟)如图所示，在RtAABC中，ZABC=90°,点D为射线AC上一动点，作=,

过点B作BELBD,交DE于点、E,连接CE.(点A、E在的两侧)

【问题发现】

(1)如图1所示，若/4=45。时，AD.CE的数量关系为,直线4＞、CE的夹角为；

【类比探究】

(2)如图2所示，若24=60。时，(1)中的结论是否成立，请说明理由；

【拓展延伸】

(3)若NA=30。，AC=2』，且A4BD是以AB为腰的等腰三角形时，请直接写出线段CE的长.

图1图2备用图

题型二、直角三角形的存在问题分类讨论

1.（2022•大连模拟）如图，RtAABC中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,点尸在边AS上，过点尸作至

的垂线与边AC或3c相交于点。，将点。绕点尸顺时针旋转90。得点E,过点E作的垂线与边AC或

8C相交于点尸.设AP的长为尤（。〃），四边形DPEF的面积为y（cm2）.

（1）求AB的长；

（2）求y关于尤的函数解析式，并直接写出自变量尤的取值范围.

（备用图）

2.(2022•莲池区校级二模)如图，RtAABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4.动点尸从点A出发，以

每秒3个单位长度的速度沿AC-CB-84方向绕行AABC一周，与3C垂直的动直线/从AC开始.以每秒

1个单位长度的速度向右平移，分别交至，CB于D,E两点.当点尸运动到点A时，直线/也停止运动，

设点P的运动时间为f秒.

(1)当点尸在AC上运动时，过点尸作于/，

①当PD=PE时,求证：APDF=A£PC；

②设APDE的面积为S,用含f的代数式表示S,并求当,为何值时，S有最大值；

(2)当直线/等分AA5c的面积时求f的值，并判断此时点尸落在AA5c的哪条边上；

(3)直接写出PD=P£1时f的值.

3.(2022•济南二模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为(3,0),四边形。4BC为平

行四边形，反比例函数>=幺0>0)的图象经过点C,与边交于点。，若0c=2近，tanZAOC=l.

X

(1)求反比例函数解析式；

(2)点尸30)是x轴上一动点，求|PC-P0最大时。的值；

(3)连接C4,在反比例函数图象上是否存在点平面内是否存在点N,使得四边形C4MN为矩形，若

存在，请直接写出点河的坐标；若不存在，请说明理由.

4.（2022•海口模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=渥+云+3（4/0）与y轴交于点C,与x轴交

于4-2,0）、3（4,0）两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向3点运动，同时点N从3点出发，在

线段3c上以每秒2个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动，设AMBN

的面积为S,点M运动时间为f秒，试求S与f的函数关系，并求S的最大值；

（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻f,使AMBN为直角三角形？若存在，求出r的值；若不存在，

请说明理由.

5.(2023•乳山市二模)过四边形ABCD的顶点A作射线AM,P为射线AM上一点，连接QP.将AF绕

点A顺时针方向旋转至A。，记旋转角/上4。=0,连接3。.

(1)【探究发现】如图1,数学兴趣小组探究发现，如果四边形/WCD是正方形，且《=90。.无论点尸在

何处，总有=请证明这个结论.

(2)【类比迁移】如图2,如果四边形ABCD是菱形，ZDAB=a=6C)0,ZMAD=15°,连接尸。.当尸。_L3。，

AB=«+A/5时，求止的长；

(3)【拓展应用】如图3,如果四边形ABCD是矩形，AD=6,AB=8,AVf平分NZMC,a=90。.在

射线A。上截取4?,使得A7?=?AP.当AP欧是直角三角形时,请直接写出心的长.

口」

QQ

图1图2

/M/M

，「

图3备用图

题型三、不等式（组）中的分类讨论思想

1.（2023•淄博）某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间

对团队*旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表：

购票人数机（人）1底弧505谈加100根>100

每人门票价（元）605040

*题中的团队人数均不少于10人.

现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于

50人.

（1）如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？

（2）如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元，

问甲团队最少多少人？

2.（2021•商河县校级模拟）阅读下面材料，根据要求解答问题：求不等式（2*-1）。+3）>0的解集.

解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或②?九二1<°

[x+3>0[x+3<0

解不等式组①得：解不等式组②得x<-3.

2

不等式（2x-l）（x+3）>0的解集为尤>g或x<—3.

请你仿照上述方法解决下列问题：

（1）求不等式（2尤-3）（x+l）<。的解集.

L-i

（2）求不等式^—..0的解集.

%+2

3.（2024•江门校级一模）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：

例题：解一元二次不等式尤2-4>0.

解：-4=（尤+2）（x-2）,

.•.炉_4>0可化为（尤+2）（尤，2）>0.

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得

fx+2>0[x+2<0

①1，②1,

[x-2>0[x-2<0

解不等式组①，得x>2,解不等式组②，得x<-2,

.•.（x+2）（x-2）>0的解集为x>2或x<-2,即一元二次不等式炉-4>0的解集为无>2或x<—2.

（1）一元二次不等式Y-16>0的解集为—；

（2）分式不等式士1>0的解集为_；

x-3

（3）解一元二次不等式-5%<0.

4.（2022•泰安三模）某公司推出一款桔子味饮料和一款荔枝味饮料，桔子味饮料每瓶售价是荔枝味饮料每

瓶售价的9倍.4月份桔子味饮料和荔枝味饮料总销售60000瓶，桔子味饮料销售额为250000元，荔枝味

4

饮料销售额为280000元.

（1）求每瓶桔子味饮料和每瓶荔枝味饮料的售价；

（2）五一期间，该公司提供这两款饮料12000瓶促销活动，考虑荔枝味饮料比较受欢迎，因此要求荔枝味

饮料的销量不少于桔子味饮料销量的3;不多于桔子味饮料的2倍.桔子味饮料每瓶7折销售，荔枝味饮

2

料每瓶降价2元销售，问：该公司销售多少瓶荔枝味饮料使得总销售额最大？最大销售额是多少元?

题型四、方程（组）和函数中的分类讨论思想

1.（2024•钟楼区校级模拟）共享电动车是一种新理念下的交通工具；主要面向3万*~10初z的出行市场，现

有A,3两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间宜功山）之间的对应关系，其中

A品牌收费方式对应％,3品牌的收费方式对应当,请根据相关信息，解答下列问题：

（1）说出图中函数以、%的图象交点尸表示的实际意义；

（2）求为、为关于x的函数解析式；

（3）①如果小明每天早上需要骑行A品牌或3品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的

平均行驶速度均为300m/〃血，小明家到工厂的距离为%m那么小明选择—品牌共享电动车更省钱？（填

“A”或"5”）

②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？

2.(2023•西华县三模)如图1,抛物线y=gd+6x+c与x轴交于A、3两点(点A在点3左边)，与y轴

交于点C.直线y=：尤-2经过3、C两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线上的一动点，过点尸且垂直于x轴的直线与直线3c及x轴分别交于点D、M.设MQ%0).

①点尸在抛物线上运动，若点。恰为线段的中点，求此时机的值；

②当点尸在抛物线上运动时，是否存在一点尸，使=若存在，请直接写出点尸的坐标；若

3.(2023•池州三模)在平面直角坐标系中，点(2,㈤和点(6,〃)在抛物线丁=依2+法0<0)上.

(1)若加=4,n=-l2,求抛物线的解析式；

(2)已知点3(4,%)在该抛物线上，且，M=0.

①比较%,%，0的大小，并说明理由；

②将线段AB沿水平方向平移得到线段若线段A8与抛物线有交点，直接写出点A的横坐标x的取

值范围.

4.（2023•河北模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y=or（尤-6）+l（a#O）的顶点为A,与x轴相交于3、C

两点（C点在3点的右侧）.

（1）判断点（0,1）是否在抛物线y=ox（尤-6）+1（叱0）上，并说明理由；

（2）若点A到x轴的距离为5,求a的值；

（3）若线段3C的长小于等于4,求。的取值范围.

5.（2023•盐城二模）已知点知（百，％）,N（%，%）在二次函数、=。（无-3）,+2（。/0）的图象上，且满足

%2-X=5.

（1）如图，若二次函数的图象经过点（1,0）.

①求这个二次函数的表达式；

②若y=%，此时二次函数图象的顶点为点尸，求ZPMN的正切值；

③在M、N之间的二次函数图象上的最低点的纵坐标为-6,请直接写出此时点对、N的坐标；

（2）当王皴衣尤2时,二次函数的最大值与最小值的差为3,点M,N在对称轴的异侧,则a的取值范围为

6.（2023•锦州）如图，抛物线丫=-底2+云+0交x轴于点A（-1,0）和5,交y轴于点C（0,3®,顶点

为D.

（1）求抛物线的表达式；

（2）若点E在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形的面积为7班，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，若点尸是对称轴上一点，点H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否

存在点G,使以点E,F,G,"为顶点的四边形是菱形，且4FG=60。，如果存在，请直接写出点G的

7.（2024•肇东市模拟）综合与实践

3

如图，二次函数y=+6x+c的图象与x轴交于点A和3,点3的坐标是(4.0),与y轴交于点C(0.-3).点

。在抛物线上运动.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图2.当点。在第四象限的抛物线上运动时，连接3D,CD,BC,当ABCD的面积最大时，求点

。的坐标及ABCD的最大面积；

(3)当点E在无轴上运动时，借助图1探究以点3,C,D,E为顶点的四边形是平行四边形，并直接写

图1图2

8.(2023•扶余市二模)如图,抛物线丫=挟+市+c与x轴交于点A(l,0),5(5,0),顶点为尸.

(1)求该抛物线的解析式，并直接写出点P的坐标；

(2)如图，把原抛物线无轴下方的部分沿无轴翻折到x轴上方，将翻折得到的部分与原抛物线x轴上方的部

分记作图形在图形M中，回答：

①点A,3之间的函数图象所对应的函数解析式为—；

②当:殁皿4时，求y的取值范围；

③当磁晾m+2,且能时，若最高点与最低点的纵坐标的差为”，直接写出机的值.

24

3

9.(2024•南丹县一模)如图，抛物线弘=62+法+；与九轴交于点A(_3,0),点5,点。是抛物线M的顶

点，过点。作X轴的垂线，垂足为点C(-1,0).

(1)求抛物线h所对应的函数解析式；

(2)如图1,点M是抛物线乂上一点，且位于x轴上方，横坐标为机，连接MC,

若ZMCB=ZDAC,求m的值；

(3)如图2,将抛物线％平移后得到顶点为3的抛物线为•点P为抛物线为上的一个动点，过点P作y轴

的平行线，交抛物线为于点。，过点。作x轴的平行线，交抛物线内于点当以点P，。，R为顶点的

三角形与AACD全等时，请直接写出点尸的坐标.

10.(2022•长春二模)在平面直角坐标系中，抛物线＞=■?-Znw+w?与y轴的交点为人，过点A作直线/垂

直于y轴.

（1）求抛物线的对称轴（用含机的式子表示）；

（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线/翻折，其余部分保持不变，组成图形G,点%）,N®,%）

为图形G上任意两点.

①当〃2=0时，若占<%，判断％与y2的大小关系，并说明理由；

②若对于玉=相-1,x2=m+l,都有％>%，求机的取值范围；

（3）当图象G与直线>=m+2恰好有3个公共点时，直接写出机的取值范围.

题型五、圆中的分类讨论思想

1.(2023•花都区一模)如图1,已知NM4N=60。，在射线AVf、4V上分别截取点6、C,使AB=AC=8.

(1)求证：AB=BC；

(2)如图2,以3c为直径在3C的上方作一个半圆,点。为半圆上的一个动点，连接相》交3。于点E.

①当时，求的»的长.

②在线段AC上取一点F,连接正交加＞于点G,若即=AE,当点。在半圆3C上从点B运动到点C时,

求点G经过的路径长.

2.(2023•裕华区二模)如图1,平行四边形ABCD中，AD=2#),DC=4-j3,ND=60。，点A/在3c延

长线上且CM=CD,EF为半圆O的直径且庄,FE=6,如图2,点E从点”处沿MB方向运动,

带动半圆O向左平移，每秒括个单位长度，当点尸与点。重合时停止平移，如图3,停止平移后半圆。立

即绕点E逆时针旋转，